Implementação da técnica do arc-length e métodos relacionados no programa de elementos finitos FEMIX

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1 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz Relatório 06-DEC/E-0 Data: Novembro de 006 N. de pág.: 50 Palavras-chave: arc-legth, elemetos fiitos, aálise ão liear Uiversidade do Miho Escola de Egeharia Departameto de Egeharia Civil Istituto Politécico de Viseu Escola Superior de Tecologia Departameto de Egeharia Civil

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3 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Atóio Vetura Gouveia Escola Superior de Tecologia do Istituto Politécico de Viseu vetura@dcivil.estv.ipv.pt Joauim Atóio Oliveira de Barros Escola de Egeharia da Uiversidade do Miho barros@civil.umiho.pt Álvaro Ferreira Marues Azevedo Faculdade de Egeharia da Uiversidade do Porto José Mauel de Sea Cruz Escola de Egeharia da Uiversidade do Miho

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5 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX INDÍCE ÍNDICE... 5 SIMBOLOGIA...7 INTRODUÇÃO... TÉCNICA DO ARC-LENGTH DESLOCAMENTO CONTROLADO NUM GRAU DE LIBERDADE DESLOCAMENTO RELATIVO CONTROLADO POR DOIS GRAUS DE LIBERDADE OPÇÕES RELATIVAS AO RESTART INTRODUÇÃO DAS TÉCNICAS NUMÉRICAS NO PROGRAMA FEMIX EXEMPLOS Simulação umérica de uma viga sujeita a três potos de carga Procedimeto load cotrol Procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio Técica do arc-legth com variable arc-legth Técica do arc-legth com costat arc-legth Procedimeto displacemet cotrol at a specific variable Procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables Simulação umérica de um esaio de tracção directa Procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio Procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables CONCLUSÕES... 4 REFERÊNCIAS Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 5

6 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX ANEXO I: PROCEDIMENTO DESTINADO À DETERMINAÇÃO DE λ...45 ANEXO II: RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES...48 ANEXO III: FICHEIRO DE DADOS BLOCOS RELATIVOS AO ARC-LENGTH Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

7 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX SIMBOLOGIA i a Deslocameto a combiação e iteração i a Vector dos deslocametos odais da estrutura a Vector dos deslocametos a combiação a Vector dos deslocametos a combiação e iteração 0 a Vector dos deslocametos iiciais a combiação a F b E c Vector dos deslocametos referete aos graus de liberdade livres Factor de escala Módulo de Youg do betão f c Resistêcia à compressão do betão f ct F F Resistêcia à tracção do betão Força Força exterior a combiação aterior após covergêcia ( ) F λ Força exterior aplicada a combiação e iteração em fução do factor ( ) de carga da mesma iteração F a Força itera odal euivalete em fução dos deslocametos a combiação e iteração F Vector das forças exteriores a combiação F Vector das forças exteriores a combiação aterior após covergêcia F ( a ) Vector das forças iteriores em fução dos deslocametos a combiação F F Vector das forças exteriores referete aos graus de liberdade livres F P Vector das forças exteriores referete aos graus de liberdade prescritos F F Vector das forças iteras referete aos graus de liberdade livres Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 7

8 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX F P Vector das forças iteras referete aos graus de liberdade prescritos G f Eergia de fractura ( ) K T Matriz de rigidez tagete a combiação e iteração K FF Matriz de rigidez tagete referete aos graus de liberdade livres K PP Matriz de rigidez tagete referete aos graus de liberdade prescritos K Matriz de rigidez tagete referete à iteracção etre os graus de liberdade PF livres e prescritos p RP α th α, β Icremeto ou combiação Parâmetro ue defie a eergia de modo I de fractura dispoível para a ova feda Iteração Vector das reacções os graus de liberdade prescritos Âgulo a partir do ual se admite a possibilidade de formação de ova feda Factores de escala Deslocameto i a Deslocameto iterativo a combiação e iteração i a Vector dos deslocametos iterativos a combiação e iteração i a Vector dos deslocametos iterativos a combiação e iteração i a i, a j,, Compoete i ou j do vector a a F Vector dos deslocametos iterativos referete aos graus de liberdade livres a P Vector dos deslocametos iterativos referete aos graus de liberdade prescritos R P Vector das reacções iterativas os graus de liberdade prescritos 8 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

9 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX λ Factor de carga iterativo da iteração i a Deslocameto icremetal a combiação e iteração i a i Icremeto do deslocameto prescrito a compoete i do vector a a j Icremeto do deslocameto relativo prescrito etre as compoetes i e j i do vector a a Vector dos deslocametos icremetais a combiação e iteração 0 a Vector dos deslocametos icremetais iiciais a combiação a k Vector dos deslocametos icremetais a combiação e iteração, relativo à solução k,, Compoete i ou j do vector a i, a j a a F Vector dos deslocametos icremetais referete aos graus de liberdade livres a P Vector dos deslocametos icremetais referete aos graus de liberdade prescritos F Icremeto da força exterior F Vector do icremeto da força exterior F F Vector do icremeto da força exterior referete aos graus de liberdade livres F P Vector do icremeto da força exterior referete aos graus de liberdade prescritos L Gradeza do arco L i Gradeza do arco a combiação i η λ λ Factor correctivo Factor de carga da primeira iteração Factor de carga da iteração Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 9

10 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX ν θ k ρ ξ i, Ψ α i Coeficiete de Poisso Âgulo etre deslocametos icremetais de iterações cosecutivas Massa por uidade de volume Parâmetros ue defiem o diagrama triliear ue represeta a lei de amolecimeto Força ão euilibrada a combiação e iteração Ψ ( a ) Vector das forças ão euilibradas a combiação Ψ Vector das forças ão euilibradas em fução dos deslocametos a combiação e iteração Ψ F Ψ P Vector das forças ão euilibradas referete aos graus de liberdade livres Vector das forças ão euilibradas referete aos graus de liberdade prescritos 0 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

