Introdução ao Qui-Quadrado

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1 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Capítulo X Teste do Qui-quadrado, Itrodução ao qui-quadrado Defiição geral do qui-quadrado Graus de liberdade e reduzido abilidade do 66 Itrodução ao Qui-Quadrado Cosideremos um exemplo cocreto. Supohamos que realizamos 40 medidas x,... x 40 do alcace de um projéctil disparado por uma certa pistola e obtemos os resultados apresetados a tabela 0.. Admitamos que estes resultados seguem uma distribuição ormal ou Gaussiaa G X,σ (x) (hipótese razoável). Tabela 0. Valores medidos de x (em cm) Neste tipo de experiêcias ão cohecemos, à partida, o valor de X e a largura σ da distribuição esperada. Vamos, etão, começar por estimar estas quatidades: xi Melhor estimativa para X x 730.cm 40 ( xi x) Melhor estimativa para σ 46.8 cm Dep. Física, FCTUC 86

2 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Agora devemos pergutar: a ossa hipótese da distribuição dos 40 resultados obtidos para x correspoder a uma distribuição Gaussiaa é razoável? Para respoder a esta questão devemos calcular como esperaríamos que os 40 resultados estivessem distribuídos se correspodessem de facto a uma distribuição ormal e comparar esses resultados com os experimetalmete obtidos. Uma dificuldade é que, como x é uma variável cotíua, ão podemos falar do º esperado de medidas ser igual a um determiado valor de x. m vez disso, devemos falar em termos do º esperado um dado itervalo a < x < b. Vamos etão dividir os valores possíveis em itervalos de valores. s itervalos escolhidos são mostrados a tabela 0. Tabela 0. Itervalos,, e º de resultados que cai em cada itervalo, Nº do itervalo Valores de x o itervalo bservações 68 Defiidos os itervalos, cotamos os os de medidas que caem em cada itervalo,. m seguida, assumido que os resultados estão ormalmete distribuídos (caracterizados pelos X e σ estimados), podemos calcular o º de medidas,, que seria esperado em cada itervalo. Teremos depois de decidir quão bem os os observados se ajustam aos os esperados cálculo dos os esperados é bastate rápido. A probabilidade de que qualquer medida caia um itervalo a < x < b é a área delimitada pela fução de Gauss etre os poto x a e x b. Neste exemplo, teremos as probabilidades,, 3 e 4 de uma qualquer medida cair as áreas delimitadas pelos 4 itervalos mostrados a figura. 69 Dep. Física, FCTUC 87

3 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 As duas áreas iguais e 3 correspodem à cohecida quatidade 68%. Portato, As outras duas probabilidades somam a quatidade remaescete 3% e, portato, Para ecotrarmos os os esperados temos apeas que multiplicar as quatidades pelo º total de medidas, N 40. s resultados são mostrados a Tabela 0.3 Tabela 0.3 Nº do itervalo, abilidade Nº esperado N Nº observado Lembremos que os os esperados, ão são esperados ao fim de uma medida mas são ates valores médios depois de realizarmos o osso pacote de 40 medidas muitas vezes (daí os ão serem os iteiros). Para avaliarmos o ajuste etre os e e, portato, a justeza da ossa hipótese, determiemos os devios ( ). Se forem pequeos a hipótese estará correcta. 70 Tabela 0.4 Cotudo, precisamos º de defiir o que é uma difereça ( ) pequea ou grade. Se os imagiarmos a repetir a ossa série de 40 medidas muitas vezes, etão o º de medidas em qualquer itervalo pode ser cosiderado como o resultado de uma experiêcia de cotages do tipo das descritas o capítulo aterior (sobre a distribuição de Poisso). As respostas muito diferetes para deveriam ter como valor médio e seria de esperar que fluctuassem em toro de com um desvio padrão da ordem de. Assim, os dois os a serem comparados são o desvio ( ) e as fluctuações esperadas. stas cosiderações levam-os a poderar a razão 7 Dep. Física, FCTUC 88

4 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Para algus itervalos, a razão deve ser positiva e para outros egativa. Para poucos itervalos, o valor pode ser cosideravelmete maior do que mas para a maioria deve ser da ordem de ou iferior. Vamos etão quadrar a razão aterior para cada e somar para todos os itervalos utilizados. ste procedimeto leva-os a defiir um º desigado por qui-quadrado: ( ) ste º costitui um idicador razoável para verificarmos o acordo etre distribuição observada e a esperada. Se 0, o acordo é perfeito, embora essa situação seja altamete improvável. m geral, espera-se que cada termo da soma seja da ordem de e, portato, como haverá termos,. ssa correspoderá etão à situação em que a hipótese é verificada experimetalmete. Pelo cotrário, >> que a hipótese estava icorrecta. sigificará 7 No osso exemplo: ( ) (.6) ( 3.6) (.4) ( 0.4) Como o valor de.80 para é bem meor que 4, ão há razão para se duvidar que a hipótese proposta ão esteja correcta resultado diferetes. Defiição geral do Qui-Quadrado ( ) é geral e pode ser aplicado a muitas experiêcia A questão pertiete que surge é qual o procedimeto para escolhermos o º de itervalos. ssa escolha depede do tipo de experiêcia e, em particular, da quatidade x ser cotíua ou discreta. É esse aspecto que vamos agora cosiderar. 73 Dep. Física, FCTUC 89

