Sumário e Objectivos. Objectivos da Aula: Apreensão de alguns aspectos associados à solução de problemas elasto-plásticos.

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Plasticidade. Métodos de Solução do Sistema de Equações ão Lieares. Programa para aálise elasto - plástica de problemas bidimesioais Objectivos da Aula: Apreesão de algus aspectos associados à solução de problemas elasto-plásticos. 1

2 Bibliografia Recomedada Fiite Elemets i Plasticity Theory ad Practice Autores: Owe, D.R.J. ad Hito, E. Editora: Pieridge Press Ao: 1980 The Fiite Elemet Method - Basic Formulatio ad Liear Problems Autores: ZIENKIEWICZ, O. C. ad TAYLOR, R. L Editora: MacGraw-Hill 5th Editio, Vol. 2,

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4 Comportameto Elasto - Plástico Numa formulação elasto - plástica evolvedo pequeas deformações, decompõe-se o Tesor das Deformações uma compoete elástica e, uma compoete plástica, pelo que se tora coveiete estabelecer modelos matemáticos, que traduzam os feómeos físicos da elasticidade e da plasticidade, separadamete. O comportameto elástico é descrito pela teoria da elasticidade, importado agora defiir o modelo matemático para a compoete plástica das deformações. Com esse objectivo, três aspectos devem ser cosiderados: i) Um critério de cedêcia idicado o ível de tesão, em termos do tesor das tesões, de modo a aalisar-se o iício da plastificação; ii)uma lei de ecruameto, descrevedo, se e como, o critério de cedêcia depede do grau de deformação plástica, depois de se iiciar a plastificação; iii)uma regra de escoameto, defiido a relação etre tesão e deformação pós-plastificação, comportado a deformação total, as compoetes elástica e plástica. 4

5 Comportameto Elasto - Plástico Fução de Cedêcia de vo Mises σσ - α =0 Y ( ) Sedo: σ = 3 J 2 = 3 2 ss : = 3 2ss ij ij Através de um esaio uiaxial pode determiar-se H como: dσ ( p dσ ) 1 dσ1 dε1 ET ET H ε = = = = = p e e dε d 1 dε1 dε1 dε σ 1 1 E 1 ET E 1 1 dε dσ E T 5

6 Comportameto Elasto - Plástico A fução de Cedêcia pode escrever-se com a forma geérica: F( σα, ) = f( σ)- σ ( α) =0 F F df= dσ + dα σ α T ou a dσ Adλ = 0 sedo : Y F F F F F F F = = σ σxx σ yy σzz τxy τxz τ yz 1 F A= - dα d λ α T a,,,,, e 6

7 Comportameto Elasto - Plástico A relação deformações Tesões é: 1 F dε= D dσ+ d λ (Lei Associativa em Plasticidade) σ Sedo D a Matriz das costates elásticas. Multiplicado à esquerda a equação aterior por d DT =a T D e elimiado a T dσ recorredo à equação a T dσ-adλ =0, obtém-se: dλ = A+ 1 T a Da T a ddd ε 7

8 Comportameto Elasto - Plástico Substituido Na equação dλ = A+ 1 T a Da 1 F T a ddd dε= D dσ+ d λ (Lei Associativa em Plasticidade) σ ε Obtém-se: dσ=d ep dε sedo A=H d d T D D D ep = D A d T + a D 8

9 Matriz de Rigidez Elasto-plástica K T = V T B D BdV ep Sistema de Equações e forças residuais: Δϕ = KTd* Δf 0 para uma solução aproximada d* em geral diferete de zero A matriz dos coeficietes do sistema de equações a resolver passou a depeder dos deslocametos d. 9

10 Métodos de Solução de Equações ão Lieares -Método das Aproximações Sucessivas -Método de Newto - Raphso e Variates -Método Tipo Arco -Método do Gradiete Cojugado -Método de Newto Secate -etc A obteção da solução é em geral feita cosiderado uma processo icremetal iterativo. 10

11 Método das Aproximações Sucessivas No método das aproximações sucessivas o valor de K T =K(d) é determiado para cada solução aproximada do vector das icógitas d o qual servirá para efeitos de cálculo do valor subsequete de d, ou seja, sedo cohecida a solução para a iteração i o valor de d para a iteração i+1 é calculado de acordo com a seguite formula de recorrêcia d i+1 =K -1 (d i ) f 11