11 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX INTRODUÇÃO Muitos problemas da egeharia civil recorrem ao método dos elemetos fiitos de forma a obter uma solução para casos em ue ão se cohece à partida uma solução aalítica. O meio cotíuo é discretizado um cojuto de elemetos fiitos (Ziekiewicz e Taylor 989). O campo cotíuo de deslocametos é iterpolado utilizado os deslocametos odais dos elemetos fiitos. Se o material tiver comportameto ão liear, as euações obtidas pela aplicação do pricípio dos trabalhos virtuais também são ão lieares. Um procedimeto icremetal/iterativo é utilizado para resolver esse sistema de euações ão lieares, sedo o método de Newto-Raphso corretemete utilizado a resolução deste tipo de problemas. O sistema de euações de euilíbrio estedido a todos os graus de liberdade de uma estrutura pode ser represetado pela seguite expressão (Ziekiewicz e Taylor 989) Ka = F () em ue K é a matriz de rigidez da estrutura, a é o vector dos deslocametos odais da estrutura e F é o vector das forças odais euivaletes às acções ue actuam sobre a estrutura. No cotexto da aálise ão liear de estruturas o sistema de euações () ão é liear, pois a matriz de rigidez depede do vector dos deslocametos odais a (Ziekiewicz e Taylor 99). Com o objectivo de obter a resposta estrutural, a acção F deve ser aplicada de forma icremetal, desigado por icremeto de carga o vector F ue é adicioado ao vector de cargas da combiação, F, para se obter o vector de cargas da combiação, F, F = F + F () Assim, para a combiação a resposta estrutural pode ser obtida com base o aulameto dos deseuilíbrios Ψ ( a ), ue são defiidos da seguite forma Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

12 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX ( a) F F ( a) Ψ = (3) em ue a é o vector dos deslocametos, é o F é o vector das forças exteriores, F ( a ) vector das forças iteriores e Ψ ( a ) é o vector das forças ão euilibradas. Para a combiação correte,, pretede-se ue o vector das forças ão euilibradas seja ulo, i.e., Ψ ( a ) = 0 (4) O sistema de euações ão lieares (4) pode ser resolvido utilizado o método de Newto-Raphso. Cosiderado apeas os dois primeiros termos do desevolvedo em série de Taylor das fuções Ψ ( a ), obtém-se Ψ ( ) ( ) Ψ a Ψ a + a = 0 a (5) Cosiderado a defiição de Ψ ( a ), idicada em (3), aplicada ao caso da iteração da combiação, tem-se Ψ F ' = = a a ( K ) T (6) K T em ue ( ) é a matriz de rigidez tagete da iteração da combiação. Substituido (6) em (5) resulta, ( ) ( KT a a ) =Ψ (7) Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

13 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Tedo em vista a resolução do sistema de euações (4), são efectuadas sucessivas aproximações à solução fial recorredo-se a a = a + a = a + a (8) com i i= a = a = a + a (9) No iício do processo iterativo a 0 a = e 0 a = 0. Na Figura represeta-se a resposta para um sistema com um grau de liberdade relativamete a uma estrutura ue apreseta amolecimeto a fase de pós-pico. A simulação umérica deste tipo de estruturas pode ser efectuada por itermédio da aplicação directa de icremetos de força F. Este procedimeto é desigado, a omeclatura iglesa, por load cotrol. Observado a Figura, verifica-se ue os casos em ue o procedimeto load cotrol é adoptado ão é possível obter a resposta umérica a fase pós-pico (potos da curva etre A e B). Uma forma de cotorar esta dificuldade cosiste a utilização da icremetação em termos de deslocametos. Este procedimeto é desigado, a omeclatura iglesa, por displacemet cotrol. Assim, observado a Figura, coclui-se ue com este procedimeto é possível obter a resposta a fase pós-pico. Na Figura 3 apreseta-se a resposta de uma estrutura com comportameto complexo. Quado o procedimeto load cotrol é usado a simulação umérica da estrutura, a resposta etre os potos A e D ão é obtida, i.e., a resposta é costituída apeas pelos potos situados sobre a curva etre O e A e pelos potos a partir de D. Este feómeo é cohecido a omeclatura iglesa por sap-through. Caso seja utilizado o procedimeto displacemet cotrol, verifica-se ue os potos situados sobre a curva etre B e C ão são obtidos, i.e., a resposta é costituída apeas pelos potos O a B e pelos potos a partir de C. Este feómeo é cohecido, a omeclatura iglesa, por sap-back. Com vista a ultrapassar estas dificuldades e obter a totalidade da resposta umérica represetada a Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 3

14 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Figura 3, diversos ivestigadores propuseram diferetes técicas, etre as uais se destaca a técica desigada por arc-legth. Esta técica foi origialmete proposta por Riks (970) e Wemper (97), tedo sido sucessivamete modificada por diversos ivestigadores (Crisfield 983, 986, Bashir-Ahmed e Xiao-zu 004). Algumas técicas iterativas destiadas a ultrapassar dificuldades associadas à resolução de sistemas de euações ão lieares, como o arc-legth e métodos relacioados, itroduzem uma variação da carga durate o processo iterativo correspodete ao método de Newto-Raphso. O ível da carga passa a ser também uma icógita e tora-se ecessário cosiderar uma euação adicioal. Esta euação restrige a solução de forma a cumprir um determiado critério. Nestas codições os métodos passam a ser desigados métodos com solução restrigida (costraied methods a omeclatura iglesa). Nas secções seguites é apresetada a técica do arc-legth e métodos relacioados, assim como a forma como estes foram implemetados o código computacioal FEMIX 4.0 (Azevedo et al. 003). F Icremetos de carga F A B a Figura Procedimeto load cotrol. 4 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

15 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX F A B Icremetos de deslocameto a a Figura Procedimeto displacemet cotrol. F sap-through A B D O sap-back C a Figura 3 Resposta F-a de uma estrutura: feómeos de sap-through e sap-back. TÉCNICA DO ARC-LENGTH Na Figura 4 está represetada uma relação ão liear etre a força e o deslocameto um sistema com um grau de liberdade. Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 5

