NOTAS DE AULA - GEOMETRIA ANALÍTICA CÔNICAS E POLARES ERON E ISABEL

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1 NOTAS DE AULA - GEOMETRIA ANALÍTICA CÔNICAS E POLARES ERON E ISABEL SALVADOR BA 007

2 Conteúdo destas notas Cônicas Translação dos eios coordenados Rotação dos eios coordenados Parábola Elipse Hipérbole Equação geral das cônicas Lista de Eercícios Coordenadas Polares Equações polares equivalentes Equação polar versus equação cartesiana Reta e circunferência Gráficos de curvas em coordenadas polares Lista de eercícios Referências bibliográficas ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

3 TRANSLAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS Translação é a operação de mover os eios coordenados no plano coordenado para uma posição diferente, de forma que os novos eios sejam paralelos aos antigos e semelhantemente orientados k O Veja um eemplo na figura ao lado, eibindo um círculo com centro transladado (deslocado) para o ponto O O h Podemos obter uma relação entre os eios coordenados O e O Observando a figura, vemos que, para um dado ponto P(, ) (em coordenadas e ) podemos escrever = + h = h = + k = k k O P(, ) chamadas equações de translação O h Eemplos: Por meio de translação, escreva as coordenadas do ponto P(,) em relação à nova origem O (, ) Solução Queremos escrever as coordenadas do ponto P em relação a um novo sistema de coordenadas O Como O ( h, k) = O (, ) h = e k = P 7 6 e P(, ) = e = = + h Utilizando as equações de translação = + k = + = Temos = = 6 Portanto, P(, 6) são as coordenadas do ponto P em relação ao sistema O O O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

4 Por meio de uma translação dos eios coordenados, transforme a equação = 0 para a nova origem O (,) Solução Utilizando as equações de translação = + h = Temos Substituindo na equação = + k = + da curva, teremos ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 Assim, ( ) ( ) na origem O + =, circunferência de raio e centro 6 O O Calcule as coordenadas da nova origem O (h,k) à qual se deve transladar os eios para que na equação da circunferência + + = 0 desapareçam os termos do º grau = + h Solução Substituindo as equações de translação na equação dada, temos: = + k ( ' + h) + ( ' + k) ( ' + h) + ( ' + k) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' + ' + h ' + k + ' + h + k h + k = 0 h = 0 h = Desejamos que, de modo que O (, ) é a nova origem à qual os eios k + = 0 k = serão transladados Substituindo os valores de h e k, temos a nova equação: ( ') + ( ') + + ( ) + ( ) = 0 ( ) ( ) no ponto O (, ) ' + ' = 9, circunferência de raio e centro Outro método prático de se obter esta equação e a nova origem é completar os quadrados da equação dada, como segue: ( ) ( ) ( ) ( ) + + = = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = = 9 Neste caso, ' = h = ' = + k = e assim, ( ) ( ) ' + ' = 9 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

5 ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS Considere o sistema O e suponha que queremos girar de um ângulo θ A partir da figura ao lado, temos as seguintes relações cos β = r = r cos β ( I) = rsen β ( II) senβ = r O O r β θ P cos( θ + β ) = r = r cos( θ + β ) ( III) = rsen( θ + β ) ( IV ) sen( θ + β ) = r Lembrando que: cos( θ + β ) = cosθ cos β senθsenβ sen( θ + β ) = senθ cos β + senβ cosθ Da equação (III) temos que: = cosθ senθ Da equação (IV) temos que: = senθ + cosθ Assim, após uma rotação de um ângulo θ (positivo, a partir do eio no sentido anti-horário) temos as equações que relacionam qualquer ponto P(, ) de coordenadas no sistema O com suas coordenadas no sistema O Chamadas equações de rotação: = cosθ senθ = cosθ + senθ ou, equivalentemente, = senθ + cosθ = senθ + cosθ Podemos escrever estas equações na forma matricial Eemplos Determinar as coordenadas do ponto P (0, ) em relação ao sistema de coordenadas O rotacionado de um ângulo de 60º Solução Observe que P (0, ) tem coordenadas = 0 e = Assim, cosθ senθ o o = = 0 cos(60 ) sen(60 ) = senθ + cosθ o o = 0sen(60 ) + cos(60 ) P Portanto, = e = são as coordenadas do ponto P em relação ao sistema O O O 60 o ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

6 Transforme a equação dada em outra por meio uma rotação do ângulo indicado: + = 0 θ = arctg Solução θ = arctg tgθ = Assim, senθ = cosθ Como sen θ + cos θ =, temos que cosθ = e, portanto, senθ = Logo, 9 9 = = cosθ senθ 9 9 = senθ + cosθ = Substituindo na equação dada nos dá: 9 = (reta vertical paralela ao eio ) + = 0 (em O) equivale a 9 = (em O ) Transforme a equação dada em outra desprovida do termo misto : + = 0 Solução Sabemos que = cosθ senθ, substituindo na equação dada temos = senθ + cosθ ( cosθ senθ )( senθ cosθ ) = +, o que implica em ( ) = ( ) cosθsenθ + cos θ sen θ ( ) cosθsen θ Para que o termo misto seja eliminado é necessário que π cos θ = sen θ cosθ = sen θ θ = Daí, = = + que, por sua vez, nos fornece = () Como ( ) + = 0 = (), substituindo () em (), temos ( ) = e então = ±, o que representa duas retas paralelas ao eio (eio rotacionado de º) o = = ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

