ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. PME Mecânica dos Sólidos I 2 a Lista de Exercícios

Transcrição

1 PME- - Mecâica dos Sólidos I a Lista de Eercícios ) Determie o tesor das tesões, escrito em relação à base b = e, e, e ), para cada um dos ( casos idicados (as tesões estão em MPa). Utilie a coveção de siais dada em sala de aula!! a) 5 8 b) 54 c) 6 d) 6 7 4,5 5 5 ) A figura abaio idica o eio cetral de uma estrutura tubular (d i = 54 mm, t = 5,4 mm) egastada a etremidade C. Os trecos AB e BC são ortogoais etre si e estão ambos cotidos o plao. Forças cocetradas de itesidade F e F são aplicadas respectivamete as seções A e B, coforme ilustrado. O material utiliado é o aço estrutural A6, cujas propriedades são dadas abaio. Pede-se determiar o estado de tesões os seguites potos da estrutura (ver observações a págia seguite): P = ( l, d i / + t, l/) P 4 = (, d i / + t, ) P = ( l, d i / + t, ) P 5 = (,, d i / + t) P = ( l, d i / t, ) P 6 = (,, d i / t) C l A l B F g Dados do problema: F = N; l =, m; g = m/s. E = GPa (módulo de elasticidade do material); G = 78 GPa (módulo de elasticidade trasversal do material); ρ = 785 kg/m (massa específica do material). F

2 Observações: a) O estado de tesões deve ser idicado: (i) com um elemeto D de lados paralelos aos eios coordeados,, idicados a figura, com todas as tesões ão-ulas represetadas este elemeto (idicar o setido em que cada tesão está realmete atuado e sua magitude) e (ii) com o tesor das tesões escrito em relação a base de versores b = ( e, e, e ) ; b) Cosiderar o efeito do peso próprio da estrutura uma ve que este tem a mesma ordem de gradea dos esforços aplicados; c) Levar em cosideração as tesões de cisalameto devidas à força cortate, quado for pertiete; d) Epressar todas as tesões em MPa. ) Cosidere ovamete os dados do eercício e determie: a) Os esforços solicitates a seção mais solicitada (seção crítica); b) O estado de tesões o poto cosiderado mais crítico desta seção (vale a mesma observação (a) do eercício ); c) as tesões pricipais e as direções pricipais de tesão para o poto escolido o item (b). Faça também um deseo idicado a orietação dos plaos pricipais de tesão (com relação aos eios,, ) um elemeto D. 4) Determie os círculos de Mor e o valor da máima tesão de cisalameto para cada um dos potos idicados o eercício. Com relação aos valores calculados de máima tesão cisalate, respoda: a) quais são os potos mais solicitados (detre os idicados)? b) qual é o poto meos solicitado (detre os idicados)? 5) Uma viga de seção trasversal retagular (base b, altura ) é submetida a um mometo fletor de itesidade M (fleão pura). A partir da distribuição de tesões ormais uma seção trasversal geérica (i.é, a partir de σ ), epressa em fução dos parâmetros dados, determie: a) a distribuição de tesões ormais (σ ) segudo o plao icliado AB, para θ = 45 o (ver figura); b) a distribuição de tesões de cisalameto (τ ) segudo o plao icliado AB. A M M θ b B 6) O eio idicado a seguir está submetido à torção pura. Determie: a) O estado de tesões em um poto geérico da superfície do eio, utiliado a base de versores b = ( er, eθ, e ) associada ao sistema de coordeadas cilídricas (idique o estado de tesões através de um elemeto D); b) O tesor das tesões correspodete ao poto descrito em (a); c) As tesões pricipais associadas ao poto.