16 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX F F - + F F = F - + λ F B C D F λ F L F - A - a - a a a Figura 4 Técica do arc-legth aplicada a um sistema com um grau de liberdade ( b =.0 ). No âmbito da aálise ão liear da referida estrutura é utilizado um procedimeto icremetal de carregameto. Na Figura 4 está também represetada a variação de força e deslocameto correspodete ao icremeto de carga existete etre as combiações e. A utilização de um icremeto de carga F coduziria a uma solução ue se afasta demasiado do poto A, ultrapassado o pico correspodete ao poto C. Deste modo ão é obtida e evolução do comportameto da estrutura etre os potos A e D. Com o objectivo de ficar a cohecer esse comportameto, o icremeto de carga é multiplicado por um factor λ cujo valor fica defiido por itermédio da seguite restrição, ue correspode à obteção de uma solução localizada sobre o arco de raio L represetado a Figura 4. ( ) λ ( ) a + b F = L (0) Nesta euação b represeta um factor de escala ue coverte a ordem de gradeza da força a ordem de gradeza do deslocameto. De acordo com a Figura 4, a seguite expressão defie, em fução de λ, o valor da força exterior a combiação 6 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

17 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX ( λ) F = F + λ F () A expressão ue defie a força ão euilibrada (resíduo) da combiação, seguite Ψ, é a ( λ ) ( ) Ψ = F F a () em ue F ( a ) é a força itera obtida com base o deslocameto correspodete à combiação correte, a. De acordo com as euações () e () o aulameto das forças ão euilibradas correspode a ( a λ) F ( λ) F ( a ) F λ F F ( a ) Ψ =Ψ, = ' = + ' = 0 (3) No âmbito do método de Newto-Raphso, pretede-se ue a iteração sejam respeitadas as euações (0) e (3), resultado ( a λ ) F ( λ ) F ( a) F λ F F ( a) (, λ ) = ( ) + ( λ ) ( ) = 0 Ψ, = ' = + ' = 0 f a a b F L (4a) (4b) O processo iterativo correspodete ao método de Newto-Raphso com a técica do arc-legth ecotra-se esuematizado a Figura 5. Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 7

18 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX F F F 3 F λ F 3 λ F λ F 0 ψ ψ ψ ψ 3 3 λ F λ F L F - - a a a 3 a = a a a a a = a a a a 3 Figura 5 Processo iterativo associado à técica do arc-legth aplicada a um sistema com um grau de liberdade ( b =.0 ). No presete trabalho é cotemplada a possibilidade de aplicação de várias combiações de carga tratadas com o método de Newto-Raphso sem arc-legth seguidas de um cojuto de combiações em ue é aplicada a técica do arc-legth com âmbito o icremeto de força exterior passa a ser desigado por F. F costate. Neste Na Figura 6 represeta-se a aplicação do método de Newto-Raphso sem e com arc-legth. 8 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

19 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX F L Arc-legth L λ F λ F λ F Newto - Raphso F λ F a Figura 6 Método de Newto-Raphso sem e com a técica do arc-legth. A aplicação da técica do arc-legth em problemas com mais do ue um grau de liberdade cosiste a geeralização das euações (4), ue coduz ao seguite sistema de euações ão lieares ( a λ ) F( λ ) F ( a) F λ F F ( a) T T ( λ ) = + ( λ ) [ ] = Ψ, = ' = + ' = 0 f a, a a b F F L 0 (5a) (5b) Segudo Crisfield (99), para os problemas corretes, o factor b pode ser ulo. Tedo em vista a utilização do método de Newto-Raphso para obter a solução de (5), são cosiderados os dois primeiros termos do desevolvedo em série de Taylor das fuções ue figuram o sistema de euações ão lieares, resultado Ψ Ψ λ λ λ a λ ( ) ( ) Ψ a, Ψ a, + a + = 0 T f λ λ ( ) λ λ f ( ) ( ) ( a) f a, f a, + a + = 0 (6a) (6b) sedo Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 9

20 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Ψ F ' = = a a ( K ) T (7) Ψ λ = F (8) f ( a) = a (9) f λ [ ] T b F F = λ (0) Em (7), ( ) K T é a matriz de rigidez tagete. Uma vez ue a = a + a com a costate, tem-se a ( a) = () Substituido em (6) as euações (7) a (), resulta ( ) (, λ ) ( a, λ ) KT F a Ψ a T = T a b λ [ F] F λ f () No sistema de euações lieares () a matriz dos coeficietes ão é simétrica. Para cotiuar a beeficiar das vatages ieretes à resolução de um sistema de euações lieares com uma matriz simétrica, Crisfield (99) propõe a substituição de a a restrição (5b). Este procedimeto é em seguida descrito. 0 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

21 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Substituido (7) e (8) em (6a) obtém-se ( T ) (, ) K a =Ψ a λ + F λ (3) Explicitado o deslocameto iterativo a, obtém-se ( ) (, ) ( ) = T Ψ + T a K a λ K F λ = a + λ a (4) em ue ( ) T (, λ ) a K a = Ψ (5) e ( ) a = K T F (6) sedo, de acordo com a euação (5a) Ψ ( a, ) = F + λ F F' ( a ) λ (7) As sucessivas actualizações da solução correte são efectuadas com a seguite euação (ver a Figura 5 para o caso uidimesioal) a = a + a = a + a (8) sedo Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

22 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX i i= a = a = a + a (9) No iício do processo iterativo cosidera-se ue a 0 = e a 0 a = 0. No processo iterativo associado ao método de Newto-Raphso, o factor de carga λ é actualizado com a seguite expressão λ + = λ λ (30) Substituido as euações (4), (9) e (30) a euação (5b) resulta a seguite euação do segudo grau (ver o Aexo I) ( λ ) a + a λ + a = (3) 3 0 em ue λ é a icógita e T [ ] T a = a a + b F F T ( ) [ ] T ( ) ( ) [ ] T a = a a + a + b λ F F a3 = a + a a + a + b F F L T λ (3) Na geeralidade dos casos a euação (3) tem duas soluções reais ( λ e λ ). Atededo às euações (4) e (9) tem-se para cada λ k k, λk a = a + a + a, com k = ou k = (33) Assim, existem duas possíveis modificações do vector dos deslocametos, a, e a,. Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

23 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Tedo em vista a selecção de uma das duas soluções, é calculado, para cada uma delas, o co-seo do âgulo etre os vectores ue represetam a variação da solução a iteração actual ( a k, ) e a iteração aterior ( a ) ( ou ). Assim,, represetado k o úmero da solução de (3) a a cosθ =, k k a a, k T (34) Tedo como objectivo a escolha de uma solução ue mateha a solução correte uma direcção semelhate à ue foi utilizada a iteração aterior, é seleccioada a alterativa à ual correspode um meor âgulo θ k (ver a Figura 7). A solução ue apreseta o meor âgulo é também auela ue apreseta o maior valor do co-seo de θ k, sedo este o λ. critério adoptado. No exemplo da Figura 7 é seleccioada a solução ( ) solução θ solução a a, a a, θ Figura 7 Âgulo etre os vectores a e a k,. Se em (3) a for ulo, λ é calculado com a seguite expressão λ = a3 a (35) Se a euação (3) ão tiver ualuer solução, a técica do arc-legth ão pode ser utilizada. Nestas circustâcias sugere-se ue o processo iterativo seja reiiciado com outros parâmetros de forma a permitir uma progressão com meores icremetos de carga. A Figura 5 ilustra a aplicação da técica do arc-legth um sistema com um grau de liberdade. Nestas circustâcias costata-se ue para aplicar a técica do arc-legth uma Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 3

24 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX determiada combiação é ecessário defiir a primeira iteração ual o valor do parâmetro L. Com este objectivo é efectuada a primeira iteração com λ =.0, correspodedo este procedimeto ao método de Newto-Raphso clássico, i.e., sem recurso à técica do arc-legth. Nestas circustâcias e atededo às euações, (4)-(7), (9) e (30) tem-se { } ( T ) λ ( ) ( 0 K ) ( 0 T a ) 0 0 a = a= K F + F F a = = Ψ (36) sedo λ =.0. Cohecido a, é possível calcular o valor do parâmetro L com o recurso à euação (5b), resultado T T { λ [ ] } L= a a + b F F 0.5, com λ =.0 (37) O valor de L obtido com este procedimeto é matido costate durate a correte combiação. Com esta estratégia de determiação de L evita-se a ecessidade de forecer o seu valor como um dado do problema. Nos icremetos de carga subseuetes é possível seleccioar uma das estratégias ue são em seguidas descritas. Na primeira, ue a omeclatura iglesa é desigada costat arc-legth, o valor do parâmetro L ue foi calculado o primeiro icremeto com arc-legth é matido costate os restates icremetos. A seguda estratégia, ue a omeclatura iglesa é desigada variable arc-legth, cosiste em repetir o procedimeto correspodete às euações (36) e (37) em todos os icremetos com arc-legth. 3 DESLOCAMENTO CONTROLADO NUM GRAU DE LIBERDADE A simulação umérica de algus problemas estruturais com ão liearidades localizadas em determiadas zoas da estrutura por aplicação do método do arc-legth pode coduzir 4 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

25 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX a istabilidades o processo de covergêcia icremetal/iterativo. Esta deficiêcia pode ser cotorada seguido-se a estratégia utilizada por Batoz ad Dhatt (979) e ue cosiste em restrigir o deslocameto icremetal de uma variável específica a um valor predefiido. Este cotrolo de deslocameto é efectuado sem ser ecessário acrescetar ualuer apoio. Este procedimeto é desigado a omeclatura iglesa por displacemet cotrol at a specific variable. Assim, a euação (5b) é substituída pela seguite euação, a = a (38) i, i em ue a i, é a compoete i do vector a e ai é a sua magitude icremetal predefiida. Durate o processo iterativo o valor icremetal da compoete i do vector matém-se costate e igual a ai, i.e., a variação iterativa dessa compoete ( a i, ) a é ula. Tedo em cota este facto e também a euação (9) escrita para a compoete i do vector a, pode-se escrever a seguite euação a = a + a = a = a (39) i, i, i, i, i Para um determiado icremeto, os deslocametos iterativos a são obtidos com a euação (4). Escrevedo essa euação para a compoete i resulta a = a + λ a (40) i, i, i, Aulado o deslocameto iterativo a i, a euação (40) e resolvedo-a em ordem a obtém-se a variação iterativa do factor de carga λ a λ = (4) a i, i, Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 5

26 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX O vector dos deslocametos icremetais da primeira iteração pode ser obtido por itermédio da euação (36) com λ =.0. De forma a cumprir, para a compoete i do vector a, o valor predefiido ai (ver a euação (38)) é ecessário efectuar algumas correcções, omeadamete ao factor de carga iicial. A pormeorização destas correcções é exposta a Secção 6. 4 DESLOCAMENTO RELATIVO CONTROLADO POR DOIS GRAUS DE LIBERDADE Como se referiu a Secção 3, a simulação umérica de estruturas em ue ocorrem ão liearidades localizadas com o recurso à utilização da euação (5b) tora-se, por vezes, impossível. Na tetativa de evitar a istabilidade do processo de covergêcia icremetal/iterativo, de Borst (986) sugeriu ue a euação (5b) fossem apeas cosideradas algumas compoetes preseleccioadas do vector a. No caso de estruturas em ue ocorre fedilhação localizada, a solução passa pela escolha, de um modo apropriado, de dois graus de liberdade (compoetes de deslocametos), um em cada face de uma feda, e igualar a sua difereça a um determiado valor. Este cotrolo do deslocameto relativo etre os referidos potos é efectuado sem ser ecessário acrescetar ualuer apoio. Assim, a euação (5b) é substituída pela seguite euação a, j a, i= aj i (4) Nesta euação, a i, e a, j são, respectivamete, as compoetes i e j do vector a j ié a magitude icremetal predefiida etre essas duas compoetes. a e Durate o processo iterativo o deslocameto icremetal relativo etre as compoetes i e j do vector a matém-se costate e igual a a j i, i.e., a variação iterativa relativa etre essas compoetes ( a, j a, i) é ula. Tedo em cota este facto e também a euação (9) escrita para as compoetes i e j do vector a, pode-se escrever a seguite euação 6 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

