Stela Adami Vayego Estatística II CE003/DEST/UFPR

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1 Resumo 0 Estimação de parâmetros populacioais Defiição : Estimador e Estimativa Um estimador do parâmetro θ é qualquer fução das observações... isto é g(... ). O valor que g assume isto é g(x x... x ) será referido como uma estimativa de θ e é usualmete escrito assim: θ g(x x... x ). Note que segudo está defiição um estimador é qualquer estatística cujos valores são usados para estimar θ (ou uma fução de θ). O problema da estimação é etão determiar uma fução T g(... ) que seja próxima de θ segudo algum critério. Esses critérios serão vistos mais adiate. Notação: θ : parâmetro a ser estimado T : um estimador de θ θ : uma estimativa de θ Defiição : Estimador Potual eja... uma amostra aleatória de uma variável aleatória que descreve uma característica de iteresse de uma população com uma distribuição f x(x;θ). Etão qualquer estatística T g(... ) é um estimador potual de θ. Notação: θ T(x) g(x x... x ) é a estimativa potual de θ. Propriedades dos Estimadores Potuais Estimador Não-Viesado (justo ão - viciado) O estimador T é dito um estimador ão-viesado de θ se sua média (ou esperaça) for o próprio parâmetro que se pretede estimar isto é E(T) θ. Isso sigifica que os valores aleatórios de T ocorrerão em toro do valor do parâmetro θ o que é obviamete desejável. Note que a esperaça de T é calculada sobre a distribuição amostral de T. Eficiêcia (Variâcia Míima) e T e T são dois estimadores ão-viesados de um mesmo parâmetro θ e aida Var(T) < Var(T ) etão o estimador T é dito mais eficiete do que o estimador T. Defiição 3 - Itervalos de Cofiaça (I.C.): eja (... ) uma amostra aleatória de uma população e θ o parâmetro de iteresse. e T um estimador de θ e cohecida distribuição amostral de T sempre será possível achar dois valores t e t tal que Pr( t < θ < t ) - γ sedo γ um valor fixado e 0 < γ <. Para uma dada amostra teremos dois valores fixos t e t e o itervalo de cofiaça para θ com ível de cofiaça γ será idicado do seguite modo: IC(θ: γ) [t t ]. Itervalos de Cofiaça para Parâmetros da Distribuição Normal.. Itervalo de Cofiaça para µ com 0 Cohecido O itervalo de cofiaça para µ com 00γ % de cofiaça é dado por: 0 0 I.C.(µ : γ) z. + z. com Pr(Z < - z) Pr(Z > z).

2 Defiição 4: Distribuição t-tudet e (... ) é uma amostra aleatória de ~ N(µ ) seja Z i ~ χ ( ). Etão: i U ( ) T Z U Χ µ ~ t (-). µ ~ N(0 ) e.. Itervalo de Cofiaça para µ com Descohecido O itervalo de cofiaça para µ com 00γ % de cofiaça é dado por: I.C.(µ : γ) t + t com Pr(t (-) < - t) Pr(t (-) > t). Defiição 5. Distribuição de Qui-quadrado (χ ) upoha-se que seja uma variável aleatória com um distribuição N(0 ). Etão distribuição χ ( ). terá Coseqüêcia: upoha-se que... seja uma seqüêcia de variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com distribuição N(µ; ). eja ( i ) a variâcia amostral dessa amostra aleatória. Etão: U dode resulta ( ) χ ~ ( ) ~ χ ( ) i ode é chamado de coeficiete de proporcioalidade.3. Itervalo de Cofiaça para com µ Descohecido O itervalo de cofiaça para com 00γ % de cofiaça é dado por: ( i ) ( i ) I.C.( i i ( ) ( ) : γ) q q q q ode q e q são tais que Pr( χ ( ) < q ) Pr( χ ( ) > q ).

3 .4. Itervalo de Cofiaça para com µ µ 0 Cohecido O itervalo de cofiaça para com 00γ % de cofiaça é dado por: ( i µ 0 ) ( i µ 0 ) I.C.( i i : γ) q q ode q e q são tais que Pr( χ ( ) < q ) Pr(( χ ( ) > q ).. Itervalo de Cofiaça para Proporção Populacioal O itervalo de cofiaça para p com 00γ % de cofiaça é dado por: I.C.(p : γ) p p ( p ) ; p + p ( p ) z z Como ão cohecemos p usamos o fato de que p(-p) ¼ logo ode z é tal que Pr(Z < -z) Pr(Z > z). I.C.(p : γ) p z ; 4 p + z 4 p ( p ) 4 (I) obtedo-se O itervalo (I) é chamado coservativo pois se p ão for igual a 05 e estiver próximo de zero ou de um etão ele forece um itervalo de amplitude desecessariamete grade porque substituímos p(-p) pelo seu valor máximo ¼. Assim a meos que p ½ podemos proceder como segue. Vamos obter um itervalo de cofiaça para p com um coeficiete de cofiaça γ qualquer 0 < γ <. Para isso usamos p ( p ) como estimador de p(-p). Etão o itervalo fica I.C.(p : γ) p z. ode z é tal que Pr(Z < -z) Pr(Z > z). p ( p ) ; p ( p ) p + z. (II) 3. Outros Itervalos de Cofiaça 3.. Itervalo de Cofiaça para a Difereça de Duas Médias Populacioais com Variâcias Populacioais Cohecidas. O itervalo de cofiaça para µ - µ com 00γ % de cofiaça é dado por: I.C.( µ - µ : γ) ( Υ ) z. + ( Υ ) + z. + com Pr(Z < - z) Pr(Z > z). 3