12 Represetação Gráfica Método das Aproximações Sucessivas, Curva de Equilíbrio Covexa. K(d) d f d d r d 0 d 1 d 2 d 3 d o a) i solução iicial baixa K(d) d d d r d d 3 d 2 d 1 d 0 b) solução iicial alta i 12

13 Método das aproximações sucessivas. Curva de equilíbrio côcava K(d) d f d d r d 0 d 2 d 3 d 1 d o a) i solução iicial baixa K(d) d d d r d 1 d 2 d 3 d 0 d b) solução iicial alta i 13

14 Método de Newto - Raphso O Método de Newto-Raphso a formulação cosiderada em Mecâica dos Sólidos é um método icremetal - iterativo em que se pesquisa a solução para cada icremeto de carga recorredo a um processo iterativo. O sistema de equações a resolver tem uma solução aproximada que pode ser desigada por, d*, estas codições o sistema de equações ão é exactamete verificado e apreseta um vector de forças residuais ϕ(d*), que é : ϕ ( d ) = K (d * )d * -f 14

15 Método de Newto - Raphso Para se poder obter uma solução mais próxima da solução exacta é ecessário cosiderar uma correcção ao vector deslocametos. No caso do deslocameto o icremeto para a iteração i ser desigado por d i. o deslocameto para a iteração seguite i+1 deve de ser : d i+1 =d i + δ di sedo -1 δd i =- KTi ϕ ( d i ) 15

16 Método de Newto-Raphso e Método da Tesão Iicial f f K 0 K 1 ϕ 2 f f K 0 Δ f ϕ 1 f -1 δ d 0 δ d 1 δ d 2 d f -1 K 0 d d 0 =d -1 d1 d 2 d 3 d 4 d 0 =d -1 d r =d

17 Método da Tesão Iicial Fórmulas de Recorrêcia e d i+1 =d i + δ di ϕ ( d i ) = K (di )di -f δd i =- K 0-1 ϕ ( di ) 17

18 Método KT1 Outras variates do método de Newto-Raphso são possíveis omeadamete as variates cohecidas por KT1 e KT2. Na variate KT1 a matriz de rigidez tagete é calculada para cada icremeto de carga a primeira iteração, sedo matida costate a partir da 1ª iteração de cada icremeto. As fórmulas de recorrêcia são este caso: d i+1 =d i + δ di ϕ ( d i ) = K (di )di -f e K T 1-1 = ϕ(d) d 1 δd i =- KT1-1 ϕ ( d i ) para i > 1 18

19 Método KT2 O método KT2 é aálogo ao método de N-R as duas primeiras iterações de cada icremeto e a partir da 2ª iteração as fórmulas de recorrêcia são: d i+1 =d i + δ di ϕ ( d i ) = K (di )di -f e K T 2-1 = ϕ(d) d 2 δd i =- KT2-1 ϕ ( d i ) para i >2 19

20 Métodos KT1 e KT2 f f K 0 K 1 ϕ 2 f f K 0 K 1 K 2 Δ f ϕ 1 f -1 δ d 0 δ d 1 δ d 2 d f -1 d d 0 =d -1 d1 d 2 d 3 d 4 d 0 =d -1 d r =d0 +1 a) b) 20

21 Outros Métodos Ficarão para um estudo posterior. O método de Newto-Raphso é utilizado o programa descrito o texto: Fiite Elemets i Plasticity Theory ad Practice Autores: Owe, D.R.J. ad Hito, E. Editora: Pieridge Press Ao:

22 Programa para Aálise Eslasto-plástica de um Problema Bi-Dimesioal Loop icremetos de Carga Loop Iterações Iput Loadps Icrem Algor STIFFP Frot Residu Co v er Out put VER: Fiite Elemets i Plasticity Theory ad Practice Autores: Owe, D.R.J. ad Hito, E. Editora: Pieridge Press Ao:

23 Subrotia Residu Residu MODPS SFR2 JACOB2 LINEAR INVAR YIELDF FLOWPL BMATPS VER: Fiite Elemets i Plasticity Theory ad Practice Autores: Owe, D.R.J. ad Hito, E. Editora: Pieridge Press, Ao:

24 Subrotia STIFFP STIFFP MODPS SFR2 JACOB2 BMATPS INVAR YIELDF FLOWPL DBE VER: Fiite Elemets i Plasticity Theory ad Practice Autores: Owe, D.R.J. ad Hito, E. Editora: Pieridge Press, Ao: