DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS EM

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1 DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS EM ELEMENTOS LAMINARES (PAREDES) CARREGADAS NO SEU PRÓPRIO PLANO JOÃO AUGUSTO MOREIRA ALVES Relatório de Projecto submetido para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS Orietador: Professor Nelso Vila Pouca Co-Orietador: Professor Rui Faria FEVEREIRO DE 008

2 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 007/008 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel Fax Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias PORTO Portugal Tel Fax Reproduções parciais deste documeto serão autorizadas a codição que seja mecioado o Autor e feita referêcia a Mestrado Itegrado em Egeharia Civil - 007/008 - Departameto de Egeharia Civil, Faculdade de Egeharia da Uiversidade do Porto, Porto, Portugal, 008. As opiiões e iformações icluídas este documeto represetam uicamete o poto de vista do respectivo Autor, ão podedo o Editor aceitar qualquer resposabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documeto foi produzido a partir de versão electróica forecida pelo respectivo Autor.

3 Aos meus Pais "Estamos a afogar-os em iformação e esfomeados de cohecimeto Rogers

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5 AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar expresso o meu apreço ao Professor Nelso Vila Pouca, orietador cietífico desta tese, pela dispoibilidade com que acompahou o meu trabalho, desempehado um importate papel a solução de vários problemas com que me deparei, e prestado uma valiosa ajuda a escrita deste documeto. A iteracção com o Egº Adré Correia (Fase - Estudos e Projectos S.A.) foi bastate útil, pricipalmete o que cocere a questões relacioadas com o programa de aálise estrutural utilizado esta dissertação, SAP000. A todos os meus colegas da Faculdade de Egeharia da Uiversidade do Porto, que sempre me motivaram para o desevolvimeto deste trabalho. Em especial, gostaria de destacar a imesurável ajuda do meu compaheiro e amigo Nelso Carvalho, sem o qual, o camiho para a fialização deste trabalho teria sido muito mais árduo. Aos amigos Rémy Faria, Nelso Carvalho. A toda a miha família e, em especial aos meus pais, a quem dedico este trabalho, pelo costate estímulo académico e pela dedicação exemplar ao logo de miha vida. Também ão posso deixar de esteder a miha gratidão à Juliaa, que sempre me acompahou com toda a paciêcia, compreesão e afecto. i

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7 RESUMO O presete trabalho tem como objectivo pricipal a determiação de armaduras em paredes carregadas o seu próprio plao, tedo como dados de partida os resultados obtidos a aálise liear elástica efectuada com o programa de elemetos fiitos, SAP000. Tedo em cota este objectivo, efectuou-se iicialmete um estudo referete à utilização do SAP000 a aálise de estruturas de betão armado, admitido o comportameto liear elástico. Esta aálise com base o método de elemetos fiitos (MEF) coduz-os a tesões que variam de poto para poto, sedo etão ecessário um procedimeto especial para dimesioar as armaduras. No aexo F da versão de 004 do EC, é referido este procedimeto, de grade utilidade para o projecto correte. Assim, adoptou-se esta recete metodologia para o dimesioameto dos elemetos de parede. Este método permite calcular a quatidade de armadura, disposta ortogoalmete, em estruturas de betão carregadas o próprio plao. Esta formulação foi implemetada um programa de cálculo automático, desigado por DIM MEMBRANE. Além das propriedades dos materiais iterveietes, fazem também parte dos dados desta ferrameta as tesões obtidas da aálise liear elástica com o programa SAP000. Este último foi também utilizado para pos-processameto dos resultados obtidos com o DIM MEMBRANE. A validação desta metodologia e do programa aqui apresetado, é efectuada comparado os resultados obtidos por ateriores ivestigadores a aálise de diversos exemplos. Destes exemplos costam elemetos de parede submetidos a socitações de membraa, de diferetes geometrias, com ou sem aberturas. O presete trabalho termia com a apresetação das coclusões extraídas da ivestigação desevolvida, e com recomedações para futuras ivestigações. PALAVRAS-CHAVE: Estruturas lamiares, paredes, betão armado, dimesioameto, MEF. iii

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9 ABSTRACT The objective of this paper is the reiforcemet desig of walls subjected to i-plae loadig, usig the results of liear elastic fiite-elemet aalysis made with the fiite-elemets program, SAP000. Give this objective, was made iitially a study based o the use of SAP000 i the aalysis of reiforced cocrete structures, assumig the liear elastic behavior. This aalysis based o the fiite elemet method (FEM) leads us to stress that vary from poit to poit, beig the require a special procedure to reiforcemet desig. Aex F of the 004 versio of EC, show this procedure, that is a very useful i curret projects. This formulatio was implemeted i a program of automatic calculatio, called DIM MEMBRANE. I additio to the properties of the materials ivolved, are also part of the data of this tool, the stresses obtaied from the liear elastic aalysis with the SAP000 program. The desig program DIM MEMBRANE makes use of SAP000 fiite elemet program as a provider of the structural elastic aalysis results ad as a post-processor for the presetatio of the reiforcemet results. The validatio of this methodology ad of the program preseted here, was doe by comparig the results obtaied by previous researchers i the aalysis of several examples. I the coclusio are summarized the discussios ad the coclusios of the preset work ad the recommedatios for future researches. KEYWORDS: Thi surface structures, walls, reiforced cocrete, desig, fiite elemet method (FEM). v

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11 ÍNDICE GERAL AGRADECIMENTOS...i RESUMO... iii ABSTRACT... v 1. INTRODUÇÃO 1.1 Estruturas lamiares coceitos básicos Aálise e dimesioameto de estruturas lamiares Objectivos Orgaização do trabalho...4. ANÁLISE LINEAR ELÁSTICA UTILIZANDO O PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS SAP000.1 Itrodução Fudametos básicos do MEF Breve referecia à modelação por elemetos fiitos SAP Apresetação do programa SAP Elemetos fiitos do programa SAP Validação dos resultados do programa SAP000 vs. 9.0, aalíse da sua covergêcia Problema 1: laje quadrada Solução aalítica (Formulação de Timosheko) Aálise dos resultados, para a carga uiforme Aálise dos resultados, para a carga cocetrada Problema : laje rectagular Solução aalítica (Formulação de Timosheko) Aálise dos resultados Problema 3: lajes em viés Aálise dos resultados Problema 4: Parede Solução aalítica (Formulação de Timosheko) Aálise dos resultados Cosiderações fiais MODELO DE DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DE MEMBRANA 3.1. Itrodução Equilíbrio do modelo de membraa Metodologia apresetada pelo EC (aexo f) Dimesioameto das armaduras Verificação da rotura do betão. 38 vii

12 4. IMPLEMENTAÇÃO AUTOMÁTICA 4.1.Itrodução Apresetação do programa DIM MEMBRANE Liguagem de programação Algoritmo de cálculo Pré-processameto com o SAP (para obteção do ficheiro de dados) Fucioameto da iterface gráfica Pós- processameto com o SAP Cosiderações fiais EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO 5.1. Itrodução Exemplo 1: Viga parede com abertura Geometria, carregameto, propriedades dos materiais Aálise com o SAP 000 (malha de elemetos fiitos, deformada, tesões) Aálise com o auxilio da ferrameta DIM MEMBRANE Comparação com os resultados obtidos por Loureço (199) Verificação do esmagameto do betão Dimesioameto Comparação com os resultados obtidos por Schlaich (1987) Exemplo : Viga ou Viga parede? Geometria, carregameto, discussão da especificidade do problema Aálise elástica com o programa SAP Aálise com o auxilio da ferrameta Dim_membrae Comparação com os resultados obtidos por Souza (004) Dimesioameto, utilizado um modelo de viga Comparação etre as diversas alterativas adoptadas para o dimesioameto Exemplo 3: Cetro de Artes do Espectáculo de Portalegre Descrição geral Aálise com o SAP Aálise com o auxilio da ferrameta Dim_membrae CONCLUSÕES A1: EXEMPLOS DE APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO APRESENTADO PELO EC (ANEXO F) A: DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS REGULAMENTARES PARA PAREDES E VIGAS PAREDE A3: CÓDIGO IMPLEMENTADO viii

13 ÍNDICE DE FIGURAS Fig.1.1 Exemplo de uma estrutura lamiar do tipo parede. Faculdade de Arquitectura da Uiversidade do Porto...1 Fig.1. Exemplo de uma laje de betão armado de um edifício residecial em costrução. Fig.1.3 Exemplo de uma estrutura tipo casca. Pavilhão Multiusos de Godomar... Fig..1 Discretização por elemetos fiitos...5 Fig.. Programa SAP Fig..3 Discretização por elemetos fiitos, o SAP Fig..4 Jaela Área Sectio Data...8 Fig.. 5 Descrição dos diferetes tipos de comportameto do elemeto...8 Fig..6 Nós do elemeto Shell Fig..7 Defiição do erro da solução umérica Fig..8 Laje quadrada codições de apoio 11 Fig..9 Laje quadrada casos de carga.11 Fig..10 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio cosideradas...14 Fig..11 Avaliação do erro associado aos mometos flectores, para as diferetes codições de apoio cosideradas...15 Fig..1 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio cosideradas...17 Fig..13 Dimesões das lajes estudadas Fig..14 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para a laje com relação etre vãos de 1,5...0 Fig..15 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para a laje com relação etre vãos de,0...1 Fig..16 Avaliação do erro associado aos deslocametos, cosiderado diferetes relações etre os vãos de uma laje simplesmete apoiada...1 Fig..17 Avaliação do erro associado aos deslocametos, cosiderado diferetes relações etre os vãos de uma laje ecastrada... Fig..18 Geometria da laje de betão armado em viés...3 Fig..19 Codições de apoio: a) Simplesmete apoiada em todo o cotoro; b)apoiada apeas em bordos... 3 Fig..0 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio da laje em viés.4 Fig..1 Imagem represetativa do problema em estudo..5 ix

14 Fig.. Apresetação esquemática das variáveis x e c, associadas ao problema em estudo.. 6 Fig..3 Avaliação do erro associado aos deslocametos para as diferetes malhas de elemetos fiitos...8 Fig.3.1 Processo de dimesioameto dos elemetos de membraa, com recurso à modelação através de elemetos fiitos...9 Fig.3. Elemeto de betão armado submetido ao EPT Fig.3.3 A cotribuição do betão, expressa as suas compoetes x e y...31 Fig.3.4 Froteira etre os quatro casos de carregameto...35 Fig.3.4 Froteira etre os quatro casos de carregameto...39 Fig.4.1 Defiição do problema: Como obter as armaduras de forma automática? 39 Fig.4.1 Defiição do problema: Como obter as armaduras de forma automática?...4 Fig.4.3 Algoritmo base do programa DIM MEMBRANE...4 Fig.4.4 Procedimeto para obteção das tabelas de resultados.43 Fig.4.5 Tabelas a exportar / Procedimeto para exportar os resultados para Excel...44 Fig.4.6 Iterface gráfica do programa DIM MEMBRANE Fig.4.7 Ajuda Fig.4.8 Procedimeto para a obteção da jaela de importação de dados Fig.4. 9 a) Ficheiros de resultados a importar (Asx, Asy, Betão); b) Relatório de importação Fig.4.10 Visualização dos resultados. À esquerda as áreas de armadura (Asx) e à direita o esmagameto do betão (Betão)...49 Fig.4.11 Iformação odal dos resultados...49 Fig.5.1 Ilustração dos exemplos utilizados a validação da metodologia do EC e do Programa Dim Membrae Fig.5. Geometria e cargas da viga parede...5 Fig.5.3 Malha de elemetos fiitos utilizada o estudo da viga parede 53 Fig.5.4 Deformada.53 Fig.5.1 Viga Parede tesões σ x x, σ y y, τ x y [kpa] Fig.5.6 Viga Parede, Áreas de armadura Asx e Asy (m²/m)...55 Fig.5.7 a) áreas de armadura (m²/m) para a direcção x; b) áreas de armadura (m²/m) para a direcção y...56 Fig.5.8 Vista geral da malha com a localização das secções estudadas...56 x

15 Fig.5.9 Esmagameto do betão Fig.5.10 Proposta para a distribuição das armaduras a viga-parede Fig.5.16 Viga parede dimesioada pelo modelo de escoras e tirates por Schlaich Fig.5.1 Geometria (cm) e cargas da viga parede Fig.5.13 Malha de elemetos fiitos utilizada o estudo da viga parede..6 Fig.5.14 Deformada da estrutura....6 Fig.5.15 Viga simplesmete apoiada tesões σ x x, σ y y e τ x y Fig.5.16 Viga simplesmete apoiada Àreas de armadura Asx e Asy (m²/m) e esmagameto do betão Fig.5.17 Armadura horizotal (cm²/m) ecessária para a secção A..65 Fig.5.18 Distribuição da armadura logitudial em altura 65 Fig.5.19 Área de armadura (cm²/m) para a direcção y..66 Fig.5. Solução fial de armaduras obtida para a viga, com o auxilio do programa Dim_membrae.67 Fig.5.1 Folha de cálculo utilizada por Souza [6] a determiação das armaduras Fig.5. Esquema do posicioameto das forças iteras Fig.5.3 Cetro de Artes do Espectáculo de Portalegre 73 Fig.5.4 Alçado da parede a estudar Fig.5.5 a) Aspecto geral da malha de elemetos fiitos; b) Deformada...74 Fig.5.6 Tesões a parede em estudo [kpa]...75 Fig. 5.7 Áreas de armadura (m²/m)...75 xi

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17 1 INTRODUÇÃO 1.1. ESTRUTURAS LAMINARES CONCEITOS BÁSICOS Na idústria da costrução civil são corretemete aplicadas estruturas lamiares. Por estrutura lamiar etede-se toda aquela que possui duas das suas dimesões muito maiores que a terceira dimesão, a sua espessura. Assim, as estruturas lamiares são ormalmete agrupadas em três domíios: as paredes (ou membraas), as lajes e as cascas. As primeiras, aqui deomiadas de estruturas tipo parede, são estruturas plaas sujeitas apeas a acções o seu plao e desevolvem somete esforços de membraa (Fig.1.1). Fig.1.1 Exemplo de uma estrutura lamiar do tipo parede. Faculdade de Arquitectura da Uiversidade do Porto. As lajes, são também estruturas plaas, mas com a particularidade de estarem sujeitas a acções perpediculares ao seu plao médio, desevolvedo assim, esforços primcipais de flexão (Fig.1.). 1

18 Fig.1. Exemplo de uma laje de betão armado de um edifício residecial em costrução. Por último, temos as cascas, que correspodem ao caso mais geral de uma estrutura lamiar. As cascas são estruturas sujeitas aos dois grupos de esforços ateriores, esforços de membraa e mometos flectores. Estas estruturas, ão têm restrições o que diz respeito às acções e desevolvem comportameto de membraa e flexão (Fig.1.3). Fig.1.3 Exemplo de uma estrutura tipo casca. Pavilhão Multiusos de Godomar. As estruturas lamiares, requerem uma ateção especial, omeadamete o que se refere ao dimesioameto, devido à complexidade do seu comportameto, ao reduzido úmero de disposições regulametares aplicáveis. Assim, pelo facto de ão serem aalisadas em detalhe a geeralidade dos cursos de egeharia civil, ão são domiadas em profudidade pela geeralidade dos projectistas de estruturas. 1.. ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS LAMINARES O dimesioameto de estruturas lamiares as décadas de 50, 60 e 70 do aterior século, era fudametalmete apoiado em tabelas. Estas tabelas, fudametavam-se a teoria da elasticidade, e os seus valores eram obtidos por itermédio de métodos aalíticos desevolvidos por diversos ivestigadores (Midli, Timosheko [8], etc ). Cotudo, estas tabelas foreciam, geralmete, apeas os esforços e os deslocametos em determiados potos da estrutura. Além disto, as estruturas aalisadas estas tabelas cobriam apeas um úmero reduzido de casos práticos, dada a complexidade que os métodos aalíticos apresetam o calculo de estruturas com geometria irregular, costituídas por diversos materiais, com codições de apoio de difícil simulação aalítica e solicitadas por acções complexas. Com o avaço dos computadores desevolveram-se métodos uméricos para aalisar estruturas complexas, omeadamete, o método dos elemetos fiitos. De facto, os últimos aos temse assistido ao proliferar de códigos computacioais que, recorredo ao método dos elemetos fiitos, permitem simular o comportameto de estruturas lamiares, em todo o seu domíio. A utilização de

19 programas de elemetos fiitos por projectistas de estruturas de betão também tem aumetado cosideravelmete os últimos aos, de tal modo que, hoje em dia, os modelos computacioais de aálise estrutural baseados o método dos elemetos fiitos costituem uma ferrameta ormal e de uso geeralizado o apoio ao projecto de estruturas. Este facto, deve-se quer ao úmero de programas de âmbito comercial dispoíveis o mercado, quer às crescetes facilidades de pré e pósprocessameto que os mesmos icorporam. Quado devidamete utilizado, este método é uma ferrameta bastate versátil e útil para simular o comportameto liear e ão liear geométrico e material de estruturas. Porém, é habitual verificarem-se ão só deficietes discretizações da estrutura, como também icorrectas iterpretações dos resultados, cosequêcia de uma fraca preparação teórica dos utilizadores. Obtidos os esforços proveietes da aálise liear elástica com o MEF, surge o problema da determiação da armadura ecessária e da verificação de tesões o betão. As armaduras correspodetes podem ser obtidas por aplicação dos modelos de dimesioameto costates da regulametação (Eurocódigo [9], CEB-FIP Model Code 1990 [6], ACI [1], REBAP [1]) A regulametação mais recete de estruturas de betão armado, omeadamete o EC, estabelecem algus critérios e disposições que permitem vecer algumas dificuldades o dimesioameto deste tipo de estruturas. No etato, a sua aplicação em situações de projecto reveste-se de algumas dificuldades associadas omeadamete aos meios de aálise evolvidos e à avaliação e tratameto dos resultados obtidos. Neste setido, o estabelecimeto de uma metodologia, evolvedo ferrametas auxiliares de cálculo, que permita a aplicação directa das recomedações regulametares o projecto reveste-se de grade importâcia. Assim, o que diz respeito especificamete à aálise e dimesioameto de membraas (paredes), existem iúmeros trabalhos desevolvidos o passado mais recete (Vecchio, Nielse [19], Marti [18], Gupta [1]). Neste trabalho, é apresetada uma metodologia para o dimesioameto destas estruturas baseada as recomedações do EC [9]. A metodologia asseta fudametalmete a utilização de um programa comercial de elemetos fiitos e a apliacação de uma ferrameta auxiliar de cálculo desevolvida o âmbito deste trabalho, visado a sua aplicação em situações corretes de projecto OBJECTIVOS A aálise de paredes com base o método de elemetos fiitos (MEF) coduz, um referecial Oxy defiido o folheto médio, a tesões σ x, σ y e τ x y que variam de poto para poto, sedo etão ecessário um procedimeto especial para dimesioar as armaduras. No aexo F da versão de 004 do EC, é referido este procedimeto, de grade utilidade para o projecto correte. É objectivo deste trabalho explorar a utilização deste procedimeto o dimesioameto de paredes de diferetes geometrias, com ou sem aberturas, solicitadas por acções verticais e horizotais, pretededo-se a implemetação um algoritmo a desevolver, que receberá as tesões ( σ x, σ y eτ x y ) obtidas a aálise da parede pelo MEF, e efectuará a determiação das armaduras ecessárias. 3

20 Em termos gerais, este trabalho tem como pricipais objectivos os seguites tópicos: Estudo e aálise do comportameto dos elemetos de parede (membraa) de betão armado; Apresetar e promover a discussão da metodologia referida o EC, para o dimesioameto de estruturas lamiares (omeadamete paredes). Aplicação do programa comercial SAP 000, utilizado recursos de aálise liear elástica. Sedo um dos objectivos deste trabalho o estudo de estruturas lamiares evolvedo aálises lieares elásticas com o MEF, impõe-se a ecessidade de estudar a variabilidades de diversos factores que iflueciam de forma prepoderate os resultados do calculo estrutural, como é o caso da discretização da malha de elemetos fiitos utilizada a modelação estrutural. Para a validação dos resultados do programa de cálculo SAP 000, são aalisados vários exemplos. Implemetação da metodologia aqui apresetada um algoritmo a desevolver que, a partir das tesões σ x, σ y e τ x y obtidas a aálise liear elástica pelo MEF (SAP 000), efectua a determiação das armaduras ecessárias tedo por base as recomedações do EC. Aplicação e validação da ferrameta de calculo automático desevolvida ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O presete trabalho ecotra-se orgaizado em 6 capítulos. No capítulo, procura-se aprofudar determiadas questões associadas à aálise liear elástica apoiada o método dos elemetos fiitos, com a utilização do programa SAP 000. Avalia-se o seu desempeho, por forma a possibilitar ao egeheiro mais cofiaça e clareza a utilização desta ferrameta. Apreseta-se um estudo, referete à dimesão da malha de elemetos fiitos a utilizar este tipo de aálises. Todo este processo de avaliação do programa SAP 000, é acompahado de exemplos uméricos. O capítulo 3, apreseta uma abordagem teórica do dimesioameto dos elemetos de membraa (parede). Recorredo ao equilíbrio das várias forças que actuam um elemeto, apreseta-se a solução para estados plaos de tesão. Aida esta seguda parte do trabalho, eucia-se e explora-se a metodologia apresetada pelo EC (aexo F), ão só de forma teórica, mas também com exemplos uméricos de aplicação. Este capítulo resulta de uma pesquisa relativamete exaustiva e pretede apresetar, de forma crítica e sistematizada, a clarificação dos procedimetos de dimesioameto dos elemetos de membraa (parede). O capítulo 4, apreseta todo o processo de implemetação automática do procedimeto apresetado pelo EC (aexo F). É dado a cohecer o programa de cálculo desevolvido, DIM MEMBRANE, expodo o sua estrutura orgaizacioal e o algoritmo de cálculo. No capítulo 5, são apresetados dois exemplos de aplicação, que ilustram a aplicação e validação do Programa DIM MEMBRANE. Nestes exemplos, trabalhados de forma extesa, efectua-se aida a comparação das soluções obtidas com resultados obtidos por outros ivestigadores. O capítulo 6 ecerra o presete trabalho, pelo que se sumariam as coclusões mais importates e são apresetadas algumas sugestões visado desevolvimetos futuros. 4

21 ANÁLISE LINEAR ELÁSTICA UTILIZANDO O PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS SAP INTRODUÇÃO A adopção das técicas de elemetos fiitos como suporte à aálise estrutural, surgiu da ecessidade da utilização de modelos estruturais que descrevessem o comportameto das estruturas, de forma mais realista (Fig..1). No etato, a utilização deste método só se toraria viável o âmbito do projecto após o surgimeto dos computadores, que permitiram obter respostas rápidas para o grade volume de cálculo evolvido. Assim, com o aumeto da velocidade de processameto dos computadores, o método também se pôde desevolver de maeira impressioate, sedo actualmete aplicado as mais diversas áreas. Neste capítulo, descrevem-se algus aspectos importates do MEF, procurado debater algumas questões associadas à aálise liear elástica utilizado o programa de elemetos fiitos SAP 000. Destaca-se a apresetação de um estudo referete à discretização da malha de elemetos fiitos a utilizar este tipo de aálises. A breve descrição do MEF apresetada este capítulo pode ser complemetada com a cosulta de livros da especialidade (Ziekiewicz [31], Azevedo [], Bathe [3], Reddy []). Fig..1 Discretização por elemetos fiitos. 5

22 .. FUNDAMENTOS BÁSICOS DO MEF A ideia base do método dos elemetos fiitos é ecotrar a solução de um problema complexo através da substituição do problema iicial por vários outros problemas de simples resolução. Assim, de iicio, discretiza-se o problema iicial em vários elemetos de dimesão bastate reduzida, os chamados elemetos fiitos. Os elemetos fiitos são defiidos através dos ós, que são potos ode uma solução aproximada pode ser adoptada e ode equações de equilíbrio podem ser estabelecidas. Também iicialmete, dado o descohecimeto dos campos de deslocametos e tesões, assume-se que a sua variação detro dos elemetos fiitos possa ser aproximada por fuções simples, chamadas de fuções de iterpolação, que são defiidas em termos dos valores dos campos variáveis os ós. Os valores odais dos campos variáveis são cohecidos após a resolução das equações de equilíbrio. Etão, as fuções de iterpolação são utilizadas para descrever o comportameto de todos os ós da estrutura. De seguida, apresetam-se os passos que costam do processo de aplicação do MEF, o estudo de estruturas de comportameto elástico liear (a presete exposição, adoptou-se a formulação do método em deslocametos): Selecção do tipo de represetação estrutural A estrutura pode ser caracterizada como: estrutura reticulada, laje, casca, sólido tridimesioal, etc. Discretização Divisão do domíio em sub-domíios, deomiados elemetos fiitos. A iteracção etre os elemetos faz-se através de um úmero fiito de potos, os potos odais. As icógitas do problema, são os deslocametos dos potos odais. Formulação do elemeto No iterior de um elemeto, admite-se uma aproximação das variáveis fudametais do problema com base um cojuto de fuções, as fuções de iterpolação ou fuções de forma. No caso da formulação em deslocametos, as variáveis fudametais são os deslocametos. Deste modo, o campo de deslocametos o iterior do elemeto é obtido em termos das fuções de iterpolação e dos valores dos deslocametos os potos odais. O tesor das deformações o iterior do elemeto é fução dos deslocametos odais e da matriz de deformação, que se calcula a partir das derivadas das fuções de iterpolação. Para meios elásticos, o tesor das tesões é obtido a partir do tesor das deformações, através da matriz costitutiva. Fialmete, a aplicação do Pricípio dos Trabalhos Virtuais, permite determiar a matriz de rigidez do elemeto, a qual estabelece as equações de equilíbrio do elemeto, relacioado as forças odais com os deslocametos odais. 6

23 Formação das equações de equilíbrio global A matriz de rigidez global da estrutura, relacioado o vector de deslocametos odais com vector das forças exteriores aplicadas, permite estabelecer as equações de equilíbrio global. Esta matriz é obtida a partir das matrizes de rigidez elemetares. O vector das forças exteriores é obtido pela sobreposição das diversas cargas aplicadas. A matriz de rigidez global deve etão ser alterada para ter em cota as codições de apoio, que correspodem à imposição de deslocametos (ulos ou de valor cohecido) em certos potos odais. Determiação de deslocametos e tesões A solução do sistema de equações lieares, represetado o equilíbrio da estrutura, permite determiar o vector dos deslocametos odais. Os deslocametos, deformações e tesões em todos os elemetos podem etão ser calculados, utilizado, respectivamete, as fuções de iterpolação, e as matrizes de deformação e de elasticidade..3. BREVE REFERÊNCIA À MODELAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS SAP PROGRAMA SAP 000 No presete trabalho, utiliza-se o programa comercial SAP 000, para aálises elásticas. De seguida são apresetados algus aspectos de fucioameto deste programa. Todas as cosiderações que serão apresetadas a aálise do SAP000, referem-se à versão 9.0 do programa. Note-se que, o caso de utilizarmos outras versões poderão surgir potualmete algumas difereças. Para maiores iformações do programa SAP 000, recomeda-se a leitura do trabalho efectuado por Wilso [30], [3]. Fig.. Programa SAP ELEMENTOS FINITOS DO PROGRAMA SAP000 A ideia base da modelação por elemetos fiitos, cosiste em dividir o elemeto em questão em partes pequeas, as quais possuem diversas características (geometria, material, codições froteira). No caso do programa SAP000, esta discretização do problema iicial em vários elemetos de dimesão reduzida, é efectuada defiido elemetos de área. Estes elemetos de área, podem ser de três tipos: Shell, Plae or Axisysmmetric Solid. Neste trabalho apeas serão abordados os elemetos Shell. Fig..3 Discretização por elemetos fiitos, o SAP000. 7

24 O elemeto Shell, pode ser usado para modelar paredes, lajes, cascas, etc. Para cada elemeto Shell é possível defiir um cojuto de características, tais como o tipo de comportameto que será cosiderado (Shell, Membrae, Plate), a espessura, o tipo de material, etc. (Fig..4) Seguidamete são apresetados os aspectos mais importates a defiição dos elemetos de área. Assim, ao seleccioar Defie/Area Sectio, teremos: Sectio Name: Atribui o ome da secção; Material Name: Material associado à secção; Material Agle: Utiliza-se quado se trabalha com materiais ortotrópicos; Thickess: refere-se à espessura da secção; Membrae (th): defie a espessura utilizada o elemeto shell associado a esforços de membraa, assim como para calcular o peso próprio e a massa de cada secção; Bedig (thb): espessura utilizada para calcular a rigidez associada à flexão em elemetos de Shell e placa (laje). Normalmete os valores de th e thb são iguais, em algus casos podemos ter a ecessidade de defiir valores diferetes de thb e th. Type: defie que tipo de comportameto será cosiderado para o elemeto. Recomeda-se a selecção do comportameto completo de Shell (Fig..5). Type = Membrae: comportameto de membraa puro, permite deformações axiais e rotações em toro do eixo3; Type = Plate: comportameto de placa (laje) puro, permite deformações segudo o eixo 3, e rotações em toro dos eixos locais 1 e ; Type = Shell: comportameto de casca. È a combiação dos tipos de comportameto ateriormete descritos, permite rotações e deslocametos em toro de todos os eixos locais do elemeto. (recomeda-se a utilização deste tipo). Fig..4 Jaela Área Sectio Data a) b) Fig.. 5 Descrição dos diferetes tipos de comportameto do elemeto 8 a) Comportameto de membraa; b) Comportameto de placa (laje)

25 Aida a caixa Type, o utilizador pode icluir as deformações por corte a aálise. Ao escolher a opção Thick Plate, as deformações por corte são icluidas através da formulação de Midli/Reisser. Por outro lado, se a opcção Thick Plate ão for selecioada, é usada a formulação de Kirchhoff, desprezado-se este caso as deformações de corte ( Thi Plate ). Os mauais do SAP recomedam a utilização da opção Thick Plate, a meos que estejamos a usar uma malha distorcida, caso saibamos que a deformação por corte será baixa, ou se estamos à procura do valor da solução da formulação Thi Plate. No botão Set Modifiers, podem aida ser alterados os factores de rigidez associados a cada grau de liberdade através de um coeficiete que é aqui defiido.. Para estabelecer a rigidez do elemeto Shell, é usada uma formulação de itegração umérica variável de 4 a 8 ós (Fig..6). Fig..6 Nós do elemeto Shell As fuções de forma são dadas por: 1 = (1 )(1 ) / 4 5 = (1 )(1 ) / N X Y N X Y = (1 + )(1 ) / 4 6 = (1 + )(1 ) / N X Y N X Y 3 = (1 + )(1 + ) / 4 7 = (1 )(1 + ) / N X Y N X Y 4 = (1 )(1 + ) / 4 8 = (1 )(1 ) / N X Y N X Y (1) As primeiras quatro fuções de forma são as fuções de forma stadard para um elemeto de 4 ós. As últimas quatro fuções de forma dos ós médios, são uma adição às fuções de forma stadard e são chamadas de fuções de forma hierárquicas. Na maioria dos programas de elemetos fiitos, em elemetos isoparamétricos, as tesões são calculadas os potos de Gauss. Em muitos desses programas de cálculo, as tesões são apresetadas ou desehadas estes potos. No SAP [3] (como outros programas), as tesões são calculadas pelo programa os potos de Gauss (x), e em seguida extrapoladas para os potos odais. São estes valores odais que são apresetados ao utilizador. 9

26 .4. ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS COM O PROGRAMA SAP000 VS. 9.0 Com o objectivo de comprovar a boa prestação do programa de cálculo SAP 000, e por forma a aalisar a covergêcia desta ferrameta de cálculo, aalizaram-se algus modelos simples, os quais se calcularam deslocametos e esforços cosiderado diferetes discretizações a malha de elemetos fiitos, diferetes codições de apoio e aida diferetes casos de carga. Assim, as subsecções seguites serão estudados algus problemas, por forma a atigir os objectivos ateriormete referidos. Para a validação dos resultados do programa de cálculo, utilizaram-se soluções aalíticas cohecidas para este tipo de problemas. Estas soluções aalíticas permitiram avaliar o erro associado à discretização e comparar o desempeho dos diversos tipos de malha de elemetos fiitos. Os resultados a validar correspodem a deslocametos e os esforços de flexão, proveietes de uma aálise liear elástica efectuada com o programa de cálculo SAP 000. A percetagem de erro da solução umérica obtida através do programa SAP00, é calculada pela seguite expressão (Fig..7): = V 000 % 100 SAP V aalítico erro (.1) V SAP 000 Fig..7 Defiição do erro da solução umérica Este estudo é extremamete importate, pois o tamaho dos elemetos tem ifluêcia sigificativa a covergêcia da solução, e por isso, deve ser defiido com algum cuidado. O úmero de elemetos a ser escolhido geralmete está relacioado com a precisão desejada. Um acréscimo o úmero de elemetos coduz ormalmete a uma melhoria a solução do problema, o etato, existe um certo limite para o qual o erro estabiliza. Para além disso, o refiameto exagerado tem como desvatagem o tempo dispedido pelo programa de cálculo automático e o grade volume de iformação gerada que é ecessário tratar posteriormete. 10

27 .4.1 PROBLEMA 1: LAJE QUADRADA Este primeiro problema, correspode ao estudo de uma laje de betão quadrada, cosiderado-se várias codições de carregameto e codições de apoio. Embora o presete trabalho se cetre o estudo de paredes, optou-se por icluir este estudo elemetos de laje, pois a aálise do seu comportameto estrutural é mais perceptível e ituitiva para a geeralidade dos projectistas. O mesmo, já ão acotece o caso dos elemetos de parede. Os dados do problema ecotram-se descritos os tópicos seguites, omeadamete: a geometria do elemeto em estudo, as propriedades da classe de betão utilizado, as codições froteira e os casos de carga aalisados. Laje de betão armado quadrada Dimesões em plata: 6 6 m Espessura da laje de 0, m 3 Betão classe C5/30 ( γ = 5kN / m ; E = 31 GPa ; v = 0,) Codições de apoio: a) Simplesmete apoiada os 4 bordos b) Laje ecastrada Fig..8 Laje quadrada codições de apoio Casos de carga a) Carga uiformemete distribuída q =0 kn/m² b) Carga cocetrada o cetro da laje (P = 0 kn) Fig..9 Laje quadrada casos de carga 11

28 SOLUÇÃO ANALÍTICA (FORMULAÇÃO DE TIMOSHENKO) No presete caso recorreu-se às soluções aalíticas obtidas em "Theory of plates ad shells" da autoria de Timosheko e S. Woiowsky-Krieger [8], por forma a proceder à validação dos resultados do programa de cálculo SAP 000. De seguida apresetam-se as soluções aalíticas para o problema aqui em estudo. Quadro.1 Expressões aalíticas para a determiação dos deslocametos e esforços uma laje quadrada submetida a uma carga uiformemete distribuída, fução das codições de apoio. Deslocameto o cetro da laje Mometo o cetro da laje Mometo o ecastrameto Codições de apoio Simplesmete apoiada Ecastrada w w = 0,00406 = 0,0016 ql D 4 ql D 4 M = 0,044 ql M = 0,013 ql M = - 0,0513 ql Quadro. Expressões aalíticas para a determiação dos deslocametos uma laje quadrada submetida a uma carga cocetrada aplicada o cetro, fução das codições de apoio. Deslocameto o cetro da laje Codições de apoio Simplesmete apoiada Ecastrada w w = 0,0116 = 0,0056 PL D PL D Notas: 3 E t O símbolo D presete os quadros ateriores, represeta a rigidez à flexão do elemeto de laje, D = ; 1(1 - v ) q correspode à carga uiformemete distribuída a laje; P correspode à carga cocetrada aplicada o cetro da laje; L correspode ao meor vão Os valores apresetados os quadros ateriores, têm como fote o livro "Theory of plates ad shells" da autoria de Stephe P. Timosheko e S. Woiowsky-Krieger. 1

29 .4.1. ANÁLISE DOS RESULTADOS, PARA A CARGA UNIFORME O elemeto estrutural em estudo foi modelado o programa de cálculo SAP 000 vs com elemetos fiitos, cosiderado a hipótese de laje fia (Thi-Plate), a qual se desprezam as deformações por esforço trasverso. A modelação o SAP 000, foi efectuada cosiderado diferetes discretizações a malha de elemetos fiitos, apresetado-se os quadros.3 e.4 os resultados obtidos e a sua comparação coma a solução aalítica. Quadro.3 Deslocametos e mometos o cetro da laje simplesmete apoiada submetida à carga distribuída. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , , , ,00489 Erro [%] -6,95% -0,41% -0,0% 0,00% Mometo [kn.m] 40,8 33,3 3,4 31,97 31,8 Erro [%] 8,1% 4,41% 1,86% 0,45% Quadro.4 Deslocametos e mometos o cetro da laje ecastrada os 4 bordos, submetida à carga distribuída. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , , , ,0015 Erro [%] -3,68% 15,79% 7,89% 1,97% Mometo o cetro [kn.m] 3,4 19,07 16,90 15,64 15,19 Erro [%] 113,30% 5,54% 11,6%,96% Mometo o bordo [kn.m] -4-34,99-36,11-36,74-36,94 Erro [%] -6,91% -5,8% -,5% -0,54% 13

30 A Figura.10 relacioa a percetagem de erro associada aos deslocametos com a discretização da malha de elemetos fiitos, a preseça de carga uiforme, e para as diferetes codições de apoio ateriormete cosideradas. percetagem de erro [%] 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% -5% -10% Avaliação do erro associado aos deslocameto, para as diferetes codições de apoio x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha [º elemetos] laje simplesmete apoiada laje ecastrada Fig..10 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio cosideradas. A aálise da iformação cotida o gráfico.10 permite retirar as seguites coclusões: Para a laje simplesmete apoiada, observa-se: Notória covergêcia mais rápida, em comparação com a laje ecastrada; Erro praticamete ulo para uma malha de 4x4; (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 1,5 m) Resultados pouco aceitáveis para a malha de x; (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 3 m) Para o caso da laje ecastrada, temos: Covergêcia mais leta em comparação com a laje simplesmete apoiada; Erro admissível (<5 %) alcaçado só para uma malha de 1x1; (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 0,5 m) Resultados iaceitáveis para a malha de x, à semelhaça do que acotece a laje simplesmete apoiada (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 3 m). 14

31 A avaliação do erro associado aos mometos flectores, para as diferetes codições de apoio cosideradas é apresetada a Figura.11. Percetagem de erro [%] 10% Avaliação do erro associado aos Mometos flectores, para as diferetes codições de apoio 100% 80% 60% 40% simplesmete apoiada ecastrada 0% 0% x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha Fig..11 Avaliação do erro associado aos mometos flectores, para as diferetes codições de apoio cosideradas. Para o caso da laje simplesmete apoiada, verifica-se que: Os erros relativamete aos mometos são claramete superiores, aos erros obtidos para os deslocametos; A Covergêcia é mais rápida em comparação com a laje ecastrada; O erro já é reduzido para uma malha de 6x6 (dimesão do elemeto fiito de 1,0 m) e é praticamete ulo (0,45%) para uma malha de 1x1; Os Resultados são iaceitáveis para a malha de x (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 3 m). Por outro lado, temos a laje ecastrada, a qual apreseta: Covergêcia leta em comparação com a laje simplesmete apoiada; Erro admissível alcaçado só para uma malha de 1x1 (,96 %) (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 0,5 m); Resultados iaceitáveis para a malha de x e 4x4; Erro aida substacial para a malha de 6x6 (11,6% ) (correspodete a uma dimesão do elemeto fiito de 1 m). 15

32 ANÁLISE DOS RESULTADOS, PARA A CARGA CONCENTRADA Na sequêcia do poto aterior, apresetam-se agora os resultados para o caso de termos uma carga cocetrada aplicada o cetro da laje. Tal como o caso de carga aterior (carga uiforme distribuída), também este caso, o elemeto estrutural em estudo foi modelado o programa de cálculo SAP 000 vs com elemetos fiitos, cosiderado a hipótese de laje fia (Thi- Plate), a qual se desprezam as deformações por esforço trasverso. A modelação o SAP 000, foi efectuada cosiderado diferetes discretizações a malha de elemetos fiitos. Os resultados obtidos utilizado o programa SAP000, cojutamete com os respectivos resultados aalíticos, são apresetados os quadros.5 e.6. Quadro. 5 Deslocametos o cetro da laje simplesmete apoiada submetida à carga cocetrada aplicada o cetro. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , , , , Erro [%] 30,15% 9,8% 4,64% 1,55% Quadro.6 Deslocametos o cetro da laje ecastrada os 4 bordos submetida à carga cocetrada aplicada o cetro. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , ,0000 0, , Erro [%] 11,76% 14,44% 8,0% 3,1% 16

33 A avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio cosideradas é apresetada a Figura.1. percetagem de erro [%] 35% 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% Avaliação do erro associado aos deslocameto, para as diferetes codições de apoio x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha [º elemetos] laje simplesmete apoiada laje ecastrada Fig..1 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio cosideradas. Ao aalisar a iformação do gráfico aterior, verifica-se que este caso da carga cocetrada, os erros associados aos deslocametos são superiores aos obtidos para a carga uiforme. Implicado assim, uma maior ecessidade de refiameto da malha de cálculo (em particular a vizihaça do poto de aplicação da carga cocetrada)..4.. PROBLEMA : LAJE RECTANGULAR O problema surge a sequêcia do problema aterior, e da ecessidade que o autor setiu em alargar o problema 1 a elemetos com diferetes relações de vãos. Tal como referido ateriormete, o problema agora apresetado surge a liha do aterior, com a particularidade de que esta secção serão estudadas lajes com a seguite relação de vãos: 1,5 e,0 respectivamete. Os dados referetes ao segudo problema ecotram-se descritos os tópicos seguites: Laje de betão armado quadrada Dimesões em plata: 4 m 6 e 4 8 m Fig..13 Dimesões das lajes estudadas 17

34 Espessura da laje de 0, m 3 Betão classe C5/30 ( γ = 5kN / m ; E = 31 GPa ; v = 0,) Codições de apoio: Laje simplesmete apoiada os 4 bordos e laje ecastrada os quatro bordos Casos de carga: Carga uiformemete distribuída q = 0 kn / m SOLUÇÃO ANALÍTICA (FORMULAÇÃO DE TIMOSHENKO) À semelhaça do problema aterior, recorreu-se às soluções aalíticas proveietes do livro "Theory of plates ad shells" da autoria de Timosheko e S. Woiowsky-Krieger [8], por forma a proceder à validação dos resultados do programa de cálculo SAP 000. De seguida apresetam-se as soluções aalíticas para o problema aqui em estudo. Quadro. 7 Expressões aalíticas para a determiação dos deslocametos o poto cetral, fução da relação etre vãos e das codições de apoio. Carga Uiforme Relação b/a Simplemete apoiada Ecastrada b/a=1,5 b/a=,0 w w = 0,0077 = 0,01013 ql D 4 ql D 4 w w = 0,000 = 0,0054 ql D 4 ql D 4 Notas: 3 E t O símbolo D presete os quadros ateriores, represeta a rigidez à flexão do elemeto de laje, D = ; 1(1 - v ) q correspode à carga uiformemete distribuída a laje; L correspode ao meor vão da laje; Neste problema () ão foi efectuada a aálise para a carga cocetrada, porque a solução aalítica para relação de 1,5 ão é apresetada a bibliografia que serviu de base a este estudo (Timosheko). 18

35 .4.. ANÁLISE DOS RESULTADOS Tal como ateriormete, a modelação o SAP 000, foi efectuada cosiderado diferetes discretizações a malha de elemetos fiitos. Os resultados referetes à laje com relação etre vãos de 1,5 são apresetados os quadros.8 e.9. Nos quadros.10 e.11 são apresetados os resultados obtidos para à laje com uma relação etre vãos de,0. Quadro.8 Deslocametos o cetro da laje simplesmete apoiada submetida à carga distribuída. Laje com relação etre vãos de 1,5. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , , , ,00184 Erro [%] -5,98% -0,54% 0,00% 0,00% Quadro.9 Deslocametos o cetro da laje, ecastrada os 4 bordos e submetida à carga distribuída Laje com relação etre vãos de 1,5. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , , , ,00053 Erro [%] 5,05% 13,77% 6,31% 1,53% A avaliação do erro associado aos deslocametos, para o caso da laje com relação etre vãos de 1,5, é apresetada a Figura

36 percetagem de erro [%] 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% -5% -10% Avaliação do erro associado aos deslocameto, para as diferetes codições de apoio x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha [º elemetos] laje simplesmete apoiada laje ecastrada Fig..14 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para a laje com relação etre vãos de 1,5. Quadro.10 Deslocametos o cetro da laje simplesmete apoiada, submetida à carga distribuída. Laje com relação etre vãos de Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0,0033 0,004 0,0041 0,0041 0,0041 Erro [%] -3,3% 0,41% 0,00% 0,00% Quadro.11 Deslocametos o cetro da laje, ecastrada os 4 bordos e submetida à carga distribuída. Laje com relação etre vãos de. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, , , , , Erro [%] 9,47% 11,6% 4,64% 0,99% 0

37 A avaliação do erro associado aos deslocametos, para o caso da laje com relação etre vãos de,0 é apresetada a Figura.15. percetagem de erro [%] 35% 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% -5% Avaliação do erro associado aos deslocameto, para as diferetes codições de apoio x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha [º elemetos] laje simplesmete apoiada laje ecastrada Fig..15 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para a laje com relação etre vãos de,0. A avaliação idividual dos gráficos ateriores, que retratam a aálise de lajes com relação etre vãos de 1,5 e,0 respectivamete, ão permite a extracção de mais coclusões do que aquelas que já foram obtidas a aálise do diagrama da laje quadrada (com uma relação etre vãos uitária). Assim, para se perceber melhor como varia o erro para diferetes relações dos vãos, é ecessário reuir essa iformação o mesmo gráfico, ver figura.16. Avaliação do erro associado aos deslocametos, cosiderado diferetes relações etre os vãos de uma laje simplesmete apoiada percetagem de erro [%] x 4x4 6x6 1x1 1% 0% -1% -% -3% -4% -5% -6% -7% -8% Discretização da malha [º elemetos] relação de vãos de 1,0 relação de vãos de 1,5 relação de vãos de,0 Fig..16 Avaliação do erro associado aos deslocametos, cosiderado diferetes relações etre os vãos de uma laje simplesmete apoiada. Ao observarmos a figura.16, cocluímos que para relações superiores a 1 o erro é meor para a mesma discretização podedo este facto estar associado à meor iicidecia do efeito de cato os resultados, deslocameto e mometo, o cetro da laje das lajes mais alogadas. 1

38 Avaliação do erro associado aos deslocametos, cosiderado diferetes relações percetagem etre os vãos de uma laje ecastrada de erro [%] x 4x4 6x6 1x1 35% 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% Discretização da malha [º elemetos] relação de vãos de 1,0 relação de vãos de 1,5 relação de vãos de,0 Fig..17 Avaliação do erro associado aos deslocametos, cosiderado diferetes relações etre os vãos de uma laje ecastrada. A aálise da iformação cotida as figuras ateriores (.16 e.17), permite cocluir que ao aumetar a relação etre vãos, dimiui o erro associado ao deslocameto do poto cetral da laje, para as duas codições de apoio estudadas (simplesmete apoiada e ecastrada). Outro aspecto curioso, é o facto de que o caso da laje simplesmete apoiada submetida a carga uiformemete distribuída, a covergêcia para a solução teórica, em termos de deslocametos, processa-se por valores iferiores à solução exacta. Neste caso o modelo umérico do SAP apreseta deslocametos iferiores à solução exacta (o modelo umérico é por asssim dizer mais rigido) Por outro lado, temos o caso da laje ecastrada submetida a carga uiformemete distribuída, que apreseta deslocametos superiores à solução exacta, pelo que a covergêcia se processa por valores superiores (o modelo umérico é mais flexível que a solução teórica) PROBLEMA 3: LAJES EM VIÉS O problema 3 aborda a aálise de lajes em viés (lajes com a forma de um paralelogramo obliquo). O comportameto estrutural das lajes eviesadas apreseta algumas sigularidades, sobretudo quado o âgulo de viés se acetua, que toram mais difícil a sua aálise. Em termos de modelo estrutural é possível mostrar (Timosheko [8]) que as tesões de flexão tedem para ifiito a jução de dois bordos em cato obtuso (excepto se ambos os bordos forem livres ou ecastrados), ou seja, existe um comportameto sigular juto aos catos obtusos. Justificam-se assim os problemas mais frequetes associados a este tipo de lajes, omeadamete, a fissuração juto aos catos, o movimeto dos apoios e a deformação e (ou) vibração excessivas. Apesar destas dificuldades a utilização de potes em laje eviesada tem sido icremetada sobretudo por força da satisfação de crescetes exigêcias de traçado geométrico das vias de tráfego. Por razões arquitectóicas ou outras, este tipo de lajes tem vido a ser mais utilizado em edifícios. O procedimeto para comprovar a boa prestação do programa de cálculo SAP 000, e aalisar a covergêcia desta ferrameta para este tipo característico de lajes foi o mesmo que o utilizado para o caso das lajes rectagulares. Tal como as lajes rectagulares, a validação dos resultados do programa de cálculo, baseou-se as soluções aalíticas protagoizadas por Timosheko [8].