4 3.. Itervalo de Cofiaça para a Difereça de Duas Médias Populacioais com Variâcias Populacioais Descohecidas mas upostas Iguais. com P O itervalo de cofiaça para µ - µ com 00γ % de cofiaça é dado por: I.C.( µ - µ : γ) ( Υ ) t. p + ( Υ ) + t. p + ( ) + ( ) + t t e Pr( ( + y ) < - t) Pr( ( + y ) > t) Itervalo de Cofiaça para a Difereça de Duas Proporções Populacioais O itervalo de cofiaça para p - p com 00γ % de cofiaça é dado por: p ( ) ( ) ( ) ( I.C.( p - p : γ) ( p p p p p p p ) p p ). ( p p ). z + + z + com Pr(Z < - z) Pr(Z > z). 4. Erro de Estimação e Tamaho das Amostras Acabamos de ver como costruir itervalos de cofiaça para os pricipais parâmetros populacioais. Em todos os casos supusemos dado o ível de cofiaça desses itervalos. Evidetemete o ível de cofiaça deve ser fixado de acordo com a probabilidade de acerto que se deseja ter a estimação por itervalo. edo coveiete o ível de cofiaça pode ser aumetado até tão próximo de 00% quato se queira mas isso resultará em itervalos de amplitude cada vez maiores o que sigifica perda de precisão a estimação. É claro que seria desejável termos itervalos com alto ível de cofiaça e pequea amplitude o que correspoderia a estimarmos o parâmetro em questão com pequea probabilidade de erro e grade precisão. Isso porém requer uma amostra suficietemete grade pois para fixo cofiaça e precisão variam em setido opostos. Veremos a seguir como determiar o erro de estimação e o tamaho das amostras ecessárias os casos de estimação da média ou de uma proporção populacioal. O erro um itervalo de estimação diz respeito a difereça etre a média amostral e a verdadeira média da população. Como o itervalo tem cetro a média amostral o erro máximo provável é igual à metade da amplitude do itervalo (semi-amplitude). Vimos que o itervalo de cofiaça para a média µ da população ormal quado é cohecido tem semi-amplitude dada por: e z () Fixado e e a expressão acima podemos determiar o que equivale a determiar a cofiaça de um itervalo de amplitude cohecida. Podemos também fixados e e determiar que é o problema da determiação do tamaho da amostra ecessária para se realizar a estimação por itervalo com cofiaça e a precisão desejadas. Deste modo temos que Está será a expressão usada para a determiação do tamaho da amostra ecessária se for cohecido. z Não cohecedo o desvio-padrão da população deveríamos substituí-lo por sua estimativa e usar a distribuição t de tudet ou seja substitui por e usar t de tudet a expressão (). Ocorre porém que ão tedo aida sido retirada a amostra ão dispomos em geral do valor de. e ão cohecemos em ao meos uma limitação superior para a úica solução será etão colher uma amostra-piloto de tamaho e com base ela obtermos uma estimativa empregado a seguir a expressão e ' t. e. 4