3 Dados: M t (mometo aplicado), d (diâmetro do eio) e e θ r e M t θ M t 7) A barra prismática idicada a figura tem seção trasversal quadrada (lado a) e comprimeto l >> a, sedo composta de duas partes que foram uidas com um adesivo através do plao defiido pelos potos P, P, P e P 4. Através de vários esaios realiados sabe-se que o adesivo pode suportar uma tesão ormal máima de 4 MPa e uma tesão de cisalameto máima de MPa. Sem cosiderar o efeito combiado etre a tesão ormal e a tesão cisalate a resistêcia do adesivo, determie, com base apeas os valores admissíveis forecidos, qual o máimo valor que a força de tração F pode ter para que o adesivo ão fale. Dados: a = 4 mm, l = mm, Equação do plao de colagem segudo sistema de coordeadas O: ++ = l F P P P F P 4 8) A figura a seguir represeta o estado de tesão o poto mais solicitado de uma estrutura. Pedese: (i) qual deve ser a relação etre a tesão ormal a e a tesão de cisalameto b para que a máima tesão de cisalameto este mesmo poto ão eceda um dado valor admissível (τ ad ); (ii) se b= a >, determie as orietações dos plaos de máima tesão cisalate, segudo o sistema de eios O idicado a figura.

4 b O a 9) As tesões atuates em dois plaos (a-a e b-b) que passam por um dado poto (Q) de uma estrutura estão idicadas a figura a seguir. Determie o valor da tesão ormal σ b (que atua o plao b-b) bem como os valores das tesões pricipais o poto. Dados: θ = 45 o, β = 6 o. a P a 4 MPa P β Q θ b b b b θ MPa a P P 4 ) Os estados de tesão represetados a seguir referem-se a estados de tesão em um mesmo poto de uma estrutura submetida a dois carregametos distitos: o estado de tesão (I) está associado a um carregameto A, equato o estado de tesão (II) está associado a um carregameto B. O estado de tesão (III), para o mesmo poto estudado, está associado à superposição dos carregametos A e B, aplicados simultaeamete à estrutura. Determie: a) os valores das tesões σ, σ e τ devidas à superposição dos estados (I) e (II); b) os valores das máimas tesões de cisalameto para cada um dos estados de tesão idicados; c) com base o resultado obtido em (b), respoda: vale o pricípio da superposição a determiação da máima tesão de cisalameto? Isto é, podemos dier que τ + τ =?. Justifique!! a σ b ( Zoom o poto Q) má, I má, II τ má, III σ 6 4 τ 5 o 6 o σ (I), A (II), B (III), A+B 4

5 Eercícios Sugeridos (Livro Teto) Referêcia: Gere, J.M., Mecâica dos Materiais, São Paulo: Pioeira Tomso Learig,, 698 p. Tesão Plaa: 7..9, 7.. Carregametos Combiados: 8.5.4, 8.5.6, 8.5., 8.5.4, Referêcia: Gere, J.M. & Goodo, B.J., Mecâica dos Materiais, Cegage Learig,, 858 p. Tesão Plaa: 7..9, 7.. Carregametos Combiados: 8.5.5, 8.5., 8.5.8, 8.5. Respostas da a Lista de Eercícios 5 ) a) [ T ] b = 5 (MPa) b) [ T ] 54 8 b = 54 (MPa) 6 4,5 c) [ T ] b = 6 (MPa) d) [ T ] b = (MPa) ) Os tesores [T] de cada poto, escritos com relação à base idicada, são: a) o poto P: [ T ] b = b) o poto P:, 4,5,6 c) o poto P: [ T ] b = d) o poto P4:,6 [ T ] b [ T ] b 4,5 =,6,9 =,6,6,6 5

6 6 e) o poto P5: =,7,7 ] [ b T f) o poto P6: =,85,85 ] [ b T Obs: todas as tesões estão em MPa.