7 Eliminação, por meio de uma rotação, do termo misto de º grau Vejamos como transformar a equação A + B + C + D + E + F = 0 (*) em outra equação desprovida de termo misto ' ' Isto consiste em determinar o ângulo de rotação tal que a equação (*) seja transformada, após uma rotação, em uma equação do tipo Para vermos isto, considere a rotação A'( ') + C '( ') + D ' ' + E ' ' + F ' = 0 = cosθ senθ aplicada sobre (*), teremos então uma = senθ + cosθ equação do tipo A'( ') + B ' ' ' + C '( ') + D ' ' + E ' ' + F ' = 0, onde B A' = Acos θ + sen( θ ) + Csen θ B ' = ( C A)sen( θ ) + B cos( θ ) B C ' = Asen θ sen( θ ) + C cos θ D ' = D cosθ + E senθ E ' = E cosθ D senθ F ' = F Como o objetivo é eliminar o termo ' ', devemos ter B ' = 0, ou seja, Observações: ( C A)sen( θ ) + B cos( θ ) = 0 B tg( θ ) = (condição para obter θ ) A C ) Note que se B = 0 então tg( θ ) = 0, daí, θ = 0 + k π Como estamos considerando π θ 0,, teremos θ = 0 e não haverá rotação π π ) Se A = C e B 0 temos que tg( θ ) não está definida Assim, θ = + k, k, o que π nos dá θ = ) A rotação não afeta o valor do termo independente da equação Eemplo Dada a equação = 0, determine cosθ e senθ para que ' ' não eista B Solução Observe que A = 7, B =, C = 8 Logo, tg( θ ) = tg( θ ) = = A C 7 8 Portanto, podemos escrever: sen( θ ) = cos( θ ) () Substituindo () na relação fundamental da trigonometria: sen ( θ ) + cos ( θ ) =, temos sen( θ ) = e cos( θ ) = Sabemos que cos( θ ) = cos θ sen θ = cos θ Assim, cosθ = E, por sua vez, senθ = ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7

8 CÔNICAS Uma seção cônica, ou simplesmente, uma cônica é uma curva obtida interceptando-se um cone (de duas folhas) por um plano que não passa pelo vértice, chamado plano secante Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole Parábola Elipse Hipérbole PARÁBOLA Seja F um ponto fio e d uma reta fia em um mesmo plano α com F d Ao conjunto de todos os pontos eqüidistantes de F e d dá-se o nome de parábola Podemos escrever do seguinte modo, F P (foco) P = = { P α; d( P, F) d( P, d) } d (reta diretriz) Elementos principais da parábola Foco ( F ): ponto fio Reta diretriz ( d ): reta fia Eio focal ( e f ): reta perpendicular à reta diretriz passando pelo foco Vértice (V ): intersecção do eio focal com a parábola (ponto médio entre F e d ) Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da parábola Corda focal: corda que passa pelo foco Raio focal: segmento de reta ligando um ponto da parábola com o foco Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eio focal ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8

9 Lactus Rectum corda focal V vértice F foco eio focal corda d reta diretriz Equações da parábola ) Considere uma parábola com vértice em V (0, 0) ; eio focal coincidindo com o eio e concavidade voltada para cima Seja P(, ) um ponto qualquer desta parábola e considere d( F, d) = p Temos então que: P Equação da parábola : = p Coordenadas do foco F(0, p ) Equação do eio focal e f : = 0 Equação da diretriz: d : = p Medida do lactus rectum: LR = p F p V p d p > 0 LR Observação Nas mesmas hipóteses de ), se p < 0, a concavidade estará voltada para baio Consequentemente alguns valores e coordenadas dos elementos no quadro acima podem mudar ) Uma parábola com vértice em V (0,0) ; eio focal coincidindo com o eio e concavidade voltada para direita Teremos: LR p > 0 P Equação da parábola : = p Coordenadas do foco F( p,0) Equação do eio focal e f : = 0 Equação da diretriz: d : = p Medida do lactus rectum: LR = p d p p V F Observação Nas mesmas hipóteses de ), se p < 0, a concavidade estará voltada para esquerda Consequentemente alguns valores e coordenadas dos elementos no quadro acima podem mudar ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9

10 ) Se (, ) V (translação de eios), eio focal 0 0 paralelo ao eio e a concavidade está voltada para cima ou para baio Mostra-se que a parábola tem equação dada por P : = p ( ) ( ) 0 0 As coordenadas e os elementos são determinados via equações de translação Teremos então 0 = = + 0, 0 = = + 0 obtendo ( ) = p 0 LR p p F V 0 p > 0 d ) Se ( 0, 0 ) esquerda Mostra-se que a parábola tem equação dada P :( ) = p( ) V, eio focal paralelo ao eio e a concavidade está voltada para direita ou item ) vale para este item, observando as modificações necessárias 0 0 O comentário do Eemplos Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco F (, ) e diretriz d : = 0 Solução Dos elementos dados: foco F (, ) e diretriz d : =, podemos produzir o seguinte esboço inicial (veja figura ao lado) Da qual inferimos que p = p =, o eio focal tem equação e f : = (paralelo ao eio coordenado ), as coordenadas do vértice são V (,) e a parábola só pode ter concavidade voltada para a direita Assim, a equação desta parábola é do tipo ( ) p( ) = 0 0 Portanto, a equação desta parábola é dada por ( ) ( ) = O gráfico final está mostrado ao lado V d : = F F ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 0 d : =

11 Obtenha a epressão canônica da parábola vértice + = e determine as coordenadas do Solução Neste caso temos uma parábola transladada para um sistema de eios cuja origem coincide com o vértice da parábola Apliquemos o método prático de completar os quadrados + = + = + + = = + = + + = quadrado perfeito Daí, temos 7 + = = + 8 Neste caso,, 7 = onde V, 8 6 e ( ) = Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco F(,) e vértice V (0,0) Solução Dos elementos dados: foco F(,) e vértice V (0,0), temos a seguinte figura ao lado Sabemos que d( F, V ) que podemos obter é que = p, então uma primeira informação p = + = p = Para uma parábola, quando o vértice está situado na origem, o foco deve estar situado sobre um dos eios coordenados, então, a partir da informação dada podemos dizer que houve uma rotação do sistema O de um ângulo que devemos determinar F V eio focal Em O temos a concavidade voltada para cima e eio focal coincidente com o eio O Assim, a equação (reduzida) desta parábola é do tipo ( ) = p Assim, ( ) = (*) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