39 A defiição do problema ecotra-se descrita os tópicos seguites: Laje de betão armado em viés, com a seguite geometria: Fig..18 Geometria da laje de betão armado em viés Espessura da laje de 0, m; 3 Betão classe C5/30 ( y = 5kN / m ; E = 31 GPa ; v = 0,) Codições de apoio: Simplesmete apoiada em todo o cotoro e apoiada apeas em bordos; a) b) Fig..19 Codições de apoio: a) Simplesmete apoiada em todo o cotoro; b)apoiada apeas em bordos. Foram escolhidas estas codições de apoio, pois são as mais usuais para este tipo de lajes. Casos de carga: Carga uiformemete distribuída 0 kn / m ANÁLISE DOS RESULTADOS Tal como ateriormete, a modelação o SAP 000, foi efectuada cosiderado diferetes discretizações a malha de elemetos fiitos. Os resultados referetes à laje em viés simplesmete apoiada em todo o cotoro são apresetados o quadro.1. Já o quadro.13 ilustra os resultados obtidos para a laje em viés apoiada apeas em bordos. 3

40 Quadro. 1 Deslocametos o cetro da laje em viés simplesmete apoiada em todo o cotoro Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0,0345 0, ,016 0,0117 0,0119 Erro [%] 107,71%,67% 8,59% -0,18% Quadro.13 Deslocametos o cetro da laje em viés apoiada apeas em bordos. Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0, ,0871 0, , ,0854 Erro [%] 5,4%,31% 0,96% -0,18% A Figura.0 relacioa a percetagem de erro associada aos deslocametos com a discretização da malha de elemetos fiitos, para as diferetes codições de apoio cosideradas. percetagem de erro [%] 10% 100% 80% 60% 40% 0% 0% -0% Avaliação do erro associado aos deslocameto, para as diferetes codições de apoio x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha [º elemetos] apoiada os 4 bordos bordos apoiados Fig..0 Avaliação do erro associado aos deslocametos, para as diferetes codições de apoio da laje em viés 4

41 A aálise da iformação cotida o gráfico.0 permite cocluir que: Para o caso da laje apoiada os 4 bordos, os erros associados aos primeiros íveis de discretização são sigificativos, daí que este caso se acoselhe, a utilização de malhas com um úmero de elemetos superior ao que habitualmete se utiliza para lajes ão eviesadas. Outro aspecto importate a reter, é o facto que a precisão tede a deteriorar-se quado temos elemetos fiitos com distorção excessiva. Os mauais do SAP, discutem este problema, apresetado algumas recomedações. Assim, para o caso da utilização de elemetos fiitos quadriláteros, os mauais do SAP acoselham que: O âgulo itero cada cato deve ser meor que 180º, obtêm-se melhores resultados quado estes âgulos são próximos de 90º, ou pelo meos situados o itervalo de 45º a 135º (ver Maual do SAP 000 [3]). F.4.4. PROBLEMA 4: PAREDE Este último problema apreseta uma parede de betão a qual está presete uicamete esforços de membraa. Pretede-se avaliar o ível de precisão que diversos íveis de discretização (uma dada malha de cálculo) permitem atigir. Para isso, são avaliados os deslocametos a extremidade superior da parede. Os dados do problema ecotram-se descritos os tópicos seguites, omeadamete: a geometria do elemeto em estudo, as propriedades da classe de betão utilizado, as codições froteira e os casos de carga aalisados. Parede de betão armado Dimesões: 4 m Espessura da parede: 0, m 18 (relação L/H = 4.5, ão tem deformação de corte sigificativa) 3 Betão classe C5/30 ( γ = 5kN / m ; E = 31 GPa ; v = 0,) Codições de apoio: ecastrada a base Caso de carga: Carga cocetrada localizada a extremidade superior ( P = 0 kn ). Fig..1 Imagem represetativa do problema em estudo 5

42 SOLUÇÃO ANALÍTICA (FORMULAÇÃO DE TIMOSHENKO) No presete caso recorreu-se às soluções aalíticas proveietes do livro Theory of Elasticity (third editio) da autoria de S.P. Timosheko e J.N. Goodier [9], por forma a proceder à validação dos resultados do programa de cálculo SAP 000.De seguida apresetam-se a solução aalítica para o problema aqui em estudo.expressão aalítica para a determiação do deslocameto a extremidade superior, para o problema em estudo: 3 3 P x P l x P l P c y = EI EI 3 EI IG ( 1+ν ) ( l x) E G = (.3) (.) Fig.. Apresetação esquemática das variáveis x e c, associadas ao problema em estudo Para o presete caso, com l = 18 m e c = m, obtemos: Não cosiderado a deformação por corte, temos: 3 P l y = 3 EI y = = 0, m 3 3 0, Cosiderado a deformação por corte: 3 3 P x P l x P l P c y = + + ( l x) 6 EI EI 3 EI IG x = 0, resultado assim 3 P l P c y = + ( l x) 3 EI IG y = , 4 0, y = 0, 0018 m ( 18 0) 6

43 .4.4. ANÁLISE DOS RESULTADOS O elemeto estrutural em estudo foi modelado o programa de cálculo SAP 000 vs cosiderado duas hipóteses, a primeira com um elemeto de barra úico e a seguda hipótese com elemetos fiitos. Os resultados referetes à modelação com um elemeto de barra, são apresetados o quadro.14. O quadro.15, ilustra os resultados da modelação com elemetos fiitos. Quadro.14 Deslocametos a extremidade superior da parede modelo de barra Modelo de barra Solução aalítica (Timosheko) Solução Numérica (SAP000) Deslocameto [m] Cosiderado a deformação por corte Não cosiderado a deformação por corte 0,0013 0, ,001 0,00118 Erro [%] -0,81 0 Quadro.15 Deslocametos a extremidade superior da parede modelo de elemetos fiitos Discretização da malha de elemetos fiitos Solução aalítica (Timosheko) Modelo de elemetos fiitos (cosiderado a deformação por corte) x 4x4 6x6 1x1 Deslocameto [m] 0,0011 0, ,0011 0,001 0,0013 Erro [%] -8,94% -3,5% -1,63% -0,81% A Figura.3 relacioa a percetagem de erro associada aos deslocametos com a discretização da malha de elemetos fiitos 7

44 Percetagem de erro [%] Avaliação do erro associado aos deslocametos 0% -% -4% -6% -8% -10% -1,63% -0,81% -3,5% -8,94% x 4x4 6x6 1x1 Discretização da malha Erro sap 000 Fig..3 Avaliação do erro associado aos deslocametos para as diferetes malhas de elemetos fiitos O erro este problema é relativamete baixo, quado comparado com aquele que foi obtido para os problemas ateriores. No etato obtêm-se melhores resultados quado a relação etre as dimesões (máxima e míima) do elemeto são próximas da uidade, ou pelo meos iferior a 4 (ver Maual do SAP 000 [3])..5. Cosiderações fiais Uma solução umérica de elemetos fiitos represeta uma aproximação ao comportameto da estrutura real. A precisão dos resultados depede da adequação do modelo à situação real, e do ível de discretização adoptado. A precisão da solução umérica do SAP000, foi assim avaliada através do estudo de problemas para os quais se coheciam soluções aalíticas, por exemplo, da Teoria da Elasticidade. Nestes casos, foi possível comparar o desempeho dos diversos tipos de elemeto, e avaliar a covergêcia da solução umérica para a solução exacta. A aálise dos problemas ateriores, também permitiu apurar o grau de precisão que um dado ível de discretização (uma dada malha de cálculo) permite atigir. Observou-se, tal como era de esperar, que a preseça de um maior ível de discretização, a solução tede a ser mais precisa (mais próxima da solução aalítica). Com o trabalho desevolvido este subcapítulo, costatou-se que a modelação com uma malha de 1x1, permite obter soluções muito próximas da solução aalítica exacta (erros etre 0 e 1%), Em termos práticos, a modelação com este ível de discretização (1x1) correspode a uma dimesão do elemeto fiito de cerca de 0,5 m, isto para situações de vãos corretes a ordem dos 6 m. Assim, com este ível de discretização, obtêm-se erros praticamete ulos, sem que haja ecessidade de um trabalho computacioal sigificativo. Desta forma reduz-se o tempo de modelação e o tempo de processameto. Assim, de um modo geral, pode-se afirmar que o elemeto fiito do SAP é covergete e apreseta bos resultados, ão só quado tem uma cofiguração regular, mas também quado existem pequeas distorções da sua geometria. 8

45 3 MODELO DE DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DE MEMBRANA 3.1. INTRODUÇÃO O método de aálise e dimesioameto de elemetos de membraa cuja apresetação e discussão se realiza a secção seguite pretede defiir um procedimeto que, em cocordâcia com o estabelecido os códigos de prática corretes, possibilite ultrapassar algumas dificuldades o dimesioameto deste tipo de estruturas. A aálise de paredes com base o método de elemetos fiitos (MEF) coduz, um referecial Oxy defiido o folheto médio, a tesões σ, σ e τ que variam de poto para poto, sedo etão x y ecessário um procedimeto especial para dimesioar as armaduras. No aexo F da versão de 004 do EC, é referido este procedimeto, de grade utilidade para o projecto correte. Este capítulo apreseta uma abordagem teórica do dimesioameto dos elemetos de membraa (parede). Recorredo ao equilíbrio das várias forças que actuam um elemeto, apreseta-se a solução para estados plaos de tesão. Aida esta parte do trabalho, eucia-se e explora-se a metodologia apresetada pelo EC (Aexo F Armaduras de tracção para tesões o próprio plao), ão só os aspectos de ordem teórica, mas também com exemplos uméricos de aplicação. x y Fig.3.1 Processo de dimesioameto dos elemetos de membraa, com recurso à modelação através de elemetos fiitos. 9

46 3.. EQUILÍBRIO DO MODELO DE MEMBRANA O problema que se põe é, como determiar a armadura partido dos esforços de membraa. Assim, por forma a resolver este problema, recorre-se às equações de equilíbrio e aos coceitos da teoria da plasticidade. Cosidere-se o elemeto de parede com a espessura h, submetido a forças de membraa aplicadas (por uidade de comprimeto), desigadas por x, y, xy (ver figura 3. a). O elemeto de membraa está reforçado com varões ortogoais as direcções x e y (Fig. 3. b). xy y x sy x c x xy x x sx sx θ xy y y xy y sy y c a) Forças aplicadas b) Esforços a armadura c) Esforços o betão Fig.3. Elemeto de betão armado submetido ao EPT: Dado estes esforços actuates, temos agora que procurar os esforços resistetes que os equilibram. Dos esforços resistetes, fazem parte os esforços que são suportados pela armadura existete a direcção x e y (a qual pode ser diferete), desigados por sx, sy; e as forças o betão cx, cy e cxy. Ou seja, as forças aplicadas são equilibradas à custa da cotribuição da armadura e do betão, podedo escrever-se as seguites equações de equilíbrio (3.1): = + (3.1.1) x y sx sy cx = + (3.1.) cy xy = c xy (3.1.3) A cotribuição do betão, quado estamos a fazer o dimesioameto em estado limite último (ELU), faz-se desprezado a resistêcia do betão à tracção e só cosiderado as compressões. Admitese que o betão pode estar fedilhado uma dada direcção e portato a formação de uma série de escoras. 30

47 A cotribuição do betão, pode ser expressa as suas compoetes x e y, da seguite forma (equações 3.): Fig.3.3 A cotribuição do betão, expressa as suas compoetes x e y. si θ (3..1) cx = c cy = c cxy = c cos θ (3..) siθ cosθ (3..3) Estas são as forças do betão que actuam em cada face. De salietar uma vez mais a ão iclusão das forças de tracção o betão. Substituido as equações (3.) as equações (3.1), resultam as equações de equilíbrio, expressas do seguite modo (equações 3.3): + si θ (3.3.1) x = sx c y = sy + c xy = c cos θ (3.3.) siθ cosθ (3.3.3) Note-se que, para a defiição das expressões ateriores, os esforços de compressão são cosiderados egativos. Resolvedo as equações ateriores (3.3) em ordem às icógitas do problema, que são: - Os esforços as armaduras ( s x, s y ), por forma a determiar as quatidades de armadura; - O esforço o betão ( c ), para verificação das tesões o betão. 31

48 Obtém-se: + taθ (3.4.1) sx = x xy sy = y + xy cotθ (3.4.) xy c = (3.4.3) siθ cosθ O problema surge este mometo, pois existem 3 equações, para 4 icógitas ( sx, sy, c,θ ). O procedimeto habitual é arbitrar o âgulo θ (âgulo de icliação das escoras), coduzido o problema por forma a ter-se o máximo de ecoomia. A maximização ecoómica obtém-se essecialmete poupado a armadura, o que correspode a fixar o âgulo θ em 45º. Este problema, é um pouco semelhate ao que acotece o problema da determiação da armadura trasversal das vigas, em que se fixa θ = 45º, gastado mais armadura os estribos, mas prologado meos a armadura logitudial. Uma outra forma de resolver o problema é miimizar a armadura total, ou seja, obter o valor míimo da expressão que traduz o cálculo da totalidade da armadura. ( ta θ + cotθ ) = + + (3.5) sx + sy x y xy Dado que o último termo da equação aterior terá de ser positivo, os valores de xy e θ deverão ter o π mesmo sial. Deste modo, o valor míimo do total de armadura correspode a θ = ±. 4 Assim, o caso de existirem 4 icógitas, a forma de resolver o problema é impor θ = ± 45º. No etato, só deve ser cosiderado θ = ± 45º se o elemeto está armado as duas direcções, isto é, se se verificarem as seguites codições: sx 0 e sy 0 Este aspecto é importate, porque os casos em que ão há ecessidade de colocar armadura, arbitrar θ = ± 45º, pode coduzir a valores maiores de armadura. Veja-se por exemplo um caso em que o esforço ecessário a armadura a direcção x é egativo, ão havedo assim ecessidade de colocar armadura esta direcção. O que se deve fazer este caso é tomar a expressão (3.4.1) sx = 0 e desta equação retirar o valor de θ, sem o ter que arbitrar, resultado assim: x θ = arcta (3.6) xy Deste modo somos coduzidos a 4 casos distitos, defiidos de seguida. 3

49 Caso 1: (ecessária armadura segudo x e y) 0 e 0 θ = ± 45º sx sy sx = x + xy taθ θ = ± 45º sx = x + xy sy = y + xy cotθ ta 45 = 1 sy = y + xy Posto isto, as codições iiciais 0 e 0, só se verificam, se: x xy y xy A força máxima o betão por uidade de comprimeto, vem: xy c = com θ = ± 45º, obtemos c = xy siθ cosθ Caso : (apeas ecessária armadura segudo y) < 0 e > 0 sx sy + taθ tomado = 0 sx = x xy + taθ fazedo = 0 sx = x xy Tomado a equação [ + cotθ ] sy sx sy sx x < xy sx ta θ = x sy = y xy e cosiderado ta θ = obteremos: xy xy xy = y este caso sy 0 só se verifica, se: y x Assim, a força máxima o betão por uidade de comprimeto, vem: x x xy c = x + xy x Caso 3: (apeas ecessária armadura segudo x) > 0 e < 0 sx sy + cotθ tomado = 0 sy = y xy sy y < xy 33

50 Partido da equação Substituido sx + cotθ fazedo = 0, obtém-se: sy = y xy xy ta θ = a expressão sx = x + xy taθ resulta: xy y y = x este caso sx 0 só se verificam, se: sy x Assim, a força máxima o betão por uidade de comprimeto, vem: xy c = y + y Caso 4: (ão são ecessárias armaduras segudo x e y) xy y ta θ = xy y x y < ou xy < x xy y x < < xy y xy x + y x y c1, c = ± + xy Sedo c1, c, as duas tesões pricipais de compressão o betão. Quado existem esforços de compressão de tal ordem as duas direcções, formam-se duas escoras ortogoais e ão há ecessidade de armadura. O quadro 3.1 reúe de forma sitetizada os casos ateriormete expostos. Quadro 3. 1 Quadro resumo dos casos ateriormete expostos Caso 1 Necessidade armaduras A sx A sy 3 A sx A sy Codições sx sy sx sy 0 0 < 0 > 0 sx x + xy 0 sx > 0 xy x sy < 0 y + y y sy θ c xy xy x 45º ± xy arcta xy x xy 0 arcta y x y + + xy x xy y 4 sx sy < 0 < x y ± x y + xy 34

51 A figura 3.4 mostra as froteiras etre os quatro casos, os quais requerem diferetes disposições de armaduras. Caso1: x x xy 1 y 1 y xy xy xy Caso : x < < 1 x xy xy Caso 3: y < < 1 y xy xy Caso 4: x y y xy xy x xy Fig.3.4 Froteira etre os quatro casos de carregameto. 35

52 Obtidos os esforços as armaduras, sx 0, sy 0 e o esforço o betão c, determiam-se as áreas de armadura e verifica-se a tesão o betão. A = sx f s x syd A = sy f s y syd c σ = c h (3.7) Sedo: A sx - Área de armadura a direcção x A - Área de armadura a direcção y sy f syd - Valor de cálculo da tesão de cedêcia da armadura h - Espessura do elemeto 3.3. METODOLOGIA APRESENTADA PELO EC (ANEXO F) DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS A metodologia apresetada pelo EC [9], está em total correspodêcia com as expressões aalisadas ateriormete, com a difereça de trabalhar em tesões em vez de esforços. Além disso, o EC as tesões de compressão são cosideradas positivas, com σ > σ, o que leva a que haja a ecessidade de trocar o sial. Edx Edy σ x Edx = h y σ Edy = h x y τ Edxy = (3.8) h Sedo: σ Edx - Valor de cálculo da tesão ormal actuate a direcção x σ Edy - Valor de cálculo da tesão ormal actuate a direcção y τ Edxy - Valor de cálculo da tesão de corte h - Espessura do elemeto O Eurocódigo coverte o esforço a armadura ( s x ) uma tesão fictícia que exista aquela área de betão. No etato, esta tesão fictícia ão é mais do que a percetagem de armadura multiplicada pela tesão de cálculo de cedêcia da armadura. s x f tdx = h f tdx s x f syd = f h syd f tdx f syd = As x f tdx = ρ x f syd (3.9) h 36

53 Assim o EC, estabelece: Nas zoas em que σ Edx e σ Edy são ambas de tesões de compressão e σ Edx σ Edy > τ Edxy, ão são ecessárias armaduras. Esta codição para a ão ecessidade de armaduras, está em correspodêcia directa com o caso 4, proveiete do equilíbrio do modelo (ver codições do caso 4 apresetado a págia aterior). Nas zoas em que σ Edy é uma tesão de tracção ou em que σ Edx σ Edy τ Edxy, são ecessárias armaduras. Nestes casos, as quatidades óptimas de armadura, idetificadas pelo ídice superior e a correspodete tesão o betão são determiadas por: Para σ τ (3.10) Edx Edxy f ' f ' tdx tdy = τ = τ Edxy Edxy σ σ Edx Edy σ cd = τ Edxy Para σ > τ (3.11) Edx Edxy f ' = 0 tdx f ' tdy τ = σ Edxy Edx σ Edy Obtidas as tesões σ cd = σ Edx τ 1+ σ Edxy Edx f ' tdx, f ' tdy, determiam-se as áreas de armadura A sx e A sy da seguite forma: A s x f tdx = ' f tdy h A s y = ' h f f syd syd Esta iformação pode ser orgaizada sob a forma de um orgaigrama, à semelhaça do que acotecia a versão aterior do EC. Fig.3.5 Orgaigrama que reúe o caso em que são ecessárias armaduras. 37

54 3.3.. VERIFICAÇÃO DA ROTURA DO BETÃO Para todos os casos a codição de ão esmagameto do betão deve ser verificada. De acordo com o Eurocódigo [9], tem-se: Para os casos 1, e 3, zoas fedilhadas: f ck σ c ν f cd com ν = 0,6 1 (3.1) 50 A seguite codição também deve ser verificada: 1 τ xy ν f cd Para o caso 4, zoas ão fedilhadas: (3.13) σ c f cd (3.14) De acordo com as disposições do código modelo 1990 [6], tem-se: Para os casos 1, e 3, os quais o betão se ecotra fedilhado: fck σ c 0,6 1 fcd (3.15) 50 Para o caso 4, correspode a zoas fedilhadas: f ck σ c 0,85 1 f cd (3.16) 50 O quadro 3., reúe as expressões para a verificação do betão, segudo as ormas. Quadro 3. Quadro resumo da verificação da tesão o betão, segudo o EC e o MC 90. MC 90 EC Casos 1, e 3, (zoas fedilhadas) Caso 4 (zoas ão fedilhadas) f 50 f 50 ck ck σ c 0,6 1 f cd σ c 0,6 1 f cd f 50 ck σ c 0,85 1 f cd σ c f cd Como se pode ver pelo quadro aterior, para o caso das zoas fedilhadas os limites para a tesão do betão são iguais. Por outro lado, para as zoas ão fedilhadas os limites são diferetes, e até algo questioáveis por algus especialistas, os quais discutem o facto do EC abadoar o factor f 1 ck, factor este directamete relacioado com os betões de alta resistêcia. 50 Exemplos de aplicação umérica do modelo apresetado pelo EC (aexo F) são apresetadas com maior detalhe o Aexo A1. 38

55 4 IMPLEMENTAÇÃO AUTOMÁTICA 4.1. INTRODUÇÃO O avaço computacioal das últimas décadas possibilitou o desevolvimeto de programas computacioais para o cálculo de armaduras em elemetos lamiares. Diversos programas comerciais como ROBOT e SAP já dispõem as suas versões mais recetes de fucioalidades que permitem a resolução deste problema. Cotudo, estas ferrametas comerciais o utilizador uca terá cohecimeto do verdadeiro coteúdo das hipóteses adoptadas o cálculo, mesmo possuido bos mauais da utilização da ferrameta. Além disso, a competitividade etre as empresas e as exigêcias da geeralidade dos utilizadores, tedem a coduzir a situações em que as bases de cálculo perdem importâcia em relação à facilidade de utilização dos programas e à obteção rápida de resultados que permitam a elaboração do projecto. Assim, é otória a importâcia da existêcia de programas auxiliares para o dimesioameto deste tipo de elemetos estruturais, sobre os quais o utilizador tem completo domíio. No âmbito deste trabalho, foi desevolvido o programa DIM MEMBRANE para a determiação das armaduras em elemetos lamiares (paredes) carregadas o seu próprio plao. O seu desevolvimeto visou em particular dois objectivos, (i) um primeiro que se prede com a ecessidade setida uma ferrameta com este carácter para se fazer, uma discussão sobre a aplicação do método proposto o EC para o dimesioameto de paredes; e um segudo objectivo (ii), procurar-se uma ferrameta que permita a aplicação dos critérios do EC em situações corretes de projecto e com meios perfeitamete cotrolados pelo projectista, este setido, estabeleceu-se uma estreita ligação desta ferrameta com um programa comercial correte utilizado o projecto de estruturas. Fig.4.1 Defiição do problema: Como obter as armaduras de forma automática? 39

56 4.. APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA DIM MEMBRANE O programa DIM MEMBRANE desevolveu-se o âmbito deste trabalho em liguagem Matlab, e baseia-se o procedimeto do aexo F da versão de 004 do EC, apresetado o capítulo 3 do presete trabalho. O programa DIM MEMBRANE foi desevolvido por forma a usar os resultados do programa de elemetos fiitos SAP , resultados estes correspodetes às tesões obtidas através de uma aalise elástica liear. O mesmo programa, SAP 000, é também utilizado para o pós-processameto gráfico dos resultados da ferrameta DIM MEMBRANE (áreas de armadura e as zoas ode ocorre o esmagameto do betão). Desta forma, os resultados obtidos com o programa DIM MEMBRANE, ou seja armaduras e tesões o betão, podem ser visualizados o modelo estrutural do programa SAP 000 com todas as vatages ieretes à possível visualização destes resultados, a mesma malha estrutural que serviu de base à avaliação de tesões. O esquema seguite ajuda a perceber os processos de fucioameto desta ferrameta. 1 6 EXCEL EXCEL 5 3 Fig.4. Fluxograma geral do fucioameto do procedimeto, usado o programa DIM MEMBRANE. 4 40

57 Processo de fucioameto da ferrameta: 1-Aálise liear elástica com o programa de elemetos fiitos SAP 000 ; -Exportação de resultados ( σ, x x, σ y y τ x y ) para uma folha de Excel; 3-Leitura da folha de Excel pela ferrameta DIM MEMBRANE (ferrameta programada em liguagem Matlab); 4-Cálculo das armaduras (Asx, Asy) segudo a metodologia do EC (Aexo F); 5-A ferrameta DIM MEMBRANE gera três folhas de Excel (Asx, Asy e Betão) segudo o formato de importação do SAP; 6-Importação das folhas de Excel para a visualização dos mapas de armadura o SAP LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO DIM MEMBRANE foi desevolvido em Matlab. Matlab (MATrix LABoratory Laboratório de Matrizes) é um programa de computador de uso específico, optimizado para executar cálculos cietíficos e de egeharia. Nasceu como um programa para operações matemáticas sobre matrizes, mas ao logo dos aos trasformou-se em um sistema computacioal flexível capaz de resolver essecialmete qualquer problema técico. O programa Matlab implemeta a liguagem MATLAB, e oferece uma ampla biblioteca de fuções predefiidas para que a programação técica se tore mais fácil e eficiete. Essa variedade extremamete ampla de fuções tora muito mais fácil resolver problemas técicos em Matlab do que em outras liguages, como Fortra ou C. Matlab tem muitas vatages, em comparação com liguages computacioais covecioais, para resolver problemas técicos. Detre elas, podem destacar-se: - Facilidade de uso, Matlab é uma liguagem iterpretada, assim como diversas versões de Basic, os programas podem ser facilmete escritos e modificados o ambiete itegrado de desevolvimeto. Como a liguagem é muito fácil de usar, ele é ideal para o desevolvimeto rápido de protótipos para ovos programas; - Fuções predefiidas, Matlab possui uma grade biblioteca de fuções predefiidas. Por exemplo, para calcular as estatísticas relacioadas com um cojuto de dados de etrada. Na maioria das liguages, seria preciso escrever sub-rotias próprias ou fuções para implemetar os cálculos de média aritmética, desvio-padrão, mediaa, etc. Além da grade biblioteca de fuções presetes a liguagem Matlab básica, diversas ferrametas específicas estão dispoíveis para ajudar a resolver problemas complexos em áreas específicas. 41

58 4.4. ALGORITMO DE CÁLCULO Em seguida, apreseta-se o algoritmo base do programa DIM MEMBRANE. Coforme se pode verificar pela figura seguite, ão foi seguida uma arquitectura clássica de etrada de dados. Isto porque, a etrada dos dados específicos do programa é feita ão só de forma iteractiva mas também por leitura de um ficheiro em formato xls (Excel). h, fcd, fyd Tesões (Ficheiro xls) N Membraa = 1 σ > Edx σ Edy σ > 0 σ > 0 σ σ > τ Edxy Edx Edy Edx S N N Edy σ < 0 σ σ τ Edxy Edy S S Edx Edy São ecessárias armaduras S * ver ota pág. seguite Não são ecessárias armaduras σ cd = σ Ed x S σ Edx τ Edxy N f ' f ' tdx tdy = τ = τ Edxy Edxy σ cd = τ Edxy σ σ Edx Edy f f ' σ ' = 0 tdx tdy cd τ = σ = σ Edxy Edx Edx σ Edy τ 1+ σ Edxy Edx f td x ρ x = ; ρ y = f A A syd s x s y = ρ h x = ρ h y f f td y σ syd ν f td x ρ x = ; ρ y = f A syd A s y s x = 0 = ρ h y S N S cd f cd f cd N cd f f td y syd σ Esmagameto Não Esmag. Não FIM Fig.4.3 Algoritmo base do programa DIM MEMBRANE. 4

59 Nota: No algoritmo da págia aterior apeas aparece a parte que diz respeito ao caso em que σ Edx > σ Edy, ão sedo apresetada o caso o qual σ Edy > σ Edx. Este facto acotece, ão só por uma questão de orgaização de espaço, como também porque desta forma o esquema fica meos cofuso. Cotudo, é de salietar que o programa em causa cotempla também o caso ão apresetado o esquema ( σ > σ ). (ver capitulo 3) Edy yedx Falta aida referir a verificação do esmagameto do betão. Assim, após a determiação da tesão do betão ( σ cd ) para cada ó, o programa verifica se ocorre ou ão esmagameto do betão. Um aspecto particular, mas idispesável à compreesão da apresetação gráfica dos resultados em SAP (pósprocessameto), é o modo como se processa iteramete a esta verificação da ruptura do betão. Assim, iteramete o programa tem uma variável que traduz a existêcia de esmagameto do betão, tomado o valor 1 este caso, e 0 o caso de ão ocorrer ruptura do betão PRÉ-PROCESSAMENTO COM O SAP (PARA OBTENÇÃO DO FICHEIRO DE DADOS) Para que os resultados fiais do SAP possam ser lidos eficazmete pela ferrameta DIM MEMBRANE, existem algus aspectos que têm de ser defiidos de determiado modo, omeadamete o que se refere à defiição dos casos de carga e combiações. Assim, apeas pode ser criada uma combiação, úica e exclusivamete, podedo esta ser composta por vários casos de carga, ou em alterativa um úico caso de carga. Esta limitação do programa, explica-se, pois o caso de ão ser defiida ehuma combiação a tabela é exportada com todos casos de carga existetes, causado problemas ão só ao ível da programação, mas também dificuldades ao ível da limitação do Excel. No caso de se preteder cofrotar as armaduras correspodetes a dois ou mais casos de carga terá que se repetir os procedimetos para cada caso de carga e calcular as armaduras correspodetes de forma separada. Como se pode ver o orgaigrama da figura 4.3, para que o programa proceda ao cálculo das armaduras, ecessita da leitura de um ficheiro de Excel (xls) que cotém a iformação relativa aos resultados da aálise liear elástica, efectuada o SAP000, omeadamete σ x, σ y e τ xy. De seguida apreseta-se o procedimeto exacto para a obteção deste ficheiro. Assim, depois de efectuar a aálise elástica liear do elemeto em estudo com o SAP 000, o utilizador deve aceder à categoria Display dispoível a barra de ferrametas do SAP, e escolher a opção Show Tables, como mostra a figura 4.4. Fig.4.4 Procedimeto para obteção das tabelas de resultados 43

60 Abrir-se-á etão uma ova jaela deomiada Choose Tables for Display, ode tal como o ome idica, o utilizador poderá escolher as tabelas que deseja visualizar. Nesta jaela, o utilizador deverá seleccioar as seguites tabelas (ver figura 4.5): - Program Cotrol (referete as defiições); - Elemet Stresses Area Shells (tabela que reúe a iformação relativa às tesões). Fig.4.5 Tabelas a exportar / Procedimeto para exportar os resultados para Excel. 44

61 Por fim, a ova jaela "Elemet Stresses-Area Shells", acede-se a File e seleccioa-se a opção "Export Curret Table / To Excel". Um outro aspecto a ter em cosideração, é o grau de discretização da malha de elemetos fiitos, pois caso este seja efectuado com um elevado grau de precisão implicará ão só um aumeto do tempo de processameto umérico, como também, poderá levar a exceder o limite da capacidade de armazeameto de iformação por parte do Excel (o que se refere ao úmero máximo de coluas). Se a ferrameta for utilizada o âmbito de aplicação para a qual foi criada, dificilmete se colocará este último problema FUNCIONAMENTO DA INTERFACE GRÁFICA Para que os dados de etrada e saída pudessem ser gerados com facilidade e precisão desevolveu-se uma iterface gráfica para o programa DIM MEMBRANE tirado partido da ferrameta GUIDE, MATLAB s Graphical User Iterface developmet eviromet. Assim, ao executar a aplicação é apresetada uma jaela bastate simples com um paiel destiado a itrodução de dados ( Materiais e Geometria ) e algus botões de execução ( Calcular, Sair, Ajuda ), ver figura 4.6. Fig.4.6 Iterface gráfica do programa DIM MEMBRANE 45