5 e a amostra-piloto já terá sido suficiete para a estimação. Caso cotrário deveremos retirar aida da população os elemetos ecessários à complemetação do tamaho míimo da amostra. Procedemos de forma aáloga se desejamos estimar uma proporção populacioal com determiada cofiaça e dada precisão. Podemos obter z e. p ( p ). () O obstáculo à determiação do tamaho da amostra por meio da expressão () está em descohecermos p e tampouco dispormos de sua estimativa p pois a amostra aida ão foi retirada. Essa dificuldade pode ser resolvida através de uma amostra-piloto aalogamete ao caso descrito a estimação de µ ou aalisado-se o comportameto do fator p(-p) para 0 p. Pose-se observar facilmete que p(-p) é a expressão de uma parábola cujo poto máximo é p ½. Desse modo se substituirmos a expressão () p(-p) por seu valor máximo ¼ seguramete o tamaho de amostra obtido será suficiete para a estimação qualquer que seja p. Isso eqüivale a cosiderar z e z.. (3) 4 e Pelo mesmo raciocíio se sabemos que seguramete p p 0 ½ ou p p 0 ½ podemos usar o limite p 0 ao ivés de p a expressão () obtedo um tamaho de amostra suficiete pois teremos etão p(-p) p 0 (- p 0 ). Evidetemete usado-se a expressão (3) corre-se o risco de dimesioar uma amostra bem maior do que a realmete ecessária. Isso ocorrerá se p for a realidade próximo de 0 ou. e o custo evolvido for elevado e proporcioal ao tamaho da amostra será desejável evitar que tal fato ocorra sedo mais prudete a tomada de uma amostra-piloto. Iversamete em muitos casos é preferível por simplificação proceder coforme idicado com base em uma limitação superior para o fator p(-p). Exemplo : upoha que um ivestigador iteressado em obter uma estimação do ível médio de alguma ezima em determiada população humaa toma uma amostra de 0 idivíduos determia o ível da ezima em cada idivíduo e calcula o ível médio da ezima a amostra x. upoha que se sabe que a variável de iteresse está distribuída de forma aproximadamete ormal com variâcia igual a 45. Estime o ível média da ezima a população através de um itervalo com 95% de cofiaça. [784; 65] Exemplo : Para estudar a cocetração de amilase o sague uma amostra de 5 idivíduos aparetemete ormais foi retirada de uma população. A amostra foreceu uma cocetração média de amilase de 96 uidades/00 ml e um desvio padrão de 35 uidades/00 ml. A variâcia populacioal é descohecida. upodo que a população se distribui de forma aproximadamete ormal estime a cocetração média de amilase dessa população através de um itervalo com 95% de cofiaça. [7665; 534] Exemplo 3: Com referêcia ao exemplo supoha-se que a população das cocetrações de amilase o sague da qual se extraiu uma amostra de 5 idivíduos está distribuída ormalmete. Estime a variâcia populacioal através de um itervalo com 95% de cofiaça. Exemplo.4: Um estudo foi coduzido com a fialidade de estudar as práticas saitárias detárias e as atitudes de certa população urbaa de adultos. De 300 adultos etrevistados 3 disseram cosultar o detista regularmete duas vezes ao ao. O tamaho da amostra para a estimação da proporção populacioal é suficietemete grade para supor a distribuição ormal. Estime a proporção de idivíduos que cosultam o detista regularmete duas vezes ao ao a população através de um itervalo com 95% de cofiaça. [036; 046] ou [035; 047] Exemplo 5: Em um hospital para tratameto de retardo metal uma amostra de idivíduos com mogolismo proporcioou uma cocetração média de ácido úrico o sague de 45 mg/00 ml. Em um hospital geral ecotrou-se que em uma amostra de 5 idivíduos ormais de mesma idade e sexo a cocetração média de ácido úrico o sague é de 34 mg/00 ml. upodo que as populações sejam ormais com variâcias iguais a estime a difereça etre as cocetrações médias populacioais através de um itervalo com 95% de cofiaça. [0; 7] Exemplo 6: 5

6 Usado o exemplo. supoha que além dos idivíduos ormais também estamos iteressados em determiar a cocetração de amilase em idivíduos hospitalizados. upoha que a cocetração média de amilase este ovo grupo seja de 0 uidades/00 ml e o desvio padrão de 40 uidades/00 ml. upodo que as populações são ormais com variâcias descohecidas mas supostamete iguais estime através de um itervalo com 95% de cofiaça a difereça etre as cocetrações médias de amilase as duas populações. [-495; 5] Exemplo 7: 00 pacietes que sofriam de certa efermidade foram divididos ao acaso em dois grupos iguais. O primeiro grupo que recebeu o tratameto padrão 78 idivíduos se recuperaram o prazo de 3 dias. No segudo grupo tratado com um ovo medicameto 90 se recuperaram em 3 dias. Os médicos desejam estimar a difereça verdadeira etre as proporções dos que se recuperaram em 3 dias através de um itervalo com 95% de cofiaça. Exemplo 8: Algus pesquisadores pesam que a vitamia C pode ser útil para reduzir os depósitos formadores do colesterol situados a parte iterior das paredes arteriais e por coseguite pesam que a vitamia C cocorre também para a redução da possibilidade de ataques cardíacos. O ível de colesterol de cada uma de 50 pessoas com ível de colesterol acima do ormal foi aotado ates e depois de um período de regime de mês regime este que obrigou cada pessoa a igerir 500 mg de vitamia C por dia. Os dados obtidos mostraram x 643 mg/00 ml para a queda média do ível de colesterol e desvio padrão s 89 mg/00 ml. Estime a queda média do ível de colesterol por pessoa utilizado um itervalo com 95% de cofiaça. Aproximadamete quatas pessoas com ível moderadamete alto de colesterol devem ser icluídas a experiêcia se se desejar estimar a queda média do ível de colesterol com tolerâcia de mg/00 ml com probabilidade de 095? 6