2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16.

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1 Unidade I ESTUDO DAS CÔNICAS ) Equação da circunferência De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em e y cujas soluções (,y) são as coordenadas dos pontos da curva. No caso de um circunferência de centro C ( C, y C ) e raio r dados, temos: y r P P (,y) curva d (CP) = r C Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos: d = ( c ) + (y y c ) r = ( c ) + (y y c ) r² = ( c ) ² + ( y y c ) ² que é denominada equação reduzida da circunferência. Eemplos: ) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C (, -) e raio r =. Solução : ( ) ² + (y (-))² = ², ou seja, ( )² + ( y +)² = 4 ) Verifique se os pontos A (, -) e B (,0) pertencem a circunferência de equação (-)²+(y-)²=6. ) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( +)² + (y-)² = 9 4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5. Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( c ) ² + ( y y c ) ². Desenvolvendo esta equação, temos: r² = ( c ) ² + ( y y c ) ² r² = ² - c + c ² + y² - yy c +y c ² Reorganizando, teremos: ² - c + c ² + y² - yy c +y c ² - r² = 0 Pondo - c = a, y c = b e c ² + y c ² - r² = c, teremos: ² + y² + a + by + c = 0 que é a equação geral da circunferência.

2 Observamos que: - c = a - y c = b a c = b y c = c ² + y c ² - r² = c r = c + y c c Eemplos: ) Determine a equação geral da circunferência de centro C(,) e raio. ) Determine o centro e o raio da circunferência de equação ² + y²- 8 + y + = 0. ) O gráfico da circunferência Dada a equação (-)² + (y-)² = c, podemos observar os seguintes casos: a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de centro (,) e raio r = c. b) Se c = 0, então a equação representa o ponto (,) c) Se c < 0, então ela representa o conjunto vazio. Faça o gráfico para visualizar melhor. Eercícios: ) Determine a equação da circunferência ( reduzida e geral) em cada caso: a) C (,) e r = 6 b) C(-,-) e r = ) Sendo dado o ponto P(,) pertencente a circunferência e o centro C(,), determine a equação reduzida e geral da circunferência. ) Determine o centro e o raio da circunferência em cada caso: a) ² + y² - 4 8y + 9 = 0 b) ² + y² + 4 8y 8 = 0 c) ² - y² = 9 d) 4² + 4y² + 8 4y = 0 Respostas: ) a) (-)² + (y-)² = 6 e ² + y² - 6 6y 8 = 0

3 b) (+)² + (y+)² = 4 e ² + y² + + 6y + 6 = 0 ) (-)² + (y-)² = 8 e ² + y² - 6 6y + 0 = 0 ) a) C (,4) r = b) C(-,) e r = c) não é circunferência d) C(-, ½ ) r= ) A circunferência definida por três pontos ) Determine a equação da circunferência de centro C(,0) e que passa pelo ponto P(4,). Solução: Para obtermos o raio, basta usar a fórmula da distância: r = ( 4 ) + ( 0) r P r = 5 C A equação da circunferência fica então definida como ( ) ² + y² = 5. ) Vamos agora determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(,0) e N(4,-) e tem centro na reta s: y =. Solução: Como o centro equidista de todos os pontos na circunferência, temos que N s d(cm) = d(cn) M ( + = + c ) (0 y c ) (4 c ) ( y c ) Ficamos com 4 c 4 y c = 6 ou c y c = 4. Como C( c,y c ) pertence a s: y =, temos que y c = c. Substituindo esta equação na equação acima, vem: c = -4 e y c = - 8. Assim, o centro é C = ( -4, -8) e podemos obter o raio: r = ( + 4) + (0 + 8) = 0 A equação da circunferência é ( + 4 )² + ( y + 8 ) ² = 00 C ) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(, -), N(0,8) e P (0,0). Situação: N C P M

4 Eercícios: ) Encontre a equação da circunferência sabendo que os pontos A(4,-) e B(,0) pertencem a circunferência e cujo centro é o ponto médio de AB. ) Determine a equação de um circunferência de raio igual a, tangente aos eios coordenados e contida no º quadrante. ) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-,0) e B(,0) e tem raio igual a 0. 4) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,0), B(-9,) e D(9,-4) 4 Respostas: ) (-)² +(y+)² = ) (+)² + (y-)² = 9 ) ² + (y +)² = 0 ou ² + ( y-)² = 0 4) (-)²+(y-)²=00 4) Posições relativas: I ) Posição relativa entre ponto e circunferência: Dado um ponto P qualquer e um circunferência, podemos ter três casos: γ P P C C C γ γ P P γ P interior de γ P eterior de γ Eemplos: Verifique qual é a posição do ponto P dado em relação à circunferência de equação dada: a) P (5,-) e ² + y² - 6 y + 8 = 0 b) P (, -) e ² + y² - + 4y = 0 c) P (, -) e ² + y² - + 4y = 0 Conclusão: - Se d(cp) > r o ponto é eterior à circunferência - Se d (CP) = r o ponto pertence à circunferência - Se d(cp) < r o ponto é interior à circunferência. Ainda com relação a posição entre ponto e circunferência, podemos observar algumas inequações e gráficos.

5 5 Considere a equação da circunferência de centro (,) e raio. a) Se ( -)² + (y-)² <, teremos pontos dentro da circunferência. b) Se ( -)² + (y-)², teremos pontos dentro e sobre a circunferência. c) Se ( -)² + (y-)² =, teremos pontos sobre a circunferência. d) Se ( -)² + (y-)² >, teremos pontos fora da circunferência. e) Se ( -)² + (y-)², teremos pontos fora e sobre a circunferência.

6 6 Eercícios: ) Determine a posição de P em relação a γ nos casos: a) P (4,4) e γ : (-)² + (y-)² - 4 = 0 b) P (,) e γ : ² + y² -4 y + 4 = 0 c) P (5,) e γ: ² + y² - 8 = 0 ) Determine k para que o ponto P(,k) pertença ao interior da circunferência de equação ² + y² - 4 = 0. ) Determine k para que a equação ² + y² - + 4y + k = 0 represente uma circunferência. 4) Idem para ² + y² - 4 y + m = 0. 5) Faça o gráfico que represente as relações abaio: a) ² + y² < b) ² + y² > 4 c) ² + y² 4 6) Represente graficamente as soluções do sistema: + y 4 + y < Respostas: ) a) eterior b) pertence à circunferência c) interior ) < k < ) k < 5 4) m < 5/4 II ) Posição relativa entre reta e circunferência: Uma reta t e uma circunferência γ do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: Secante Tangente Eterior P t d Q d d C t C C P t d < r e t γ = { P, Q} d = r e t γ = { P} d > r e t γ =

7 7 Dada a equação de t, a + by + c = 0, o centro e o raio de γ, C ( c, y c ) e r, podemos estabelecer a posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta: d = a c + by a c + b + c Comparando d com r, temos: d < r t e γ são secantes d = r t e γ são tangentes d > r t e γ são eteriores Eemplos: ) Considere a reta t: + y 4 = 0 e a circunferência γ: ² + y² = 6 e verifique a posição relativa entre t e γ. Solução: º modo: centro e raio de γ: C ( 0, 0) e r = ( 4) 4 Distância entre C e t: d = = = + Como < 4, temos d < r e concluímos que t e γ são secantes. º modo: vamos resolver o sistema das equações de t e γ : + y 4 = 0 S = + y = 6 Teremos duas soluções: = 0 ou 4. Para = 0 teremos y = 4 enquanto que para = 4 termos y = 0. Logo, os pontos de intersecção são (4,0) e (0,4). Ou seja, há dois pontos de intersecção, logo a reta e a circunferência são secantes. III ) Posição relativa entre duas circunferências: Duas circunferências γ e γ do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: a) EXTERIORES b) TANGENTES EXTERNAMENTE

