Aula 14 Parte 1 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 14 Parte 1 Amostragem e Estimadores... Itervalo de cofiaça para a média... 9 Itervalo de cofiaça para proporções Relação das questões cometadas Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Amostragem e Estimadores Iferêcia é algo que todo mudo já fez a vida. Ao fazer um exame de sague, por exemplo, ão é ecessário tirar todo o sague (rs...). A iformação sobre o todo é extraída de uma amostra. Nem sempre é tão simples assim, já que, às vezes, o todo sobre o qual queremos uma iformação é mais complexo, mais heterogêeo que o sague. Em uma pesquisa para as iteções de voto para prefeito, ão basta o pesquisador tomar as opiiões somete dos moradores dos Jardis (em São Paulo) ou em Casa Forte (em Recife). O resultado da eleição esses bairros, tedo em vista serem regiões de reda elevada, pode ser diferete do resultado em bairros mais pobres. A pesquisa só serviria para termos uma oção da iteção de voto aqueles bairros, e ão a cidade como um todo. É aqui que etra a Estatística Iferecial. Na iferêcia estatística, o todo é deomiado população; o pedaço é deomiado amostra. Portato, a estatística iferecial trata de, a partir da amostra, obter iformações sobre a população. Supohamos que desejamos cohecer alguma coisa de determiada população. Pode ser a média salarial, a variâcia das idades, etc. Essa população pode ser composta de milhares (ou milhões!) de elemetos. Neste caso, pessoas, mas poderia ser qualquer coisa. Bom, são tatos elemetos que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria iviável pesquisar todos os elemetos. Nesse caso, somos obrigados a recorrer aos valores ecotrados em uma amostra. Quado o úmero de elemetos a amostra é muito pequeo em relação ao tamaho da população, dizemos que a população é ifiita. Vejamos, por exemplo, as pesquisas eleitorais: há milhões e eleitores e os istitutos de pesquisa etrevistam mil, mil pessoas e coseguem praticamete acertar os resultados. O valor da população, chamado parâmetro populacioal, é descohecido. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamete os dá uma idéia do valor correto (populacioal) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro populacioal. Por exemplo, queremos saber a média da altura dos adolescetes de Recife. Como há muitos adolescetes, recorremos a uma amostra de, digamos, 8 pessoas. A média da amostra ecotrada foi de 1,7m. Essa é a ossa estimativa para a média das alturas de todos os adolescetes de Recife. Prof. Guilherme Neves

3 Não cofuda estimativa com estimador. Estimador é uma variável. Se a amostra fosse outra, poderíamos ter ecotrado outra estimativa. Estimativa é o valor ecotrado para essa variável, isto é, o valor ecotrado para o estimador essa amostra. A média das alturas dos adolescetes é realmete 1,7m? Não temos como saber, a ão ser que tehamos codições de etrevistar todos os adolescetes de Recife. Portato, é muito importate, a partir de agora, difereciar o parâmetro populacioal e o estimador. A partir de agora utilizaremos símbolos diferetes para população e amostra. = média populacioal (parâmetro populacioal) = média amostral (estimador) É importate frisar que ão é apeas uma difereça de valores. Equato o parâmetro populacioal é costate (valor fixo), o estimador depede da amostra escolhida. O estimador está associado a uma distribuição de probabilidade e, assim, é uma variável aleatória. Outra otação importate que vamos utilizar é para a variâcia/desvio-padrão populacioal/amostral. ²= variâcia populacioal ²= variâcia amostral Em geral, chamamos o parâmetro populacioal por uma letra grega e o estimador por uma letra latia correspodete. Em geral, usamos o mesmo símbolo do parâmetro populacioal para os valores obtidos de uma variável aleatória. Ou seja, a média de uma variável aleatória é desigada por e sua variâcia por ². Parâmetro: é uma característica da população Estatística: é uma característica da amostra Já sabemos que o estimador ão é igual ao parâmetro populacioal. No etato, é preciso (ou desejável) que ele ateda a algumas propriedades. Quado fazemos uma amostragem, coseguimos apeas saber a média e o desvio padrão da amostra feita. Nosso objetivo, portato, é, a partir dos valores de média e desvio padrão da amostra, estimar quais os valores de média e desvio padrão da população. Nosso objetivo é estimar o valor do parâmetro descohecido. Prof. Guilherme Neves 3

4 Claro que poderíamos estar iteressados em outros parâmetros que ão a média e o desvio padrão. Mas, em cocursos, a grade maioria das questões, são cobrados apeas esses dois parâmetros (além da variâcia, itimamete relacioada com o desvio padrão, e da proporção, que veremos esta aula). Quado escolhemos um estimador, podemos estar iteressados em diversas características. Algus tipos de estimadores são: - Não viesados (ou ão tedeciosos ou ão viesados) - De máxima verossimilhaça - De variâcia míima - De míimos quadrados Vamos voltar ao exemplo do dado visto a aula de variáveis aleatória. Naquela aula vimos que a média da variável aleatória (parâmetro populacioal) é igual a 3,5. Imagie que ós laçamos o dado 5 vezes e obtivemos o seguites resultados: 3, 3, 4, 5, 6. Estes cico laçametos são uma amostra dos ifiitos resultados que poderiam ocorrer. Se quisermos os referir à média de uma amostra, vamos utilizar o símbolo. = =4, 5 O valor da média da amostra ( ) é um estimador da média populacioal (µ ). É um estimador ão tedecioso, de variâcia míima, de míimos quadrados e, se a variável aleatória for ormal, é também um estimador de máxima verossimilhaça. Mais adiate falamos sobre o que sigifica cada uma destas características dos estimadores. Resumido: se o exercício pedir qualquer estimador para a média, calcularemos a média aritmética simples, ok? Vamos agora falar sobre os estimadores da variâcia. Já cometei que ² é o parâmetro populacioal e que ² é o estimador. O estimador que vamos usar geralmete é: Prof. Guilherme Neves 4