27 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX ( ) ( ) a a = a + a a + a, j, i, j, j, i, i = a a = a, j, i j i (43) Os deslocametos iterativos a para um determiado icremeto são obtidos com a euação (4). Escrevedo essa euação para as compoetes i e j resulta a = a + λ a (44) i, i, i, a = a + λ a (45), j, j, j O deslocameto iterativo relativo etre as compoetes i e j é defiido pela seguite euação ( ) ( ) a a = a + λ a a + λ a (46), j i,, j, j i, i, Procededo-se ao aulameto do deslocameto iterativo relativo da euação (46) e resolvedo-a em ordem a λ, obtém-se a variação iterativa do factor de carga a λ = a a, j, i, j a, i (47) Tal como a secção aterior, o vector dos deslocametos icremetais da primeira iteração pode ser obtido por itermédio da euação (36) com λ =.0. De forma a cumprir, o valor predefiido a j i etre as compoetes i e j do vector a (ver a euação (4)) é ecessário efectuar algumas correcções, omeadamete ao factor de carga iicial. A pormeorização destas correcções é exposta a Secção 6. Com este procedimeto, desigado a omeclatura iglesa por relative displacemet cotrol betwee two specific variables, é possível obter a resposta umérica do comportameto de uma estrutura ode se evidecia a ocorrêcia do feómeo sap-back Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 7

28 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX (ver a Figura 3). Uma outra possível aplicação desta técica é a simulação de esaios em ue se cotrola a abertura da feda (Crack Mouth Opeig Displacemet cotrol, a omeclatura iglesa). 5 OPÇÕES RELATIVAS AO RESTART Quado o processo icremetal/iterativo ão é ecotrada uma solução ue satisfaça o sistema de euações ão lieares, tora-se ecessário fazer alterações aos parâmetros iiciais do problema. Para ultrapassar o problema da ão covergêcia algus ivestigadores (Crisfield 99 e Póvoas 99) sugerem diversas técicas, sedo uma delas a dimiuição automática da gradeza do icremeto de carga. No âmbito do presete trabalho sugere-se a utilização da fucioalidade de restart ue já se ecotra dispoível o código computacioal FEMIX 4.0. O termo restart sigifica retomar o processo icremetal/iterativo após a alteração de algus parâmetros iiciais do problema. Assim, multiplica-se o vector F (ue é matido sempre costate durate o arc-legth) e o escalar L pelos parâmetros α e β, respectivamete. As expressões apresetadas a Secção permaecem válidas, desde ue se substitua F por α F e L por β L. Sedo assim, ao efectuar o restart do processo icremetal/iterativo, a opção de variable arc-legth pode-se alterar o parâmetro α e a opção de costat arc-legth pode-se alterar o parâmetro β. Na opção displacemet cotrol at a specific variable e a opção relative displacemet cotrol betwee two specific variables, o valor da magitude icremetal predefiida (ver as Secções 3 e 4) pode ser alterado ao efectuar o restart do processo icremetal/iterativo. 6 INTRODUÇÃO DAS TÉCNICAS NUMÉRICAS NO PROGRAMA FEMIX Nesta secção são descritos de forma sucita os aspectos esseciais associados à implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de cálculo automático FEMIX 4.0 (Azevedo et al. 003). Nas simulações em ue se pretede recorrer à técica do arc-legth, esta começa a ser utilizada a última combiação de carga ue figura o ficheiro de dados ( F ). Nas combiações seguites o icremeto de carga etre as combiações ( ) ( F ) é F e F matido costate. O úmero máximo de combiações sem e com arc-legth é 8 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

29 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX = F + A, sedo A o úmero máximo de combiações com arc-legth. Em cada uma das A combiações com arc-legth o icremeto de carga factor λ (ver a Figura 6). F é multiplicado pelo Como a primeira iteração de cada combiação com arc-legth, o factor de carga é igual a.0 ( λ =.0 ), esta é tratada como uma iteração clássica de Newto-Raphso (ver a Figura 5). Como para algumas das opções atrás apresetadas, o factor de carga iicial ão é igual a.0, tem ue se corrigir o vector das forças exteriores, ( ) deslocametos, F λ, o vector dos a e o factor de carga iicial, de forma a respeitar a euação restritiva de cada opção. Na Figura 8 represeta-se, de forma esuemática, o procedimeto adoptado a primeira iteração de cada icremeto de carga, sedo utilizado um factor correctivo η, calculado de acordo com a opção utilizada: - costat arc-legth Nesta opção o factor correctivo η é obtido por itermédio do uociete etre o valor do arco costate e o valor do arco calculado com a euação (37), cosiderado λ =.0, L η = L = ( λ.0) (48) - displacemet cotrol at a specific variable a η = = a a i i i, ai, (49) - relative displacemet cotrol betwee two specific variables a a η = = a a a a j i j i, j, i, j, i (50) Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 9

30 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX L η L ηλ F λ F η a a Figura 8 Correcção de um icremeto de carga por itermédio de um factor η. Com o objectivo de apresetar de um modo sucito as alterações efectuadas o programa FEMIX 4.0, descreve-se em seguida o algoritmo icremetal/iterativo correspodete ao método de Newto-Raphso sem e com arc-legth. A pricipal difereça etre estes dois algoritmos cosiste o facto de o último ter mais uma icógita, o ue origia algumas alterações os diversos passos do processo icremetal/iterativo. Uma vez ue o código computacioal FEMIX agrupa em diferetes vectores as gradezas correspodetes a graus de liberdade livres e a graus de liberdade prescritos, opta-se por idetificar cada um destes casos com o ídice F (free) e P (prescribed), respectivamete (ver o Aexo II). O código também permite optar etre as estratégias path depedet (PD) ou path idepedet (PI) (Sea-Cruz 004). No Aexo III são eumerados os parâmetros relacioados com a técica do arc-legth ue podem ser itroduzidos o ficheiro de dados. 30 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

31 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Nota: os seguites algoritmos a + = b sigifica a a+ b. Método de Newto-Raphso sem arc-legth: Ciclo às combiações a = 0 (PI oly) F F F, F P, F F + = F F, F P + = F P, ap, a P = ap Ψ F + = F F, Ψ P + = F P Ciclo às iterações FF F =ΨF FP K a K a R = K a + K a Ψ P PF F PP P P P a F + = af (PI); af = af (PD) a + =, RP + = RP F a F Ψ F = F F F, Ψ P = P + RP F P F F = 0 a P a = 0 (PD oly) P Método de Newto-Raphso com arc-legth: Ciclo às combiações a = 0 (PI oly), = 0, λ =.0 F F F, F P a P, F F+ = λ F F, F P+ = λ F P Ψ F+= λ F F, Ψ P+= λ F P Ciclo às iterações K a =Ψ K a, K FF a = FF FF F F FP λ - euação (3), (4) ou (47) P F a = a + a λ F F F λ+ = λ, F F+ = λ F F, F P+ = λ F P R = K a + K a Ψ F λ P PF F PP P P P a F + = af (PI); af = af (PD) a + =, RP + = RP F a F Ψ F = F F F, Ψ P = P + RP F P F F Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 3

32 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 7 EXEMPLOS Nesta secção icluem-se os resultados obtidos em simulações uméricas, com o objectivo de mostrar as vatages da utilização das técicas ateriormete descritas a modelação de estruturas com comportameto ão liear material. 7. Simulação umérica de uma viga sujeita a três potos de carga Neste exemplo é efectuada a simulação de uma viga de betão sujeita a três potos de carga (RILEM 985). São utilizadas as diversas técicas descritas este trabalho e os resultados obtidos são comparados com a simulação efectuada por Rots (988). A malha utilizada para a discretização das vigas é a apresetada a Figura 9, sedo cosideradas as aproximações correspodetes a um estado plao de tesão. São utilizados elemetos de Lagrage de 4 ós com um esuema de itegração de Gauss-Legedre de. Com o objectivo de caracterizar adeuadamete a fedilhação a zoa do etalhe, a itegração de Gauss-Legedre é efectuada, os elemetos cetrais, com base um padrão de potos. Na simulação do comportameto ão liear material do betão é cosiderado um modelo de multi-fedas distribuídas (Sea Cruz et al. 004). Na Tabela ecotram-se as propriedades do betão ue é utilizado a simulação. Foi cosiderado um critério de covergêcia baseado a orma do vector das forças residuais, sedo a tolerâcia igual a 0.%. O peso próprio é também icluído a simulação. Espessura = 00 mm F/ F/ Esuema de itegração Figura 9 Viga com etalhe: geometria, malha, carregameto e apoios. 3 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

33 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Tabela Propriedades do betão utilizado a simulação da viga sujeita a três potos de carga. Massa específica ρ =.4 0 Kg mm 6 3 Coeficiete de Poisso ν = 0.0 Módulo de Youg Resistêcia à compressão Resistêcia à tracção E c = N mm f = 48.0 N mm c f =.4 N mm ct Parâmetros do amolecimeto triliear ξ = 0.4 ; α = 0.6 ; ξ = 0.8 ; α = 0. Eergia de fractura Parâmetro ue defie o modo I da eergia de fractura dispoível para a ova feda G = 0.3 N mm f p = Factor de reteção para o corte Expoecial com p = Bada de fedilhação Âgulo para formação de ova feda α th = 30º Raiz uadrada da área do elemeto 7.. Procedimeto load cotrol Na Figura 0 ecotra-se represetada a relação força-deslocameto vertical a meio vão correspodete à aálise da viga da Figura 9 com o procedimeto load cotrol. Costata-se ue com este procedimeto ão é possível obter umericamete o comportameto da estrutura em amolecimeto (softeig, a omeclatura iglesa). 000 Rots (988) Procedimeto load cotrol 500 Força aplicada (N) Deslocameto a meio vão (mm) Figura 0 Relação força-deslocameto vertical a meio vão. Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 33

34 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 7.. Procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio O problema umérico idetificado a Secção 7.. pode ser ultrapassado por itermédio do recurso ao procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio. Neste caso são impostos os deslocametos verticais dos potos em ue origialmete estavam aplicadas as cargas (ver a Figura ). Desta forma cosegue-se obter umericamete a totalidade da resposta, como se observa a Figura. Para ter em cota o peso próprio da viga, foi ecessário proceder a uma aálise prévia, tedo sido calculados os deslocametos dos potos A e B da Figura, cosiderado o peso próprio da viga como úico carregameto. Estes deslocametos foram impostos a primeira combiação tedo-se seguido a sua icremetação progressiva. 000 Rots (988) Procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio 500 Força aplicada (N) Deslocameto a meio vão (mm) Figura Relação força-deslocameto vertical a meio vão Técica do arc-legth com variable arc-legth Nesta simulação é utilizada a técica do arc-legth, tedo sido cosiderada a possibilidade de o raio do arco variar com os icremetos de carga. O parâmetro b da euação (5b) é cosiderado ulo. Verifica-se ue, ao cotrário do ue ocorreu com o procedimeto de cotrolo de força, é possível obter agora a resposta pós-pico, como se pode observar a Figura. Da aálise desta figura verifica-se ue só foi possível obter a resposta umérica 34 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

35 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX até um deslocameto vertical a zoa cetral da viga de 0.4 mm. Na combiação em ue o processo icremetal foi iterrompido por falta de covergêcia do processo iterativo foram etão calculados os valores e vectores próprios da matriz de rigidez da estrutura ( K ). A existêcia de valores próprios uase ulos revela o facto de a matriz K ser praticamete sigular, o ue justifica a dificuldade ecotrada a obteção da covergêcia do processo iterativo. 000 Rots (988) Variable arc-legth 500 Força aplicada (N) Deslocameto a meio vão (mm) Figura Relação força-deslocameto vertical a meio vão Técica do arc-legth com costat arc-legth Utilizado a técica do arc-legth com arco de raio costate em todas as combiações e igual ao ue foi calculado o primeiro icremeto de carga, obteve-se uma resposta semelhate à da aálise aterior, como se pode costatar observado a Figura 3. Também este caso ão foi possível obter a resposta para um deslocameto a meio vão superior a 0.4 mm. Tal como a Secção 7..3 o parâmetro b é cosiderado ulo. Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 35