12 Como o eio focal coincide com O (eio O rotacionado) podemos utilizar as coordenadas do foco para obter o ângulo θ de rotação Logo, cosθ = senθ = Utilizando as equações ( de volta ) da rotação: = cosθ + senθ = senθ + cosθ F θ θ V eio focal = + Substituindo seno e cosseno : que, por sua vez, substituídos na equação (*) = + nos dá dada por + = + Daí, a equação desta parábola no sistema O é = 0 Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco F (0, ) e vértice V (,) Solução A partir dos elementos dados, podemos deduzir que houve uma translação e uma rotação (ou vice-versa) do sistema O Como d( F, V ) = p, podemos ver que ( 0) + ( ) = p Logo, p = F V θ No sistema O temos a concavidade voltada para cima e eio focal coincidente com o eio O Assim, a equação (reduzida) desta parábola é do tipo ( ) = (*) ( ) = p Assim, Rotação: observe que cosθ = senθ = = cosθ + senθ = + Desenvolvendo os cálculos teremos a equação = senθ + cosθ = + no sistema O dada por = 0 (*) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

13 = Translação: Como o vértice está em V (,), as equações de translação são dadas por = Desta forma, substituindo essas equações em (*) temos a equação da parábola no sistema O : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = 0, ou melhor, = 0 F V θ ELIPSE Definimos como elipse ao lugar geométrico de um ponto que se move em um plano de maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fios, no referido plano, é sempre igual a uma constante maior do que a distância entre os dois pontos fios Podemos, ainda, escrever isto do seguinte modo: Dados dois pontos fios F, F α, temos que a elipse é o conjunto E = { P α; d( P, F ) + d( P, F ) = a > d( F, F ) = c} F c P F Elementos principais da elipse Focos ( F e F ): pontos fios Eio focal ( e f ): reta que passa pelos focos Segmento focal: segmento de reta F F Eio normal ( e n ): reta perpendicular ao eio focal passando pelo centro Vértices ( V, V, B e B ): intersecções dos eios focal e normal com a elipse Centro (C ): ponto médio do segmento focal Eio maior ( EM ): segmento de reta VV Eio menor ( e m ): segmento de reta B B Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da elipse ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

14 Corda focal: corda que passa por um dos focos Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eio focal passando por um dos focos e n B V F LR e m C EM LR F V e f B Equações da elipse ) Considere uma elipse com centro em C (0, 0) e eio focal coincidindo com o eio Seja P(, ) um ponto qualquer desta elipse e seja d( F, F ) = c A equação da elipse é dada por B P(, ) onde E a = b + c : + = a b 678 a 678 a V F c C c b b F V e f B Temos, ainda: Coordenadas dos focos F ( c,0) e F ( c,0) Coordenadas dos vértices V ( a,0), V ( a,0), B (0, b ) e B (0, b), consequentemente, a medida do eio maior é igual a a e a medida do eio menor é b Equação do eio focal e f : = 0 Medida do lactus rectum: b LR = a ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

15 ) Considere uma elipse com centro em C (0, 0) e eio focal coincidindo com o eio Então a equação da elipse é dada por onde a = b + c E : + = a b P(, ) B V a C a b b B V e f F F ) Se uma elipse tem centro C( 0, 0) (translação) e o eio focal é paralelo ao eio, sua equação é dada por: B E ( ) ( ) 0 0 : + = a b V F C 0 F V e f onde a = b + c 0 B Assim como na parábola transladada, uma das formas de determinar as coordenadas e os elementos é utilizar as equações de translação Teremos então = = + = = Obtendo então ( ) ( ) E : + = a b ) Se uma elipse tem centro C( 0, 0) (translação) e o eio focal é paralelo ao eio, sua equação é dada por: V E ( ) ( ) 0 0 : + = a b F onde a = b + c B C 0 B F 0 V ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

16 c Ecentricidade É a razão entre c e a, ou seja, e = Note que, como c < a temos 0 < e < a Se a = b temos que a elipse se reduz a uma circunferência e, portanto, e = 0 Se a = c temos que a elipse se reduz ao segmento retilíneo F F e, portanto, e = Eemplos Determine a equação e o gráfico da elipse que tem focos F (,8) e F (, ) e medida do eio maior igual a 0 Solução Como a = med( EM ) = 0, temos que a = d( F, F ) = c, temos c = 6 e, portanto, c = Sabemos que, para a elipse, a = b + c, daí = b + b = O centro é o ponto médio do segmento F F, logo, C (,) e como o eio focal é paralelo ao eio, a equação desta elipse é do tipo E ( ) ( ) 0 0 : + = Assim, a b ( ) ( ) E : + = V V F C F Determine a equação e o gráfico da elipse que tem focos F (, ) e F ( 6,) e medida do lactus rectum igual a 6 Solução Como portanto, c = (II) De b med( LR) 6 a = =, temos que b = a (I) d( F, F ) = c, temos c = e, a = b + c e de (I) e (II): a = Substituindo em (I) temos b = O centro tem coordenadas C(, ) e como o eio focal é paralelo ao eio, a equação desta elipse é do tipo E ( ) ( ) 0 0 : + = Assim, a b ( + ) ( ) E : + = 6 a = a + a a = 0, que implica V F C F V ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