62 No paiel Materiais e Geometria o utilizador tem ao seu dispor duas caixas ode deve itroduzir os dados referetes a estrutura em estudo (estrutura previamete calculada o SAP e cujo ficheiro de Excel exportado se ecotra a mesma pasta ode o programa está a ser executado). Na primeira das caixas, referete aos materiais, o utilizador pode escolher a classe de betão e o tipo de aço, aos quais estão subjacetes o iterior do programa os parâmetros resistetes dos materiais (os valores característicos das resistêcias). A seguda caixa deste paiel ( Geometria ), está destiada à itrodução da espessura do elemeto lamiar em estudo. Depois de forecer os dados ecessários, o utilizador pode agora proceder ao cálculo das armaduras, clicado o botão Calcular. Ao clicar este botão, o programa vai ler o ficheiro de Excel que cotém a iformação relativa aos resultados da aálise liear elástica (efectuada o SAP000) e proceder ao cálculo das armaduras propriamete dito, segudo a metodologia exposta o capítulo 3. Na parte fial do processameto, o programa gera três ficheiros de Excel (.xls), dois deles, com os resultados das áreas de armaduras os ós dos elemetos fiitos ( Asx, Asy ) e aida um outro, com a iformação dos elemetos fiitos os quais ocorre esmagameto do betão( Betão ). Estes ficheiros de Excel (.xls) podem agora ser lidos o ambiete do SAP referete à aalise do elemeto em estudo, possibilitado a visualização da represetação gráfica dos resultados das armaduras e do estado do betão, o próprio modelo do SAP o qual se efectuou ateriormete a aálise do elemeto em estudo. Com a vatagem de poder visualizar estes resultados sobre a malha de elemetos fiitos criada durate a aálise elástica. O modo de leitura destes ficheiros de Excel é descrito o poto 4.7. Após a coclusão do cálculo, é idicada uma mesagem a iterface gráfica que idica ão só que o cálculo foi efectuado com sucesso, como também o tempo de duração do mesmo. O botão Ajuda dá acesso a uma caixa de mesagem (Msgbox) com as iformações gerais do programa. Fig.4.7 Ajuda O ficheiro de Excel, obtém-se exportado os resultados a partir do SAP 000, e obede-se a algus pressupostos, ver poto

63 Por último, o botão Sair abre uma caixa de diálogo a qual o utilizador pode escolher etre abadoar de imediato o programa, ou ão. Os módulos descritos este capítulo referem-se ao estado actual da ferrameta. Versões resumidas, persoalizadas e até mesmo versões ampliadas poderão ser criadas a partir desta base PÓS- PROCESSAMENTO COM O SAP A apresetação dos resultados da ferrameta DIM MEMBRANE, baseia-se as capacidades de pósprocessameto gráfico do SAP 000. Assim, o SAP 000 é utilizado para a visualização das áreas de armadura e das zoas ode ocorre esmagameto do betão. A corrida do programa dá origem a três ficheiros de resultados ( Asx, Asy e Betão ), os quais terão de ser importados para SAP para se obter a visualização dos resultados da ferrameta aqui desevolvida. Tedo em vista este objectivo, apresetam-se de seguida os procedimetos adequados. A estratégia utilizada para a visualização destes resultados do programa SAP000 cosistiu em cosiderar cada um dos resultados Asx, Asy e Betão como etidades defiidas os ós da malha, iterpretados pelo SAP como ovas acções. Desta forma, o SAP, ao ler estes resultados como acções de pressão os elemetos, defiidos em potos odais, permite a sua visualização sem iterferir com os resultados previamete obtidos o cálculo aterior. Assim, o utilizador depois de aceder ao ambiete gráfico do SAP, apeas tem que abrir o ficheiro o qual efectuou o cálculo do elemeto em estudo (ficheiro alvo da aálise liear elástica iicial) e seguidamete aceder à categoria File / Import / SAP000 MS Excel Spreadsheet.xls File, dispoível a barra de ferrametas do SAP, como mostra a figura 4.8. Fig.4.8 Procedimeto para a obteção da jaela de importação de dados Abrir-se-á etão uma ova jaela deomiada Tabular Database Import Optios - Add to Existig Models, a qual o utilizador deverá aceder ao separador ITEMS IN SAME LOCATION e escolher as opções Replace old oe (ver figura 4.8). 47

64 De seguida, o utilizador apeas tem que seleccioar os ficheiros de resultados que deseja importar, como se pode ver pela figura 4.9.a. Por fim, o SAP processa a iformação a importar e emite um relatório de importação semelhate ao da figura 4.9.b a) b) Fig.4. 9 a) Ficheiros de resultados a importar (Asx, Asy, Betão); b) Relatório de importação Após a coclusão do processo de importação, o utilizador pode visualizar os mapas de armaduras acededo a Display / Show Load Assigs / Area, dispoível a barra de ferrametas. 48

65 Este é um aspecto muito importate, pois os ficheiros de resultados criados pela ferrameta DIM MEMBRANE são gerados (segudo uma determiada formatação) por forma a que após a sua importação sejam iterpretados como cargas de pressão (Load Pressure). Trata-se pois de um artifício gráfico para represetar as áreas de armadura. Fialmete a figura seguite, apresetam-se algus exemplos da visualização dos resultados o SAP. Fig.4.10 Visualização dos resultados. À esquerda as áreas de armadura (Asx) e à direita o esmagameto do betão (Betão). A utilização do programa SAP tem como vatagem a visualização da iformação odal, para isso basta ao utilizador clicar com o botão direito um determiado ó, e a ova jaela aceder ao separador Assigmets. Fig.4.11 Iformação odal dos resultados. 49

66 4.8. CONSIDERAÇÕES FINAIS A utilização do DIM MEMBRANE deve ser feita por utilizadores com cohecimetos teóricos de estruturas, omeadamete em relação à metodologia exposta este trabalho. A metodologia asseta uma cálculo elástico pelo que o dimesioameto das armaduras deve acompahar este aspecto. Além disso, é ecessário recorrer ao bom seso e à experiêcia para se efectuar um dimesioameto adequado. Caso cotrário, poderão surgir erros a utilização deste programa. Esta ferrameta tem iúmeras vatages, etre as quais se destacam a facilidade de utilização e a possibilidade de uma visualização rápida das armaduras correspodetes a uma distribuição elástica de tesões. Permite aida idetificar as zoas críticas de cocetração de tesões. O desevolvimeto do software pelos seus futuros utilizadores tem, para além da vatagem de se obter especificamete a iformação pretedida a partir de dados que se sabe ser possível reuir, as seguites: facilidades de adaptação a ovas ecessidades ou regulametação; cohecimeto perfeito das hipóteses de cálculo e da forma como as várias verificações são feitas (uma das grades desvatages do software comprado é o descohecimeto do seu campo de aplicação por ão se ter acesso à versão fote). 50

67 5 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO / APLICAÇÃO 5.1. INTRODUÇÃO Nesta secção são aalisados elemetos de parede e viga-parede de betão armado, cujo comportameto estrutural é perturbado ão só pela existêcia de aberturas, como também de cargas de itesidade e posicioameto particular. Os exemplos apresetados servem de validação da ferrameta automática de dimesioameto, Dim_membrae, e é claro, da metodologia associada. O estudo destes exemplos, tem como pricipal objectivo a determiação de armadura e a verificação das tesões o betão. As questões relativas ao detalhe das armaduras, ão sedo um dos objectivos do presete trabalho, são também discutidas. Foram selecioados estes exemplos, estudados por outros autores, podedo portato cofrotar-se os resultados aqui obtidos. As estruturas foram todas elas alvo de uma aálise elástica liear, com auxílio do programa de elemetos fiitos SAP 000. Fig.5.1 Ilustração dos exemplos utilizados a validação da metodologia do EC e do Programa Dim Membrae 51

68 5.. EXEMPLO 1: VIGA PAREDE COM ABERTURA GEOMETRIA, CARREGAMENTO, PROPRIEDADES DOS MATERIAIS O primeiro exemplo diz respeito a uma viga parede, estudada ateriormete por Schlaich [5] e por Loureço [15]. A figura 5., apreseta a geometria da viga parede em estudo, ode se destaca a existêcia de uma abertura, que codicioa de certa forma o fucioameto estrutural. A viga parede tem aplicada o topo, uma carga com um valor de cálculo (Fd) de 3000 kn (o peso próprio da viga cosiderou-se desprezável, tal como o trabalho realizado por Loureço [15]. A estrutura foi modelada com auxílio do programa de elemetos fiitos SAP 000, utilizado elemetos quadragulares (ver capitulo ). No que diz respeito aos materiais usados este estudo, temse o betão com um módulo de elasticidade de 30,5 GPa, e um coeficiete de poisso de 0, e o aço com um valor de cálculo da tesão de cedêcia de 435 MPa. O cálculo das tesões foi baseado uma aálise liear elástica efectuada com o prograa SAP000. Fig.5. Geometria e cargas da viga parede 5

69 5... ANÁLISE COM O SAP 000 Com o objectivo de validar a ferrameta Dim_membrae, efectuou-se um estudo comparativo com os resultados obtidos por Loureço (199) a aálise da viga parede em questão. Assim, procurou-se efectuar uma modelação em tudo semelhate à aálise efectuada por Loureço, omeadamete o que diz respeito a forma da malha de elemetos fiitos (ver figura 5.3). Fig.5.3 Malha de elemetos fiitos utilizada o estudo da viga parede Na figura 5.4, apreseta-se a deformada da estrutura, sob a acção da carga exterior de 3 MN. Fig.5.4 Deformada De seguida, apresetam-se a figura as tesões resultates da aálise elástica da viga parede, ver figura 5.5. Pela aálise das referidas figuras, é possível prever quais as zoas críticas da estrutura, secções essas que terão certamete uma maior cocetração de armadura. 53

70 a) Tesões σ x x b) Tesões σ y y c) Tesões τ x y Fig.5.5 Viga Parede tesões σ x x, σ y y, τ x y [kpa] 54

71 5..3. ANÁLISE COM O AUXILIO DA FERRAMENTA DIM_MEMBRANE As armaduras ecessárias foram obtidas com o auxílio do programa Dim_membrae, programa este que permite a obteção das áreas de armaduras os ós dos elemetos fiitos, segudo a formulação descrita ateriormete. Os resultados do pós-processameto do programa são apresetados as figuras 5.6, e traduzem a quatidade de armadura ecessária para cada uma das direcções (x e y, respectivamete). a) Direcção x, Asx (m²/m) b) Direcção y, Asy (m²/m) Fig.5.6 Viga Parede, Áreas de armadura Asx e Asy (m²/m) 55

72 5..4. COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS OBTIDOS POR LOURENÇO (199) Os resultados ateriores estão em plea cocordâcia com os resultados obtidos ateriormete por Loureço (199), que em cojuto com outros ivestigadores implemetou uma formulação base à formulação explorada este trabalho, um programa de elemetos fiitos, por forma a proceder ao dimesioameto de armaduras de forma automática. O pós-processador do programa criado por estes ivestigadores também permite visualizar a quatidade de armaduras ecessárias, ver figura 5.7. a) b) Fig.5.7 a) áreas de armadura (m²/m) para a direcção x; b) áreas de armadura (m²/m) para a direcção y. (Fote: Loureço (199)) Loureço (199) sugere a execução de cortes em tatas secções da estrutura quatas as ecessárias para o traçado completo das armaduras, como procedimeto auxiliar ao dimesioameto das armaduras. Na figura 5.8 apreseta-se a localização das secções estudadas (coicidetes com as secções estudadas por Loureço (199)). Fig.5.8 Vista geral da malha com a localização das secções estudadas. 56

73 Apreseta-se o quadro 5.1 e 5. uma comparação dos resultados obtidos com a presete metodologia com os resultados alcaçados por Loureço (199).No quadro 5.1 são comparadas as armaduras horizotais calculadas ao logo das secções 4, 5 e 6 (cortes verticais idicados a figura 5.8). No quadro 5. são comparadas as armaduras verticais (secção A e B). Quadro 5.1 Armaduras horizotais (cm²/m) para as secções 4,5 e 6. Presete trabalho ( Dim_Membrae ) Loureço (199) altura z [m] 5 4,5 4 3,5 3 secção 5,5 secção 6 1,5 1 0, Asx [cm²/ m ] altura z [m] 5 4,5 4 3,5 secção 4 3,5 1,5 1 0, Asx [cm²/m] Quadro 5. Armadura vertical (cm²/m) ecessária para as secções A e B. Presete trabalho ( Dim_Membrae ) Loureço (199) Asy [cm²/m] B A Distacia x [m] 57

74 Através da aálise dos gráficos ateriores, é otória a similitude etre os resultados obtidos através da ferrameta Dim_Membrae e os resultados obtidos por Loureço (199). Porém, observam-se algumas difereças perfeitamete aceitáveis, como é o caso da armadura horizotal para a secção 4, em que o desevolvimeto da curva etre as alturas 0,5 m e m é diferete, pois a degradação da quatidade de armadura ocorre de uma forma mais suave e costate para o caso do presete estudo. Estas difereças explicam-se pelo facto de que o trabalho aqui desevolvido, as quatidades de armadura exibidas os gráficos resultam da leitura ao ível dos ós dos elemetos fiitos, equato o estudo elaborado por Loureço (199) as armaduras são obtidas o cetro dos elemetos atravessados pelas secções VERIFICAÇÃO DO ESMAGAMENTO DO BETÃO No dimesioameto dos elemetos de membraa segudo a metodologia da actual versão do EC a codição de ão esmagameto do betão deve ser verificada. Assim, a figura 5.9 apresetam-se as zoas da estrutura com esmagameto do betão, obtidas com o auxílio do programa DIM MEMBRANE. Fig.5.9 Esmagameto do betão (esmagameto = 1; ão esmagameto = 0) Aalisado o mapa aterior, é possível costatar que o esmagameto do betão ocorre uma zoa próxima do apoio direito da estrutura. Cotudo, uma primeira aálise deste problema, seria também espectável a ocorrêcia de esmagameto a zoa de carregameto da viga (parte superior), porém, se recordarmos as disposições referetes à verificação da rotura do betão segudo o EC (aalisadas o capitulo 3), ecotramos a justificação pela qual a ideia iicial se ecotra errada. A justificação, está o facto desta zoa se tratar de uma zoa ão fedilhada, correspodete ao caso 4 o qual ão são ecessárias armaduras (ver figura 5.6). Na verdade, para estas zoas o limite para a tesão o betão ão é tão restritivo como para o caso das zoas fedilhadas. Recordemos assim algus aspectos do capítulo 3: 58

75 Quadro 5.3 Quadro resumo da verificação da tesão o betão, segudo o EC Casos 1, e 3, (zoas fedilhadas) Caso 4 (zoas ão fedilhadas) σ c EC ck 0, f σ c f cd f cd A discussão desta rotura ão se equadra o âmbito do presete trabalho, o etato importa salietar que a rotura depederá fortemete das codições e da pormeorização da armadura a zoa do apoio DIMENSIONAMENTO No que diz respeito ao dimesioameto das armaduras, Loureço (199) para além de sugerir a execução dos já referidos cortes em determiadas secções da estrutura, refere também que o total de armadura colocado terá de ser superior à área dos diagramas apresetados, e a distribuição da armadura deve ser feita com alguma prudêcia, coforme relata o parágrafo a seguir, extraído a ítegra do referido trabalho: Como é evidete, o projectista ão poderá preteder acompahar o diagrama elástico de armadura com uma precisão matemática, sob a pea de: (1) obter uma distribuição de armaduras irrealizável ou extremamete atiecoómica e () obter áreas de armadura quase ifiitas em potos bem localizados da estrutura (juto à aplicação de cargas potuais ou zoas de descotiuidade). Deste modo será ecessário recorrer ao bom seso e experiêcia do projectista para efectuar um dimesioameto adequado. É razoável admitir redistribuições de tesões suficietes para acomodar a estrutura à armadura colocada Assim, depois de uma aálise cuidada dos mapas de armadura proveietes da ferrameta Dim_membrae, estabeleceu-se como critério para a distribuição de armaduras, a adopção de uma armadura distribuída (do tipo malha quadrada) cobrido parte do mapa, sedo o restate realizado por reforços de armadura (armadura complemetar) devidamete localizados. Para esta zoa de armadura complemetar, foi defiida uma solução com varões localizados de5φ 16. A razão para este procedimeto, prede-se com o facto de ser mais práctico resolver estas zoas potuais com uma armadura de maior diâmetro do que os diâmetros utilizados a armadura geral, coseguido-se ao mesmo tempo cotrolar melhor a quatidade de armadura ecessária com a adopção de um úmero estabelecido de varões a colocar a zoa restrita do reforço. 59