36 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 000 Rots (988) Costat arc-legth 500 Força aplicada (N) Deslocameto a meio vão (mm) Figura 3 Relação força-deslocameto vertical a meio vão Procedimeto displacemet cotrol at a specific variable Na simulação em ue é utilizado o procedimeto displacemet cotrol at a specific variable o deslocameto cotrolado é o deslocameto vertical a meio vão da viga (ver a Figura 4). Durate o processo icremetal/iterativo o valor do carregameto é adaptado de forma a respeitar o valor pretedido para o deslocameto em cada combiação. Como se pode costatar a Figura 4 foi possível obter o comportameto pré- e pós-pico com uma boa cocordâcia em relação à simulação de Rots (988). Uma vez ue a geeralidade dos esaios laboratoriais é cotrolado com base o deslocameto de um poto da estrutura, o procedimeto descrito esta secção tem como vatagem em relação ao procedimeto descrito a Secção 7... o facto de o peso próprio ser directamete icluído o vector solicitação, evitado-se assim o cálculo prévio do deslocameto devido ao peso próprio e a sua iclusão como assetameto de apoio. 36 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

37 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 000 Rots (988) Displacemet cotrol at a specific variable 500 Força aplicada (N) Deslocameto a meio vão (mm) Figura 4 Relação força-deslocameto vertical a meio vão Procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables Com o objectivo de testar o procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables o exemplo em estudo, foi efectuada uma simulação umérica com cotrolo da abertura do etalhe (CMOD Crack Mouth Opeig Displacemet cotrol). Nesta aálise o carregameto da estrutura adapta-se de modo a cumprir o afastameto relativo imposto etre os potos Q e R da face do etalhe (ver a Figura 5). Na Figura 5 está represetada, para a presete simulação, a relação força-deslocameto vertical a meio vão da viga. Tal como o caso represetado a Figura 4, observa-se também uma boa cocordâcia relativamete aos resultados das simulações uméricas efectuadas por Rots (988). Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 37

38 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 000 Rots (988) Relative displacemet cotrol betwee two specific variables 500 Força aplicada (N) Deslocameto a meio vão (mm) Figura 5 Relação força-deslocameto vertical a meio vão. 7. Simulação umérica de um esaio de tracção directa Nesta secção é simulado umericamete o esaio à tracção de um provete em circustâcias ue coduzem à ocorrêcia do feómeo de sap-back. Pretede-se mostrar ue só por itermédio da utilização da técica iterativa ue tem em cota o cotrolo do deslocameto relativo etre dois graus de liberdade especificados se cosegue simular o referido feómeo. Na Figura 6 está represetada a malha utilizada a discretização dos provetes, ue se supõem sujeitos a um estado plao de tesão. São utilizados elemetos de Lagrage de 4 ós com itegração de Gauss-Legedre de. Com o objectivo de caracterizar adeuadamete a fedilhação a zoa do etalhe, a itegração de Gauss-Legedre é efectuada, os elemetos cetrais, com base um padrão de potos (ver a Figura 6). As propriedades do betão utilizadas a simulação ecotram-se idicadas a Tabela. Foi utilizado um critério de covergêcia baseado a orma do vector das forças residuais, tedo sido cosiderada uma tolerâcia de 0.0%. Neste estudo é efectuada uma comparação etre os resultados obtidos com o código computacioal desevolvido e os ue se ecotram publicados em Rots (988). 38 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

39 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX p + + Espessura = 50 mm mm.5 mm 60 mm Figura 6 Esaio de tracção: geometria, malha, carregameto e apoios. Tabela Propriedades do betão utilizadas as simulações do esaio de tracção directa. Massa específica ρ =.4 0 Kg mm 6 3 Coeficiete de Poisso ν = 0.0 Módulo de Youg Resistêcia à compressão Resistêcia à tracção E = N mm c f = 48.0 N mm c f = 3.4 N mm ct 0 Parâmetros do amolecimeto triliear ξ = ; α = ; ξ = ; α = Eergia de fractura Parâmetro ue defie o modo I da eergia de fractura dispoível para a ova feda G = N mm f p = Factor de reteção para o corte Expoecial com p = Bada de fedilhação Âgulo para formação de ova feda α th = 30º Raiz uadrada da área do elemeto Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 39

40 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 7.. Procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio Com o objectivo de efectuar a simulação com o procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio, o carregameto idicado a Figura 6 foi substituído por um cojuto de apoios situados os potos de aplicação das forças. Nesses apoios são impostos deslocametos verticais ascedetes ue crescem progressivamete e costituem a úica solicitação da estrutura (ver a Figura 7). Na Figura 7 represeta-se a resposta tesão ormal média-deslocameto do poto P assialado a malha. Verifica-se ue ao atigir o pico a resposta cai bruscamete (do poto A para o poto B), ão permitido prever o feómeo de sap-back ue se observa a fase pós-pico. A tesão média foi calculada com a euação (5), sedo F o somatório das reacções os apoios com deslocametos prescritos. A área da secção trasversal do provete a zoa do etalhe é mm. F σ med = (5) 3.5 Rots (988) 3 A Procedimeto displacemet cotrol por assetametos de apoio prescritos Tesão ormal média (N/mm ).5.5 B P Deslocameto do poto P (mm) Figura 7 Relação tesão ormal média-deslocameto do poto P. 40 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