8 8 c) SECANTES d) UMA NO INTERIOR DA OUTRA e) TANGENTES INTERIORMENTE f) CONCÊNTRICAS Eemplo: ) Verifique a posição relativa das circunferências: γ = ( )² + ( y ) ² = 5 γ = ( )² + ( y )² = 0 Eercícios ) Determine a posição relativa entre a reta + y = 0 e a circunferência ² + y² - y = 0. ) Idem para + y = - e ² + y² - 4 y = 0. ) Idem para = y + e ² + y² - + y = 0 4) Determine o valor de m para que o ponto P (-,) pertença a circunferência ²+y²-+y + m = 0. 5) Quais os pontos de intersecção entre a reta +y+5=0 e a circunferência ² + y² - 4-0y - 5=0.

9 9 6) Calcule o comprimento da corda que a reta + y - = 0 determina na circunferência de equação (+)² + (y-)² = 0. 7) Quais são os valores de k para que a reta t, de equação 4 + y + k = 0 e a circunferência de equação ² + y² - + 6y + 9 = 0 sejam secantes? 8) Verifique a posição entre as circunferências: a) α: ( -)² + y² = β: ( -)² + (y-4)² = b) α: ( -)² + y² = β: ( -)² + y² = 4 c) α: ( -)² + (y-)² = 4 β: ² + y² = 5 d) α: ( -4)² + y² = 4 β: ( -)² + y² = 9) As circunferências de equações ² + y² + 4y = 0 e ² + y² - y = 0 cortam-se nos pontos A e B. Obtenha a equação da reta AB. Respostas: ) secantes ) tangentes ) secantes 4) m = - 5) 6) 7) k > -45 e k < 5 8) a) eteriores b) tangentes internamente c) interiores não concêntricas d) secantes 9) y = 0

10 0 ELIPSE Algumas aplicações das cônicas são: As órbitas dos planetas têm a forma de elipse; A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da epansão de gases em motores a eplosão; A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis, e de antenas parabólicas. Neste capítulo, vamos estudar a elipse. Uma maneira prática de desenhar a elipse é a seguinte: espetamos um alfinete em cada foco e amarramos neles as pontas de um pedaço de linha com comprimento a. Deslizando a ponta do lápis pela linha, de modo a mantê-la sempre bem esticada, faremos o desenho de uma elipse. ) Definição: A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano os quais a soma das distâncias a dois pontos fios desse plano, F e F é uma constante a (maior que a distância F F ). P F F Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: d(p,f ) + d(p,f ) = a ou PF + PF = a dá-se o nome de ELIPSE. Observação: a distância a é o tamanho do fio que se usou para construir a elipse.

11 ) Elementos da elipse: B a a b A F c c F A a a b B F e F são ditos FOCOS; d( F, F ) = distância focal; C = centro A, A, B e B = vértices A A = a ( eio maior) B B = b ( eio menor) a = semi eio maior b = semi eio menor Em toda a elipse vale a relação: a² = b² + c² Ecentricidade: e = a c ( 0 < e < ) ) Equação da Elipse de centro na origem do sistema: º CASO: o eio maior está sobre o eio dos. B P (,y) A F (-c,0) F (c,0) A b B a Usando a definição, temos: d(p,f ) + d(p,f ) = a ou, em coordenadas: ( + c) + y + ( c) + y = a

12 Isolando um dos radicais, temos: ( + c) + y = a + ( c) + e elevando ao quadrado, temos: ² + c + c² + y² = 4a² - 4 a y + y c + c + c + c + Isolando o radical e tornando a elevar ao quadrado ficamos com: 4a a + y + y c + c c + c = 4a = a c 4c Elevando novamente ao quadrado: a² [ ² - c + c² + y² ] = a 4 a²c + c²² a²² - a²c + a² c² + a²y² = a 4 a²c + c²² (a² - c²)² + a² y² = a² ( a² - c²) y Dividindo por a² ( a² - c²) fica y + a a c = Como já sabemos que a² = b² + c², podemos escrever a² - c² = b² Logo, substituindo esta relação teremos: a y + = que é a equação reduzida da elipse. b º CASO: o eio maior está sobre o eio dos y. b A a F (0,c) B 0 B F A (0,-c) Com um procedimento análogo ao º caso, obteremos a equação reduzida y + = b a

13 Observação: Tendo em vista que a² = b² + c², segue que a² > b² e daí a > b Então, sempre o maior dos elementos na equação reduzida representa o número a², onde a é a medida do semi-eio maior. Eemplos: ) Dadas as elipses a) b) as equações em cada caso são: - y y y y a) + = ou + = b) + = ou + = ) Determine a equação da elipse de centro na origem e eio maior horizontal sendo 0 cm e a distância focal 6 cm. Solução: Se o eio maior = 0, temos que a = 0 logo, a = 5. E se a distância focal = 6, temos que c = 6, logo, c = Assim, a equação fica: y + = com a= 5, c = e b =???? a b Como achar b? Da relação a² = b² + c² temos que b = 4 Logo, a equação da elipse fica 5 + y 4 = ou 5 + y 6 = ) Determine o eio maior, o eio menor, a distância focal, os focos, a ecentricidade e o gráfico da elipse de equação ² + 4y ² = 6.

14 4 4) Idem para a equação 9² + 5 y² = 5. 5) Idem para a equação 4² + y² = 6 6) Idem para a equação ² + y² - 9 = 0 7) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (,0) e a medida do eio maior é 8. Determine sua equação. A ecentricidade A ecentricidade de uma elipse de eio maior a e distância c é o número tal que e = a c. Imaginemos uma seqüência de elipses, todas com mesmo eio maior, porém com distância focais cada vez menores: a a a c c c F F F F F F e = a c c e = c e = a a Conforme os focos vão se aproimando, a ecentricidade da elipse vai diminuindo ( e > e > e ). Veja que quando a ecentricidade é menor, a elipse fica mais arredondada.(se e = 0, temos circunferência).