5 ² = 1 que é a mesma fórmula vista para a variâcia a aula de Estatística Descritiva. Quado demos a fórmula para a variâcia amostral, dissemos que o deomiador era 1. Na hora eu ão expliquei muita coisa. Pois bem, quado queremos estimar a variâcia da população, um dos fatores que tem ifluêcia esse deomiador é justamete a característica desejada para o estimador. Para que o estimador teha uma certa característica de tal forma que ele possa ser equadrado como ão tedecioso, é ecessário que o deomiador seja 1. Este estimador acima é o mais utilizado. Ele é ão tedecioso. Cotudo, o caso da variável ormal, ele ão é o estimador de máxima verossimilhaça. O estimador de máxima verossimilhaça é: s ( ) i = Se por acaso o exercício der uma amostra de uma variável ormal e pedir para calcular o estimador de máxima verossimilhaça da variâcia utilizamos o deomiador (em vez de 1). Mas acho que é improvável que isto ocorra. O que deve vai cair mesmo é com o deomiador 1. É improvável, mas ão impossível, coforme veremos em algus exercícios de cocursos durate a aula. 1. (Sefaz-RJ 8/FGV) SEFAZ RJ 8 [FGV] Cosidere uma Amostra Aleatória Simples de uidades extraídas de uma população a qual a característica,, estudada tem distribuição Normal com média µ e variâcia, ambas descohecidas, mas fiitas. Cosidere, aida, as estatísticas média 1 1 da amostra, = i, e variâcia da amostra s = ( ) i= 1 i. Etão, é i= 1 correto afirmar que: (A) e S são, ambos, ão tedeciosos para a estimação da média e da variâcia da população, respectivamete. (B) é ão-tedecioso, mas S é tedecioso para a estimação da média e da variâcia da população, respectivamete. (C) é tedecioso, mas S é ão-tedecioso para a estimação da média e da variâcia da população, respectivamete. (D) e S são, ambos, tedeciosos para a estimação da média e da variâcia da população, respectivamete. Prof. Guilherme Neves 5

6 (E) e S são, ambos, ão-tedeciosos para a estimação da média e da variâcia da população, mas apeas é cosistete. Resolução: Nesta questão, temos: - a média aritmética da amostra como um estimador da média populacioal: vimos que a média da amostra é um estimador ão-tedecioso. - a variâcia da amostra como um estimador da variâcia populacioal: vimos que, quado se usa o deomiador, o estimador é tedecioso. Gabarito: B. (CGU 8/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhaça da variâcia de uma variável ormalmete distribuída obtido a partir de uma amostra aleatória simples 1,, 3,...,, desta variável, sedo m= i / o estimador de máxima verossimilhaça da média? a) b) ( ( i 1 i m) m) c) ( i 1 m) d) ( m) i,5 e) ( i m) Resolução O euciado está usado a letra m para idicar a média amostral. Vimos que o estimador de máxima verossimilhaça da variâcia para a distribuição ormal é aquele que apreseta o deomiador. Gabarito: E. Prof. Guilherme Neves 6

7 3. (APOFP SEFAZ/SP 9/ESAF) SEFAZ SP 9 [ESAF] (Dados da questão aterior: 17, 1, 9, 3, 14, 6, 3, 18, 4, 5, 18, 1, 34, 5, 17,, 7, 8, 1, 13, 31, 4, 9.) Cosiderado que as observações apresetadas a questão aterior costituem uma amostra aleatória simples 1,,..., de uma variável aleatória, determie o valor mais próximo da variâcia amostral, usado um estimador ão tedecioso da variâcia de. Cosidere que: 3 i= 1 i = i= 1 i = 8676 a) 96,85 b) 9,64 c) 94,45 d) 9,57 e) 98,73 Resolução Vamos resolver de duas maeiras. A primeira delas é aplicado uma das fórmulas que vimos a aula de estatística descritiva (variâcia para amostra). = 1 1 = ² 3 96,84 A outra maeira cosiste em fazer uma adaptação da fórmula de variâcia que estudamos aqui em Estatística Iferecial (a aula de variáveis aleatórias). Vimos que: ²= [ ]² Ou seja, a variâcia é igual à difereça etre a média dos quadrados e o quadrado da média. Para aplicarmos esta fórmula em Estatística Descritiva, devemos fazer a adaptação dos símbolos (variâcia populacioal): Ode: ²= ² Prof. Guilherme Neves 7

8 = = No caso da variâcia amostral, devemos fazer uma adaptação. Basta multiplicar a variâcia amostral por /(-1). ²= ² 1 O primeiro passo é calcular a média aritmética. Basta somar todos os valores e dividir pela quatidade de observações. = =388 3 A média dos quadrados das observações: = = Começamos calculado a difereça etre a média dos quadrados e o quadrado da média. = Agora multiplicamos esse resultado por /(-1) O estimador ão tedecioso da variâcia é: Letra A ²= ² 1 = ²= = ²= ² 3 96,8458 Vamos falar agora um pouquiho sobre o estimador para proporções. Cosidere que a proporção de eleitores de uma cidade que pretedem votar em um cadidato é de 3%. Esse é um parâmetro populacioal, pois Prof. Guilherme Neves 8

9 estamos os referido a todos os eleitores da cidade. Sempre que os referirmos à proporção da população, usamos o símbolo p. =3%=,3 Supoha que vamos realizar uma pesquisa eleitoral e, para tato, etrevistamos pessoas. Dessas pessoas, 8 afirmaram que votariam o cadidato. A proporção a amostra das pessoas que votarão em é 4%. A proporção da amostra ós deotamos por. Nós utilizamos como estimador de. Simples, ão? =4%=,4 Agora sim, vamos ao que iteressa. Calcular itervalos de cofiaça. Itervalo de cofiaça para a média Muitas populações podem ser modeladas segudo uma variável aleatória. Como exemplo, cosidere a temperatura de um local, medida com um fictício termômetro de ifiitas casas após a vírgula. Nosso objetivo é estimar a temperatura média do local em um dado dia. Para tato, cosideramos que a temperatura se comporta como uma variável aleatória. Deste modo, ecotrar a temperatura média do local é o mesmo que ecotrar a esperaça de. E ( ) =µ =? Num dado dia, vamos lá esse local e, em dez istates diferetes, medimos a temperatura. Agora temos uma amostragem de tamaho 1 para a temperatura o local. Supoha que esta média teha sido = 1 C. Neste poto, ão custa ada lembrar a simbologia que padroizamos. é a média de uma amostra µ é a média da população (é o valor que pretedemos estimar) Prof. Guilherme Neves 9

10 Só que os istates em que realizamos a amostragem foram aleatoriamete escolhidos. Se, por acaso, outros istates tivessem sido escolhidos, cada uma das medições poderia ser ligeiramete diferete. Seria possível ter obtido uma seguda média igual a =, 1 C. Ou também seria possível ter obtido uma terceira média 3 =, 51 C. Quado os referimos a uma úica amostra, represeta um úmero, a média aritmética daquela amostra. Mas também podemos os referir a de forma diferete. Podemos pesar em iúmeras amostras, com assumido valores diferetes em cada uma delas. Assim, seria uma variável aleatória. pode ser vista como uma variável aleatória! É possível demostrar que: E ( ) =µ Ou seja, o valor esperado para a média amostral (vista como uma variável aleatória) é igual à média da população. Explicado melhor. Se fosse possível fazer muitas e muitas amostras, de tal modo que, em cada uma delas, calculássemos a média amostral ( ), a média de todos os valores de seria justamete a média da população (µ ). Outro exemplo. Cosidere um tetraedro regular. Nas suas faces temos os úmeros 1,, 3, 4. Laçamos o tetraedro sobre uma mesa. represeta o valor da face que fica em cotato com a mesa. Vamos realizar um estudo dos possíveis resultados deste laçameto. Para tato, laçamos duas vezes (amostra de tamaho ). Saíram os resultados 1 e 3. Para esta amostra em particular a média amostral foi: = = Prof. Guilherme Neves 1

