n ) uma amostra aleatória da variável aleatória X.

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1 - Distribuições amostrais Cosidere uma população de objetos dos quais estamos iteressados em estudar uma determiada característica. Quado dizemos que a população tem distribuição FX ( x ), queremos dizer que estamos ivestigado uma característica X dos elemetos desta população e que esta característica X é uma variável aleatória com fução de distribuição F x. X ( ) Seja ( X, X,..., X ) uma amostra aleatória da variável aleatória X. Defiição. Uma variável aleatória G G ( X, X,..., X ) = defiida como uma fução das variáveis aleatórias compoetes de uma amostra é chamada Estatística. Uma preocupação básica a estatística matemática é a determiação da distribuição das X, X,..., X de uma variável X. estatísticas defiidas a partir de uma amostra ( ) Em um primeiro tipo de problema devemos buscar para todo, a fução de distribuição de G. Tal distribuição é chamada distribuição exata da estatística G, e seu cohecimeto é de vital importâcia a solução de problemas estatísticos, quado o úmero de observações é pequeo. Neste caso estamos tratado de pequeas amostras. Num segudo tipo de problema ão estaremos iteressados em ivestigar a distribuição exata de G para um determiado, e sim sua distribuição limite quado, e este caso estamos lidado com grades amostras. Não há um critério geral estabelecido teoricamete que os permite dizer se uma amostra é grade ou ão. Isto depede da estatística em aálise. Uma amostra pode ser cosiderada grade para uma estatística e isuficiete para outra estatística. Defiição. X, X,..., X é uma amostra de uma variável aleatória X, chama-se média da Se ( ) amostra, à estatística G defiida por X = X i = i. - Distribuição de Amostragem da Média da Amostra. Seja X uma variável aleatória com média µ e variâcia de tamaho de X, temos:. Defiida uma amostra aleatória.. - Média da Média da Amostra.

2 E X E X E X i= i= ( ) = i = ( i ) = µ = µ (.) Obs: o fato da média da estatística X ser igual a média de X, ão sigifica que a média amostral x de uma particular amostra seja ecessariamete igual a µ. A iterpretação correta é a seguite: fixado um valor de, se realizarmos todas as amostras possíveis de tamaho da variável aleatória X, a média dos x s ecotrados é igual a µ. Exercício proposto: Cosidere a população costituída pelo cojuto {,5,6,7 }. Defia todas as amostras 4 possíveis de tamaho 3, um total de = 4 3 verifique a observação cometada.. Calcule os valores de x, ( k,,3, 4) k = e.. - Variâcia da Média da Amostra. VAR X VAR X VAR X i= i= ( ) = i = ( i ) = = (.) Obs: Covém registrar que a variâcia da média da amostra, para >, é sempre meor que variâcia de X. Teorema. Seja X a média da amostra ( ) X, X,..., X de uma variável aleatória com média µ e desvio padrão. Nestas codições X coverge em probabilidade para a média µ de X. O teorema é facilmete comprovado, pois lim VAR ( X ) = lim = 0, e, aplicado-se a desigualdade de Chebyshev o resultado é imediato Distribuição da média da amostra quado X é Normal (µ,). Ecotrar a distribuição exata de uma estatística pode em algus casos ser muito complicado. Cotudo há métodos que freqüetemete são usados para resolver este tipo de problema. Vamos usar propriedades das fuções características, para determiar a distribuição de X quado X tem distribuição ormal de parâmetros µ e. Se X é N(µ,) etão sua fução característica é dada por: t ϕ X ( t ) = exp itµ (.3)

3 De acordo com propriedades das fuções características, teremos etão que t t ϕ X ( t ) = ϕ X, e coseqüetemete, ϕ X ( t ) = exp itµ. Ora a fução característica ecotrada correspode a de uma variável aleatória ormal de parâmetros µ e. Exemplo. X, X,..., X uma amostra aleatória de uma variável aleatória N(;). Como vimos Seja ( ) 0 em (.) a distribuição de X é ormal de parâmetros µ = e A probabilidade de X pertecer ao itervalo (,3) é P < X < 3 = P 0,5 < Z < 0,5 0,38 ( ) ( ) A probabilidade de X pertecer ao itervalo (,3) é P ( < X < 3) = P (, 58 < Z <, 58) 0, 88 = 0,63 0. Na prática, podemos iterpretar os resultados da seguite maeira: se selecioarmos diversas amostras de tamaho = 0 de uma variável X com distribuição N(,), em aproximadamete 88 a cada 00 amostras, ecotraremos o valor observado de X o itervalo (,3). Por outro lado, se selecioarmos um elemeto da população, um grade úmero de vezes, obteremos somete 38 a cada 00 vezes, valores observados de X, aquele itervalo. Isto ocorre, evidetemete, porque a distribuição de X está mais cocetrada em toro de µ =, do que a distribuição de X. O gráfico. mostra as desidades das variáveis aleatórias N(,) e N(;0,63), respectivamete.