7 ) a) A seção mais crítica, este caso, é a seção trasversal próima ao egaste (seção C). Os esforços esta seção são: V = 8,5 kn. m ( e ) (f. cortate) M f = kn. m ( e ) (mom. fletor) M = 7,5 kn. m ( e ) (mom. torçor) t b) Os potos mais solicitados desta seção são os potos mais afastados do eio eutro, cujas coordeadas d + são dadas por: ( d + ), e, O tesor das tesões, escrito com relação à base idicada, o poto,9,6 [ T ] b = (MPa),6 d +, é: ( d + ) E o tesor das tesões para o poto, é dado por:,9,6 [ T ] b = (MPa),6 c) As tesões pricipais e direções pricipais de tesão serão: d + i) para o poto, : σ = 4,74MPa σ = σ =,474MPa = (,989; ;,78657) = ( ; ; ) = (,78657; ;,989) ii) para o poto ( d + ), : σ =,474MPa σ = σ = 4,74MPa = (,78657; = ( ; ; ) = (,989; ;,989) ;,78657) σ =, 4) a) Para o poto P: σ = (MPa) =, MPa σ = τ má 7

8 Para o poto P: Para o poto P: Para o poto P4: Para o poto P5: Para o poto P6: σ = 5,7 σ = (MPa) σ =,9 σ =,9 σ = (MPa) σ = 5,7 σ = 4,74 σ = (MPa) σ =,474 σ =,7 σ = (MPa) σ =,7 σ =,85 σ = (MPa) σ =,85 τ má τ má τ má τ má τ má =,45 MPa =,45 MPa = 7,4 MPa =,7 MPa =,85 MPa Verifica-se, portato, que o poto mais solicitado detre os idicados é o poto P4, de coordeadas P4 = d + ( d + ),. É fácil mostrar que o poto Q, de coordeadas Q =, possui a mesma tesão de cisalameto máima (ver eercício ), sedo também um poto crítico da estrutura. Já o poto meos solicitado, detre os idicados, será o poto P. 5) As distribuições de tesões ormais e cisalates são dadas por: σ = ( σ.se θ ). τ = ( σ.seθ.cosθ ). t M. sedo, σ =, = (seθ, cosθ, ) e t = (cosθ, - seθ, ) Para θ = 45 o virá: σ τ. M. =.. M. =. ( e + e ) ( e e ), ou, em módulo: σ τ 6. M. = 6. M. = 6) a) A úica tesão que eistirá, segudo a base de versores b = ( er, eθ, e ), é a tesão de cisalameto τ θ (bem como sua complemetar, τ θ ), dada em módulo por: M t d 6. M t τ θ =. = J π. d b) O tesor das tesões a base idicada será: 8

9 σ r τ rθ τ r 6. M t [ T ] b = τ θr σ θ τθ = π. d τ r τ θ σ. 6. M t σ = π. d 6. M c) As tesões pricipais o poto serão: σ = τ má = π. d 6. M t σ = π. d Obs: Tal estado de tesões é camado estado de cisalameto puro. t 7) F má = 6788 N (caso a força eceda este valor, averá fala por cisalameto o plao). 4 8) a) Deve-se ter: a + b τ. ad b) Para b = a >, as orietações das ormais aos plaos de máima tesão de cisalameto são: η = ± (, ;,69 ; ) ξ = ± (,69 ;, ; ) A máima tesão de cisalameto este caso vale: 9) a) σ b = 74,64 MPa σ = 8,95 b) Tesões pricipais o poto: σ = 6,57 (MPa) σ = ) a) σ = - 7,94 MPa τ σ = 47,94 MPa = 85 MPa τ a má = b) as tesões de cisalameto máimas em cada estado de tesão são: Para o estado I: τ má = MPa Para o estado II: τ má = 4 MPa Para o estado III: τ má = 5, MPa c) É fácil perceber que o pricípio da superposição ão pode ser aplicado este caso (isto é: τ má, I + τ má, II τ má, III ). A raão disto é que os plaos de máima tesão de cisalameto ão são os mesmos para os estados de tesão I e II (caso fossem, o pricípio poderia ser aplicado). 9