17 Considere a cônica de equação e esboce o gráfico desta cônica C : = Determine todos os elementos Solução Observe que na equação de C está presente o termo misto, tentaremos eliminá-lo através de rotação Comparando a equação de C com A =, B = 0 e C = Sabemos que tg( θ ) = que θ = arctg ( ), ou seja, = = cosθ senθ = senθ + cosθ = + Substituindo estas epressões na equação de C, temos A + B + C + D + E + F = 0 temos B 0, logo, tg( θ ) = = Isto implica A C 0 π θ = O que nos dá: senθ = e cosθ = Então, temos que = Depois de alguns cálculos, vemos que O ( ) ( ) C : + = é a equação de uma elipse no sistema 9 Deste modo: a =, b =, c = e eio focal coincide com O, seja, e f : = 0 Daí, em relação a O, temos: Centro: C ( 0,0) Focos: F ( 0, ) e F ( 0, ) Vértices: V ( 0, ), V ( 0, ), B (,0) e B (,0) B C B C V F F V ( ) ( ) : + = 9 Vamos utilizar as equações de rotação para obter, em relação ao sistema O, as coordenadas de cada elemento determinado em O = (*) = + ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7

18 = 0 0 = 0 (*) 0 Por eemplo, C ( 0,0) indica = = = 0 = 0 = = 0 = Eio focal e f : = 0, implica em (*) = de modo que = 0 + = seja, = é a equação do eio focal no sistema O, ou seja, C ( 0,0) =, ou Com este procedimento, determinamos todos os outros elementos em relação ao sistema O Assim, Equação de : C = Parâmetros: a =, b =, c = Centro: C ( 0,0) Eio focal: = Focos: F, Vértices: V, B (,) e F,, V,, B (, ) e e f : = V 0 o C B F F B V ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8

19 HIPÉRBOLE Definimos como hipérbole ao lugar geométrico de um ponto que se move em um plano de maneira que o valor absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fios, no referido plano, é sempre igual a uma constante positiva menor do que a distância entre os dois pontos fios Podemos, ainda, escrever isto do seguinte modo: Dados dois pontos fios F, F α, temos que a hipérbole é o conjunto P(, ) { P α; d( P, F ) d( P, F ) a d( F, F ) c} F H = = < = F c Elementos principais da hipérbole Focos ( F e F ): pontos fios Eio focal ( e f ): reta que passa pelos focos Vértices ( V e V ): intersecções do eio focal com a hipérbole Centro (C ): ponto médio do segmento de reta F F Eio normal ( e n ): reta perpendicular ao eio focal passando pelo centro Eio transverso ( ET ): segmento de reta VV Eio conjugado ( e c ): segmento de reta B B Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da hipérbole Corda focal: corda que passa por um dos focos Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eio focal passando por um dos focos e n F V B e c C ET V F e f B ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9

20 Equações da hipérbole ) Considere uma hipérbole com centro em C (0, 0) e eio focal coincidindo com o eio Seja P(, ) um ponto qualquer desta hipérbole e seja d( F, F ) = c A equação da hipérbole é dada por s s onde H c = a + b : = a b c b c V a a b V F B B F e f Temos, ainda: Coordenadas dos focos F ( c,0) e F ( c,0) Coordenadas dos vértices V ( a,0) e V ( a,0), consequentemente, a medida do eio transverso é igual a a Embora não haja intersecção com o eio os dois pontos (0, (0, ) etremos do eio conjugado, consequentemente, a medida do eio conjugado é igual a b Equação do eio focal e f : = 0 b Medida do lactus rectum: LR = a c A ecentricidade da hipérbole é dada por e =, como c > a, temos que e > a b As retas assíntotas tem equações s : a s : = b a ) Considere uma hipérbole com centro em C (0, 0) e eio focal coincidindo com o eio e f Então a equação da hipérbole é dada por s V F s onde c = a + b H : = a b B a b B V F ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 0

21 ) Se uma hipérbole tem centro C( 0, 0) (translação) e o eio focal é paralelo ao eio, sua equação é dada por: H ( ) ( ) 0 0 : = a b 0 C 0 onde c = a + b Assim como na parábola e elipse transladadas, uma das formas de determinar as coordenadas e os elementos é utilizar as equações de translação Teremos então = = + = = + ( ) ( ) Obtendo H : = a b ) Se uma hipérbole tem centro C( 0, 0) (translação) e o eio focal é paralelo ao eio, sua equação é dada por: onde H c = a + b ( ) ( ) 0 0 : = a b C 0 0 Observações ) Dizemos que uma hipérbole é eqüilátera ou retangular se o eio transverso e conjugado tem o mesmo comprimento, isto é, se a = b ) Dizemos que duas hipérboles são conjugadas se o eio transverso de uma delas coincide com o eio conjugado da outra Eemplos O centro de uma hipérbole está na origem, seu eio transverso está sobre o eio e uma de suas assíntotas tem equação = Determine a equação e o gráfico dessa hipérbole sabendo que o ponto P (6, ) pertence à mesma ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

22 Solução Como o centro é C (0,0) e seu eio focal coincide com o eio a equação dessa b hipérbole é do tipo H : = Como = é assíntota, temos a b a =, isto é, b = a (I) P(6, ) H, isto quer dizer que 6 = Daí, 6b a = b a (II) a b Substituindo (I) em (II): 6 a a = a a equação procurada é dada por H : = a = Logo, b = Portanto, a Considere a cônica de equação esboce o gráfico desta cônica C : = 0 Determine todos os elementos e Solução Mais uma vez, queremos eliminar o termo misto através de rotação Comparando a equação de C com A + B + C + D + E + F = 0 temos A = 0, B = e C = 7 Daí, B tg( θ ) = tg( θ ) = Então, sen( θ ) = cos( θ ) (I) Substituindo (I) em A C sen ( θ ) + cos ( θ ) =, temos sen( θ ) = e cos( θ ) = Sabemos que cos( θ ) = cos θ sen θ = cos θ Assim, cosθ = e senθ = = = cosθ senθ substituindo estas epressões na equação de C = senθ + cosθ = + Temos, = 0 Depois de alguns cálculos, vemos que C ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) : = 0, o que nos dá C : = é a equação de uma hipérbole no sistema O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

