Estatística. 7 - Distribuições Amostrais
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- Maria da Assunção de Paiva
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1 Estatística 7 - Distribuições Amostrais 07 -
2 Distribuição da Média Amostral Distribuição costituída de todos os valores de, cosiderado todas as possíveis amostras de tamaho i ( Ode,,..., são V.A. com mesma Distr. da V.A. Parâmetros da Distribuição da Média Amostral E( [ E( E( E( ] E( [ E( E( E( ] E( E( E( Sedo:,,..., Variáveis Aleatórias Idepedetes: [ ] [ ] 07 -
3 Distribuição da Média Amostral Eemplo: População = {,3,6,8,} Amostra de (dois elemetos com reposição. N = 5 = Amostras possíveis: 5 = 5 amostras (,,0 (,3,5 (,6 4,0 (,8 5,0 (, 6,5 (3,,5 (3,3 3,0 (3,6 4,5 (3,8 5,5 (3, 7,0 (6, 4,0 (6,3 4,5 (6,6 6,0 (6,8 7,0 (6, 8,5 (8, 5,0 (8,3 5,5 (8,6 7,0 (8,8 8,0 (8, 9,5 (, 6,5 (,3 7,0 (,6 8,5 (,8 9,5 (,,0 População: N i , 0 5 ( i N 5 ( 6 ( 3 6 ( 6 6 ( 8 6 ( 6 0, 8 Amostra: E( N i,0,5...,0 5 ( i E( N 0,8 5,40 ( i 6, ,0 07-3
4 Distribuição da Média Amostral Amostragem com reposição População iiita: N > 0. i : V.A. Idepedetes Etão: E( E( Amostragem sem reposição População iita: N < 0 i: V.A. ão Idepedetes Etão: E( E( N N Ode: N tamaho da população tamaho da amostra 07-4
5 Eemplo: População = {,3,6,8,} Amostra de (dois elemetos sem reposição. N = 5 = Amostras possíveis: 5 Pr( Distribuição da Média Amostral 5! 3!! para 0 todo i i Amostras (,3,5 (,6 4,0 (,8 5,0 (, 6,5 (3,6 4,5 (3,8 5,5 (3, 7,0 (6,8 7,0 (6, 8,5 (8, 9,5,5 4,0 9,5 E( i Pr( i 6,0 0 ( i Pr( i 0 (,5 6 (4, (9,5 6 4, 05 N N 0, ,
6 Distribuição da Média Amostral Eemplo: Admite-se que a altura de 300 aluos do seo masculio de uma dada Escola tem Distribuição Normal, com = 7,7 cm e = 7,6 cm. Se orem obtidas 80 amostras de 5 aluos cada, quais serão a média e o desvio-padrão da Distribuição Amostral de? Com reposição: E( 7,7 Número de possíveis amostras: 7,6 DP(,54 5 ( , Sem reposição: E( 7, 7 Como: etão: ( N 300 ( N 7, DP(,46 N Número de possíveis amostras: ! 75! 5! 9,
7 Distribuição da Média Amostral Resultados importates: Se a população or Normal etão a Distribuição Amostral de é Normal para qualquer tamaho da amostra, devido ao Teorema das Combiações Lieares de Variáveis Normais Idepedetes. Distribuição Amostral de Distr. Probab. da População, Se a população ão or Normal, mas a amostra or suicietemete grade etão a Distribuição Amostral de pode ser aproimada pela Normal, devido ao Teorema do Limite Cetral (o caso de população iiita ou devido à cosideração de amostragem com reposição. Distribuição Amostral de Distr. Probab. da População, 07-7
8 Distribuição da Média Amostral Eemplo: Admite-se que a altura de 300 aluos do seo masculio de uma dada Escola tem Distribuição Normal, com = 7,7 cm e = 7,6 cm. Cosidere que oram obtidas 80 amostras de 5 aluos cada. Em quatas amostras pode-se esperar que a média se ecotre etre 69,67 e 73,48 cm? Logo : Pr(69,67 73,48 Do slide 6, tem-se (sem reposição:? Normal ( E( 7,7;,46 Pr( 69,67 73,48 69,67 7,7 Pr(,46 Z 73,48 7,7,46 Pr(,09 Z 0,5 Pr( 0 Z,09 Pr(0 Z 0,5 0, , 0, 680 Resp.: espera-se que em 80 0,680 = 54 amostras, a média se ecotre etre 69,67 e 73,48 cm 07-8
9 Distribuição da Média Amostral Eemplo: Uma ura cotém muitas ichas umeradas: um terço com o úmero, um terço com 4 e um terço com 6. : úmero de uma icha retirada ao acaso E( 4 6 ( E( E( ( , 66 Pr(= /