11 Ok, fizemos uma úica amostra. Neste caso, é um úmero. É simplesmete a média aritmética dos valores pertecetes à amostra. Acotece que ão estamos iteressados em uma amostra específica, que forece um valor úico para. Estamos iteressados a variável aleatória. O resultado do laçameto do dado é aleatório. Seria possível que tivéssemos obtido outras amostras. Se o tetraedro for homogêeo, as possíveis amostras seriam: 1 e 1 1 e 1 e 3 1 e 4 e 1 e e 3 e 4 3 e 1 3 e 3 e 3 3 e 4 4 e 1 4 e 4 e 3 4 e 4 Seriam 16 amostras possíveis, todas elas com a mesma probabilidade de ocorrer. O valor da média amostral em cada uma dessas amostras seria: Valores da amostra 1 e e 1,5 1 e 3 1 e 4,5 e 1 1,5 e e 3,5 e e 1 3 e,5 3 e 3 3 Prof. Guilherme Neves 11

12 Valores da amostra 3 e 4 3,5 4 e 1,5 4 e 3 4 e 3 3,5 4 e 4 4 Repare que pode ser visto como uma variável aleatória que assume diversos valores. A média de todos os possíveis valores de fica: 1 E ( ) = (1+ 1,5+ +,5+ 1,5+ +, , ,5+, ,5+ 4) 16 E ( ) =,5 Vamos agora calcular a média da variável aleatória. A variável aleatória assume os valores 1,, 3, 4, cada um com probabilidade 1/4. Portato: E ( ) =µ = µ =,5 Cocluido: a esperaça da média amostral é igual à esperaça da população. Isto sigifica que, se fosse possível fazer um úmero muito grade de amostras, a média de todas as médias amostrais seria igual à média da população. Aida ão falamos sobre as diversas características dos estimadores. Mas já podemos atecipar uma delas: o estimador ão tedecioso (ou ão viciado). O fato da média de ser igual à média da população os permite classificar como estimador ão tedecioso (ou ão viciado). Usado esse estimador, Prof. Guilherme Neves 1

13 em média (cosiderado as iúmeras amostras que poderiam ser feitas), ós estamos realmete acertado o valor do parâmetro descohecido. Sempre que a esperaça de um estimador for igual ao parâmetro estimado, estamos diate de um estimador ão tedecioso. E () =µ : a média de é igual ao parâmetro estimado; se fizéssemos iúmeras amostrages, em média, acertaríamos a média populacioal. Sabedo que pode ser vista como uma variável aleatória, é possível calcular a sua variâcia. Seja a variâcia da população. É possível demostrar que, sedo o tamaho das amostras, a variâcia de fica: V ( ) = Um outro símbolo possível para a variâcia de seria:. Portato: = A variâcia da média amostral é igual à variâcia da população dividido por. Por coseqüêcia, o desvio padrão da média amostral é: = Ou seja, o desvio padrão de é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de. Estas fórmulas da variâcia e desvio padrão só são válidas se a variável aleatória tiver população ifiita (ou seja, assume ifiitos valores, como o caso de uma variável aleatória cotíua). Caso a população seja fiita (como foi o caso do laçameto do tetraedro), o resultado cotiua valedo, desde que a amostragem seja feita com reposição. Caso a população seja fiita e a amostragem seja feita sem reposição, as fórmulas devem ser adaptadas. Veremos esta adaptação posteriormete. Para a maior parte dos cocursos, esta correção para população fiita pode simplesmete ser igorada, pois quase uca é cobrada. Prof. Guilherme Neves 13

14 Por hora, vamos os cocetrar a fórmula que é mais cobrada: Por coseqüêcia: = = pode ser vista como uma variável aleatória com esperaça µ e variâcia (e, cosequetemete, desvio padrão ). Ou seja, a média de é igual à média da população. E a variâcia de é igual à variâcia da população dividida por. O desvio padrão de é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de. Agora vem o grade detalhe. Pelo teorema do limite cetral é possível demostrar que a variável aleatória tem distribuição aproximadamete ormal. A aproximação é melhor quato maior o tamaho das amostras (quato maior o valor de ). Isto vale mesmo que a variável ão seja ormal. Caso a variável seja ormal, a variável também será ormal (aí já ão é aproximação). Ou seja, para a variável ós podemos utilizar a tabela de áreas para a variável ormal. Isto é de extrema utilidade a determiação dos chamados itervalos de cofiaça. pode ser vista como uma variável aleatória ormal (ou aproximadamete ormal), com média µ, variâcia e desvio padrão. A aproximação vale mesmo que ão seja ormal. Quato maior o tamaho das amostras, melhor a aproximação. Prof. Guilherme Neves 14

15 4. (SEFAZ-RJ 11/FGV) Um processo segue uma distribuição ormal, com média 15 e desvio padrão, ou seja, ~ 15,. Sobre uma amostra de tamaho 36 ( ), aalise as afirmativas a seguir: I. Dado que é ormal, também é ormal. II. A média amostral difere da população pelo fator = /, o qual é a média populacioal e o úmero de observações a amostra. III. apreseta desvio-padrão 1/3. Assiale (A) se apeas a afirmativa I estiver correta. (B) se apeas as afirmativas I e II estiverem corretas. (C) se apeas as afirmativas II e III estiverem corretas. (D) se apeas as afirmativas I e III estiverem corretas. (E) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução Já vimos que se é uma variável ormal, também será uma variável ormal. Assim, a frase I está correta. A frase II está errada. Não temos como saber a difereça exata etre a média populacioal e a média amostral, a ão ser que seja forecido o valor da média populacioal. Ele tete cofudir o cadidato com uma fórmula que ão existe e que é parecida com a fórmula do erro padrão da média. A frase III pede o desvio-padrão (erro padrão) da média. A frase III está correta. = = 36 = 6 =1 3 Letra D Seja uma variável aleatória que represeta uma população ifiita com variâcia cohecida ( ). Este ifiita é só para ser um pouco rigoroso. Caso a população seja fiita, os resultados que veremos só se aplicam se a amostragem for feita com reposição. No cocurso só vai cair assim. Muitas questões em se preocupam em detalhar isto... fica implícito. Eu diria que vocês ão precisam se preocupar com o caso de população fiita e amostragem sem reposição. Pois bem, etão é ossa variável aleatória com variâcia cohecida ( ). represeta ossa população. Apesar de cohecermos sua variâcia, ão Prof. Guilherme Neves 15