23 Deste modo: a =,, b =, c =, e eio focal coincide com O, ou seja, e f : = 0 Daí, em relação a O, temos: Centro: C ( 0,0) Focos: F 0, e F 0, Vértices: V 0, e V 0, Etremos do eio conjugado: B ( ) e B ( ),0 Assíntotas: s : = e s : =,0 V V F C e f F Vamos utilizar as equações de rotação para obter, em relação ao sistema O, as coordenadas de cada elemento determinado em O = (*) = + = 0 0 = 0 (*) = 0 Por eemplo, C ( 0,0) indica (*) = = 0 = 0 = = 0 = Eio focal e f : = 0, implica em (*) (*) = de modo que, = 0 + = equação do eio focal no sistema O Desse modo, temos, ou seja, C ( 0,0) = é a Equação de : C = 0 Parâmetros: a =,, b =, c =, Centro: C ( 0,0) Eio focal: = Focos: F, e F, 9 6 Vértices: V, 0 e 9 6 V, 0 Etremos do eio conjugado: B 8 6, e B 8 6, Assíntotas: s : = e 7 s : = 0 6 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

24 Equação geral das cônicas Dado em um plano α um sistema ortogonal de coordenadas e dada a equação G(, ) = A + B + C + D + E + F = 0 (*) Com A + B + C 0, chama-se cônica ao conjunto dos pontos P(, ) de α tais que (*) se verifica Eemplos de cônicas a) Um conjunto vazio: G(, ) = + + = 0 b) Um ponto: G(, ) = + = 0 c) Uma reta: ( ) G(, ) = + + = + = 0 G(, ) = = = 0 d) Reunião de duas retas paralelas: ( )( ) e) Reunião de duas retas concorrentes: ( )( ) f) Elipse: G(, ) = + = 0 g) Hipérbole: h) Parábola: i) Circunferência: G(, ) = = 0 G(, ) = = 0 G(, ) = + = 0 G(, ) = + = = 0 Estes casos esgotam todas as possibilidades da equação (*) Nem sempre é fácil reconhecer uma cônica (principalmente elipse, hipérbole e parábola) e esboçar seu gráfico Podemos seguir o roteiro i) Procure eliminar por meio de uma translação os termos de º grau ii) Procure eliminar o termo misto através de uma rotação Ademais, temos o seguinte: I) Se B AC < 0, a cônica pode ser: conjunto vazio, ponto, circunferência ou elipse II) Se B parábola AC = 0, a cônica pode ser: conjunto vazio, reta, reunião de duas retas paralelas ou III) Se B AC > 0, a cônica pode ser: reunião de duas retas concorrentes ou hipérbole A epressão = B AC é chamada de discriminante e, a depender de seu sinal, dizemos que a equação em (*) é do tipo elíptica, parabólica ou hiperbólica ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

25 Lista de eercícios Cônicas Por meio de uma translação conveniente dos eios, transforme as equações que seguem em equações do º grau, sem os termos do º grau: a = 0 Resp: ' + ' = 0 b = 0 Resp: ' + ' 6 = 0 c + 0 = 0 Resp: ' ' 8 = 0 d + = 0 Resp: ' ' + = 0 Por meio de uma translação dos eios coordenados, transforme as equações dadas para a nova origem indicada: a = 0; O' = (,) Resp: ' + ' = 0 b 8 0 = 0; O' = (, ) Resp: ' ' = 0 c + = 0; O ' = (,) Resp: ' ' = 0 Mediante uma rotação de eios, elimine o termo nas equações: a + + = 0 Resp: ' ' = 0 b + + = 0 Resp: 6 ' + ' = 0 c = 0 Resp: ' ' + = 0 Reduza a equação = 0 à forma A '' + C' ' + F = 0 Resp: 8 '' + ' ' = 0 Determine a equação da parábola: a com foco em F(-,0) e com diretriz em = ; b de concavidade voltada para cima que passa pelo ponto A(,) e cujo vértice é V(0,0); c de vértice na origem, que passa pelo ponto (-,) e cujo eio de simetria é o eio dos ; d com foco em F(,) e vértice em V(,-); e com foco em F(,) e diretriz de equação = ; f com eio de simetria paralelo ao eio 0, vértice V (,) e que passa pelo ponto (,); g de eio vertical cujo foco é F (-, ) e que passa pelo ponto (,6); h que tem o foco na origem e diretriz a reta r : + + = 0 ; i cujo foco é F (0,) e cuja diretriz é a reta r: = 0; j cujo foco é F(,) e o vértice coincide com a origem Resp a = 8 ; b = 0 ; c + = 0 ; d ( ) = ( + ) ; e ( ) = 8( ) + = ; g ( + ) = ( ) e ( + ) = 6( 7) ; f 0 h = 0 ; i = 0 j = 0 6 Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola ( ) = ( 8) Resp: V(,8), F (,7), d: 9 = 0 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