10 Distribuição da Média Amostral Cotiuação do eemplo da ura com ichas:, 4, 6 Etrair amostra de tamaho : Número de dieretes amostras = 3 = (, (,4 (,6 (4, (4,4 (4,6 (6, (6,4 (6, E( ,66,33 Pr( 3/9 /9 /
11 Distribuição da Média Amostral Cotiuação do eemplo da ura com ichas:, 4, 6 Etrair amostra de tamaho 5: Número de dieretes amostras = 3 5 = 43 i : úmero de vezes que a icha i saiu a amostra de tamaho E( 4 i : Multiomial (Poliomial 5,66 5 0,53 Pr( ; 4 4 ; 6 6 5!!! 4 6! Pr( Cálculos o próimo slide
12 Cotiuação do eemplo da ura com ichas:, 4, 6 Distribuição da Média Amostral (=5 Pr( Distribuição da Média Amostral ; 4 4 ; 6 6 5!!! 4 6! i i Prob /43 4 0,4 5/ ,8 5/ ,8 0/ , 0/ ,6 0/ , 0/43 8 3,6 30/ / ,4 0/ ,6 5/ /43 4,4 30/ ,8 0/ , 5/ / ,4 5/ ,8 0/ , 0/ ,6 5/ /43 Prob.,4,8 3, 3,6 4 4,4 4,8 5, 5,6 6 /43 5/43 5/43 30/43 45/43 5/43 45/43 30/43 5/43 5/43 /
13 Cotiuação do eemplo da ura com ichas:, 4, 6 Etrair amostra de tamaho 0: i : úmero de vezes que a icha i saiu a amostra de tamaho i : Multiomial (Poliomial Pr( Pr( Distribuição da Média Amostral ; 4 4 ; 6 6 N o. de amostras = 3 0 = E( 4 0,66 0 0,66 Distribuição de Probabilidade de,0,,4,6,8 3,0 3, 3,4 3,6 3,8 0,0000 0,0007 0, , ,004 0,0459 0,0487 0,0807 0,457 0,44 4,0 4, 4,4 4,6 4,8 5,0 5, 5,4 5,6 5,8 6,0 0,56 0,44 0,457 0,0807 0,0487 0,0459 0,004 0, , ,0007 0,0000 0!!! 4 6! ,50 0,5 0,00 0,075 Evidete aproimação à Distribuição NORMAL 0,050 0,
14 Distribuição da Freqüêcia Amostral : reqüêcia absoluta com que oi observada alguma característica em cada elemeto de uma amostra de tamaho SUCESSO: quado a característica oi observada FRACASSO: caso cotrário Seja: p = Prob. de Sucesso em cada elemeto da amostra q = Prob. de Fracasso Amostragem com reposição: tem Distribuição Biomial E( p pq Amostragem sem reposição: tem Distribuição Hipergeométrica E( p pq N N 07-4
15 Distribuição da Freqüêcia Amostral Amostras suicietemete grades, garatem que a Distribuição de (Biomial ou Hipergeométrica pode ser aproimada pela Distribuição Normal Em termos práticos:.p 5.q 5 N > 0 garatem uma boa aproimação pela Normal ( E( p; pq Normal Normal.p 5.q 5 N < 0 garatem uma boa aproimação pela Normal( E( Normal p; Normal pq N N 07-5
16 Distribuição da Freqüêcia Amostral Eemplo: Veriicou-se que % das peças produzidas por certa máquia são deeituosas. Qual a Prob. de eistirem o máimo 3% de peças deeituosas um lote com 400 peças? p = % = 400.p = 8 > 5.q = 39 > 5 Pr( 4003% Pr( ( Biomial Apro.? pela Normal Pr( Pr( Normal,5 E( p 4000,0 8 DP( pq 4000,00,98 7,84,8 Pr( Normal,5 Pr( Z,5 8,8 Pr( Z,60 Pr( Z 0 Pr(0 Z,60 0,5 0,445 0,
17 Distribuição da Freqüêcia Amostral Eemplo: Uma Pesquisa Eleitoral mostrou que certo cadidato receberá 46% dos votos. Qual a Prob. de 00 votates, escolhidos ao acaso, apresetar a maioria dos votos em avor deste cadidato? Pr( 0050% Pr( 00? p = 46% ; = 00 ;.p = 9 > 5.q = 08 > 5 ( Biomial Apro. pela Normal Pr( 00 Pr( Normal 00,5 E( p 000,46 9 DP( pq 000,460,54 49,68 7,04 Pr( Normal 00,5 Pr( Z 00,5 9 7,04 P( Z, Pr( Z 0 Pr(0 Z, 0,5 0,3869 0,3 07-7
18 Distribuição da Freqüêcia Amostral Eemplo: Uma Pesquisa Eleitoral mostrou que certo cadidato receberá 46% dos votos. Qual deveria ser o tamaho da amostra de votates para garatir, com uma Prob. de 95% que tal cadidato teha o míimo 0 votos? Determiar tal que: p = 46% =? Logo: Pr( Apro. 0 Pr( E( p 0,46 Normal Pr( 0 pela Normal p; DP( pq 0,460,54 0,484 9,5 0,95 95% Cosidere: p>5 q>5 N>0 pq Pr( Normal 9,5 Pr( Z 9,5 0,46 0,484 0,95 Portato, da Tabela Normal: 9, 5 0, 46 0, , Resolvedo esta equação, tem-se: =3 p/ Z=,65 =90 p/ Z=-,