16 cohecemos sua média (µ ). Nosso objetivo será obter uma amostra e, a partir dela, defiir o chamado itervalo de cofiaça para µ. Vamos supor que a variâcia da população seja de 16. V ( ) = = 16 A média da população, esta ós ão cohecemos. Vamos chamá-la de µ. E ( ) =µ =? Vamos obter uma amostra de tamaho 4. = 4 A média de uma amostra de tamaho 4 é. Ates de efetivamete fazer uma amostragem (o que os forecerá um valor específico para ), vamos pesar em todas as amostras que poderiam ser obtidas (com tamaho 4). Em cada uma delas, assume um valor diferete. Coforme visto o começo da aula, pode ser vista como uma variável aleatória ormal (ou aproximadamete ormal) de média µ. Sabemos também que tem uma variâcia dada por: V ( ) = 16 V ( ) = = 4 4 Portato, o desvio padrão da variável é dado por: = 4 = Vamos criar a seguite variável trasformada: Z = µ A variável Z, coforme já estudado ateriormete, tem média zero e desvio padrão uitário. É a ossa variável ormal reduzida. Sabemos que Z tem média zero e desvio padrão uitário. E Z também é uma variável ormal (ou aproximadamete ormal). Prof. Guilherme Neves 16

17 Para a variável Z ós podemos cosultar a tabela da variável ormal reduzida. Vamos determiar o itervalo, cetrado a média, que cotém 95% dos valores de Z. Cosultado a tabela da distribuição ormal padrão, temos que o itervalo de a 1,96 cotém 47,5% dos valores. Portato, o itervalo de -1,96 a também cotém 47,5% dos valores. Jutado os dois, temos que 95% dos valores estão etre -1,96 e 1,96 (área verde abaixo). Isto quer dizer que 95% dos valores de Z estão etre -1,96 e 1,96. Mas quem é Z? Lembrado: Z = µ Ou seja, se fizéssemos várias amostras e para cada uma delas obtivéssemos um valor para, em 95% dos casos o valor µ estaria etre -1,96 e 1,96. Portato, a probabilidade de 95%. µ assumir valores etre -1,96 e 1,96 é de Prof. Guilherme Neves 17

18 Ok. Agora ós pegamos e realmete fazemos uma amostra com 4 valores. Esta amostra resultou em: 1, 5, 3, 1. Para esta amostra específica, o valor de foi,5. Com base esta amostra específica, temos um valor específico para. Se cosiderarmos apeas esta amostra, ão é mais variável. É um valor úico (,5). E para esta amostra específica o valor de Z é:,5 µ Z =. A probabilidade de este valor estar o itervalo de -1,96 a 1,96 ão é mais 95%. Isto porque a expressão acima ão assume mais valores diversos, aleatórios. É um valor úico.,5 é um úmero, uma costate. O valor de µ é também um úmero, costate. É descohecido. Mas é costate. A média da população é um úmero, um valor úico. E, por fim, o deomiador também é costate. Fazedo a cota -1,96 a 1,96.,5 µ, obtemos um valor que pode ou ão estar o itervalo Quado substituímos a variável por um valor obtido para uma dada amostra específica, ão falamos mais em probabilidade. É errado afirmar que, com probabilidade de 95%, o valor 1,96 e 1,96.,5 µ estará etre - Mas, supodo que este valor esteja etre -1,96 e 1,96, ficamos com:,5 µ 1,96 1,96 3,9,5 µ 3,9,5 3,9 µ 3,9,5 6,4 µ 1,4 Prof. Guilherme Neves 18

19 1,4 µ 6,4 Este itervalo etre -1,4 e 6,4 é chamado de itervalo de 95% de cofiaça para a média da população. Repare que ão temos certeza de que a média da população (µ) esteja este itervalo. Nem podemos dizer que a probabilidade de ela estar este itervalo seja de 95%. Tetado explicar de outra forma o que foi feito. Em 95% dos casos, está distate meos de 1,96 desvios padrão da média µ. Como o desvio padrão de é, temos que em 95% dos casos dista meos que 3,9 da média µ. Ou seja, em 95% dos casos está etre µ 3, 9 e µ + 3, 9. Fazemos a amostragem. Obtemos um específico valor para (=,5). Este valor pode estar ou ão o itervalo etre µ 3, 9 e µ + 3, 9. Se fizéssemos iúmeras amostrages, em 95% delas o valor de de fato estaria cotido o referido itervalo. Para este valor em particular (,5), ão temos como saber. Vamos supor que este valor esteja este itervalo. Se isto for verdade, qual o itervalo que cotém µ? O valor ecotrado para é de,5. Este valor pode tato estar à esquerda de µ quato à direita. Vamos fazer os dois casos extremos. Se estiver à esquerda de µ, o caso mais extremo seria justamete quado: Prof. Guilherme Neves 19

20 =µ 3,9,5=µ 3,9 Este caso extremo ocorreria se µ = 6,4 Se estiver à direita de µ, o caso mais extremo seria justamete quado: =µ+ 3,9,5=µ + 3,9 Este caso extremo ocorreria se: µ = 1,4 Resumido, supodo que o valor ecotrado para dista meos de 1,96 desvios padrão de µ, os valores extremos que µ pode assumir são -1,4 e 6,4. Portato, com 95% de cofiaça, µ está este itervalo. Esta estimativa da média da população é por vezes chamada de estimativa por itervalo. Não estamos lhe atribuido um valor úico, mas uma faixa de valores. No começo desta aula vimos como fazer a estimativa por poto. Na estimativa por poto ão determiávamos uma faixa de valores. Sim um valor úico. Estimávamos o valor de µ com o valor de. Vocês podem guardar que o itervalo de cofiaça será sempre da forma Z µ + Z RESUMO: cálculo do itervalo de cofiaça para a média da população. 1 Passo: Achar o valor de Z associado ao ível de cofiaça dado o exercício. Passo: Ecotrar o valor específico de para a amostra feita. 3 Passo: Ecotrar o desvio padrão de. Utilizar a fórmula: = 4 Passo: Determiar o itervalo de cofiaça: Z µ + Z Prof. Guilherme Neves