26 7 Obtenha o vértice e o foco da parábola cuja equação é: a ² 6 = 0 Resp: V (-,), F(,) 7 b ² = 0 Resp: V,, F, 6 8 Calcule a distância focal de uma elipse cujo eio maior mede 0 e cujo eio menor mede 8 Resp: 6 9 Calcule a ecentricidade da elipse + 6 = 00 Resp: 0 Determine os pontos de interseção da elipse 9 + = com os eios coordenados Determine a equação canônica da elipse: Resp,0,,0, 0,, 0, a com centro na origem, eio focal sobre o eio 0, que passa pelo ponto A = (,) e de ecentricidade ; Resp + = 0 b com centro na origem, focos no eio das abscissas, que passa pelo ponto A = (, ) e seu semi-eio menor é ; Resp + = 0 c com focos em (-,) e (6,) e vértice em (-,) e (7,); Resp ( ) ( ) + = 9 d cujos focos estão sobre a reta + 6 = 0, o ponto B = (,-) é um dos etremos do eio menor e a ecentricidade é igual a Resp ( ) ( ) = 0 ' e de equação = 0 Resp ' + = 9 f de equação + + = 0 Resp ' + ' = Determine a equação da hipérbole: a com focos em F (0, 8), F (0, 8) e vértices em (0,6), (0, 6); Resp = 6 8 b de centro na origem, eio focal sobre o eio dos, cuja ecentricidade é e cuja distância focal é ; Resp = 6 c de centro na origem, eio real sobre o eio das ordenadas, que passa pelos pontos 6 P 0, e Q (,6) ; Resp ² 9² = 6 d com centro O = (, ), um dos focos F = (, ) e cujo eio real mede ; Resp ( + ) ( + ) = e de eios paralelos aos eios coordenados, com focos em (, 0) e (, ) e ecentricidade igual a ; Resp ( ) ( ) 9 9 = ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

27 f com assíntotas + = 0, = 0 e vértice (, ) Resp ( + ) ( ) = Uma hipérbole tem um dos seus vértices em A = (,0) e as equações de suas assíntotas são = 0 e + = 0 Determine a equação da hipérbole Resp ² 9² = 6 Demonstre que a ecentricidade de qualquer hipérbole eqüilátera é 7 ( ) ( ) Determine as coordenadas do foco da hipérbole de equação = Resp F (, ), F (, ) ( ) ( ) 6 Determine as equações das assíntotas da hipérbole = Resp 0 = 0 e + = 0 7 Dada a hipérbole de equação + 8 = 0, pede-se o centro, a equação canônica e o gráfico Resp O (0, ) e '' = '' 8 Determine uma equação de elipse com ecentricidade ε = e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole H : = 0 Resp ( ) ( ) + + = 8 9 Determine a equação da parábola P cujo vértice coincide com o vértice da parábola P : e cuja diretriz coincide com o eio focal da hipérbole = ( + ) ( ) H : = Resp ( ) = 8( ) 6 0 Determine a equação da parábola P cujo vértice coincide com o centro da hipérbole = 0 e cuja diretriz coincide com o eio focal da elipse ( ) ( + ) + = Resp ( ) = ( ) E : Determine uma equação de elipse de ecentricidade igual a e com eio maior coincidindo com o latus rectum da parábola de equação = 0 Resp ( ) ( ) + = 6 Identifique as seguintes cônicas: a = 0 Resp par de retas concorrentes b 0 + = 0 Resp hipérbole c = 0 Resp parábola d = 0 Resp um ponto P(-,-) e = 0 Resp elipse ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7

28 f = 0 Resp par de retas paralelas g = 0 Resp circunferência h = 0 Resp conjunto vazio Uma ponte suspensa de 00 m de comprimento é sustentada por um cabo principal parabólico (veja a figura) O cabo principal está a 00 m acima da ponte nos etremos e m acima da ponte em seu centro Calcule o comprimento dos cabos de sustentação que são colocados a intervalos de 0 m ao longo da ponte (Sugestão: Utilize o sistema de coordenadas retangulares em que a ponte é o eio e a origem está no meio da ponte) Resp Função altura: = + 0 Eceto por pequenas perturbações, um satélite se move ao redor da Terra em uma órbita elíptica, com um dos focos no centro da Terra Suponha que no perigeu (o ponto da órbita mais próimo do centro da Terra) o satélite está a 00 km da superfície da Terra e que no apogeu (o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra) o satélite está a 600 km da superfície da Terra Calcule o eio menor e o eio maior da órbita elíptica deste satélite, supondo que a Terra é uma esfera de 67 km de raio Resp: Eio menor da órbita elíptica do satélite=70, km e eio maior=7,00 km ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8

29 COORDENADAS POLARES Introduziremos um novo sistema de coordenadas planas que, para certas curvas e problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas retangulares, além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de integrais (em outra disciplina) No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada através da distância de P a duas retas perpendiculares fias denominadas de eios coordenados No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de uma distância e da medida de um ângulo, em relação a um ponto fio e a uma semi-reta fia Fiados um ponto O, denominado pólo ou origem e uma semi-reta de origem nesse ponto, denominada de semi-eio polar podemos localizar qualquer ponto P do plano se conhecermos a sua distância ao pólo e o ângulo θ que o segmento OP faz com o semi-eio polar r P pólo O θ semi-eio polar As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P( r, θ ) no qual r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo θ é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar ou argumento e corresponde ao ângulo de rotação do semi-eio polar até o segmento OP θ > 0 se a rotação for no sentido anti-horário θ < 0 se a rotação for no sentido horário θ pode ser medido em graus ou radianos Denominamos eio polar a reta orientada que contém o semi-eio polar eio a 90º ou eio ortogonal a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eio polar π Eemplo: Marcar no sistema polar os seguintes pontos: P, ; Q, π P π/ R ; R (,90º ) e (,0º ) S S Podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao pólo O da seguinte maneira: Se r < 0 giramos o semi-eio polar de ângulo θ e na semi-reta oposta marcamos r unidades, a partir do pólo Q -π/ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9