76 Assim, propõe-se a seguite distribuição de armaduras: Fig.5.10 Proposta para a distribuição das armaduras a viga-parede COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS OBTIDOS POR SCHLAICH (1987) Estes resultados podem ser comparados com os propostos por Schlaich et al. [5], que dimesioou a mesma peça estrutural com auxílio do modelo de escoras e tirates. Os resultados por ele obtidos são apresetados a figura Fig.5.11 Viga parede dimesioada pelo modelo de escoras e tirates por Schlaich (1987) 60

77 Note-se que aparecem difereças cosideráveis o arrajo de armaduras fial, cotudo os potos em que há maior cocetração de área de armaduras essas difereças ão são muito sigificativas. Aalisado a proposta apresetada por Schlaich, surgem algus aspectos que importam aqui discutir, etre os quais se destacam: - O ão prologameto da armadura sobre a abertura a toda a extesão da estrutura. Este aspecto ão foi explorado o presete trabalho, o etato o estudo feito por Loureço [15] recorredo à aálise ão liear idica que a zoa critica da plastificação da armadura ocorre segudo o alihameto da carga, razão pela qual a armadura horizotal ( 7φ16 ) ão deve ser dispesada; - A existêcia de uma certa quatidade de armadura icliada o cato direito da abertura. De facto, cosiderado os resultados proveietes da aalise elástica através do MEF, parece ser acoselhável a existêcia de uma certa quatidade de armadura icliada o cato direito da abertura, porém o cotrolo de fissuração esta região estará assegurado com a existêcia de uma grade quatidade de armadura; - Um outro aspecto a ter em cota, é o facto de que o arrajo das armaduras, de acordo com Schlaich apreseta tirates muito pesados EXEMPLO : VIGA OU VIGA PAREDE? GEOMETRIA, CARREGAMENTO, DISCUSSÃO DA ESPECIFICIDADE DO PROBLEMA O segudo exemplo, apresetado a figura 5.1, foi estudado por Souza [6]. Esta estrutura correspode a uma viga simplesmete apoiada com uma altura de,0 m e um vão de 6,0 m, apreseta uma espessura de 50 cm, estado sujeita a duas cargas cocetradas com um valor de cálculo de 1600 kn. As placas de aplicação dos carregametos têm dimesões de 45 x 50 cm. Fig.5.1 Geometria (cm) e cargas da viga parede Esta viga-parede será iicialmete dimesioada através da metodologia exposta este trabalho, e posteriormete como se fosse uma viga comum, utilizado um modelo de viga. 61

78 A viga em estudo, poderia ser dimesioada assumido-se as metodologias covecioais da flexão simples e esforço trasverso, uma vez que a relação etre o vão e a altura da viga é maior do que. No etato, Souza (004) refere: aplicado-se o Pricípio de Sait Veat os potos de itrodução do carregameto, costatase que a estrutura como um todo pode ser cosiderada uma Região D, ou seja, uma zoa de descotiuidade geeralizada. Nesse caso, a Hipótese de Beroulli ão pode ser utilizada, tedo em vista a ão-liearidade das deformações ao logo da seção trasversal do elemeto estrutural. Dessa maeira, acredita-se que a classificação de elemetos estruturais em vigas comus e vigas-parede como sedo uma fução da relação existete etre o vão e a altura (l/h) ão é adequada, e às vezes pode coduzir a dimesioametos iseguros ANÁLISE ELÁSTICA COM O PROGRAMA SAP 000 Para a execução da aálise liear elástica com o método dos elemetos fiitos, a estrutura foi modelada com o mesmo tipo de elemetos usados o primeiro exemplo de aplicação. As propriedades elásticas adoptadas para o betão são 8 GPa para o módulo de elasticidade do betão e 0, para o coeficiete de poisso. Tal como o exemplo aterior, o SAP 000 foi o programa de elemetos fiitos escolhido para a codução da aálise elástica liear da viga-parede. A malha de elemetos fiitos adoptada este problema, coicide com aquela que Souza [6] utilizou o seu estudo, para que o fial seja possível retirar algumas coclusões. Fig.5.13 Malha de elemetos fiitos utilizada o estudo da viga parede Adicioalmete, apreseta-se a deformada da estrutura, sob a acção das cargas exteriores. Fig.5.14 Deformada da estrutura 6

79 A figura 5.15 mostra as tesões resultates da aálise elástica da viga-parede. (a) tesões σ x x (b) tesões σ y y (c) tesões Fig.5.15 Viga simplesmete apoiada tesões σ x x, σ y y e τ x y τ x y 63

80 ANÁLISE COM O AUXILIO DA FERRAMENTA DIM_MEMBRANE A figura 5.16, apreseta os resultados de armadura e a iformação relativa à rotura do betão, obtidos com o auxílio do programa Dim_membrae. a) Direcção x, Asx (m²/m) b) Direcção y, Asy (m²/m) c) Esmagameto do betão Fig.5.16 Viga simplesmete apoiada Àreas de armadura Asx e Asy (m²/m) e esmagameto do betão 64

81 ; De seguida apreseta-se o gráfico que reúe a iformação relativa à quatidade de armadura horizotal ecessária ao logo da secção A. altura z (m),5 1,5 1 0,5 0 0,00 0,00 40,00 60,00 80,00 100,00 10,00 Asx [cm²/m] Fig.5.17 Armadura horizotal (cm²/m) ecessária para a secção A Para a quatificação da armadura horizotal, determiou-se a resultate de armaduras ecessárias a seção AA, coforme ilustra a Figura A armadura pricipal, 51 cm², é dada pela resultate do triâgulo de base 10 cm²/m e altura igual a 1m e deve ser distribuída a zoa efectivamete tracioada da viga-parede. Cotudo, após uma aálise cuidada do formato do gráfico aterior, optou-se por uma disposição de armadura que traduzisse de forma mais realista o aumeto de armadura ao logo da secção trasversal, como mostra a figura seguite. altura z (m),5 1,75 1,5 1, ,75 3 cm ² 38 9 cm ² 64 0,5 16 cm ² 89 0,5 3 cm ² 0 0,00 0,00 40,00 60,00 80,00 100,00 10,00 Asx [cm²/m] Fig.5.18 Distribuição da armadura logitudial em altura 65

82 O dimesioameto das armaduras trasversais foi efectuado levado em cosideração o mapa de armaduras verticais. Observa-se claramete pela figura 5.16 que a região cetral da viga (zoa etre as secções BB e CC, ver figura 5.19) a armadura requerida é muito baixa ou mesmo ula, tal como seria de esperar, pois esta região o valor do esforço trasverso é ulo. Aida assim, dispoibilizou-se uma armadura para fazer face a máxima quatidade de armadura requerida esta zoa cetral, quatidade esta correspodete a cor rosa, que a escala de cores da figura 5.18 pode tomar o máximo o valor de 6,9 cm ² /m. Em boa verdade, este valor limite de 6,9 cm ² /m ão ocorre a zoa cetral, como se coclui depois de aalisar de forma mais cuidada o Outup das armaduras o SAP. Porém, adoptou-se para esta zoa uma solução de armadura utilizado-se estribos de dois ramos com φ 8 mm afastados de 15 cm (6,7 cm²/m). No que diz respeito à zoa dos apoios (região etre as secções BB\CC e os limites da viga, ver figura 5.19) a opção foi colocar uma armadura para cobrir as ecessidades máximas desta região. Esta escolha surgiu pelo facto de ão ser razoável a colocação de várias soluções diferetes de armadura um comprimeto relativamete pequeo (m). Fig.5.19 Área de armadura (cm²/m) para a direcção y A Figura 5.0 apreseta a solução de armaduras para a viga-parede em aálise, dimesioada utilizado a ferrameta Dim_membrae e as recomedações do EC (004) para este tipo de estruturas. Adicioalmete, cosiderou-se um recobrimeto da armadura de 4 cm. 66

83 a) Armaduras horizotais b) Corte trasversal da viga parede c) Armaduras verticais Fig. 5.0 Solução fial de armaduras obtida para a viga, com o auxilio do programa Dim_membrae. 67

84 COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS OBTIDOS POR SOUZA [6] Na ivestigação coduzida por Souza [6], foi implemetada uma formulação base à formulação explorada este trabalho, uma folha de cálculo. Apreseta-se a título de curiosidade a folha de cálculo utilizada por este autor a determiação das armaduras, ver figura 5.1. Fig.5.1 Folha de cálculo utilizada por Souza [6] a determiação das armaduras Este procedimeto revela-se pouco expedito e leto, exigido uma grade iterveção por parte do utilizador, o que pode origiar a ocorrêcia de erros. Souza (004) já havia observado esse problema e adequadamete propôs soluções, coforme relata o parágrafo a seguir, extraído a ítegra da sua tese de doutorameto: A técica de ler os esforços de membraa e tratá-los em uma plailha acaba sedo bastate trabalhosa. Uma solução iteressate seria a implemetação da formulação de chapa em um programa de elemetos fiitos, de maeira a se obter automaticamete as taxas de armação em secções julgadas importates O programa Dim_mebrae, apresetado o presete trabalho vem dar resposta aos problemas euciados por Souza (004), pois o pós-processameto desta ferrameta permite visualizar automaticamete a quatidade de armaduras ecessárias em qualquer poto da estrutura. De seguida, efectua-se a cofrotação dos resultados obtidos por Souza (004) com os resultados proveietes da ferrameta Dim_mebrae, o que diz respeito à armadura do tirate pricipal. Quadro 5.3 Comparação com os resultados obtidos por Souza (004) Origem do estudo Armadura do Tirate (cm²) Souza (004) 5,11 Dim_membrae 51 Observa-se claramete pelo quadro 5..3 que os resultados agora obtidos estão em absoluta cocordâcia com os resultados obtidos ateriormete por Souza [6]. 68

85 DIMENSIONAMENTO, UTILIZANDO UM MODELO DE VIGA O dimesioameto das armaduras logitudiais e das armaduras trasversais foi feito com base as recomedações do Eurocódigo [9]. Com base os valores de cálculo do mometo-flector e do esforço trasverso (300 kn.m e 1600 kn respectivamete), e tedo em cosideração que a viga é feita com um betão C0/B5 e com Aço A500, pode-se calcular as armaduras da seguite maeira: Armadura Logitudial: Fcc = 0,85 fcd x 0, 81 b Fst = As fyd M = Fcc z = 0,85 x 0,81 0, ,5 ( 1,8 0, x) x = 0, 34 m Fcc = 0,85 fcd x 0, 81 b 5 10 Fcc = 0,85 1,5 Fcc = 197, 6 3 kpa 0,34 0,81 0,5 Fst = Fcc = 197, 6 kpa Fst = As fyd 197,6 = As As = 44,3 cm 3 Solução de armadura: 9 φ 5 Fig.5. Esquema do posicioameto das forças iteras 69

86 Armadura trasversal: Para o cálculo da armadura trasversal foi adoptado o modelo de esforço trasverso do EC, admitido θ = 45 para o âgulo formado pela escora comprimida de betão com o eixo da viga. Esforço trasverso resistete V rdc 1/3 [ C k ( l f ) + k ] b d rd, c 100 ρ ck 1 cp w = 343,95 kn = σ Crd, c = 0,18 /1.5 = 0,1 Asw 48,09 ρ l = = = 0,00545 < 0, 0 bw d 0,5 1, k = 1 + = 1+ = 1,33 d 1800 σ cp NEd = Ac = 0 Esforço trasverso resistete míimo V mi = 0,035 k 3 / fck 1/ Vrdc = ( V mi+ k1 σ cp) bw d V mi = 0,035 1,33 3 / 5 1/ = 0,694 Vrdc = ( 0, ,15 0) = 4478 Vrdc = 4, 478 kn N Vrdc = 343, 95 kn Esforço trasverso máximo α cw bw z v1 fcd Vrd max = = 3645,79 kn cot gθ + taθ 70

87 θ = 45 cot g θ = 1 fck v 1 = 0,6 1 = 0,54 50 z = 0,9 d = 1, 6 m Armadura de esforço trasverso Asw Vrd, s = z fywd cot gθ s fywd = 435 MPa cot gθ = 1 Vrd, s = Vsd = 1600 kn A armadura trasversal distribuída por uidade de comprimeto é dada por: Asw s =,7 cm / m A armadura aterior pode ser coseguida utilizado-se estribos de dois ramos com φ 1,0 mm afastados de 10 cm (,6 cm²/m). Para a região cetral da viga, ode o valor do esforço trasverso é ulo, será dispoibilizada a armadura míima, precoizada pelo EC [9]. 0,08 fck ρ w, mi = = 0,0008 f yk fck = 5 f yk = 500 MPa MPa Asw, mi = ρ w, mi bw Asw,mi = 4 cm / m A armadura míima para a região cetral pode ser coseguida utilizado-se estribos de dois ramos com φ 8 mm afastados de 5 cm (5,4 cm²/m). 71

88 COMPARAÇÃO ENTRE AS DIVERSAS ALTERNATIVAS ADOPTADAS PARA O DIMENSIONAMENTO Após a aálise do problema da viga-parede pelas metodologias ateriormete referidas, comparam-se agora as quatidades de armadura das soluções fiais para o tirate pricipal, ver quadro 5.4. Quadro 5.4 Comparação das quatidades de armadura das soluções fiais para o tirate pricipal Método de cálculo Armadura do Tirate pricipal (cm²) Modelo do EC, Dim Membrae 56,55 Modelo de viga 44,18 Modelo de escoras e tirates 58,9 Aalisado a aterior tabela, costata-se que o modelo de viga precoizado pela EC [9] coduz à meor quatidade de armadura para o tirate pricipal, revelado-se portato em um modelo maifestamete cotra a seguraça. Esse facto decorre, coforme já cometado, da metodologia de classificação das vigas recomedada pela orma europeia EC [9]. O EC (004) o item 5.3.1,refere: Uma viga é um elemeto cujo vão ão é iferior a 3 vezes a altura total da sua secção trasversal. Caso cotrário deve ser cosiderada como uma viga parede. A cosideração úica do critério da relação l/h para fazer a distição etre uma viga em comum e uma viga parede ão é suficiete, pois, depededo da localização das cargas cocetradas (coforme é o caso do problema em estudo), este critério ão atede ao efeito do fucioameto da viga parede resultate do carregameto. Assim, um elemeto viga que deveria ser dimesioado como viga parede acaba por ser dimesioado como se fosse uma viga comum, podedo coduzir a um dimesioameto iseguro, tal como Souza [6] havia costatado. O modelo do método dos elemetos fiitos, apresetou uma armadura iferior em relação ao modelo de escoras e tirates para o caso em estudo. De uma maeira geral, quado o Modelo de Escoras e Tirates é ajustado adequadamete obtém-se armaduras pricipais iferiores àquelas obtidas com um Modelo do MEF. Isto deve-se ao facto do Método dos Elemetos Fiitos forecer uma armadura cocetrada em certos potos. 7

89 5.4. EXEMPLO 3: CENTRO DE ARTES DO ESPECTÁCULO DE PORTALEGRE DESCRIÇÃO GERAL O último exemplo aqui apresetado diz respeito a uma das paredes da caixa de palco do edifício Cetro de Artes do Espectáculo de Portalegre, Fig.5.3, situado em pleo cetro histórico da cidade de Portalegre.. Fig.5.3 Cetro de Artes do Espectáculo de Portalegre A zoa que defie a evolvete do palco desevolve-se em altura e é costituída por paredes resistetes que têm a particularidade de serem desprovidas de lajes de piso a garatir rigidez (por motivos de ordem técica), o etato, existem passadiços metálicos em íveis itermédios. Sedo esta uma parede resistete, a existêcia de diversas aberturas suscita algumas dúvidas quato ao seu eficaz fucioameto estrutural. Particularmete, o que se refere ao camiho das forças de compressão a degradar este elemeto do edifício. Assim, a aálise aqui apresetada, tem como objectivo a determiação das armaduras a parede ilustrada a figura 5.4, exclusivamete para o carregameto apresetado. Fig.5.4 Alçado da parede a estudar 73