21 5. (ISS CAMPINAS 11/CETRO) A duração da vida de uma peça é tal que o desvio-padrão é 4 horas. Foram amostradas 1 dessas peças obtedo-se a média de 3 horas. Dessa forma, assiale a alterativa que apreseta um itervalo de cofiaça para a verdadeira duração média da peça com ível de 95% de cofiaça. (A) [318,4; 31,96] (B) [318,15; 31,875] (C) [319,5; 3,95] (D) [319,16; 3,784] (E) [319,51; 3,488] Observação: Havia uma figura idicado que para o ível de 95% de cofiaça, devemos utilizar Z = 1,96. Resolução Vamos resumir os dados do euciado. O tamaho da amostra é 1, ou seja, = 1; a média amostral é igual a 3 horas, o desvio-padrão populacioal é igual a 4 horas. O primeiro passo é calcular o erro padrão (ou desvio-padrão) da média amostral. E como calculamos este desvio padrão da média amostral? É muito simples! Basta dividir o desvio-padrão populacioal pela raiz quadrada do úmero elemetos da amostra. Desvio padrão populacioal: = 4 Desvio padrão da média amostral: = = =,4 Pois bem, o itervalo de cofiaça pedido é dado por: [ ; + ] Em que é a média amostral e é o desvio padrão da média amostral. Substituido os valores, obtemos: [3 1,96,4 ; 3 + 1,96,4] = [319,16 ; 3,784] Letra D Prof. Guilherme Neves 1

22 6. (ICMS/RJ 11/FGV) Um processo segue uma distribuição ormal com média populacioal descohecida, mas com desvio-padrão cohecido e igual a 4. Uma amostra com 64 observações dessa população é feita, com média amostral 45. Dada essa média amostral, a estimativa da média populacioal, a um itervalo de cofiaça de 95%, é a) (41;49) b) (37;54) c) (44,875;45,15) d) (4,5; 46,5) e) (44;46) Resolução No dia 6/4/11 eu escrevi um artigo o Poto sugerido a aulação desta questão. Ifelizmete, a FGV ão aulou. g=4 Por que aular? Porque a FGV este caso exigiu que o cadidato soubesse algus valores de decorados. Além disso, ele utilizou um valor errado para. Eis uma tabeliha com algus valores importates. Nível de Cofiaça z c 99,73% 3, 99%,58 98%,33 96%,5 95,45%, 95% 1,96 9% 1,645 8% 1,8 Prof. Guilherme Neves

23 68,7 1, 5%,6745 Precisa decorar isto tudo?? Bom, eu acho que ão. Se fosse para escolher 3, eu escolheria os seguites: Nível de Cofiaça z c 99%,58 95% 1,96 9% 1,645 Vamos resumir os dados do euciado. O tamaho da amostra é 64, ou seja, = 1; a média amostral é igual a 45, o desvio-padrão populacioal é igual a 4. O primeiro passo é calcular o erro padrão (ou desvio-padrão) da média amostral. E como calculamos este desvio padrão da média amostral? É muito simples! Basta dividir o desvio-padrão populacioal pela raiz quadrada do úmero elemetos da amostra. Desvio padrão populacioal: = 4 Desvio padrão da média amostral: = = =,5 Pois bem, o itervalo de cofiaça pedido é dado por: [ ; + ] Em que é a média amostral e é o desvio padrão da média amostral. Substituido os valores, obtemos (para uma cofiaça de 95% utilizamos =1,96). Não há resposta compatível. [ 45 1,96,5 ; 45 1,96,5]=[ 44,;45,98] A FGV cosiderou como resposta a letra E. Para que a resposta fosse a letra E, deveríamos ter utilizado = o lugar de =1,96. Prof. Guilherme Neves 3

24 Já fica a dica para a próxima prova. Se o itervalo para 95% de cofiaça, utilize =1,96. Se ão der certo, troque por = Letra E 7. (CGU 8/ESAF) Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a média de uma população ormal a partir dos dados de uma amostra aleatória simples de tamaho 64 desta população, que foreceu uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, cosiderado que F(1,96) =,975, ode F(z) é a fução de distribuição de uma variável aleatória ormal padrão Z. a) 44,8 a 51,9. b) 41,78 a 54,. c) 38, a 57,8. d) 35,67 a 6,43. e) 3,15 a 63,85. Resolução: Repare que ão cohecemos a variâcia da população. Sempre que isso acotece, ós devemos adotar os seguites procedimetos: - utilizamos a variâcia da amostra o lugar da variâcia da população - cosultamos a tabela da distribuição T, em vez da tabela da distribuição ormal. Nós falaremos um pouco mais sobre isso o próximo tópico que vamos estudar. Dito isso, cocluímos que o certo seria utilizar a distribuição T. Cotudo, o exercício ão foreceu a tabela da distribuição T. Foreceu apeas algus valores da fução distribuição de probabilidade da variável ormal reduzida (= variável ormal padrão). Não temos saída, teremos que utilizar os valores da variável reduzida. O mais exato seria resolver o exercício cosiderado a distribuição T. Mas ão vamos brigar com o euciado. Se o euciado só deu iformações sobre a variável ormal, vamos usar a variável ormal. Vamos cosiderar que essa amostra já é razoavelmete grade, de forma que a difereça etre usar a distribuição ormal o lugar da distribuição T ão é tão grade. Prof. Guilherme Neves 4

25 Primeiro passo: determiado o valor de Z associado a 95% de cofiaça. Vimos que a fução distribuição de probabilidade (FDP) também serve para cálculos de probabilidade. Se F(1,96) =,975, isto sigifica que a probabilidade de Z assumir valores meores ou iguais a 1,96 é de 97,5%. Ou seja, a área verde da figura abaixo é de 97,5%. Sabemos que a área iteira da figura acima é igual a 1 (a probabilidade de Z assumir um valor qualquer é de 1%). Portato, a área amarela é de,5%. Como o gráfico é simétrico, a área à esquerda de -1,96 também é de,5%. Deste modo, a área verde da figura abaixo é de 95%. Os valores -1,96 e 1,96 delimitam o itervalo de cofiaça de 95% para a variável reduzida Z. Ou seja, o valor de Z associado a 95% é 1,96. Prof. Guilherme Neves 5

26 Z =1,96 Segudo passo: determiar o valor de específico para a amostra feita. = 48 Terceiro passo: determiar o desvio padrão de. A amostra tem tamaho 64 ( = 64). O desvio padrão de é dado pela fórmula: = Não cohecemos o desvio padrão da população. Estamos cosiderado que a amostra é muito grade a tal poto que a sua variâcia seja um excelete estimador da população. Vamos cosiderar que a variâcia amostral é igual à variâcia da população. Portato, o desvio padrão da população também é igual ao desvio padrão da amostra (=16). = 16 = = Quarto: determiar o itervalo de cofiaça. O itervalo de cofiaça é da forma: Substituido os valores: Z µ + Z Z µ + Z 48 1,96 µ 48+ 1, ,9 µ 48+ 3,9 44,8 µ 51,9 Gabarito: A. 8. (BACEN/6/FCC) Os preços de um determiado produto vedido o mercado têm uma distribuição ormal com desvio padrão populacioal de R$,. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatória de tamaho 1, com um determiado ível de cofiaça, apurou-se, para a média destes preços, um itervalo de cofiaça sedo [R$ 61,8; R$ 68,9]. A Prof. Guilherme Neves 6

