Propriedades: Notação: X ~ U(α, β). PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS

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1 0 CONTÍNUOS PRINCIPAIS MODELOS Notação: ~ U(α β). Propriedades:

2 Eemplo A dureza de uma peça de aço pode ser pesada como sedo uma variável aleatória uiforme o itervalo (5070) uidades. Qual a probabilidade de que uma peça teha dureza etre 55 e 60? Solução. represeta a dureza de uma peça de aço sedo que ~ U(50 70) e f ( ) cc.. Portato P(55 < < 60) d Modelo epoecial Uma v.a. cotíua tem distribuição epoecial com parâmetro λ > 0 se sua fução de desidade é dada por f ( ) λe 0 λ Notação: ~ E(λ). c.c. 0 A fução de distribuição acumulada é dada por e F ( ) 0 Propriedades: E ( λ c.c. 0 ) / λ e Var ( ) / λ. f() 0 λ F() 0 0 0

3 . Modelo epoecial Propriedade. Se ~ E(λ) etão P( > a + b > b) P( > a). É a úica distribuição cotíua com esta propriedade ( falta de memória ). Observação. Também ecotramos ~ E(α) em que f ( ) e α 0 α c.c. 0 Relação: α / λ. α: escala e λ: taa. Eemplo gráfico. Diferetes valores de λ. f() λ 3 λ λ Eemplo O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição epoecial com vida média de 00 horas. Cada fusível tem um custo de $00 e se durar meos de 00 horas há um custo adicioal de $80. (a) Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 50 horas? (b) Determiar o custo esperado. Solução. Se é o tempo de vida de um fusível temos E() 00 horas λ / E() 00 e ~ E(00). Ou seja F ( ) e c.c. ( a) P( > 50) P( 50) ( e ) e 5 03.

4 Eemplo (b) O custo C é uma v.a. discreta dada por C ( 0 ) se se O custo esperado (custo médio) é E(C) 0 P(C 0) + 8 P(C 8). Usado a variável calculamos < P( C P( C E ( C 0) P( 00) P( < 00) F(00) e 8) P( 00) F(00) e ) 0 e + 8 ( e e ) $ Modelo de Weibull Uma variável aleatória cotíua tem distribuição de Weibull com parâmetros de escala α > 0 e forma β > 0 se sua fução desidade é dada por β f ( ) α α β e β α 0. Fução distribuição acumulada: β α F( ) P( ) e 0. Notação: ~ W(α β). Obs. Se β ~ E(α) (slide 5).

5 Eemplos gráficos α β f() f() Aplicações Modelo de Taa de falhas: em caso de um sistema composto (em série ou em paralelo) em que a falha é devida ao problema mais grave. Cofiabilidade de sitemas: avaliar cofiabilidade dos sistemas mesmo sem cohecer a cofiabilidade de cada compoete. Fução de cofiabilidade: R(t) ep( - [t/ α] β ).

6 4. Modelo ormal (ou gaussiao) R. Uma variável aleatória cotíua tem distribuição ormal com média µ e variâcia σ se sua fução desidade é dada por µ σ f ( ) e π σ Notação: ~ N(µ σ). Eemplos Distribuições ormais com médias diferetes e variâcias iguais. Distribuições ormais com médias iguais e variâcias diferetes.

7 Eemplos µ < µ µ µ σ < σ σ < σ µ < µ Propriedades (a) E() µ Var() σ. (b) mediaa moda µ : a distribuição é simétrica em relação à média. (c) Como a área total sob curva é igual a à esquerda e à direita de µ a área é igual a 05. (d) P ( µ σ µ + σ ) P ( µ σ µ + σ ) e P ( µ 3σ µ + 3σ )

8 Propriedades A fução de distribuição acumulada de uma v.a. ~ N(µ σ ) é F( ) t µ ep πσ σ dt. Itegral sem solução aalítica. Cálculo de probabilidades com o auílio de tabelas. Normal padrão ou reduzida. Se é uma v.a. ormal com média 0 e variâcia etão é chamada de uma v.a. ormal padrão ou reduzida e sua fução desidade é z f ( z) e π z R. A fução de distribuição acumulada de uma v.a. ~ N(0) é Φ ( z ) P ( z ) z π ep( f(z) t ) dt z. Uso da tabela ormal Tabela. Areas sob a curva ormal padrão ou reduzida para z 0. ~ N(0): distribuição ormal padrão. Valores o corpo da tabela: P(0 z) z com duas decimais. Para obter as probabilidades acumuladas: Φ(z) P( z) 05 + P(0 z) (valor da tabela); Φ ( z ) P ( z ) z π ep( t ) dt 4 59 z Áreas a tabela. Áreas de iteresse.

9 Uso da tabela ormal a colua: parte iteira de z e a decimal. A partir da a colua a a decimal de z: a a colua a a decimal de z é 0 ; a 3 a colua a a decimal de z é ; etc. Eemplo. P( -5)? Na tabela ecotramos P(0 5) a iterseção da liha correspodete a com a colua 005: a decimal Parte iteira e a decimal Resposta. P( -5) Eemplo Se ~ N(0) calcule (a) P( < 80) (b) P(080 < < 40) (c) P( > -057) e (d) o valor de k tal que P( < k) 005. Solução. Da tabela ormal padrão tem-se ( a) P( < 80) Φ(80) (b) P(080< < 40) Φ(40)-Φ(080) ( c) P( > 057) 05 + P(0 057) ( d ) P( < k) 005 P(0 < < z) 045 z 64 k 64. Observação. Para todo k > 0 ( i) P ( ( ii )P ( k k ) 05 k ) No Ecel: (a) DIST.NORMP(8). (b) DIST.NORMP(4) DIST.NORMP(08). (c) -DIST.NORMP(-057). (d) INV.NORMP(005). P (0 P (0 k ) k ). e

10 Trasformação liear de uma variável ormal Se ~ N(µ σ ) etão Y a + b ~ N(µ Y σ Y ) sedo que µ Y a + bµ e σ Y b σ. Tomado a - µ / σ e b / σ obtemos a padroização σ µ ~ N ( 0 ). Distribuição ormal padrão ou reduzida. Eemplo. Se ~ N(9000) determiar (a) P(80 < < 00) (b) P( - 90 < 30) e (c) o valor de a tal que P(90 - a < < 90 + a) 099. Eemplo ( a) P(80 < µ < 00) P( < < ) P( 00 < 0 σ 0 P(0 00) < 00) ( b) P( 90 < 30) P( 30 < 90 < 30) P( < < 0 0 P( 300 < < 300) P(0 < < 300) P(0 a ) P(0 < a ) 5 30 ) 0 a 90 a ( c) P(90a < < 90+ a) P( a < 90< a) P < < a 8 a

11 Propriedade Se K são v.a. idepedetes tais que i ~ N(µ σ ) para i... etão a v.a. Y é tal que Y ~ N(µ σ ). Padroização: + L µ µ σ / + i ( µ ) ~ σ i i N σ i (0). Teorema cetral do limite Se... é uma amostra aleatória de tamaho de uma distribuição com média µ e desvio padrão σ (0 < σ < ) etão a distribuição aproimada de ( µ) σ sedo que é ormal padrão N(0) i i é a média amostral. Observações. () Quato maior melhor a aproimação. () A distribuição das variáveis pode ser discreta ou cotíua. (3) A distribuição aproimada de i é N( µ σ ). i

12 Teorema cetral do limite Distribuição epoecial Teorema cetral do limite Distribuição Beroulli (p 045)