4 ..4 - Distribuição Assitótica da média da amostra de X. Se X é a média de uma amostra aleatória ( X, X,..., X ), de uma variável X, etão, para suficietemete grade, de acordo com o Teorema Cetral do Limite (TCL), devido a Lideberg-Lévy, X é assitoticamete ormal de média µ e desvio padrão. Decorrete disto, variável reduzida de X - a qual represetaremos por Z - tem distribuição ( X µ ) assitoticamete ormal padrão, isto é Z = é N 0, Vale lembrar, a título de revisão, que o TCL, impõe apeas que as variáveis X i, i=,,..., sejam idepedetes e ideticamete distribuídas (i.i.d.), com mesma média e variâcia. Como as variáveis aleatórias compoetes de amostra aleatória satisfazem esta codição, a aplicação do Teorema quado é suficietemete grade, resolve assitoticamete o problema de determiar a distribuição da estatística X, idepedetemete da origem populacioal ( )..5 - Distribuição de amostragem da média da amostra de X quado X ão é Normal. Se X ão tem distribuição ormal e se ão é grade, o estabelecimeto da distribuição exata de X é fudametal. O problema cosiste em buscar a solução a teoria de trasformadas de variáveis aleatórias - o caso trata-se de uma trasformada do tipo R R - e, a maioria dos casos, a aplicação das propriedades da fução característica de uma fução liear de variáveis aleatórias idepedetes é usada.. - Distribuição de amostragem da variâcia da amostra de X Defiição.3: Se ( X, X,..., X ) é uma amostra de uma variável aleatória X, chama-se variâcia da amostra, à estatística G defiida por S = ( Xi X ) i = Dada uma amostra ( X, X,..., X ) de uma variável aleatória X com média µ e desvio padrão, as variáveis X i, i =,,..., são ideticamete distribuídas, com mesma distribuição de X, e, por coseqüêcia, elas tem os mesmos mometos de X. Assim, ( i ) ( ) ( ) ( ) E ( Xi ) E ( X ) E X = E X = VAR X + E X, para todo i =,,..,, ou seja, = = + µ.

5 Por outro lado, como X tem média µ e desvio padrão E ( X ) = + µ., pode-se escrever: Etão: ( i ) E ( X ) E X ( ) = = para todo i =,,.., Sabemos também que E ( Xi X ) = E ( Xi XXi + X ) i= i= Como as variáveis X e Fialmete, = E Xi X + X i= = E Xi X i= i i= ( i ) E ( X ) = E X X, i=,,..., são ideticamete distribuídas, escrevemos E X X E X E X i= ( i ) = ( ) ( ) E X X i= = = ( i ) = ( ) E ( Xi X ) (.4) i De modo que, coveietemete, defiimos a estatística variâcia da amostra por: S = ( Xi X ), de tal forma que E ( S ) =. i = Defiição.4 X, X,..., X é uma amostra de uma variável aleatória X, chama-se desvio padrão da Se ( ) amostra, à estatística G defiida por = S = + S = + X X i ( i ) Teorema.

6 Se ( X, X,...,X ) é uma amostra aleatória de uma variável X com distribuição ormal de média µ e desvio padrão, etão - as estatísticas X e S são idepedetes. - ( ) S tem distribuição qui-quadrado com (-) graus de liberdade Esta distribuição está relacioada com a distribuição da variâcia amostral obtida a partir de uma amostra aleatória Normal. Se desejarmos costruir um itervalo de cofiaça baseado a variâcia amostral que coteha com alta probabilidade a variâcia(descohecida) da distribuição Normal, este itervalo deverá ser baseado a distribuição qui-quadrado! O mesmo acotece com teste de hipótese sobre a variâcia populacioal..3 - Distribuição de amostragem da média da amostra de X quado ão é cohecido. Ateriormete vimos que a média da amostra X = X de uma população X com i = distribuição N(µ,) tem distribuição N ; µ. Se cohecermos o valor de µ, mas descohecemos o valor de, etão a distribuição de X a verdade é uma família de distribuições depededo de um parâmetro, pertecete a um cojuto paramétrico > 0. { } Obviamete ão podemos substituir (desvio padrão da população) por s (desvio padrão amostral), pois S = + S é uma variável aleatória e pode assumir diferetes valores em diferetes amostras. Se desejarmos deduzir alguma iformação sobre µ, sem o cohecimeto de, devemos buscar uma estatística que seja fução de µ, mas com distribuição idepedete de. Este problema foi resolvido por Gosset (pseudôimo: Studet) que defiiu chamada Estatística T de Studet. Defiição.5 Sejam X, X, X,..., X variáveis aleatórias idepedetes, todas com distribuição N(0, ). Dizemos que T tem distribuição de Studet com graus de liberdade se i T = X i = X i.