5 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Medidas de uma variável cotíua A úica distribuição cotíua que estudamos foi a distribuição Gaussiaa mas é claro que existem muitas mais. Por exemplo, em muitas experiêcias de Física Atómica e Nuclear, a distribuição esperada para a quatidade x medida (a realidade, a eergia), é a distribuição Loretziaa: f ( x) x X + γ ( ) ode X e γ são certas costates. utro exemplo de uma distribuição cotíua é a distribuição expoecial t τ f ( t) e τ que dá a probabilidade de um átomo radioactivo (cuja vida média esperada é τ) existir durate um tempo t. Seja qual for a distribuição esperada f(x), a área total circuscrita pelo gráfico de f(x) em fução de x é e a probabilidade de obtermos uma medida etre x a e x b é apeas a área etre a e b. b ( a < x < b) f ( x) a dx 74 tão, se o itervalo estiver circuscrito etre x a e x a +, o º esperado de medidas o itervalo (para um total de N medidas realizadas) é N + a ( a < x < a ) N + a f ( x) dx º de medidas esperadas em cada itervalo ão deve ser pequeo. mbora ão haja limite iferior, deve ser maior ou igual a 5: 5. Por outro lado, o º de itervalos ão deve ser iferior a 4, tal como o exemplo que cosiderámos. Desta forma, cocluiremos que, para aplicarmos o teste do qui-quadrado de forma útil, o º de medidas realizadas ão deve ser iferior a 0. Medidas de uma variável Discreta Supohamos que medimos uma variável discreta ν, como por exemplo, o º de vezes que sai o algarismo quado jogamos cico dados. Neste caso, os valores possíveis de ν são 0,,, 3, 4 e 5 e ão é ecessário agregarmos os valores em itervalos. u melhor, escolhemos 6 itervalos mas cada um deles cotém apeas resultado. 75 Dep. Física, FCTUC 90

6 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Cotudo, acotece, por vezes, ser desejável agruparmos vários resultados o mesmo itervalo. Por exemplo, se atirarmos os 5 dados 00 vezes, de acordo com o cálculo das probabilidades a distribuição dos resultados seria a apresetada a tabela 0.5. Como podemos ver, os úmeros esperados quato à obteção de 4 ou 5 algarismos é de apeas 0.6 e 0.03, respectivamete, ou seja, muito iferior às outras. stes itervalos ão estão portato em situações adequadas à aplicação do teste do qui- -quadrado. que devemos etão fazer é reagrupar os resultados ν 3, 4 e 5 um úico itervalo, ficado o total com 4 itervalos. A tabela 0.5 mostra também os valores esperados para cada itervalo. Defiidos os itervalos podemos cotar as ocorrêcias observadas em cada itervalo. Depois podemos calcular e ver se as distribuições esperada e medida cocordam. Nesta experiêcia sabemos que a distribuição esperada é certamete uma distribuição biomial B 5,/6 (ν), desde que os dados sejam verdadeiros. Assim, o osso teste da distribuição é um teste a saber se os dados são verdadeiros ou estão falseados. Tabela 0.5 Nº de vezes que sai º corrêcias esperadas Nº do itervalo Nº esperado 76 utras formas de Qui-quadrado Ao logo do curso já várias vezes apareceu a oção de e em todos os casos o é uma soma de quadrados de fórmula geral: valor observado valor esperado desvio padrão Se o acordo for, será da ordem de ; se ão, será muito maior que. Ifelizmete, só podemos usar o teste do quado cohecemos os valores esperados e os desvios padrão. Talvez a situação mais comum em que estes valores podem ser cohecidos com bastate precisão seja o tipo de distribuições como a que usámos como exemplo, ode os são dados pela própria distribuição experimetal e os desvios padrão são as raízes quadradas desses valores. Cotudo, este teste é de aplicação muito variada. Cosideremos uma situação em que medimos duas gradezas experimetais, x e y, e esperamos que haja uma determiada relação fucioal etre elas, y f(x) (como y A + Bx). Supohamos que temos N pares de medidas (x i, y i ) ode os x i têm icerteza desprezável e os y i têm icerteza σ i. Neste caso, os valores esperados para os y i são os valores calculados f(x i ) e podemos etão testar até que poto y se ajusta à fução f(x) através de: 77 Dep. Física, FCTUC 9