30 Eemplo: Marcar os pontos P (, º ); Q(, 0º ) ; (,80º ) R π/ Q 0 O R P Eemplo: Representar P, π 6 ; 7π P, 6 ; π P, 6 ; π P, 6 P π/6 7π/6 P P π/6 P π/6 Observamos pelo eemplo anterior que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários pares de coordenadas polares De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto P( r, θ ), r e θ em radianos, P também pode ser representado por ( r, θ + π n) ou ( r, θ π n π ) na única epressão ( θ π ) + + que resulta ( ) n r, + n, n A menos que P seja o pólo, esta epressão representa todas as possíveis coordenadas polares de P Observações: No caso de coordenadas polares não eiste uma correspondência biunívoca entre pares e pontos, como no caso das cartesianas É justamente este fato que leva a resultados que, em alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular Dados P ( r, θ ) e (, ) e θ = θ + nπ P r θ então P = P r = r = 0 ou n tal que r = ( ) n r Se P é o pólo, então ( 0,θ ) representa P qualquer que seja θ Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um ponto P diferente do pólo, eiste um θ 0,π r, θ tal que r 0 > 0 e único par com raio vetor r positivo e [ [ A este par ( ) 0 θ < π denominamos par ou conjunto principal de coordenadas polares do ponto P 0 Convencionamos que o par principal do pólo é P ( 0,0) 0 0 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 0

31 Eemplos: ) Determine mais três pares de coordenadas para os seguintes pontos: π a) P, Solução π P, ; π P, ; 7π P, b) Q(, π ) Solução Q ( ) ; Q ( π ) ; Q ( π ),0,, o ) Determine o par principal de coordenadas polares do ponto P (, 870 ) Solução O par principal (, ) P r θ deve ter r 0 > 0 e 0 θ0 < π Assim, 870 = o corresponde a 0 o Logo, as coordenadas principais do ponto são (, 0 o ) o o o e Equações polares equivalentes Uma equação polar é uma equação dada em coordenadas polares, isto é, que contém como variáveis os parâmetros que representam o raio e o ângulo vetorial do sistema polar Assim, uma equação polar é escrita na forma f ( r, θ ) = 0 O lugar geométrico determinado por uma equação polar f ( r, θ ) = 0 é formado por todos os pontos e somente aqueles que tiverem pelo menos um par de coordenadas polares que satisfaça a equação P r, θ esteja no lugar geométrico sem que suas coordenadas Assim, é possível que um ponto ( ) satisfaçam a equação 0 0 Eemplos: A equação r = corresponde à circunferência de centro no pólo e raio O ponto π P, pertence à circunferência, mas não satisfaz a equação Mas, este mesmo ponto π tem coordenadas, que satisfaz a equação Por outro lado, a equação r = representa a mesma circunferência As equações r = e r = são ditas equivalentes A equação θ = 0 é a equação do eio polar As equações θ = nπ são equações equivalentes do eio polar Equação polar Equação cartesiana Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas polares P( r, θ ) e coordenadas cartesianas P(, ) temos as seguintes relações entre,, r e θ P(,) r θ = r cosθ = r senθ + = r e tgθ = r = ± + ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

32 Eemplos: ) Encontre o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto P (,) Solução r = ( ) + = e π coordenadas é portanto, 6 π π tg θ = = θ = + O conjunto principal de π ) Encontre as coordenadas cartesianas do ponto P, π = r cosθ = cos = = Solução Temos que π = r senθ = sen = = P, O ponto P tem, portanto, coordenadas cartesianas ( ) ) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesianas são a) Solução + = = r cosθ e r senθ = ( r θ ) ( r θ ) cos + sen = r = Portanto, r = e r = são equações polares equivalentes da circunferência de centro na origem e raio b) Solução = 6 = r cosθ e r senθ = ( r θ ) ( r θ ) = r ( θ θ ) cos sen 6 cos sen = 6 r cos( θ ) = 6 c) = Solução r senθ = r cosθ tgθ = ou θ = arctg() ) Encontre uma equação cartesiana das curvas cuja equação na forma polar é dada por: a) r = sen( θ ) Solução r = + e sen( θ ) = senθ cosθ implicam em + = senθ cosθ = = ( + ) = b) r = senθ 6 Solução r = r r senθ = 6 senθ ± + = 6 6 = 6 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

33 Equação de algumas curvas em coordenadas polares Reta Reta que passa pelo pólo A equação θ = k representa uma reta que passa pelo pólo O θ Caso geral Seja l uma reta e tracemos do pólo até l a normal ON, sendo N( p, ω ) o ponto de intersecção de l com a reta ON Se P( r, θ ) é um ponto sobre l então r cos( θ ω) = p é a equação polar da reta l P(r, θ) r N(p,w) θ w p O w Alguns Casos Particulares Reta perpendicular ao eio polar r cosθ = p ( p > 0) Reta à direita do pólo r cosθ = p ( p > 0) Reta à esquerda do pólo N O N Reta perpendicular ao eio a 90 r senθ = p ( p > 0) Reta acima do eio polar r senθ = p ( p > 0) Reta abaio do eio polar O N N ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

34 Circunferência Circunferência com centro no pólo A equação da circunferência com centro no pólo e raio a é r = a ou r = a O Circunferência com centro (, ) C r θ e raio a 0 0 P(r, θ) a r C r o θ θ o θ o Usando a lei dos cossenos temos a = r + r0 rr0 cos( θ θ0) (I) que é chamada equação padrão da circunferência Casos particulares Circunferência passa pelo pólo e tem centro no eio polar Neste caso (,0 ) C a o, a > 0 Substituindo em (I): é o pólo, que pertence à circunferência, podemos simplificar e obter r = ra cosθ Uma vez que, para r = 0 o ponto r = a cosθ r = a cosθ r = a cosθ O C C O Centro à direita do pólo Centro à esquerda do pólo ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

35 Circunferência passa pelo pólo e tem centro no eio a 90 o Neste caso C ( a,90 ), a > 0 Substituindo em (I) temos ponto é o pólo que pertence à circunferência podemos simplificar e obter r = rasenθ Uma vez que para r = 0 o r = a senθ r = a senθ O r = a senθ C C O Centro acima do eio polar Centro abaio do eio polar Algumas curvas clássicas em coordenadas polares ) r = + cosθ (cardióide) ) r = cos( θ ) (rosácea) ) r = cos( θ ) (lemniscata) ) r = θ (Espiral de Arquimedes) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