27 mesma média amostral foi obtida quadruplicado o tamaho da amostra e utilizado também o mesmo ível de cofiaça. Nos dois casos cosiderou-se ifiito o tamaho da população. O ovo itervalo de cofiaça ecotrado o segudo caso foi: a) [R$ 63,4; R$ 66,96] b) [R$ 6,6; R$ 67,94] c) [R$ 61,57; R$ 68,43] d) [R$ 61,33; R$ 68,67] e) [R$ 61,; R$ 68,8] Resolução. O itervalo de cofiaça é da seguite forma: Z µ + Z Para calcular a amplitude deste itervalo, fazemos assim. Tomamos o limite superior. Tomamos o limite iferior. Em seguida subtraímos um do outro. Substituido o valor de : A= ( + Z ) ( Z = Z ) A Z = Amplitude do itervalo de cofiaça: Z = Z Na primeira pesquisa, o itervalo de cofiaça foi [R$ 61,8; R$ 68,9]. A média amostral () correspode ao poto médio do itervalo de cofiaça. Portato, esta primeira amostragem, a média amostral obtida foi: = 68,9 + 61,8 = 65 Prof. Guilherme Neves 7

28 A amplitude do itervalo é dada por: 68,9 61, 8= 7,84 Na seguda pesquisa, a mesma média amostral foi obtida. Já a amostra teve seu tamaho quadruplicado. O ovo tamaho da amostra fica: '= 4 Com isso, a ova amplitude do itervalo de cofiaça fica: A = A Z = Z = = ' 4 4 A Quado quadruplicamos o tamaho da amostra, a amplitude do itervalo fica reduzida pela metade. A ova amplitude é dada por: 7, 84 A' = = 3,9 Com isso, o ovo itervalo é cetrado em 65, com amplitude de 3,9. Isto os permite achar os limites do ovo itervalo de cofiaça: 3, = 66,96 3, 9 65 = 63,4 Logo: Gabarito: A. 63,4 µ 66,96 Itervalo de cofiaça para a média quado a variâcia da população ão é cohecida A maior parte dos exercícios de cocursos sobre itervalo de cofiaça ão são resolvidos por meio da distribuição ormal. Eles evolvem o cohecimeto da distribuição T de Studet. A grade vatagem é que a forma de se resolverem os exercícios de itervalo de cofiaça por meio da distribuição T é exatamete a mesma daquela vista acima, para a distribuição ormal. A úica coisa que muda é a tabela em que fazemos a cosulta. No fial da aula há duas tabelas. Prof. Guilherme Neves 8

29 A úica coisa que vai mudar é que vamos cosultar a tabela II, em vez da tabela I. Sabemos que pode ser visto como uma variável aleatória ormal (ou aproximadamete ormal). Portato, para podemos utilizar a tabela de áreas da variável ormal. Para utilizar esta tabela, precisamos ecotrar a variável ormal reduzida Z: Z µ =. Ode é o desvio padrão da variável. Sua fórmula é: =. Etretato, se ão soubermos a variâcia da população ( ), ão temos como calcular. Nestes casos, utilizamos a variâcia da amostra o lugar da variâcia da população. Em problemas assim, a verdade, ós estamos estimado duas gradezas ao mesmo tempo. Estamos estimado a média e a variâcia da população. Como ão temos certeza em sobre o valor da média em sobre o valor da variâcia da população, osso itervalo de cofiaça tem que ser maior que aquele que seria obtido caso cohecêssemos o valor de, para matermos o mesmo ível de cofiaça. É exatamete esta a idéia da distribuição T. Para ilustrar, seguem algus gráficos. Prof. Guilherme Neves 9

30 As curvas em azul e vermelho idicam as distribuições T com e 4 graus de liberdade. Por hora, apeas fiquem com a iformação de que o úmero de graus de liberdade tem relação com o tamaho da amostra. Quato maior o tamaho da amostra, maior o úmero de graus de liberdade. Quado a amostra é pequea (como é o exemplo da curva azul, com graus de liberdade), o gráfico é diferete da curva ormal (em verde). À medida que o tamaho da amostra aumeta, a distribuição T se aproxima da ormal. Notem que a curva em vermelho já está mais próxima da curva verde. Isto é até ituitivo. Se a amostra for muito grade, etão cohecer a variâcia da amostra é praticamete o mesmo que cohecer a variâcia da população. É como se estivéssemos caido ovamete um problema em que a variâcia populacioal é cohecida. Portato, se o problema ão soubermos a variâcia da população, as úicas coisas que mudam são: Utilizamos a variâcia da amostra o lugar da variâcia da população. Em vez de cosultar a tabela de áreas da variável reduzida ormal, cosultamos a tabela da distribuição T Ao fial desta aula costa uma tabela para a distribuição T (TABELA II). O seu gráfico de fdp é muito parecido com o da distribuição ormal. Ele cotiua sedo simétrico, em um formato que lembra o de um sio. 9. (SEFAZ MS 6/FGV) Uma amostra aleatória simples de tamaho 5 foi selecioada para estimar a média descohecida de uma população ormal. A média amostral ecotrada foi 4,, e a variâcia amostral foi 1,44. O itervalo de 95% de cofiaça para a média populacioal é: (A) 4, ±,49 (B) 4, ±,64 (C) 4, ±,71 (D) 4, ±,75 (E) 4, ±,81 t associado a 95% de cofiaça. Note que Resolução agora ão é mais o valor de Z. Z era quado cosultávamos a tabela de Primeiro áreas para passo: a variável determiado ormal reduzida. Prof. Guilherme Neves 3

31 Só que, este exercício, por ão cohecermos o valor da variâcia da população, precisaremos utilizar a variâcia da amostra. Nestes casos, cosultamos a tabela da distribuição T (TABELA II em aexo). Para ecotramos t associado a 95% de cofiaça, precisamos de uma tabela para a distribuição T. Ao fial desta aula costa uma tabela (TABELA II). Esta tabela é um pouco diferete da tabela para a variável ormal. Para cosultá-la, precisamos saber: O ível de cofiaça desejado. O úmero de graus de liberdade O ível de cofiaça desejado foi iformado o euciado: 95%. O úmero de graus de liberdade é igual ao tamaho da amostra meos 1. graus _ de _ liberdade= Neste caso, o úmero de graus de liberdade é 4. Cosultamos o valor de t que delimita 95% dos valores de t, para 4 graus de liberdade. O valor é: t =,64 Segudo passo: determiar o valor específico de para a amostragem feita. = 4, (forecido o euciado) Terceiro passo: determiar o desvio padrão de. A amostra tem tamaho 5. ( = 5) V ( ) = Só que ão sabemos a variâcia da população ( ). Portato, ão temos como calcular a variâcia de. Neste caso, vamos substituir a variâcia da população ( ) pela variâcia da amostra forecida o exercício. Isto porque vimos esta aula que a variâcia da amostra é um estimador da variâcia da população. Estimador da variâcia da população: s Prof. Guilherme Neves =1,