15 Como curiosidade, saiba que tanto a trajetória da Terra em torno do Sol, como a da Lua em torno da Terra, são elipses, porém muito próimas de circunferências, pois têm ecentricidade próimas de zero: a primeira tem ecentricidade e = 0,06, enquanto a segunda tem ecentricidade e = 0,054. 4) Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema: º CASO: o eio maior é paralelo ao eio dos. Considere a elipse de centro C ( c, y c ) e seja P (, y) um ponto qualquer da mesma. 5 P (,y) F F y c A A C c A equação de uma elipse de centro C (0,0) e eio maior sobre o eio dos dada por y + = a b passa agora, quando o eio maior for paralelo ao eio dos e o centro for C( c, y c ), para equação ( - a ) (y - y + b c c = ) º CASO: o eio maior é paralelos ao eio dos y. A F y c C F A c De forma análoga, temos: ( - b c ) (y - y + a c ) =

16 Eemplo: ) Determine a equação da elipse de centro C(,-) e tangente aos eios coordenados, sendo os eios de simetria paralelos aos eios e y. ) Determine o centro, os focos, o eio maior e o eio menor da elipse 4² + 9y² - 6 8y = 0. Eercícios: ) Dê a equação e a ecentricidade da elipse nos casos seguintes: a) O eio menor mede 8 e os focos são F (-6,0) e F (6,0). b) Um foco é F (0,4), o centro dela é C(0,0), ela passa em P(,0). c) O eio maior mede 4 e os focos são F (0,-5) e F (0,5). ) Determine o centro, os focos, o eio maior e o eio menor da elipse em cada caso: a) 5² + 6y² y = 0 b) 4² + 9y² y + 9 = 0 c) 6² + y² y + 5 = 0 d) 4² + 9y² - 8 6y + 4 = 0 ) Determine a equação da elipse em cada caso: a) eio maior = 0, focos (-4,0) e (4,0) b) centro ( 0,0), um foco em F =( ¾, 0) e um vértice em A = (,0) c) eio menor = 4, Centro (0,0) e um foco em F = (0, 5 ). d) Centro C(,4), um foco F(5,4) e ecentricidade ¾. e) Eio maior mede 0 e focos em F (,-) e F = (,5). 4) Determine o centro, os vértices A e A, os focos F e F, e a ecentricidade das elipses dadas: ( ) (y + ) y a) + = b) + = c) 9² + 5y² - 5 = 0 d) 9² + 5y² = 45 Respostas: y y ) a) + =, e 0,8 b) + =, e 0, y c) + =, e 0, ) a) C(-,-), F (-,) e F (-,-5), eio maior = 0, eio menor = 8 b) C(,-), F ( + 5, ) e F ( 5, ), eio maior = 6, eio menor = 4 c) C(-,), F (, + 5 ) e F (, 5 ), eio maior = 8, eio menor = d) C(,), F ( 5, ) e F ( + 5, ), eio maior = 6, eio menor = 4 ) a) 9² + 5y² = 5 b) 7² + 6y² = 7 c) 9² + 4y² - 6 = 0 d) 7² + 6y² - 8 8y + 7 = 0 e) 5² + 6y² y 6 = 0 4) a) C(,-), A (-,-), A (6, -), F( ± 7, -), e = 7 4 6

17 7 b) C(0,0), A(0, ± 0), F ( 0, ±8), e = 5 4 c) C(0,0), A (± 5, 0 ), F (± 4, 0), e = 5 4 d) C(0,0), A ( 0, ± ), F ( 0, ± ), e =

18 8 HIPÉRBOLE ) Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fios desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos F e F tal que a distância d (F, F ) = c. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: d (P, F ) - d (P, F ) = a ou PF - PF = a dá-se o nome de hipérbole. P F F Na verdade, d (P, F ) - d (P, F ) = a significa que d (P, F ) - d (P, F ) = ± a Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + a e, em caso contrário, será a. P P F A A F C P 4 P a c A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C. Se P é um ponto da hipérbole, eistem os pontos P, P e P 4 tais que: P é o simétrico de P em relação à reta horizontal, P é o simétrico de P em relação à reta vertical, P 4 é o simétrico de P em relação à origem. Ainda pela simetria, conclui-se que d (A, F ) = d (A, F )

19 9 e da própria definição vem d (A, A ) = a ) Elementos: B c b F A a A F B a c Focos: F e F Distância focal: c entre os focos Centro: ponto médio do segmento F F Vértices: A e A Eio real ou transverso: é o segmento A A de comprimento a Eio imaginário ou conjugado: é o segmento B B de comprimento b O valor de b é definido através da relação: c² = a² + b² onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo no desenho. Ecentricidade: e = a c com c > a e e >. ) Equação da hipérbole com centro C ( 0,0) na origem do sistema: º CASO: eio real sobre o eio dos : d (P, F ) - d (P, F ) = a ( - c) + (y 0) ( c) + (y 0) = a Com o mesmo procedimento da equação da elipse, chegamos a equação: a y = que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e b eio real sobre o eio dos. º CASO: eio real sobre o eio dos y:

20 0 y a = que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e b Eemplos: ) A hipérbole da figura a seguir tem equação reduzida... eio real sobre o eio dos y. - - y y = ou = 9 4 ) No eemplo anterior, determine os vértices A e A e os focos F e F. 9 ± Para encontrarmos os focos, precisamos encontrar a distância focal, ou seja, o valor de c. Como c² = a² + b², temos c² = = Assim, c = ± Basta fazermos y = 0, encontrando na equação = ou =. Logo, A (,0) e A (-,0). Logo, F (, 0) e F (-, 0). 4) Equação da hipérbole com centro C ( c, y c ) fora da origem do sistema: º CASO: eio real sobre o eio dos : ( - a c ) (y - y b c ) = º CASO: eio real sobre o eio dos y: (y - y a c ) ( - b c ) =

21 5) Hipérbole Equilátera: Os semi eios real e imaginário são iguais: Logo, a = b Eemplos: Em cada caso ( até 5), determine: - a equação reduzida; - a medida dos semi-eios; - um esboço do gráfico; - os vértices; - os focos; - a ecentricidade. ) 9² - 7y² - 6 = y 6 Solução: 9² - 7y² - 6 = 0 ou = = a² = 7 logo, a = 7 b² = 9 logo, b = Gráfico: 6 6 ou 7 y 9 Vértices: A (- 7,0) e A ( 7, 0) Focos: precisamos do valor de c: c² = a² + b² c = 4 Logo, os focos são F (-4,0) e F (4, 0) Ecentricidade: e = c/a = 4 / 7 ) ² - 4y² + 6 = 0 ) ² - y² = 4

22 4) 6² - 5y² = 0 5) ² - y² = Eercícios: 6) Determine a equação de uma hipérbole de Focos (-5, 0) e (5,0) e a medida do eio real é igual a 6. 7) Sendo dados os vértices A ( 5,5) e A (5, -), e a ecentricidade e =, determine a, b e c, grafique a hipérbole e determine sua equação. 8) Ídem ao eercícios 7, sendo dados os focos F (,4) e F (, -), e a ecentricidade e =. 9) Sendo F ( -,-5) e F (5, -5), determine a equação da hipérbole equilátera. Faça também um esboço do gráfico. 0) Determine a equação da hipérbole de vértices A (,-) e A (5, -), sabendo que F(6,-) é um de seus focos. ) Determine o centro, um esboço do gráfico, os vértices, os focos e a ecentricidade das hipérboles de equação: a) 9² - 4y² - 8 6y 4 = 0 b) 9² - 4y² y + = 0 c) 4² - y² - + 4y + 4 = 0 d) ² - 4y² y = 0 Respostas: y 9 6 7) a=, b= e c = 6, (y - ) ( - 5) = 9 7 6) = 8) 4² - y² y + 5 = 0 9) ² - y² - 8 0y 5 = 0 0) 5² - 4y² - 0-6y + 9 = 0 ) a)c(,-), A (-,-), A (, -), F ( ±, -), e = b) C(,), A (,-), A (, 4), F (, ± ), e = c) C(4,), A (,), A (7, ), F ( 4 ± 5, ), e = 5 d) C(-,), A (-5,), A (-,), F ( ± 5, ), e = 5

23 PARÁBOLA: Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de F e d. d F F = = P = = V A P Elementos: F = ponto fio ( FOCO) d = diretriz ( reta) eio: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eio. Por definição, temos que d(pf) = d(pp ) ) Equação da Parábola de Vértice na origem do sistema: º CASO: O eio da parábola é o eio dos y: p p F P P d Da definição de parábola, temos que: d(pf) = d(pp ) Como, F ( 0, p ) e P (, - p ) temos: ( - 0, y - p ) = ( -, y + p )

24 4 ou p ) ( ) (y ( 0) + (y = + + p Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos: ( - 0)² + ( y - p )² = ( ) ² + ( y + p )². ou ) ² + y² - py + p = y² + py + p 4 4 ou, simplesmente: ² = py Esta equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem tendo para eio o eio dos y. Da análise desta equação conclui-se que, tendo em vista ser py sempre positivo (pois é igual a ²>0), os sinais de p e de y são sempre iguais. Consequentemente, se p > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e, se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para baio. Este número real p 0 é conhecido como parâmetro da parábola. º CASO: O eio da parábola é o eio dos : y P P(,y) A V F( p p p, 0) Sendo P(,y) um ponto qualquer da parábola de foco F( equação reduzida: d p,0), obteremos de forma análoga ao º caso a y² = p

25 5 Conforme o sinal de p termos: se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita e, se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. Eemplos: ) Determine o foco e a equação da diretriz das parábolas ² = 8y e y² = -. Construir o gráfico: Solução: a) ² = 8y A equação é da forma ² = py, logo: p = 8 p = 4 Portanto, foco : F ( 0, ) Diretriz = y = - F y p = diretriz b) y² = - A equação é da forma y² = p, logo: p = - p = - p = - Portanto, foco: F = (-, 0) d: = ½ diretriz: = - F - ) Determine a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: a) vértice ( 0,0) e foco (,0) ; b) vértice ( 0,0) e diretriz y = ; c) vértice (0,0), passa pelo ponto P (-,5) e concavidade voltada para cima. d) Vértice ( 0,0) e foco ( 0, -) ; e) Foco (,0) e diretriz + = 0.

26 ) Translação de eios: Consideremos no plano cartesiano Oy um ponto O (h,k) arbitrário. Usando um novo sistema O y tal que os eios O e O y tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eios O e Oy. Assim, podemos obter este novo sistema pela translação de eios. y y 6 y O y k P h Podemos observar que = + h e y = y + k Logo, teremos: = h e y = y k Estas são as fórmulas de translação. A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações. Por eemplo, seja a parábola de equação ² = 4y no novo sistema. Se tivermos h = e k =, isto é, O (,) e sabendo que = h e y = y k, temos = e y = y Logo, a equação da parábola em relação ao sistema Oy é: (-)² = 4 (y-) ou ² = 4y 8 ou ² - 6 4y + 7 = 0 Gráfico:

27 7 4) Equação da Parábola de Vértice fora da origem do sistema: º CASO: O eio da parábola é o eio dos y: y y y y P O = V k h Seja P(,y) um ponto qualquer desta parábola. Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema O y é: ² = py mas = h e y = y k, logo: ( h )² = p ( y k ) que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eio paralelo ao eio dos y. º CASO: O eio da parábola é o eio dos : De modo análogo ao caso anterior, teremos: ( y k )² = p ( h ) Observamos que se V(h,k) = (0,0) voltamos a ter o caso inicial de vértice na origem. Eemplos: ) Determine a equação da parábola de vértice V(,-) sabendo que y-=0 é a equação de sua diretriz. Solução: Vejamos o gráfico para facilitar y y = diretriz p - V

28 8 A equação da parábola é da forma : ( -h)² = p(y-k) Mas h= k= - e p/ = -, p = -4 substituindo na equação, vem: (-)² =. (-4) ( y+) ou ² = -8y 8 ou melhor: ² y + 7 = 0 ) Determine a equação da parábola de vértice V(4,) e equação de diretriz + 4 = 0 ) Determine a equação da parábola de foco em F(,), sendo =5 a equação da diretriz: 4) Determine o vértice, o foco, a equação da reta diretriz e o gráfico de cada uma das parábolas: a) ² y + = 0 b) y² - = 0 c) y² + y 6 = 0 d) ² - 0y 9 = 0

29 9 5) Equação da parábola na forma eplícita: Sabemos que a equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eio paralelo ao eio dos y tem a forma padrão : (-h)² = p(y-k) Por eemplo, para V(,-) e p = /8, teríamos: (-)² = ¼ (y+) Como o objetivo é escrever a forma eplícita, vamos eplicitar y na equação: ² = ¼ y + ¼ ou 4² = y + de onde vem: y = 4² que é a forma eplícita mais conhecida por nós, ou seja, está na forma: y = a² + b + c. Reciprocamente, dada uma equação na forma eplícita, podemos sempre conduzi-la à forma padrão. Assim, se a equação é : y= 4² temos: 4² - 6 = y 5 4 ( ² - 4 ) = y 5 Completando quadrados: 4 ( ² ) = y (-)² = y + ( )² = ¼ (y+) Logo, o vértice é V (, -) e p = ¼ portanto p = /8. OBS.: Se a parábola tem eio paralelo ao eio dos, sua equação na forma eplícita é = ay² + by + c, correspondente a forma padrão ( y k )² = p( - h) Eemplos: ) Determine a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0,), (,0) e (,0) conforme a figura:

30 Eercícios: ) Em cada caso estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que: a) vértice V(0,0) e diretriz d: y = - b) vértice V(0,0) e foco F(0,-) c) foco F(0,-) e diretriz d: y = 0 d) vértice V(-,) e foco F(-,) e) vértice V(0,0), eio y = 0 e passa por (4,5). f) Foco F(6,4) e diretriz y = - g) Eio de simetria paralelo ao eio dos y e a parábola, passa pelos pontos A(0,0), B(,) e C (,). 0 ) Em cada caso, determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eio da parábola de equação dada. Esboce o gráfico: a) ² = - y b) y² = - c) y² + 4y = 0 d) 6y = ² e) y² y + 49 = 0 Respostas: ) a) ² = 8y b) ² = - y c) ² = - 4y d) ² y 0 = 0 e) 5² - 6y = 0 f) (-6)² = (y-) + 4 g) y = ) a) V(0,0), F(0,-), y = e =0 b) V(0,0), F(- ¾, 0), = ¾ e y =0 c) V(,-), F(-,-), =7 e y =- d) V(4, -/ ), F(4, 7/6), 6y + = 0 e -4= e) V(,-6), F(,-6), = e y =

31 Aplique seus conhecimentos e descubra as equações das cônicas e retas das embalagens representadas em seu corte transversal longitudinal:

32 Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS Relembrando vetores e suas operações ( Geometria Analítica): Sejam u r = (, y, z ) e v r = (, y, z ) vetores no R³ e α número real, então: a) u r = v r se =, y = y e z = z ; b) u r + v r = ( +, y + y, z + z ); c) αu r = (α, αy, αz ); d) u r v r =. + y. y + z. z ; e) u r = u r. u r = f) proj v u r r r u v = r v + + y z. Propriedades de vetores: ) (u r + v r ) + w r = u r + ( v r + w r ) (Propr. Associativa da Adição) ) u r + v r = v r + u r ( Propr. Comutativa da Adição) ) u r + 0 = 0 + u r = u r ( elemento neutro da Adição) 4) u r + (-u r ) = 0 ( elemento oposto da Adição) 5) (αβ) u r = α (βu r ) ( Propr. Associativa da Multiplicação) 6) (α+β) u r = α u r + βu r ( Propr. Distributiva da Mult.) 7) α (u r + v r ) = α u r + αv r ( Propr. Distributiva da Mult.) 8). u r = u r ( Elemento neutro da Mult. ). Definição: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é: u r, v r V, temos u r + v r V α R, u r V, temos αu r V O conjunto V com essas duas operações é chamado ESPAÇO VETORIAL REAL se forem verificados os seguintes aiomas: A (u r + v r ) + w r = u r + (v r + w r ) u r, v r, w r V A u r + v r = v r +u r u r, v r V A 0 V, u r V, u r + 0 = 0 + u r = u r A 4 u r V, (-u r ) V, u r + (-u r ) = 0 M (αβ) u r = α (βu r ) M (α+β) u r = α u r + βu r M α (u r + v r ) = α u r + αv r α, β R e u r V α, β R e u r V α R e u r, v r V

33 M 4. u r = u r u r V Obs.: Os elementos do Espaço Vetorial V serão chamados vetores, independentes de sua natureza. Eemplo: ) O conjunto V = R² = { (, y) /, y R } é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (, y ) + (, y ) = ( +, y + y ) α (, y ) = ( α, αy ) Demonstração: Sejam u r = (, y ), v r = (, y ) e w r = (, y ) A ) (u r + v r ) + w r = [(, y ) + (, y ) ] + (, y ) = [( +, y + y ) ] + (, y ) = ( + +, y + y + y ) = [ + ( + ), y + (y + y )] = (, y ) + [ ( +, y + y )] = u r + (v r + w r ) A ) u r + v r = (, y ) + (, y ) = ( +, y + y ) = ( +, y + y ) = (, y ) + (, y ) = v r + u r A ) 0 = (0,0) u r + 0 = (, y ) + (0,0) = (, y ) = u r A 4 ) u r V, (-u r ) V u r + (-u r ) = (, y ) + ( -, -y ) = ( -, y - y ) = (0,0) = 0 M ) (αβ) u r = (α β) (, y ) = (αβ, αβy ) = (α (β ), α (βy )) = α ( β, βy ) = α[β (,y )] = α (βu r ) M ) (α+β) u r = (α+β) (, y ) = ((α+β), (α+β) y ) = (α + β, αy + βy ) = ( α, αy ) + (β, βy ) = α (, y ) + β (, y ) = αu r + βu r M ) α (u r + v r ) = α ((, y ) + (, y )) = α ( +, y + y ) =( α + α, αy + αy ) = (α, α y ) + ( α, α y )) = α u r + αv r M 4 ). u r =.(, y ) = (, y ) = u r Outros eemplos de Espaços Vetoriais: ) R³ ) R n 4) M (m,n) de matrizes

34 5) P n = { a 0 + a + a a n n } dos polinômios de grau n 6) O conjunto V = { (, ²) / R } com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (, ) (, ) = ( +, ² + ² ) α * (, ² ) = ( α, α² ) Eercícios: ) Verifique se o conjunto R² = {(a, b) / a,b R} com as operações ( a,b) + ( c,d) = (a+c, b+d) e k ( a,b) = (ka, b) é um espaço vetorial, mostrando os aiomas. 4 a b ) Verifique se o conjunto M = c d por escalar é um Espaço Vetorial. e as operações usuais de soma e multiplicação ) Verifique se o conjunto V = { (, ²) / R } com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (, ) (, ) = ( +, ² + ² ) α * (, ² ) = ( α, α² ) é um espaço vetorial.. Subespaços Vetoriais Seja V um Espaço Vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um Subespaço Vetorial de V se S é um Espaço Vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V. Teorema: Um subconjunto S, não vazio de um espaço vetorial de V é um subespaço de V se estiverem satisfeitas as condições: i) para qualquer u r, v r S, tem-se que u r + v r S ; ii) para qualquer α R, u r S tem-se que αu r S. Obs.: todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou nulo, e o próprio espaço vetorial V. Estes dois são os subespaços triviais. Os demais subespaços são denominados próprios. Eemplos: ) Sejam V = R² e S = {(,y) R² / y = } ou S = {(, ) / R}, isto é, S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que S é subespaço de V.

35 5 Solução: Verificando as condições i e ii acima: Sejam u r = (, ) e v r = (, ). Então i) u r + v r = (, ) + (, ) = ( +, + ) = ( +, ( + )) S. ii) αu r = α (, ) = (α, (α )) S Logo, S é subespaço de V. ) Sejam V = M = é subespaço de V. a c b, d a, b, c, d R e S = a 0 b, 0 a, b R. Verifique se S Solução: Para qualquer r a u = 0 b r a b 0 S e v = 0 0 S e α R, tem-se que: i) u r + v r S pois: ii) αu r S pois: ) Verifique se S é subespaço de V em cada caso: a) V = R 4 e S = {(, y, z, 0 ),, y, z R } b) V = R² e S = {(, y) / > 0} c) V = R² e S = { (, ), R } d) V = R² e S = {(,y) R² / y = -} e) V = R² e S = {(,y) R² / y = 4- } f) V = R² e S = {(,y) R² / + y = 0 }

36 6 4. Combinação Linear: Sejam os vetores v r, v r,..., v r n do espaço vetorial V e os escalares a, a,..., a n. Quaisquer vetores v r V da forma : v r = a v r + a v r a n v r n é uma combinação linear dos vetores v r, v r,..., v r n. Eemplos: ) Considere os vetores no R³ : v r = (, -, ) e v r = (, 4, -). a) Escreva v r = ( -4, -8, 7) como combinação linear de v r e v r. Sol.: v r = a v r + a v r a n v r n ( -4, -8, 7) = a (, -, ) + a (, 4, -) a + a = 4 a + 4a = 8 a a = 7 Resolvendo o sistema, temos: a = e a = -. Logo, v r = v r v r. b) Mostre que o vetor v r = ( 4,, -6) não é combinação linear de v r e v r. Sol.: v r = a v r + a v r a n v r n ( 4,, -6) = a (, -, ) + a (, 4, -) a + a = 4 a + 4a = a a = -6 Resolvendo o sistema, não conseguimos encontrar uma solução que valha para as três equações. Logo, não tem solução, ou seja, não é possível escrever v r como combinação linear de v r e v r. c) determine k para que o vetor v r = ( -, k, -7) seja combinação linear de v r e v r. v r = a v r + a v r a n v r n ( -, k, -7) = a (, -, ) + a (, 4, -)

37 a + a = a + 4a = k a a = -7 Resolvendo o sistema, encontramos a = -, a =, e portanto k =. ) No Espaço Vetorial P dos polinômios de grau, verifique se o polinômio v r = 7² + 6 é uma combinação linear dos polinômios v r = 5² - + e v r =-² Sol.: De fato, v r = a v r + a v r a n v r n 7² + 6 = a (5² - +) + a ( -² +5 8 ) 5a a = 7 a + 5a = a 8a = -6 Resolvendo o sistema, encontramos a = e a =4, portanto v r = v r + 4 v r 7 ) Mostre que o vetor v r = (, 4 ) R² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear de v r = (,0), v r = ( 0,) e v r = (,-). 5. Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = { v r, v r,..., v r n } V, A 0. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. De fato, se u r = a v r + a v r a n v r n e v r = b v r + b v r b n v r n são dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever u r + v r = ( a + b )v r + (a + b )v r (a n + b n )v r n α u r = (αa )v r + (αa )v r (α a n )v r n Tendo em vista que u r + v r S e que α u r S, por serem combinações de v r, v r,..., v r n, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V. Simbolicamente, o subespaço S é S = { v r V / v r = a v r + a v r a n v r n, a, a,..., a n R } Observações:

38 ) O subespaço S diz-se GERADO pelos vetores v r, v r,..., v r n ou gerado pelo conjunto A, e se representa por: S = [v r, v r,..., v r n ] ou S = G(A) 8 Os vetores v r, v r,..., v r n conjunto gerador de S. são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o ) Para o caso particular A =, defini-se [ ] = {0} ) A G(A) ou seja, { v r, v r,..., v r n } [v r, v r,..., v r n ]. 4) Todo conjunto A V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse caso, A é o conjunto gerador de V. Eemplos: r ) Os vetores i = (,0) r e j = (0,) R² é combinação linear de i r e j r. geram o espaço vetorial R², pois qualquer vetor (,y) Demonstração: (,y) = i r + y j r = (,0) + y ( 0,) = (,0) + ( 0, y) = (, y). Então: [ i r, j r ] = R². r ) Os vetores i = (,0,0) Demonstração: r e j = (0,,0) do R³ geram o subespaço S={ (,y,0) R³ /,y R}. (,y,0) = i r + y j r = (,0, 0) + y ( 0,,0) = (,0,0 ) + ( 0, y, 0 ) = (, y, 0) Assim, [ i r, j r ] = S é um subespaço próprio do R³ e representa geometricamente o plano Oy. z r i k r j r y

39 9 Eercícios: ) Mostre que o conjunto A = { (,), (5,) } gera o R². ) Seja V = R³. Determine o subespaço gerado pelo vetor v r = (,, ). ) Considere os vetores u r = (,,-) e v r = ( 6, 4, ) em R³. Mostre que w = ( 9,, 7 ) é combinação linear de u r e v r e que s = ( 4, -, 8) não é combinação linear de u r e v r. 4) Verifique se v r = (,, ), v r = (, 0, ) e v r = (,, ) geram o espaço vetorial R³. 5) Idem para v r = (, -, ), v r = ( 4,, ) e v r = (8, -, 8). 6) Idem para v r = (,, ), v r = ( 0, 0, ) e v r = (0,, ).

40 40 7) Determine se os seguintes polinômios geram P : p = + ² p = + p = 5 + 4² p 4 = - + ² 8) Seja M o espaço vetorial das matrizes de ordem. Encontre quatro matrizes que geram M. 9) Sejam v r = (,, 0, ), v r = (, -, 5, ) e v r = (-, 0,, ). Quais dos seguintes vetores podem ser gerados por [v r,v r, v r ]. a) (,, -7, ) b) ( 0, 0, 0, 0 ) c) (,,, ) d) ( -4, 6, -, 4) 6. Dependência e Independência Linear Definição: Sejam V um espaço vetorial e A = { v r,v r,..., v r n } V. Consideremos a equação a v r + a v r a n v r n = 0 Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: a = 0, a = 0,..., a n = 0, chamada solução trivial. O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) ou os vetores v r,v r,..., v r n são LI caso a equação admita apenas a solução trivial. Se eistirem soluções a i 0, diz- se que o conjunto A é linearmente dependente ( LD) ou que os vetores v r,v r,..., v r n são LD.

41 4 Eemplos: ) Verifique se são LI ou LD os conjuntos abaio: a) no espaço V = R³ e os vetores v r = (, -, ), v r = ( -, 0, -) e v r = (, -, ). b) no espaço V = R 4 e os vetores v r = (,,, 4 ), v r = ( 0, 5, -, ) e v r = (0, 0, 4, -). c) no espaço V = R³ e os vetores e = (, 0, 0 ), e = ( 0,, 0 ) e e = (0, 0, ). d) no espaço V = M e o conjunto A =, -, 0-4. Teorema: Um conjunto A = {v r,v r,..., v r n } é LD se e somente se pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros. Obs.: ) O teorema também pode ser enunciado como: Um conjunto A = {v r,v r,..., v r n } é LI se e somente se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros. ) Dois vetores v r e v r são LD se e somente se um vetor é múltiplo escalar do outro. E.: v r = (, -, ) e v r = (, -4, 6) são LD.

42 4 v r = (, -, ) e v r = (,, 5) são LI. Interpretação geométrica: v r v r v r v r {v r,v r } são LD. {v r,v r } são LI. Obs.: quando tivermos espaço vetorial V = R³ devemos usar a idéia de coplanaridade vista em Geometria Analítica ou Álgebra Analítica e Linear I. Para tanto, cabe lembrar que três vetores estão no mesmo plano ( são coplanares) se o produto misto entre eles for igual a zero. Se isto ocorrer, os vetores são LD. 7. Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = { v, v,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: - B é LI; - B gera V. E.: ) Seja B = { (,), ( -, 0)}. Verifique se B é base do R². Solução: B é LI, pois a (,) + a ( -,0) = (0,0) somente se a = 0 e a = 0. B gera R² pois (, y) = a (,) + a ( -,0). Teremos a = y e a = y. Logo, (, y ) = y (,) + (y-) ( -,0) e portanto, B gera R². Logo, B é base do R². ) O conjunto B = { (,0), ( 0,)} é uma base do R² pois B é LI e gera R². B é conhecida como BASE CANÔNICA DO R².

43 4 ) O conjunto B = 0 0, 0 0 0, 0 0 0, é dita base canônica de M. 4) O conjunto B = {,, ², ³,..., n } é uma base do espaço vetorial dos polinômios P n. 5) O conjunto B = { (,), (, 4)} não é uma base do R² pois B é LD. 6) O conjunto B = { (,0), ( 0, ), (,4) } não é uma base do R² pois B é LD. 7) O conjunto B = { (, -)} não é uma base do R² pois B é LI mas não gera R². 8) O conjunto B = { (,, ), (-, -, 0)} não é uma base do R³ pois B é LI mas não gera R³. Teorema: Se B = { v, v,..., v n } for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais de n vetores será linearmente dependente. Corolário: Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem o mesmo número de vetores. E.: ) A base canônica do R³ tem três vetores. Logo, qualquer outra base do R³ também terá três vetores. ) A base canônica das matrizes M tem nove vetores. Logo, toda base de M terá 9 vetores. 8. Dimensão Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e escrevemos dim V = n E.: ) dim R² = ) dim R³ = ) dim M = 4 4) dim M mn = m n 5) dim P n = n+ 6) dim {0} = 0 Obs.: ) Se dim S = 0, então S = {0} é a origem. ) Se dim S =, então S é uma reta que passa pela origem. ) Se dim S =, então S é um plano que passa pela origem. 4) Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V.

44 44 E.: B = { (,),(-,)} é uma base do R² pois dim B = e os vetores são LI. Eercícios: ) Eplique porque os seguintes conjuntos de vetores não são base dos espaços indicados: a) u= (, ) v = ( 0,) e w = (, 7 ) em R² b) u = ( -,, ) v = ( 6,,,) em R³ c) p = + + ² p = em P d) A = B = C = - 4 D = 7 E = 4 em M 9 ) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base de R²? a) (, ) e (, 0) b) ( 4, ) e (, ) c) ( 0,0 ) e (, ) d) (,9 ) e (-4, -) ) Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de M : , - 6, - 0,

45 45 Eercícios Espaços Vetoriais ) Epresse os seguintes vetores como combinações lineares de u = (,, 4 ), v =(, -, ) e w = (,, 5): a) ( -9, -7, -5) b) ( 6,, 6 ) c) ( 0, 0, 0) ) Epresse os seguintes polinômios como combinações lineares de p = ², p = + ² e p = + + 5² : a) 9 7 5² b) 0 c) ² ) Verifique se são LI ou LD os seguintes conjuntos: 6 a), M 4 9 b) { (, -), (, ) } R². c) { ( -, -, 0, ), (, -, 0, 0), (, 0, 0, 0) } R 4. d) { + ², + ², 4 + 7² } P. 4) Determine o valor de k para que o conjunto { (, 0, -), (,, 0), ( k,, -) } seja LI. 5) Suponha que v, v e v são vetores em R³ com pontos iniciais na origem. Em cada caso, determine se os três vetores estão num mesmo plano, ou seja, se isto ocorrer, eles são LD. Faça o desenho no plano cartesiano. a) v = (, -, 0), v = ( 6,, 4 ) e v = (, 0, -4) b) v = ( -6, 7, ), v = (,, 4 ) e v = ( 4, -, ) 6) Para quais valores reais de k os vetores v = ( k, - ½, - ½ ), v = ( -½, k, -½ ) e v = (-½, -½, k) formam um conjunto linearmente dependente em R³? Respostas: ) a) u + v w b) 4u 5v + w c) 0u + 0v + 0w ) a) p + p p b) 0p + 0p + 0p c ) 0p - p + p ) a) LD b) LI c) LI d) LD 4) k 5) a) não b) sim 6) k = ½ e k =

46 46 Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES. Introdução Neste momento veremos um tipo especial de função ( ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, razão pala qual essas funções são chamadas vetoriais. Vamos usar funções vetoriais lineares, que serão denominadas Transformações Lineares. T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, e escrevemos: T: V W E.: T: R R² T: R² R³ Sendo T uma função, cada vetor v V tem um só vetor imagem w W, que será indicado por w = T(v). E.: Seja T : R² R³ que associa vetores v =(, y) R² com vetores w =(,y,z ) R³. T(,y) = (, -y, y ) Se quisermos calcular T (,), basta usar = e y = na transformação, assim: T(,) = ( 6, -, ) Ou em outros casos, podemos ver a correspondência entre v e T(v): (,) (6,-, ) (-,) (-,-6,-4) (0,0) (0,0,0) v T(v) Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V W é chamada Transformação Linear de V em W se: i) T ( u + v ) = T (u) + T (v) ii) T ( αu) = α T (u) Obs: uma transformação linear de V em V é chamada Operador Linear sobre V.

47 Eemplos: ) Seja T: R² R³ tal que T (, y ) = (, -y, y ). Verifique se T é transformação linear. 47 ) Seja T: R R tal que T ( ) = ( ). Verifique se T é transformação linear. ) Seja T: R R tal que T ( ) = ( + ). Verifique se T é transformação linear. 4) Seja T: R³ R² tal que T (, y, z ) = ( +, y - z ). Verifique se T é transformação linear. 5) Seja a matriz A =. Essa matriz determina a transformação T: R² R³ tal que v 0 4 Av ou T(v) = Av. Verifique se T(v) é linear e encontre a matriz Av da transformação linear.

48 48 Solução: T( u + v ) = A ( u + v ) = Au + Av = T ( u) + T (v) T ( α u) = A (αu) = α Au = α T(u) Logo, T(v) é transformação linear. Efetuando Av, onde v = (, y ) R² é um vetor coluna de ordem, resulta: 0 4. = y + y + y 4y portanto T é definida por T(,y) = ( +y, -+y, 4y) Obs.: uma matriz A mn sempre determina uma transformação linear. Eercícios: ) Verifique quais transformações são lineares. Justifique: a) T : R² R³, T(,y) = ( - y, + y, 0) b) T : R² R², T(,y) = ( +, y + ) c) T : R² R, T(,y) = d) T : V V, H(v) = λ v, λ R, λ fio. Propriedade: Se T: V W for uma transformação linear e se v = a v + a v então temos: T (a v + a v ) = a T ( v ) + a T ( v ) Eemplos: ) Seja T: R³ R² uma transformação linear e B = { v, v, v ) uma base do R³, sendo v = ( 0,, 0), v = (, 0, ) e v = (,, 0). Determine T ( 5,, -) sabendo que T( v ) = (, -), T( v ) = (, ) e T(v ) = ( 0, ). Solução : Epressamos v = ( 5,, -) como combinação linear de v, v, v. Logo:

49 49 v = a v + a v + a v (5,, -) = a (0,, 0) + a (, 0, ) + a (,, 0) Encontramos então : a = a = a = Agora, usamos a propriedade da T.L. T(5,, -) = a T(0,, 0) + a T(, 0, ) + a T(,, 0) Assim, conseguimos, mesmo sem sabermos a lei da T.L., encontrar T(5,, -). ) Considere T: R³ R³ uma transformação linear definida por T(, y, z) = ( +y+z, + y z, - + y + 4z). Determine: a) u R³ tal que T (u) = ( -, 8, -) b) v R³ tal que T(v) = v ) Sabendo que T: R² R³ é uma transformação linear e que T(, -) = (,, -) e T (-,) = (, -, ), determine T(, y ).

50 4) Sabendo que T: R² R² é uma transformação linear e que T (, 0) = (, -) e T(0, ) = (, 4), determine T(, y ). 50 Eercícios: ) Consideremos a transformação linear T : R² R² definida por T(,y) = (-y, + 4y). Utilize os vetores u = (,) e v = (,-) para mostrar que T (u+4v) = T(u) + 4 T(v). ) Dada a transformação linear T : V W, tal que T(u) = u e T(v) = u v, calcule em função de u e v : a) T ( u + v ) = b) T ( v) = c) T ( 4u 5v) = ) Dentre as transformações T : R² R² definidas pelas seguintes leis, verifique quais são lineares: a) T(,y) = ( -y, +5y) b) T(,y) = ( ², y² ) c) T(,y) = ( +, y) d) T(,y) = ( y, ) e) T(,y) = ( y, -y) 4) Dentre as seguintes transformações, verifique quais são lineares: a) T: R² R³ ; T(,y) = ( y, y) b) T: R² R² ; T(,y) = (, y) c) T: R² M ; T(,y) = y y + y 5) a) Determine a transformação linear T: R² R³ tal que T(-,) = (,, ) e T(0,) = (,,0). b) Encontre v R² tal que T(v) = ( -,, -).