36 Gráficos em coordenadas polares Circunferências Considerando a = r = a r = a cosθ r = a senθ Limaçons Considerando a = e b = ( a > b) r = a + b cosθ r = a bcosθ r = a + bsenθ r = a bsenθ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

37 Considerando a = e b = ( a < b) r = a + b cosθ r = a bcosθ r = a + bsenθ r = a bsenθ Considerando a = = ( + cos ) r = a( cosθ ) r a θ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7

38 = ( + sen ) r = a( senθ ) r a θ Rosáceas Considerando a =, n = ( n ímpar) r = a cos( nθ ) r = a sen( nθ ) Considerando a =, n = ( n par) r = a cos( nθ ) r = a sen( nθ ) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8

39 Espirais Considerando a = a r = ( θ > 0) θ a r = ( θ < 0) θ r = ( a = 0,) r = aθ ( a = ) a e θ r = θ r = θ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9

40 Lista de Eercícios Coordenadas polares Utilizando um papel de coordenadas polares, posicione os pontos no plano, dadas suas π coordenadas polares: A,, B(-, π π π π ), C(-, ), D(6, ), E(,, - ), F(-, º), π π G(, - ), H(-, - ), I(-, º) 6 Dados os pontos P (, π/), P (-, 0 o ), P (-, -π/), P (, - o ), P (0, o ), P 6 (0, e π ) e P 7 (,), determine: a representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar; três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P e P ; as coordenadas retangulares dos pontos P, P e P 7 ; quais desses pontos coincidem com o ponto P(, 0 o ); )Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio vetor permanece constante e igual a Identifique o gráfico do lugar geométrico de P ) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial permanece constante e igual a o Identifique e faça o gráfico do lugar geométrico de P Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto A(,0) Determinar as coordenadas do outro vértice (dois casos) Um quadrado com centro na origem tem como um dos vértices o ponto A(, 60º) Determinar as medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices 6 Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando: 6) P(-, π/6) e C: r cosθ = 0 6) P(-, π/) e C: r( senθ) = 6) P(, π/) e C: r = senθ 6) P(0, π/) e C: r cosθ + rsenθ = 0 7 Transforme a equação retangular dada em sua forma polar 7) = 0 7) + = 0 7) = 7) = 8 Transforme a equação polar dada em sua forma retangular (cartesiana) 8) r cosθ = 0 8) r = + cos θ 8) r = sec θ 8) r = cosθ 9 Determine os pontos do eio polar distando unidades do ponto P(, π/) 0 Determine a equação polar da reta r que passa pelo ponto P(, 60 o ), sabendo que o segmento OP é normal à reta r Determine a equação polar da reta r que passa ponto P(-, 0 o ) e que: ) é paralela ao eio a 90 o ) é perpendicular ao eio polar ) é paralela à reta s: θ = π/6 ) é perpendicular à reta t : = ( cos φ + sen φ) ρ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 0

41 ) passa pelo ponto Q(, -0 o ) 6) passa pelo ponto R(, 0 o ) Determine uma equação polar do círculo concêntrico com o círculo C : ρ ρ cos φ + ρsen φ + 7 = 0 e cujo raio é o dobro do raio de C Esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são: a) r = secθ b) r = -senθ c) r = cosθ d) r = senθ e) r = 8cosθ f) r = senθ g) r = θ h) r = + senθ i) r = cosθ Determine as intersecções das curvas C e C analiticamente: ) C : r = + cosθ e C : θ = π/ ) C : r = e C : r = 6senθ Respostas: ) D F E A I H B G C ) ) P (, 0º); P (, 80º); P (-, 00º); P (, º); P (-, -º); P (-, º) ) P (/, - /); P (0,0); P 7 (cos, sen) ) P ) ) círculo: r = ) reta: θ = º ) (, 60º) ou (, -60º) π π π ) B,, C,, D, 6 6 6) 6) Sim 6) Não 6) Não 6) Não 7) a) θ = arctg b) r = senθ c) r senθ = d) r cos θ rsenθ = 8) 8) = 8) = 0 8) = 0 8) + = ; 9) A(- +, 0) e B(-, 0) 0) = r cos(θ - 60º) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

42 ) ) r: = r cos(θ 80º) ) r: = r cos(θ 80º) ) r: = r cos(θ 0º) + 6 ) r: = r cos(θ º) ) r: θ = 0º 6) r: r = cosθ + senθ ) r r cosθ + r senθ - 0 = 0 ) a) reta b) lemniscata c) limaçon com laço d) circunferência e) lemniscata f) rosácea de pétalas g) espiral de Arquimedes h) limaçon i) rosácea de pétalas ) ) {(0, π/), ( +, π/), (, π/)} ) {(, π/), (, π/), (, π/), (, 7π/), (-, 7π/), (-, 9π/), (-, π/), (-, π/)} ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

43 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAMARGO, I; BOULOS, P Geometria Analítica ª ed revisada e ampliada São Paulo: Prentice Hall, 00 STEINBRUCH, A; WINTERLE, P Geometria Analítica, Makron Books CAROLI, A; CALLIOLI, C A; FEITOSA, M O Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, Ed Nobel, 99 VENTURINI, J J Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, 8ª edição (atualizada) disponível no site wwwgeometriaanalíticacombr SANTOS, R Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, disponível no site wwwmatufmgbr/~regi 6 LEHMANN, C H Geometria Analítica, Editora Globo 7 Professoras do Departamento de Matemática UFBA Apostilas Cálculo Vetorial, disponível no site wwwdmatufbabr 8 THOMAS, G B Cálculo, vol I e II Pearson Education, 00 9 LEITHOLD, L Cálculo com Geometria Analítica Harbra, 99 0 MUNEM, M Cálculo vol Rio de janeiro Guanabara Dois Editora, veja link Um estudo das cônicas ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL