RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES

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1 87 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES Uma equação que coteha uma epressão do tipo, -,,, se(), e +z, z etc, é chamada ão-liear em,, z,, porque ela ão pode ser escrita o que é uma equação liear em,, z, a + b + cz + = cte Um sistema de equações e icógitas,,, é chamado de ão-liear se uma ou mais equações é ão-liear Trazedo todos os termos diferetes de zero à esquerda de todas as equações, tem-se uma forma geral que pode ser usada para qualquer sistema ão-liear ou simplesmete f(,,, ) f (,,, ) f (,,, ) f( ) f ( ) f ( ) em que T = (,,, ) Em otação vetorial, o sistema liear acima pode ser escrito o: F() =, em que e F() = f f f ão-liear Um vetor que (,,, ) que satisfaz F( ) = é deomiado raiz do sistema Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

2 88 Eemplos: ) 4 Reescrevedo este sistema a forma do sistema, temos: Este sistema ão-liear admite quatro soluções, que são os potos ode as curvas + = 4 e - = se iterceptam ) f f,, Este sistema ão tem solução, ou seja, ão eistem potos ode as curvas e se iterceptem Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

3 89 Método de Newto O método mais amplamete estudado e cohecido para resolver sistemas de equação ão lieares é o Método de Newto No caso de uma equação ão liear a uma variável, o Método de Newto cosiste em se tomar um modelo local liear da fução f() em toro de, e este modelo é a reta tagete à fução em Cosiderado iicialmete um sistema de equações ão lieares duas equações e duas icógitas, temos: f f,, Desta forma, buscamos determiar o vetor solução (, ) tal que F(, ) = e F(, ) = ( f (, ) f (, ) ) Seja (,) uma aproimação iicial para a solução (, ) do sistema Epadido f (, ) e f (, ) por série de Talor em toro do poto (,) até a derivada de primeira ordem e igualado a zero a série trucada, temos: f (, ) f (, ) + f (, ) ( ) + f (, ) ( ) = f (, ) f (, ) + f (, ) ( ) + f (, ) ( ) = { Este sistema pode ser reescrito o: f (, ) = f (, ) ( ) + f (, ) ( ) f (, ) = f (, ) ( ) + f (, ) ( ) { A solução deste sistema forece uma ova aproimação para a solução (, ) desejada Na forma matricial, temos: f f f f J, f ( f (,, ) ) Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

4 9 Defiido J(, ) a matriz Jacobiaa avaliada o poto (, ), temos: J f (, ), f(, ) Deotado d = ( ) e d = ( ), temos o sistema liear: J, d f(, ) d f(, ) Resolvedo este sistema por um método umérico, temos os valores de d e d Desta forma, a ova aproimação (, ) é determiada por: = + d e = + d Os valores obtidos para e ão são os valores de e, mas são os valores de uma ova aproimação, ou seja: = + d = + d Repetido o procedimeto de liearização em toro do poto obtido (,), isto é, fazedo a epasão das fuções f e f por série de Talor até a derivada de ª ordem, obtemos uma ova aproimação (, ) Assim, sucessivamete, o poto (i,i), temos o processo iterativo: J f (, ), f(, ) Processo iterativo de Newto Deotado ri = (i+ i) e si = ( i+ i), resolvemos o sistema de equações lieares obtido ateriormete e determiamos a ova aproimação (+, +) por: + = + d + = + d Covergêcia: Codições para a covergêcia do método de Newto: As fuções fi = (, ), i =, e as derivadas até ª ordem devem ser cotíuas e limitadas uma vizihaça da raiz (, ) Det[ J(, ) ] A solução iicial (, ) deve ser próima da raiz (, ) Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

5 9 Critério de Parada: Erro absoluto: e Erro relativo: e Aálise de F(,) = f (, ) e f (, ) Se um dos critérios acima estiver satisfeito pare o método Geeralização do Processo Iterativo de Newto: Seja f(,,, ) f(,,, ) f(,,, ) f(,,, ) F(,,, ) ; em que, F(,,, ) f (,,, ) f (,,, ) O processo iterativo de Newto é dado por: f f f f(,,, ) f f f f (,,, ) f f f f (,,, ) De modo simplificado, temos: f(,,, ) (,,, ) f J (,,, ) f (,,, ) Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

6 em que J(,,, ) é a matriz Jacobiaa avaliada o poto (,,, ) Deotado d ; d d, temos o sistema de equações lieares para ser resolvido: 9 em que: f (,,, ) d (,,, ) ( ) ( ) ( ) (,,, ) d f ( ) ( ) J J d F d f (,,, ) ( ) d f ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) f ( ) d ; e F( ) ( ) d f ( ) Utilizado um método direto para resolver este sistema liear obtido, temos os valores de d ; d d e a ova solução aproimada,,, é dada por: Covergêcia: d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d ) Codições para a covergêcia do método de Newto geeralizado: As fuções fi(,,, ) ; i =,,, e suas derivadas até ª ordem devem ser cotíuas e limitadas uma vizihaça da raiz (,,, ) T Det[ J(,,, ) ], para =,, T A solução iicial (,,, ) deve ser próima da (,,, ) T T OBS: A sequêcia gerada pelo Método de Newto (,,, ), a partir de uma solução T iicial (,,, ) suficietemete próima da solução do sistema, coverge para (,,, ) T, e a covergêcia é quadrática Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

7 9 Critério de Parada: Aálise de F(,,, ) = F= ( ) : F ( ) ma f ( ( ) ( ) i i Aálise do Erro absoluto: Aálise do Erro relativo: ma ( ) ( ) i i i i ( ) ( ) ( ) i ma i i Nas epressões acima as fórmulas podem ser simplificadas cosiderado-se: d e d ( ) ( ) ( ) i i i Eemplo: Resolver o sistema de equações ão lieares utilizado o método de Newto (, ) = (5, 5) e ε = Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

8 94 Eercício: Resolver o sistema de equações ão lieares utilizado o método de Newto (, ) = (, 5) e ε = () Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

9 Solução : 654 Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista

10 96 Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista Método de Newto Modificado A modificação sobre o Método de Newto cosiste em tomar a cada iteração a matriz J(,,, z), em vez de J(,,, z) A partir de uma aproimação iicial (,,, z), uma sequêcia de soluções é gerada a partir da solução do sistema liear: ),,, ( ),,, ( ),,, ( ),,,, ( z f z f z f t s r z J Desta forma, a matriz Jacobiaa é avaliada apeas uma vez e, para todo, o sistema liear a ser resolvido a cada iteração terá a mesma matriz de coeficietes: ),,,, ( z J Se usarmos a fatoração LU para resolvê-lo, os fatores L e U serão calculados apeas uma vez e, a partir da ª iteração, será ecessário resolver apeas dois sistemas triagulares para obter os valores de r, s,, t Eemplo: Resolver o sistema de equações ão lieares utilizado o método de Newto Modificado (, ) = (, ) e ε = 9

11 97 Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista Eercícios Resolva pelo Método de Newto, ε = -, os sistemas a seguir a 5 b c 4 ) ( 4 ) ( d e 4 f 5 5 l g h Resolva pelo Método de Newto Modificado, ε = -, os sistemas,, 4 e 5 do eercício aterior

12 Métodos Numéricos Computacioais Prof a Adriaa Cherri Prof a Adréa Viaa Prof Atoio Balbo Prof a Edméa Baptista 98