41 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX 7.. Procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables Nesta simulação, o deslocameto vertical relativo etre os potos Q e R (ver a Figura 8) é utilizado como parâmetro de cotrolo do procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables. Na Figura 8 apreseta-se também a resposta tesão ormal média-deslocameto do poto P. Assim se costata ue a utilização do procedimeto relative displacemet cotrol betwee two specific variables permite a simulação correcta do feómeo de sap-back. A tesão média foi calculada com a euação (5), sedo p a força distribuída (ver a Figura 8). σ med p 60 = (5) 3.5 Rots (988) 3.5 Relative displacemet cotrol betwee specific variables p P Tesão ormal média (N/mm ).5 Q R Deslocameto do poto P (mm) Figura 8 Relação tesão ormal média-deslocameto do poto P. 8 CONCLUSÕES A simulação umérica de estruturas com comportameto ão liear material apreseta, por vezes, dificuldades associadas à obteção da resposta para determiados íveis de solicitação. Estas dificuldades uméricas são agravadas sempre ue ocorram feómeos Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 4

42 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX tais como o sap-back ou o sap-through. Com o objectivo de melhorar a ualidade das simulações uméricas efectuadas com o programa de elemetos fiitos FEMIX foram ele implemetadas as seguites fucioalidades: técica do arc-legth; deslocameto cotrolado um grau de liberdade; deslocameto relativo cotrolado por dois graus de liberdade. Efectuaram-se algumas simulações uméricas com o objectivo de testar e avaliar a eficiêcia das técicas implemetadas. Com base estas simulações verificou-se ue as técicas implemetadas melhoraram sigificativamete a ualidade das simulações em ue ocorrem feómeos de sap-back ou de sap-through. 4 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

43 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX REFERÊNCIAS Azevedo, A. F. M; Barros, J. A. O.; Sea-Cruz, J.; Vetura-Gouveia, A. (003). Software o Esio e o Projecto de Estruturas, III Cogresso Luso-Moçambicao de Egeharia, Eds. J.S. Gomes, C.F. Afoso, C.C. Atóio e A.S. Matos, volume I, pp. 8-9, Maputo, Moçambiue, 9 a de Agosto. URL: Bashir-Ahmed, M. ad Xiao-zu, S. (004). Arc-legth techiue for oliear fiite elemet aalysis. Joural of Zhejiag Uiversity SCIENCE, 5(5), Batoz, J.L. ad Dhatt, G. (979). Icremetal displacemet algorithms for oliear problems. It. J. Num. Methods Egrg., 4, p Crisfield, M.A. (99). No-liear fiite elemet aalysis of solids ad structures. Volume : essetials. Joh Wiley & Sos, Chichester, Eglad. Crisfield, M.A. (986). Sap-through ad sap-back respose i cocrete structures ad the dagers of uder-itegratio. Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, 9, Crisfield, M.A. (983). A arc-legth method icludig lie searches ad acceleratios. Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, 9, de Borst, R. (986). No-liear aalysis of frictioal materials. Dissertatio, Delft Uiversity of Techology. Póvoas, R.H.C.F. (99). Modelos ão-lieares de aálise e dimesioameto de estruturas lamiares de betão icluido efeitos diferidos. Tese de Doutorameto, Faculdade de Egeharia da Uiversidade do Porto. RILEM (985). Determiatio of the fracture eergy of mortar ad cocrete by meas of three-poit bedig tests o otched beams. Draft Recommedatio, 50-FMC Committee Fracture Mechaics of Cocrete. Materials ad Structures, 85(85), Riks, E. (970). O the umerical solutio of sappig problems i the theory of elastic stability. Dissertatio, Staford Uiversity, Staford, Califoria, USA. Rots, J.G. (988). Computatioal Modelig of Cocrete Fracture. PhD Thesis, Delft Uiv. of Tech. Sea-Cruz, J.M. (004). Stregtheig of cocrete structures with ear-surface mouted CFRP lamiate strips. PhD Thesis, Departmet of Civil Egieerig, Uiversity of Miho. URL: Sea-Cruz, J.M.; Barros, J.A.O.; Azevedo, A.F.M.. (004). Elasto-plastic multi-fixed smeared crack model for cocrete. Techical report 04-DEC/E-05, Departmet of Civil Egieerig, Uiversity of Miho, 70 pp. URL: Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 43

44 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX Wemper, G.A. (97). Discrete approximatios related to oliear theories of solids. It. J. Solids & Structures, 7, Ziekiewicz, O.C. ad Taylor, R.L. (989). The fiite elemet method (Fourth editio) Volume, Basic formulatio ad liear problems. McGraw-Hill, Berkshire, Eglad. Ziekiewicz, O.C. ad Taylor, R.L. (99). The fiite elemet method (Fourth editio) Volume, Solid ad fluid mechaics, dyamics ad o-liearity. McGraw-Hill, Berkshire, Eglad. 44 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz

45 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX ANEXO I: PROCEDIMENTO DESTINADO À DETERMINAÇÃO DE λ Neste aexo apreseta-se a dedução da euação (3) ue permite a determiação de λ. Substituido a euação (9) a euação (4) obtém-se i λ i= a = a = a + a = a + a + a (53) Elevado ao uadrado ambos os membros da euação (30) resulta ( λ ) ( λ λ ) ( λ ) λ λ ( λ ) = + = + + (54) O produto resultado T a a é em seguida desevolvido tedo em cota a euação (53), Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz 45

46 Implemetação da técica do arc-legth e métodos relacioados o programa de elemetos fiitos FEMIX T a a = a a ( ) ( ) a a λ a a a λ a ( a a λ a ) a + ( a + a + λ a ) a + + ( a + a + λ a ) λ a = = λ = a a + a a + a a + λ + a a + a a + a a + λ λ λ λ + a a + a a + a a T T T λ = a a a + a + a a + T T + a a + a a + λ a a + T T λ λ + a a a + a + T λ a λ a + ( ) T a = a λ + ) + a a + a a + a a T T T T + a a λ + T + a a + a T a T T a a a a ( ) T a = a λ + ( ) T + a a a + λ + ( ) T + a + a a + a T (55) Substituido a euação (5b), as euações (54) e (55) obtém-se 46 Vetura Gouveia, Joauim Barros, Álvaro Azevedo e José Sea Cruz