32 E o estimador da variâcia de fica: s 1,44 = = 1,44 5 Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de : s = 1,44 5 1, = =,4 5 Quarto passo: determiar o itervalo de cofiaça. Para tato, sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará etre -,64 e,64.,64 t,64 Mas quem é t? A variável t é quem está substituido a variável Z. Para obter a variável t, o procedimeto é aálogo ao procedimeto para a variável Z. t= µ s A úica difereça é que ão sabemos o desvio padrão de. Por isto utilizamos a sua estimativa ( s ). Ok, cotiuado o problema. Sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará etre -,64 e,64.,64 t,64 µ,64,64 s 4, µ,6,6,4,64,4 4, µ,64,4,6,4 4, µ 4,+,6,4 4,,64,4 µ 4,+,64,4 4,,49 µ 4,+,49 Prof. Guilherme Neves 3

33 Gabarito: A RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Outra forma de fazer é lembrar que o itervalo de cofiaça da média é da forma: Substituido os valores, chegamos a: t s µ + t s 4,,49 µ 4,+, (TRF 1ª Região/1/FCC) Para respoder à questão seguite, cosidere as tabelas a seguir. Elas forecem algus valores da fução de distribuição F(x). A tabela 1 refere-se à variável ormal padrão, as tabelas e 3 referemse à variável t de Studet com 1 e 15 graus de liberdade, respectivamete. Tabela 1 Tabela Tabela 3 x F(x) x F(x) x F(x) 1,,885 1,37,9 1,75,95 1,6,945 1,81,95,5,98 1,64,95,36,98,6,99 O peso de criaças recém-ascidas do sexo femiio uma comuidade tem distribuição ormal com média µ e desvio padrão descohecido. Uma amostra de 16 recém-ascidos idicou um peso médio de 3, kg e desvio padrão amostral igual a,8 kg. Um itervalo de cofiaça para µ, com coeficiete de cofiaça de 96% é dado por: a) 3,±, 37 b) 3,±, 41 c) 3,±, 45 d) 3,±, 68 e) 3,±, 73 Resolução. Primeiro passo: obter t associado a 96% de cofiaça. Prof. Guilherme Neves 33

34 Como a amostra tem tamaho 16, o úmero de graus de liberdade é igual a 15. Cosultaremos a tabela 3 dada o euciado. A probabilidade de t ser meor ou igual a,5 é de,98 (área verde da figura abaixo). Portato, a probabilidade de t ser maior que,5 é de % (área vermelha abaixo). Como o gráfico da fdp é simétrico, a probabilidade de t ser meor que -,5 também é de %. Cada uma das áreas vermelhas abaixo vale %. Sabemos que a área total é igual a 1. Cocluímos que a área verde abaixo é de 96%. Prof. Guilherme Neves 34

35 Assim, a probabilidade de t estar etre -,5 e,5 é de 96% (=1% - % - %). Cocluímos que o valor de t que está associado a 96% é,5. para a amostra feita Segudo passo: obter o valor específico de = 3 (forecido o euciado) Terceiro passo: obter o desvio padrão de s s = =,8 16 =, Quarto passo: determiar o itervalo de cofiaça. O itervalo de cofiaça é da forma: t s µ + t s 3,5, µ 3+,5, 3,45 µ 3+,45 Gabarito: C Prof. Guilherme Neves 35

36 11. (MPE PE/6/FCC) Para resolver a questão abaixo, cosidere as tabelas a seguir. Elas forecem algus valores da distribuição F(x). A tabela 1 referese à variável ormal padrão, as tabelas e 3 referem-se à variável t de Studet com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamete: Tabela 1 Tabela Tabela 3 F(x) F(x) x F(x) 1,6,945 1,753,95 1,746,95 1,64,95,48,98,35,98,,977,583,99,567,99 Supodo-se que a porcetagem da receita ivestida em educação, dos 6 muicípios de uma região, tem distribuição ormal com média µ, deseja-se estimar essa média. Para tato se sorteou detre esses 6, aleatoriamete e com reposição, 16 muicípios e se observou os percetuais ivestidos por eles em educação. Os resultados idicaram uma média amostral de 8% e desvio padrão amostral igual a %. Um itervalo de cofiaça para µ, com coeficiete de cofiaça de 96%, é dado por: a) ( 8± 1,14)% b) ( 8± 1,117)% c) ( 8±,877)% d) ( 8±,87)% e) ( 8±,755)% Resolução. Temos um exercício de itervalo de cofiaça em que ão se sabe a variâcia da população. Devemos cosultar a tabela para a variável t. Como a amostra tem tamaho 16, o úmero de graus de liberdade é igual a 15. A tabela a ser utilizada é a tabela do euciado. Vamos para os passos de sempre. Primeiro passo: determiar o valor de t associado a 96% de cofiaça. Prof. Guilherme Neves 36

37 Da tabela, sabemos que a probabilidade de t assumir valores meores que,48 é de 98%. Logo, a probabilidade de t assumir valores maiores que,48 é de %. Como o gráfico da fdp da distribuição t é simétrico, a probabilidade de t assumir valores meores que -,48 também é de %. Como coseqüêcia, a probabilidade de t estar etre -,48 e,48 é de 96% (=1% - % - %). Os valores de t que delimitam 96% dos valores são -,48 e,48. t =,48 Segudo passo: determiado o valor específico de. = 8% (dado o euciado) Terceiro passo: determiar o desvio padrão de. = 16 (forecido o euciado) = = 4 = 16 Como ão sabemos o desvio padrão populacioal, substituímos pela sua estimativa. Desse modo, a estimativa do desvio padrão de é: s = s 4 s = = 4,5 Quarto passo: ecotrado o itervalo de cofiaça. O itervalo de cofiaça é da forma: t s µ + t s 8,48,5 µ +,48,5 8 1,14 µ + 1,14 Gabarito: A. Prof. Guilherme Neves 37