19 07-9 Distribuição da Freqüêcia Amostral Relativa p p : reqüêcia relativa com que oi observada alguma característica uma amostra de tamaho Amostragem com reposição: p p E E p E ( ' ( pq pq Var Var p Var ( ' ( Amostragem sem reposição: p ' p p E E p E ( ' ( ( ' ( N N pq N N pq Var Var p Var
20 07-0 s i i ( Distribuição da Variâcia Amostral s A Distribuição de está relacioada com a importate Distribuição (QUI-QUADRADO: s i i i i z
21 Sejam i : Distribuição : valores aleatórios idepedetes i Qui-Quadrado retirados de uma população Normal (, Etão: i i tem Distribuição Qui-Quadrada com Graus de Liberdade. : soma dos quadrados de valores idepedetes de variável Normal Reduzida z i 07 -
22 Distribuição : Qui-Quadrado Tabela distribuição Qui-Quadrado 07 -
23 Propriedades da Distribuição E Μο( ( Moda Normal quado (Teorema do Limite Cetral, : idepedetes Distr. tabelada: Pr( P, P Eemplo: P = 0% = 3 Tabela: liha ( = 3 colua (P = 0% tem-se:, P 6, 5 Sigiica: Probabilidade de um valor aleatório da variável 6,5 é 0% ser maior do que 07-3
24 07-4 i i i i s ( ( ( ( E s E Mostra-se que: tem Distribuição Logo: i Portato: s ( ( 4 Var s Var Distribuição da Variâcia Amostral s
25 Distribuição da Variâcia Amostral s Eemplo: Retirada uma amostra de elemetos, ao acaso, obteve-se s ( = 7,08. Determiar um itervalo que coteha a variâcia da população com 90% de probabilidade. Pr( a b 0,90 s s, ( (, 70,8 Pr( a b 0,90 70,8 Pr( b 70,8 a 0,90 Tabela: Pr(3,940 8,307 0, 90 70, , b 70, 8 8, 307 a b = 7,9 a = 3,83 Pr(3,83 7,9 0,
26 Distribuição t - Studet A partir de uma amostra aleatória de valores retirados de uma população N(,, obtêm-se a estatística: z z N(0,, E( DP( Substituido-se (descohecido por s : s( t ( t - Studet com = - E(t - =0, s( t N(0, t z s Normal t z t-studet t 0 t, z 07-6
27 Distribuição t - Studet Tabela da distribuição t -Studet 07-7
28 Eemplo: Retirada uma amostra aleatória de tamaho 4, de uma população Normal, obteve-se: 8, 0, 4 Determiar um itervalo que teha a probabilidade de 99% de coter a média da população:pr(a b = 0,99 Normal(, Seja Pr(-e 0 + e 0 = 0,99 (* P( - e 0 + e 0 = 0,99 a = - e 0 b = + e 0 De (*: e Pr 0 Z e 0 0 Pr e e Z 0, 99 Distribuição 0 0,99 e s 0 z 0,5% s s e z z t ( 0 0, 5% 0, 5% (, 0, 5 s % Tabela: t 5, 84 0, 4 e , 0, 5% 0,, 4 a = - e 0 = 8,,68 = 7,03 b = + e 0 = 8, +,68 = 9,368 t - Studet Pr( 7,03 9,368 = 0,
29 Distribuição da Razão etre Variâcias Amostrais Sejam amostras idepedetes, de tamahos e, retiradas de populações Normais e cosidere suas variâcias amostrais : s s Deseja-se cohecer a Distribuição de: s s Caso as Populações teham a mesma variâcia: s s Distr. F de Sedecor(, (valores da Distr. F de Sedecor: TABELADOS F ; s s ode: 07-9
30 Distribuição da Razão etre Variâcias Amostrais Tabela da distribuição F de Sedecor (p=0,
31 Distribuição da Razão etre Variâcias Amostrais Tabela da distribuição F de Sedecor (p=0,
32 Distribuição da Razão etre Variâcias Amostrais Tabela da distribuição F de Sedecor (p=0, 07-3
33 Distribuição da Razão etre Variâcias Amostrais Eemplo: Cosidere populações Normais com mesma variâcia, das quais são retiradas amostras de tamahos =5 e =30. Calcule a prob. da variâcia da amostra ser maior do que o dobro da variâcia da amostra. Perguta: s Pr( s? s Pr( Pr( F Pr( F ; 5; 30 s Da Tabela: Logo: Pr( F4 ; 9,90 0,05 Pr( F4 ; 9,5 0,05 s Pr( s 0,05.90,5,90 (0,05 0,05 s Pr( s 0,
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