Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot

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1 Estudando Função do º grau e Sistemas Lineares utiliando o Software Winplot Silvia Cristina Freitas Batista Gilmara Teieira Barcelos Campos dos Gotacaes /RJ 008

2 Estudando Função do º grau e Sistemas Lineares utiliando o Software Winplot Seção A primeira seção deste material contém algumas informações básicas sobre a utiliação do software Winplot. Conhecendo o Software Winplot O Winplot é um programa gráfico de propósito geral, que permite o traçado e animação de gráficos em D e em D, através de diversos tipos de equações (eplícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui inúmeros recursos e ainda assim é pequeno, cabendo em um disquete. É um programa gratuito, disponível em Para abrir o Winplot, clique duas vees no ícone Winplot.lnk. Com isso, se abrirá a janela inicial do software: Clicando em Janela, aparecerão as seguintes opções: Para visualiar o gráfico de uma função de uma variável f(), escolhe-se opção - dim. Assim, será apresentada a seguinte janela:

3 Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Eplícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada: Para digitar as formulas das funções é preciso respeitar as regras de sintae do software. Clicando em Equação e, em seguida, em Biblioteca, obtém-se informações sobre a forma de digitar diversas funções. Na tabela abaio apresentamos a sintae de algumas funções elementares: Função n a Sintae n log ln sen cos ^ n a^ n sqrt() root(n, ) log( ) ln( ) abs () sin () cos( ) Para personaliar seu plano cartesiano, clique em Ver (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Grade. Isso abrirá uma janela na qual é possível faer algumas escolhas: setas Eibe os eios com setas escala Eibe as escalas nos eios rótulos Eibe os rótulos e, nos respectivos eios grade Eibe linhas de grade no plano do gráfico Para alterar a cor do fundo da janela principal, clique em Misc (no alto da janela principal), em seguida deslie o cursor até Cores e, então, selecione Fundo. Tomemos, como eemplo, a função f ( ), para analisarmos outros recursos do Winplot. Aumentando o valor na caia espessura da linha, obtém-se gráficos com linhas mais grossas. É possível visualiar a equação do gráfico construído, na cor do gráfico, e no local desejado. Para visualiar a equação, clique em equação na janela inventário. Para arrastar a equação pela tela e colocá-la no local desejado, clique em Mouse (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Teto. Clique, então, sobre a equação, com o botão esquerdo do mouse e arraste.

4 Para encontrar os eros ou raíes de uma função entre em Um (no alto da janela principal) e, a seguir, em eros. Para descobrir outras raíes da função, caso eistam, basta clicar em próimo. Considerando a função f ( ), temos: Para encontrar os pontos de máimo e mínimo de uma função, caso eistam, entre em Um e a seguir em Etremos. Para descobrir um outro ponto etremante, caso eista, basta clicar em próimo etremo de. Considerando a função f ( ), temos: Para encontrar a imagem de um determinado valor de, clique em Um e, a seguir, em Traço. Digite o valor de na linha onde se vê e tecle enter. Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas curvas clique em Dois (no alto da janela principal) e, a seguir, em Interseções. Para descobrir um segundo ponto de interseção, caso eista, basta clicar em pro interseção. Considerando as funções f ( ) e g ( ), temos:

5 È possível ampliar ou reduir o gráfico através das teclas Page Up e Page Down, respectivamente. É possível modificar a posição da superfície através das teclas:. Para visualiar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, clique em Equação e, em seguida, em Eplícita. No campo f(), digite join (lei a, lei b,..., lei n). O Winplot interpreta Lei no intervalo a, lei no intervalo a < b, e assim sucessivamente, até a última lei Lei n no intervalo formado pelos demais valores. Consideremos o seguinte eemplo:, se f ( ),se < 7, se > Se desejar limitar um intervalo de, à esquerda e à direita, para a função considerada, preencha os campos mín e má e, a seguir, marque travar intervalo. No eemplo abaio a função foi restrita ao intervalo [-,].

6 5 Para visualiar o gráfico de uma função de duas variáveis f(,), utilia-se a opção Janela, na tela inicial do software e, em seguida, seleciona-se a opção -dim na coluna de comandos. Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Eplícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada. Como eemplo, consideremos a função dada por f (, ). É possível rotacionar o gráfico em -dim, utiliando as setas.

7 ª Parte A ª parte deste material é composta de atividades abordando função do º grau (transformações gráficas), a serem desenvolvidas com o auílio do software Winplot. Função do º Grau - Transformações Gráficas. Comparação da função com as funções da forma p, sendo p IR. a) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.. ^. ^. ^.5 ^. ^ b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas c) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e da família de funções p (p IR). Eplicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e anime o gráfico das funções do tipo p (p IR). e) Analisando o que foi realiado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro p, das funções da forma p (p IR), causa sobre o gráfico da função?. Comparação da função com as funções do tipo ( h) sendo h IR. a) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.. ^. ( - )^. ( )^.5 ( )^. ( - )^ b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas....5.

8 7 c) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e da família de funções ( h) (h IR). Eplicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e anime o gráfico das funções do tipo ( h) (h IR). e) Analisando o que foi realiado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro h, das funções da forma ( h) (h IR), causa sobre o gráfico da função?. Comparação da função com as funções do tipo a sendo a IR * a) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.. ^. ^.5 ^. ^. ^ b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas c) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e da família de funções a (a IR * ). Eplicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e anime o gráfico das funções do tipo a (a IR * ). e) Analisando o que foi realiado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma a (a IR * ), causa sobre o gráfico da função?. Comparação da função com as funções do tipo a sendo a IR - *. a) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.. ^. - ^. - ^. - ^ b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.....