38 1. (Seado Federal 8/FGV) Uma amostra aleatória simples 1,,..., 16, de tamaho 16, de uma distribuição ormal foi observada e idicou as seguites estatísticas: 16 i= 1 16 i = 7,4 e ( i ) i 1 = 6 O itervalo usual de 95% de cofiaça para a média populacioal, com duas casas decimais, é: (A) (3,58, 5,). (B) (3,47, 5,33). (C) (3,33, 5,47). (D) (3,19, 5,61). (E) (3,1, 5,81). Resolução: Como ão foi dada a variâcia da população, precisamos usar a distribuição T para determiação do itervalo de cofiaça. Primeiro passo: determiado t associado a 95% de cofiaça. O úmero de graus de liberdade é: graus de liberdade: 1 = 16 1= 15 Cosultado a tabela para um ível de 95% e 15 graus de liberdade, temos: t =,131 Segudo passo: determiar o valor específico de para a amostragem feita. 16 i i= 1 7,4 = = = 4, Terceiro passo: determiar o desvio padrão de. A amostra tem tamaho 16. ( = 16) V ( ) = Só que ão sabemos a variâcia da população ( ). Portato, ão temos como calcular a variâcia de. Neste caso, vamos substituir a variâcia da população ( ) pela variâcia da amostra forecida o exercício. Isto porque Prof. Guilherme Neves 38

39 vimos esta aula que a variâcia da amostra é um estimador da variâcia da população. Estimador da variâcia da população: s = 16 i= 1 ( i ) = = 4 15 E o estimador da variâcia de fica: s s = = 4 16 Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de : s = 4 16 = =,5 4 Quarto passo: determiar o itervalo de cofiaça. O itervalo de cofiaça da média é da forma: Gabarito: C t s µ + t s 4,4,131,5 µ 4,4+,131,5 3,33 µ 5,47 Itervalo de cofiaça para proporções Seja p a proporção de casos favoráveis em uma população e pˆ a proporção de casos favoráveis em uma amostra. Vimos que pˆ é um estimador para p. Para ficar mais claro, vamos aalisar o exemplo do dado que é laçado três vezes. Cosideramos caso favorável quado sai um múltiplo de 3. Na população (formada por todos os possíveis resultados do laçameto do dado), a proporção de casos favoráveis é igual a 1/3. Por esse motivo, a probabilidade de sucesso em um úico laçameto é igual a 1/3. Assim, a proporção de casos favoráveis a população é igual à probabilidade de sucesso em um laçameto. Prof. Guilherme Neves 39

40 Ficamos com: RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB p = 1/3 (proporção de casos favoráveis a população = probabilidade de sucesso em um laçameto) q = /3 (proporção de casos desfavoráveis a população = probabilidade de fracasso em um laçameto). Laçamos o dado três vezes. Obtemos os seguites resultados: 1, 3, 6. Na amostra de tamaho 3, a proporção de casos favoráveis foi de /3. p ˆ = / 3 Usamos a proporção amostral para estimar a proporção da população. Caso ão soubéssemos que o dado tem 1/3 de faces com múltiplos de 3, a partir do resultado obtido a amostragem acima, estimaríamos esta proporção em /3. Quado temos uma úica amostra, pˆ é um valor, um úmero, fixo, costate. Mas podemos pesar em pˆ de forma diferete. Podemos pesar em iúmeras amostras possíveis. Se laçássemos o dado três vezes ovamete, obtedo outra amostra, pˆ poderia assumir outros valores. Quado cosideramos as iúmeras amostras possíveis, pˆ é uma variável aleatória. Neste exemplo do dado, as amostras de tamaho 3 possíveis seriam: Todas essas amostras são equiprováveis. Podemos motar o seguite quadro: Prof. Guilherme Neves 4

41 pˆ Probabilidade 64/16 1/3 96/16 /3 48/16 3/3 8/16 A esperaça de pˆ fica: E ( pˆ) = µ p ˆ = = 1/ A esperaça da proporção amostral é igual à esperaça da proporção da população. Sabedo que a proporção amostral pode ser vista como uma variável, é importate ver um meio mais rápido para calcular sua média e sua variâcia. Nesse exemplo do laçameto do dado, seja o úmero de casos favoráveis em laçametos. Vimos que é uma variável biomial com média e variâcia dadas por: µ = p =pq Ode é o úmero de experimetos, p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso. Nesse exemplo, = 3; p = 1/3; q = /3. Ficamos com: µ =p= 1 =pq= / 3 tem média 1 e variâcia /3. Isso sigifica que, em três laçametos, esperamos 1 caso favorável (e dois desfavoráveis). Ou seja, se fosse possível fazer ifiitos cojutos de três laçametos do dado, o úmero médio de casos favoráveis seria igual a 1. Seja pˆ a proporção de casos favoráveis verificada uma dada amostra de tamaho. A variável pˆ pode ser obtida a partir de. Prof. Guilherme Neves 41

42 p= ˆ Para ficar mais claro, supohamos um cojuto de laçametos em particular. Laçamos o dado três vezes, obtedo: 1, 3, 6. Nessa situação, o úmero de casos favoráveis é igual a ( = ). E a proporção de casos favoráveis fica: p= ˆ p ˆ = 3 Em dois terços dos casos, tivemos sucesso. Fácil, é? Para achar a proporção de casos favoráveis a amostra, basta pegar a variável e dividir por. Sabemos como calcular a média e a variâcia da variável biomial. Sabemos que a variável pˆ, que idica a proporção de casos favoráveis a amostra, pode ser obtida por: p= ˆ. Para obtermos pˆ, dividimos a variável por uma costate. Quado dividimos uma variável por uma costate, a média também fica dividida por essa costate. A média de pˆ é: = µ p = µ p ˆ = p Cocluímos que a esperaça de pˆ é justamete a probabilidade de sucesso em um experimeto. Quado laçamos o dado três vezes (obtedo uma úica amostra de tamaho 3), teremos um determiado valor para a proporção amostral (pˆ ). Esse valor pode ser igual a 1/3 ou ão. No exemplo acima (com resultados 1, 3 e 6), iclusive, foi diferete. Mas, se fosse possível repetir ifiitas vezes o cojuto de três laçametos, obtedo para cada amostra um valor de pˆ, teríamos que a média de pˆ seria igual a 1/3. Prof. Guilherme Neves 4

43 Vejamos agora a variâcia de pˆ. Quado dividimos uma variável por uma costate, a variâcia sofre a variação ao quadrado. E seu desvio padrão fica: pˆ = p ˆ = = pq = pq p ˆ = pq Etão o que importa para gete é saber isso. Se pˆ for a variável que idica a proporção de casos favoráveis a amostra, etão pˆ tem média e desvio padrão dados por: µ = p ˆ p ˆ = p pq PROPORÇÃO DE CASOS FAVORÁVEIS NA AMOSTRA (pˆ ) Pode ser vista como uma variável com média e desvio padrão dados por: µ = p ˆ p ˆ = p pq Ode p é a proporção de casos favoráveis a população e q é a proporção de casos desfavoráveis a população. Quado estudamos itervalo de cofiaça para uma média, queríamos justamete estimar um itervalo para a média de uma população (µ ). Agora queremos estimar uma proporção (p). O procedimeto será aálogo. Exemplo: Prof. Guilherme Neves 43