7 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 N y f σ i x i i ( ) Graus de Liberdade e reduzido Até agora comparámos o parâmetro com o º de itervalos em que dividimos os ossos dados. Cotudo, um procedimeto melhor é compará-lo ates com o º de graus de liberdade, d. m geral, o º de graus de liberdade um cálculo estatístico é defiido como o º de dados observados meos o º de parâmetros obtidos a partir desses dados e usados os cálculos. Para os problemas usados este capítulo os dados observados são os os de observações os itervalos,. Portato, o º de dados observados é apeas, o º de itervalos. tão, estes casos, o º de graus de liberdade é d c ode c é o º de parâmetros que tiveram que ser calculados para determiarmos os os esperados. ste valor c é frequetemete desigado por úmero de costragimetos. 78 º de costragimetos depede de cada experiêcia. Laçameto de 5 dados e registo do º de vezes em que sai o úmero. Nesta experiêcia, ode estamos a testar a hipótese dos dados serem verdadeiros, a distribuição esperada do º de vezes que sai o úmero (ν) é a distribuição biomial B 5,/6 (ν), ode 0,,, 3, 4 ou 5. Ambos os parâmetros desta fução, o º de dados (5) e a probabilidade de sair o úmero (/6), são cohecidas à partida e ão têm que ser calculados a partir dos dados. Quado calculamos o º esperado de ocorrêcias de um ν particular, devemos multiplicar a probabilidade biomial pelo º total de laçametos, N (00 o osso exemplo). ste parâmetro depede dos dados: N tão, este caso, c e d 4 3, uma vez que os dados foram agrupados em 4 itervalos. Portato, esta experiêcia tiha 3 graus de liberdade. 79 Dep. Física, FCTUC 9

8 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Alcace de um projéctil - s dados foram agrupados em 4 itervalos ( 4). - Nessa experiêcia, o alcace do projéctil foi determiado N 40 vezes. - Mas para determiar a distribuição G X,σ (x) calculámos X e σ a partir dos dados observados. Assim, o º total de costragimetos foi de 3. - º de graus de liberdade é etão: d 4 3 ste resultado explica porque ão pudemos usar um º de itervalos iferior a 4. Quado é elevado, a difereça etre e d ão é importate, mas quado é pequeo (o que acotece muitas vezes), percebe-se como é importate esta difereça. Prova-se que o valor esperado para é exactamete d. Uma forma mais coveiete de avaliar o é usar o reduzido: d Valor esperado de 80 abilidades do Qui-Quadrado Voltemos à experiêcia do alcace do projéctil. Vimos que.8 e como para esta experiêcia d, o reduzido dá também.8. Será este um valor aceitável para cocluirmos que a experiêcia é bem reproduzida por uma distribuição Gaussiaa? procedimeto geral é o seguite: depois de completarmos qualquer série de medidas, calculamos o reduzido, que registaremos como uma vez que é o resulta directamete das ossas observações. Depois, cosiderado que as ossas medidas seguem uma determiada distribuição (a distribuição esperada), calculamos a probabilidade ( ) de ecotrarmos um valor de maior ou igual a. Se esta probabilidade for elevada, o osso valor de é perfeitamete aceitável e ão há razão para rejeitarmos a distribuição esperada. Se a probabilidade for muito baixa, um valor de da ordem do osso observado é muito improvável e é-o também a correspodêcia etre a distribuição esperada e a experimetal. 8 Dep. Física, FCTUC 93

9 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e g. Biomédica 007/08 Uma froteira possível são os 5% que já usámos para as correlações. Assim, uma probabilidade de < 5 ( ) % idicaria um desacordo sigificativo. Se a froteira for % etão uma probabilidade de ( ) < % idicaria um desacordo altamete sigificativo. cálculo das probabilidades ( ) é complexo para o âmbito desta disciplia, mas os resultados estão tabelados e podem ser ecotrados facilmete a literatura da especialidade. As percetages da probabilidade ( ) de obtermos um valor de maior ou igual a um valor particular para algus graus de liberdade, d, são apresetadas da tabela 0.6. s traços idicam probabilidades iferiores a 0.05%. 8 Tabela 0.6 Por exemplo: com 0 graus de liberdade (d 0), a probabilidade de obter um é igual a 3%. Portato, se tivéssemos obtido um reduzido de uma experiêcia de 0 graus de liberdade, cocluiríamos que as ossas observações diferiam sigificativamete da distribuição esperada, tedo em cota um ível de sigificado de 5%. 83 Dep. Física, FCTUC 94