90 5.4.. ANÁLISE COM O SAP 000 Para a execução da aálise liear elástica com o método dos elemetos fiitos, a estrutura foi modelada com o mesmo tipo de elemetos usados os exemplos ateriores. As propriedades elásticas adoptadas para o betão são, 31 GPa para o módulo de elasticidade do betão e 0, para o coeficiete de poisso. O SAP 000 foi o programa de elemetos fiitos escolhido para a codução da aálise elástica liear da parede. A malha de elemetos fiitos foi gerada segudo, sempre que possível, elemetos fiitos quadrados de 0,5x0,5m. Cosideraram-se apoios de ecastrameto total a extremidade iferior da parede, coforme se pode ver a figura 5.5. No modelo aplicaram-se exclusivamete as cargas verticais proveietes da acção directa das lajes sobre a parede em estudo e a cargas da cobertura, ver quadro 5.5. Quadro 5.5 Valores característicos das acções Acções P1 P R Valor característico 1,5 kn/m 3 kn/m 380 kn A combiação de acções para o modelo em causa é apresetada o quadro 5.6, correspodete ao estado limite último. Quadro 5.6 Combiação de acções Combiação Acção γ Acção γ Acção γ Acção γ ELU Peso próprio 1,5 P1 1,5 P 1,5 R 1,5 Na figura 5.5, apreseta-se o aspecto geral da malha de elemetos fiitos e a deformada da estrutura, sob a acção exclusiva das cargas ateriormete expostas. a) b) Fig.5.5 a) Aspecto geral da malha de elemetos fiitos; b) Deformada. 74

91 ANÁLISE COM O AUXILIO DA FERRAMENTA DIM_MEMBRANE As armaduras ecessárias, para fazer face ao carregameto apresetado, foram obtidas com o auxílio do programa Dim_membrae. Os resultados do pós-processameto do programa são ilustrados a figura 5.7, e traduzem a quatidade de armadura ecessária para cada uma das direcções (x e y, respectivamete). Pela aálise da referida figura, é possível verificar quais as zoas que ecessitam de uma maior cocetração de armadura. Particularmete, as zoas dos vãos, são zoas sesíveis e que aqui requerem uma ateção sigular. a) tesões σ x x b) tesões σ y y Fig.5.6 Tesões a parede em estudo [kpa] a) Diirecção x b) Direcção y Fig. 5.7 Áreas de armadura (m²/m) 75

92 Assim, depois de uma aálise cuidada dos mapas de armadura proveietes da ferrameta Dim_membrae, estabeleceu-se como critério para a distribuição de armaduras, a adopção de uma armadura distribuída (do tipo malha quadrada) cobrido parte do mapa, sedo o restate realizado por reforços de armadura (armadura complemetar) devidamete localizados. Propõe-se a adopção de uma armadura para a zoa correte da parede, de φ 10 // 0, 15 (malha quadrada, em ambas as faces). Chama-se ovamete a ateção para o facto de que as quatidades de armaduras que estão aqui em discussão (exibidas a figura 5.7) resultam apeas da acção do carregameto vertical apresetado, ão cotemplado, portato outras acções tais como a acção sísmica e os efeitos resultates de deformação impedida associados à retração e variação térmica, acções que, este caso, são relevates e codicioates das armaduras a adoptar o projecto desta parede. 76

93 6 CONCLUSÕES 6.1. CONCLUSÕES Este trabalho aborda e implemeta uma metodologia de dimesioameto dos elemetos membraa (paredes) carregadas o seu próprio plao, de acordo com os resultados elásticos obtidos através do método dos elemetos fiitos, seguido as recomedações do EC [9]. Apresetam-se de seguida, as coclusões sumárias deste trabalho, agrupadas em 4 grupos. Algus aspectos mais particulares estão iseridos o fial dos capítulos. Aalise elástica liear com base o método de elemetos fiitos O uso de técicas de aálise liear elástica através do método dos elemetos fiitos (MEF), praticamete resolveu a primeira parte do processo de dimesioameto dos elemetos de parede de betão armado, o qual é a aálise estrutural. É com base a aálise liear elástica que se determiam as tesões e as correspodetes armaduras, aplicado o modelo de dimesioameto costate a regulametação (EC, aexo F - Armaduras de tracção para tesões o próprio plao). Modelo de dimesioameto O modelo de dimesioameto de armaduras apresetado pelo EC [9] permite a determiação das armaduras e a verificação do betão em elemetos de parede, preechedo uma lacua existete a regulametação aterior. A formulação de dimesioameto desevolvida este trabalho levata algumas questões. Etre as quais se destaca, a validade da aálise liear elástica o dimesioameto deste tipo de estruturas. Esta questão, é a opiião do autor, uma questão pertiete, pois o comportameto dos elemetos próximos da rotura viola a hipótese de comportameto elástico. No etato a aceitação do comportameto liear elástico tem sido ao logo dos aos uma prática correte, apoiada pelas ormas. Podemos aida justificar este procedimeto, através dos trabalhos realizados por diversos ivestigadores, como Gupta [13] e Akbar, os quais mostraram que esta abordagem coduz a um dimesioameto satisfatório. Este facto é aida recohecido pela diversa regulametação em vigor, omeadamete pela orma americaa, ACI 318 Buildig Code [1], que tem por base a já vasta experiêcia de ivestigadores americaos, e que claramete afirma que o comportameto liear elástico deve ser aceite estes casos. 77

94 No etato, em determiados casos de estruturas particulares, devemos recorrer a aálises ão lieares por forma a validar o dimesioameto das armaduras. Com a aálise ão-liear é possível obter respostas de desempeho quato à seguraça e quato à deformabilidade de elemetos com armaduras já defiidas, desde o iício do carregameto até a rotura. No etato as dificuldades de aplicação em projecto destes métodos são aida grades, pelo que ão se acoselha a sua utilização seão por técicos que domiem e coheçam em pormeor os modelos utilizados. Implemetação automática O programa de dimesioameto automático desevolvido em Matlab, DIM MEMBRANE, permite a determiação da armadura os ós dos elemetos fiitos, a partir de uma aálise liear elástica. Esta ferrameta, possibilita ão só a visualização dos mapas de armadura, como também das zoas ode ocorre esmagameto do betão. O programa DIM MEMBRANE, foi aplicado o dimesioameto de diferetes elemetos de parede como ferrameta complemetar a um programa corretemete utilizado em projecto (SAP000) e mostrou ser uma ferrameta rápida e prática de auxílio ao dimesioameto deste tipo de estruturas. Disposição prática das armaduras Uma questão a ter em cota, é a discussão da disposição de armaduras apoiada o programa DIM MEMBRANA. Assim, a distribuição da armadura deve ser feita com alguma prudêcia, pois como é evidete o projectista ão poderá preteder acompahar a distribuição de armadura resultate de uma aálise liear elástica com uma precisão matemática, sob a pea de obter uma distribuição de armaduras iadequada. Também é razoável admitir redistribuições de tesões suficietes para acomodar a estrutura à armadura colocada. Note-se, que a distribuição de armaduras obtida com base a aálise elástica ecessita em seguida de sofrer rearrajos tedo em vista a sua disposição prática. Deste modo será ecessário recorrer ao bom seso e experiêcia do projectista para efectuar um dimesioameto adequado. Sugestões futuras Sugere-se que se proceda a validação das soluções obtidas (com a metodologia do EC) através de modelos de aálise ão-liear. Icorporação de modelos de escoras e tirates que permitam uma idetificação das ecessidades de armadura e da sua distribuição em elemetos em que o fucioameto de viga parede seja mais relevate. Melhorameto do pós-processameto da armadura, por forma a possibiltar um dimesioameto mais expedito. 78

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97 ENDEREÇOS MULTIMÉDIA Adquirir documetação do programa SAP000; Documetação e apoio utilizador de SAP000; - Vídeos formativos de SAP Documetação com exemplos em SAP000; - Apoio ao utilizador de SAP Iformação de programação em Visual Basic sobre Excel SOFTWARE USADO NA ELABORAÇÃO DO TRABALHO Matlab v7.0 Liguagem de Programação; Microsoft Excel Tratameto de dados e apresetação gráfica; Microsoft Word 003 Redacção do relatório; SAP000 v Aálise Liear Elástica; 81

98 8

99 ANEXO 1: EXEMPLOS DE APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO APRESENTADO PELO EC - ANEXO F (ARMADURAS DE TRACÇÃO PARA TENSÕES NO PRÓPRIO PLANO) 83

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101 A1: EXEMPLOS DE APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO APRESENTADO PELO EC (ANEXO F, ARMADURAS DE TRACÇÃO PARA TENSÕES NO PRÓPRIO PLANO) Nesta secção, são apresetados algus exemplos de aplicação umérica do modelo apresetado pelo EC o aexo F. O problema a aalisar é o de um elemeto sujeito uicamete a tesões de membraa, ver figura seguite. Note-se que os exemplos aqui apresetados foram criados pelo autor do presete trabalho, o qual optou pela utilização de valores uméricos que facilitassem ão só os cálculos, como também, o retirar de coclusões. Os materiais cosiderados para esta aplicação são: -Betão C0/5 -Aço A400. σ y τ xy x τ xy σ x σ x τ xy τ xy y σ y Figura 1. Elemeto sujeito uicamete a tesões de membraa 85

102 Exemplo 1 Dados: 100 kpa Tesões: x 100 σ x = = 1MPa (tracção) kpa h= 0.1 m 100 kpa 100 σ y = = 1MPa (tracção) 0.1 τ x y = 0 MPa y 100 kpa Neste caso estamos perate o poto (4) do EC (Aexo F): Nas zoas em que armaduras. σ é uma tesão de tracção ou em σ σ τ Edxy, são ecessárias Edy Edx Edy Como se pode ver pela figura, este exemplo assim ecessárias armaduras. σ y é uma tesão de tracção codição para que sejam Nestes casos, as quatidade óptimas de armadura, idetificadas pelo ídice superior, e a correspodete tesão o betão são determiadas por: Para σ τ (-1<0) Edx Edxy f ' = τ σ 0 ( 1) = 1 tdx tdy Edxy Edxy Edx f ' = τ σ 0 ( 1) = 1 Edy σ cd = τ Edxy 0 Determiação da percetagem de armadura: ρ x = f f tdx syd ρ y = f f tdy syd 1 ρ x = ρ y ρ x = = 0,

103 Determiação das áreas de armadura: A s x = ρ h A = ρ h x s y y A = s x A s y A s A s = 0,0087 0,1 = 0,00087 =,87 cm m Exemplo Dados: : 100 kpa 100 kpa x Tesões (corte puro): σ x = 0 MPa h= 0.1 m σ y = 0 MPa 100 kpa 100 kpa τ 100 x y = = MPa y σ Edx > σ Edy ok!, o poto () do EC está verificado. Estamos perate o poto (4) do EC (Aexo F): Nas zoas em que armaduras. σ é uma tesão de tracção ou em σ σ τ Edxy, são ecessárias Edy Edx Edy Como se pode ver pela figura, este exemplo assim ecessárias armaduras. σ σ τ Edx Edy Edxy (0 <1), codição para que sejam Nestes casos, as quatidade óptimas de armadura, são determiadas por: Para σ τ (0<1) Edx Edxy f ' = τ σ 1MPa tdx tdy Edxy Edxy Edx f ' = τ σ 1MPa Edy σ cd = τ Edxy MPa 87

104 Determiação da percetagem de armadura: 1 ρ x = ρ y ρ x = = 0, Determiação das áreas de armadura: A s x = ρ h A = ρ h x s y y A = s x A s y A s A s = 0,0087 0,1 = 0,00087 =,87 cm m Coclusão: O corte puro, produz o mesmo efeito em termos de armaduras que duas forças de igual valor de tracção a actuar sem corte. Exemplo 3 Dados: 100 kpa : 100 kpa x Tesões (corte puro): 100 kpa σ x = 1MPa 100 kpa h= 0.1 m 100 kpa σ y = 1MPa 100 kpa τ x y = 1 MPa 100 kpa y 100 kpa σ Edx > σ Edy ok!, o poto () do EC está verificado. Estamos perate o poto (4) do EC (Aexo F): Nas zoas em que armaduras. σ é uma tesão de tracção ou em σ σ τ Edxy, são ecessárias Edy Edx Edy Como se pode ver pela figura, este exemplo assim ecessárias armaduras. σ y é uma tesão de tracção, codição para que sejam 88

105 Nestes casos, as quatidade óptimas de armadura, são determiadas por: Para σ τ (-1 <1) Edx Edxy f ' = τ σ 1 ( 1) = MPa tdx tdy Edxy Edxy Edx f ' = τ σ 1 ( 1) = MPa Edy σ cd = τ Edxy MPa Determiação da percetagem de armadura: ρ x = ρ y ρ x = = 0, Determiação das áreas de armadura: A s x = ρ h A = ρ h x s y y A = s x A s y A s A s = 0, ,1 = 0, = 5,75 cm m Exemplo 4 00 kpa 100 kpa 100 kpa x Tesões (corte puro): 150 kpa h= 0.1 m 150 kpa 100 kpa 100 kpa σ x =1, 5 MPa σ y = MPa τ x y = 1 MPa y 00 kpa 89

106 σ Edx > σ Edy ok!, o poto () do EC está verificado. Estamos perate o poto (4) do EC (Aexo F): Nas zoas em que armaduras. σ é uma tesão de tracção ou em σ σ τ Edxy, são ecessárias Edy Edx Edy Como se pode ver pela figura, este exemplo σ assim ecessárias armaduras. σ τ Edx Edy Edxy (-3 <1), codição para que sejam Nestes casos, as quatidade óptimas de armadura, são determiadas por: Para σ > τ Edx Edxy f ' tdx = 0 0 MPa τ Edxy f ' tdy = σ 1 Edy ( ),67 MPa σ 1,5 = Edx τ Edxy 1 σ = 1+ cd σ Edx 1,5 1+ =,17 MPa σ Edx 1,5 Determiação da percetagem de armadura: ρ y,67 = = 348 0,00767 Determiação das áreas de armadura: A s y A s y A s y = ρ h y = 0, ,1 = 0, = 7,67 cm m Verificação da tesão do betão: σ cd =,17 σ ν cd f cd 0 ν f cd = 0,6 1 13,3 = 7, 3 MPa 50,17 < 7,3 ok! 90

107 Exemplo kpa x Tesões: 100 kpa h= 0.1 m 100 kpa σ x = 1MPa σ y = 1MPa τ x y = 0 MPa y 100 kpa σ Edx > σ Edy ok!, o poto () do EC está verificado. Estamos perate o poto (3) do EC (Aexo F): Nas zoas em que σ Edx e σ Edy são ambas de tesões de compressão e σ Edx σ Edy > τ Edxy, ão são ecessárias armaduras. Como se pode ver pela figura, as codições descritas o parágrafo aterior verificam-se em absoluto. Não são ecessárias armaduras, o etato, a tesão de compressão máxima ão deve ser superior a fcd (1 <13,3). Exemplo 6 Dados: 150 kpa x Tesões: 00 kpa h= 0.1 m 00 kpa σ x = MPa σ y = 1, 5 MPa τ x y = 1 MPa y 150 kpa 91

108 σ Edx < σ Edy ko!, ão verifica o poto () do EC, é ecessário rodar a secção. Tesões: σ x = 1, 5 MPa σ y = MPa τ = MPa x y 1 Estamos perate o poto (4) do EC (Aexo F): Nas zoas em que armaduras. σ é uma tesão de tracção ou em σ σ τ Edxy, são ecessárias Edy Edx Edy Nestes casos, as quatidade óptimas de armadura, são determiadas por: Para σ > τ Edx Edxy f ' tdx = 0 0 MPa τ Edxy f ' tdy = σ 1 Edy ( ),67 MPa σ 1,5 = Edx τ Edxy 1 σ = 1+ cd σ Edx 1,5 1+ =,17 MPa σ Edx 1,5 Determiação da percetagem de armadura: ρ y,67 = = 348 0,00767 Determiação das áreas de armadura: A A s s y = ρ h y = 0, ,1 = 0, m Na verdade esta quatidade de armadura tem que ser disposta a direcção x, isto porque iicialmete houve ecessidade de rodar a secção, para que fosse possivel aplicar a metodologia do EC. A s x A s y = 7,67 = 0 cm 9

109 ANEXO : DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS REGULAMENTARES PARA PAREDES E VIGAS - PAREDE 93

110 94

111 Esta parte do trabalho tem como objectivo apresetar as disposições regulametares para paredes e vigas-parede. Estabelece-se uma comparação etre os vários artigos do REBAP e os correspodetes artigos do Eurocódigo. De uma forma global pode-se afirmar que em termos de resultados práticos as difereças etre os dois regulametos ão é sigificativa. Ou seja uma estrutura bem cocebida e dimesioada de acordo com o REBAP também estará bem dimesioada de acordo com o EC (a meos de algus pormeores). Cotudo, existem difereças que importa avaliar quatitativamete e qualitativamete. Fig.A.1 Regulametação: EC e REBAP 95