51 5 6) a) Determine a transformação linear T : R³ R² tal que T(, -, 0) = (, ), T( 0,, ) = (,) e T(0,0,) = (,). b) Ache T(,0,0) e T( 0,,0). 7) Seja T um transformador linear no R³ tal que T(,0,0) = ( 0,,0), T( 0,,0) = ( 0, 0,-) e T(0,0,) = ( -, 0,). Determine T(, y, z) e o vetor v R³ tal que T(v) = ( 5, 4, -9). Respostas: ) a) 4u v b) u v c) 7u + 5v ) São lineares a, d 4) São lineares: a, c 5) a) T(,y) = (-+y, - + y, -) b) v = (,4) 6) a) T(,y,z) = ( -y+z, -y+z) b) T(,0,0) = ( 0,0) e T(0,,0) = ( -,-) 7) T(,y,z) = (-z,, -y + z) v = (, -, -5). Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear: Núcleo: Chama-se núcleo de um Transformação Linear T : V W ao conjunto de todos os vetores v V que são transformados em 0 W. Indica-se por N(T) ou Ker (T). Imagem: Chama-se imagem de uma transformação linear T : V W ao conjunto de todos os vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v V. Indica-se esse conjunto por Im(T) ou T(v).. Transformações Lineares : Funções de R n em R Lembre que uma função é uma regra f que associa a cada elemento de um conjunto A um, e eatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa o elemento b ao elemento a então escrevemos b = f(a) e dizemos que b é a imagem de a por f ou que f(a) é o valor de f em a. O conjunto A é chamado domínio de f e o conjunto B é chamado o contradomínio de f. A imagem de f é o subconjunto de B consistindo de todos os possíveis valores de f à medida que a percorre A. Para funções mais elementares, A e B são conjuntos de números reais e então dizemos que f é uma função real de uma variável real. Outras funções comuns ocorrem quando B é um conjunto de números reais e A é um conjunto de vetores em R² ou R³ ou, mais geralmente, em R n. Alguns eemplos são dados na tabela abaio:

52 5 Fórmula Eemplo Classificação Descrição f() f() = ² Função real de uma Função de R em R variável real f(, y ) f(, y ) = ² + y² Função real de Função de R² em R duas variáveis reais f(, y, z ) f(,y,z) = ² + y² + z² Função real de três Função de R³ em R variáveis reais No caso especial em que as equações são lineares, a transformação é dita linear. Assim uma transformação linear T : R n R m é definida por equações da forma: w = a + a + a a n n w = a + a + a a n n w = a + a + a a n n... w m = a m + a m + a m a mn n ou então em notação matricial: w w w... w n = a a a... a m a a a a m a a a a m a a a n n n a mn.... n ou bem mais simples: w = A ou [ T ] = A Obs.: A matriz A = [ a ij ] é chamada matriz canônica da transformação linear T e a transformação T é chamada multiplicação por A. Eemplos: ) Uma transformação do R² em R³: - as equações w = + w = + w = - + definem uma transformação T: R² R³. A imagem do ponto (, ) por esta transformação é o ponto T (, ) = ( +, +, - + ). Assim, por eemplo,. T (,-) =

53 5 E a matriz canônica desta transformação é : A = ) Uma transformação linear do R 4 em R³ definida pelas equações w = w = w = pode ser escrita na forma matricial como = w w w de modo que a matriz canônica de T é: A = A imagem do ponto (,,, 4 ) pode ser calculada diretamente das equações definidoras ou da matriz por multiplicação matricial. Por eemplo: se o ponto for (, -, 0, ), e substituirmos nas equações inicias, teremos w =, w = e w = 8 Ou então, de forma alternativa, usando a forma matricial teremos: = = w w w Eercícios: ) Encontre a matriz canônica da transformação linear T: R³ R³ dada por w = + 5 w = w = + e em seguida calcule T(-,, 4) por substituição direta nas equações e também por multiplicação matricial. ) Encontre a matriz canônica do operador linear T definido pela fórmula: a) T (, y ) = ( y, + y)

54 54 b) T (, y) = (, y) c) T (, y, z) = ( + y + z, + 5y, z) d) T (, y, z) = ( 4, 7y, -8z) e) T(,y) = ( y,, + y, y) f) T (, y, z, t) = ( 7 + y z + t, y + z, -) ) Em cada parte é dada a matriz canônica [ T ] de uma transformação linear T. Use a matriz para obter T (). Epresse as respostas em forma matricial. a) [ T ] = 4 ; = - b) [ T ] = ; = - c) [ T ] = ; = d) [ T ] = ; = Respostas: ) ; T(-,, 4) = (, -, -) ) a) - b) 0 0 c) d) e) f) ) a) - b) c) d)

55 55 4. A geometria das Transformações Lineares: Dependendo de como encaramos uma n-upla, se como um ponto ou um vetor, o efeito geométrico de um operador T : R n R n é o de transformar cada ponto ( ou vetor) de R n em algum novo ponto ( ou vetor). T() T() T leva pontos em pontos T leva vetores em vetores O operador identidade: Se I é a matriz identidade n n, então, para cada vetor em R n temos T I () = I = de modo que a multiplicação por I leva cada vetor em R n em si mesmo. Nós chamamos esta transformação em operador identidade de R n. Entre os operadores lineares mais importantes de R² e R³ estão os que produzem refleões, projeções e rotações. Vejamos estes operadores: a) REFLEXÕES: Considere o operador T: R² R² que aplicada cada vetor na sua imagem simétrica em relação ao eio y. y ( -, y) (, y) - Se escrevermos w = T(), então as equações relacionando os componentes de e de w são :

56 56 w = - = - + 0y w = y = 0 + y Ou em formato matricial: w w = 0 0. = y - y Como as equações são lineares, T é um operador linear e a matriz canônica de T é 0 [ T ] = 0 Em geral, os operadores em R² e R³ que levam cada vetor em seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de refleões. Estes operadores são lineares. As Tabelas e a seguir listam algumas das refleões mais comuns. Tabela : ) a refleão em relação a origem possui matriz canônica dada por 0 Obs.: ) a refleão em torno da reta y = - possui matriz canônica dada por..

57 57 Tabela : b) PROJEÇÕES: Considere o operador T: R² R² que leva cada vetor na sua projeção ortogonal sobre o eio. As equações relacionando os componentes de e de w = T() são : w = = + 0y w = 0 = 0 + 0y Ou em formato matricial: w w = 0 0. = 0 y 0 Como as equações são lineares, T é um operador linear e a matriz canônica de T é

58 58 0 [ T ] = 0 0 y (,y) T() = w (,0) Em geral, uma projeção ( ou mais precisamente, uma projeção ortogonal) de R² ou R³ é qualquer operador que leva cada vetor em sua projeção ortogonal sobre alguma reta ou algum plano pela origem. Pode ser mostrado que tais operadores são lineares. As Tabelas e 4 listam algumas das mais básicas projeções em R² e R³. Tabela :