7 A variável T pode ser apresetada alterativamete como segue: Defie-se X Xi Z = e Zi = com distribuição ormal padrão, isto é N(0,), para todo i =,,...,. Substituido-se esses valores em T, obtemos: Z T = e T= Z ( Zi ) Zi i= i= Zi é uma variável aleatória qui- i= Observemos que Z é uma variável aleatória N(0,) e quadrado com graus de liberdade. (.5) Devido à importâcia da distribuição T a Teoria de Iferêcia Estatística, vale a pea estabelecer uma fórmula simbólica para tal variável, qual seja T = Z χ, ode Z é N(0,) (.6) A leitura desta fórmula é: a variável aleatória T de Studet com graus de liberdade, é a razão etre uma variável aleatória N(0,), e a raiz quadrada de uma variável aleatória qui-quadrado com graus de liberdade, esta dividida pelo seu parâmetro, sedo ambas as variáveis idepedetes Teorema.3 - Razão de Studet Seja ( X, X,..., X ) uma amostra aleatória de uma variável X com distribuição ormal de média µ e desvio padrão. Se ( X µ ) amostra, etão S X e S são respectivamete a média e variâcia da tem distribuição de Studet com (-) graus de liberdade. ( µ ) X- De fato sabemos que X é N µ, e é N(0,), equato que ( ) S tem distribuição qui-quadrado com (-) graus de liberdade. Se usarmos a fórmula (.5) obteremos

8 ( ) ( ) ( ) X µ X µ T = T - = ( ) S S (.7) Observamos que a defiição.5 a v.a. T foi costruída a partir de ( + ) variáveis aleatórias idepedetes, uma delas compodo o umerador da razão e as demais o deomiador. No Teorema.3 temos variáveis defiidas gerado uma v.a. de Studet com (-) graus de liberdade, como era esperado. Resta cometar que este caso, as variáveis que compõem X X, i =,,..., que, como já visto, são ão correlacioadas com o deomiador são ( i ) X, e aida idepedetes, por terem origem ormal..4- Distribuição da Razão etre as variâcias de duas amostras idepedetes das N ( 0, ) variáveis X e Y, ambas com distribuição. Esta variável aleatória é defiida como o coeficiete de duas variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrado. Sejam X,X,...,X e Y,Y,...,Y m variáveis aleatórias idepedetes com distribuição N ( 0, ). Temos etão defiidas duas amostras aleatórias idepedetes, com variâcias são respectivamete S = X X e S = Y Y m x i y i i= m i= ( ) ( ) (.8) Coforme estabelecido o teorema. as variáveis ( ) S ( m-) Sy e x liberdade. S e S são tais que x y tem distribuição qui-quadrado com (-) e (m-) graus de Nessas codições, defiimos uma variável aleatória Sedecor com - e m- graus de liberdade S F =, com distribuição de x,m Sy.5 - Distribuição da Difereça etre as Médias de duas amostras idepedetes das variáveis X e Y, ambas com distribuição N(µ,).

9 Sejam X,X,...,X,Y,Y,...,Y m variáveis aleatórias idepedetes com distribuição ( ) N µ,. Temos etão defiidas duas amostras aleatórias idepedetes com médias X e Y, respectivamete. As variâcias das duas amostras são respectivamete S = X X e S = Y Y m x i y i i= m i= Cosideremos estatística ( X Y ) variâcia são, respectivamete: ( ) ( ). E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) = µ µ = 0, difereça etre as duas médias em questão, a média e + m VAR ( X Y ) = VAR ( X ) + VAR ( Y ) = + = m m Por ser uma combiação de variáveis aleatórias ormais, escrevemos etão que ( + ) é ( X Y ) N 0; m m e ( X Y ) + m m é N(0,) (.9) Sedo um parâmetro descohecido, devemos substituí-lo por uma estatística da amostra que é a média poderada das variâcias das amostras, ou seja, ( ) SX + ( m ) SY Sp = (.0) + m Note que ( + ) = ( ) + ( ) m S S m S p X Y Dividido-se ambos os membros da igualdade por, temos: ( + ) ( ) ( ) m S S m S p X Y = + (.) Como as amostras são idepedetes, as variáveis χ e χ m são idepedetes e sua soma defie uma variável qui-quadrado com (m + -) graus de liberdade. Assim, se é descohecida, costruímos uma v.a. de Studet com + m - graus de liberdade, como segue

10 T ( X Y ) + m = m T = + m + m ( + m ) Sp ( m ) + ( ) X Y m S + m p que os permitirá estudar itervalo de cofiaça e realizar testes de hipótese sobre a difereça etre as médias de duas populações.