9 8 c) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e da família de funções a (a IR - * ). Eplicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utiliando o Winplot, esboce o gráfico da função e anime o gráfico das funções do tipo a (a IR - * ). e) Analisando o que foi realiado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma a (a IR - * ), causa sobre o gráfico da função? 5. Determine o que se pede em cada item : a) utiliando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir; b) determine as coordenadas do vértice de cada parábola; c) determine o conjunto imagem de cada uma das funções; d) indique as transformações que ocorreram em relação à função. 5. ( ) 5. ( ) 5. ( ) 5. - ( ). A partir das observações feitas nos eercícios anteriores, determine as coordenadas do vértice das parábolas que representam as funções da forma a ( i) p, sabendo que a IR *, i IR e p IR.

10 9 7. (UFJF) O esboço do gráfico que melhor representa uma função f: IR IR definida por f() ( a) b, onde a e b são números reais positivos, é: a) c) e) b) d) ª Parte A ª parte deste material contém teoria sobre análise gráfica de sistemas lineares e atividades sobre o tema a serem desenvolvidas com o auílio do software Winplot. Sistemas Lineares Análise Gráfica. Sistemas Lineares com Duas Equações e Duas Incógnitas Seja o sistema linear S : a b c a b c No qual a, a, b, b, c, c são números reais. Consideremos: l a, ) e l a, ) ; ( b ( b L a, b, ) e L ( a b, ), ( c, c com l e l não nulos e, conseqüentemente, L e L também não nulos. As duas equações do sistema S representam retas, que chamaremos r e r. São três as posições relativas de duas retas no plano. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.

11 0 Posições Relativas de Duas Retas no Plano e Condições Algébricas a) As duas retas coincidem. r r Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (, ) da reta r (ou r, já que são coincidentes). O sistema é possível e indeterminado. Eiste k, real não nulo, tal que: L kl (ou seja, L é múltiplo de L ). b) As duas retas são paralelas. r r Nesse caso, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível. Eiste k, k R*, tal que l kl mas, L kl. c) As duas retas são concorrentes. r r Nesse caso, o sistema admite uma única solução, que é o ponto comum entre as duas retas. Logo, o sistema é possível e determinado. Para todo k, k R, l kl (ou seja, l não é múltiplo de l ). r

12 . Sistemas Lineares com Três Equações e Três Incógnitas Seja o sistema linear S : a b c d a b c d a b c d No qual a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d, d são números reais. Consideremos: l a, b, ), l a, b, ) e l a, b, ) ; ( c ( c ( c L a, b, c, ), L ( a b, c, ) e L ( a b, c, ), ( d, d, d com l, l e l não nulos e, conseqüentemente, L, L e L também não nulos. As três equações do sistema S representam planos, que chamaremos π, π e π. São oito as posições possíveis de três planos no espaço, um em relação aos outros. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir. Posições Relativas dos Planos e Condições Algébricas a) Os três planos coincidem. Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (,, ) do plano π (ou π ou π, já que são coincidentes). O sistema é indeterminado de grau. Eistem k e p, reais não nulos, tais que: L kl e L pl (ou seja, L, L e L são múltiplos um do outro).

13 b) Dois desses planos coincidem e são paralelos ao terceiro Nesse caso, o sistema não tem solução. Eiste k, k R*, tal que L kl e eiste p, p R*, tal que l pl, mas, L pl. c) Dois desses planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, formadas pelos pontos (,, ) da reta comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau. Eiste k, k R*, tal que L kl e para todo p, p R, l pl. d) Os três planos são paralelos entre si Nesse caso, o sistema não tem solução. Eiste k, k R*, tal que l kl mas, L kl e eiste p, p R*, tal que l pl, mas, L pl.

14 e) Dois desses planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas Nesse caso, o sistema não tem solução. Eiste k, k R*, tal que l kl mas L kl e para todo p, p R, l pl. f) Os três planos têm eatamente uma reta comum Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, que são os pontos (,, ) da reta comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau. l, l e l são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas L kl pl (isto é, L é uma combinação linear de L e L, sendo k R* e p R*). g) Os três planos se intersectam dois a dois segundo retas paralelas Nesse caso, o sistema não tem solução. l, l e l são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas eistem k e p, reais não nulos, tais que l kl pl e L kl pl.

15 h) Os três planos têm eatamente um ponto em comum Nesse caso, o sistema admite uma única solução. l, l e l são tais que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Isso significa que o determinante formado pelas componentes de l, l e l é diferente de ero: 0 c b a c b a c b a Bibliografia LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 99. MACHADO, A. S., Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 98. Atividades. Com auílio do programa Winplot, analise geometricamente os sistemas abaio, classificando-os em possível e determinado; possível e indeterminado ou impossível. Obs.: do item a até c, a atividade será desenvolvida na janela -dim; de d até l, na janela -dim. a) 8 5 e) 9 8 i) 5 b) 5 0 f) j) c) g) 5 l) 7 d) h) 8

16 5. Em cada item, monte um sistema linear atendendo às condições dadas e, utiliando o Winplot, verifique se o sistema elaborado realmente corresponde ao que foi pedido. Classifique o sistema em possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). a) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas concorrentes; b) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas paralelas; c) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja composta de planos coincidentes, paralelos a um terceiro plano; d) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja composta de planos paralelos entre si; e) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja composta de planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os; f) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja composta de planos paralelos e um terceiro plano intersectando-os; g) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja composta de planos que possuem em comum apenas uma reta. h) um sistema linear de equações e incógnitas cuja representação gráfica seja composta de planos concorrentes em um único ponto.