MAE116 Noções de Estatística

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1 Exercício 1 A Secretaria de Saúde de um muicípio vem realizado um programa educativo etre as gestates mostrado a importâcia da amametação. Para averiguar a eficácia do programa pretede-se realizar uma pesquisa para estimar a proporção p de mães que amametam o recém-ascido pelo meos até o terceiro mês de idade da criaça. Uma amostra de mães submetidas ao programa será acompahada até o bebê completar 90 dias. (a) (0,75) Qual deve ser o tamaho da amostra, para que o erro da estimativa de p seja de 0,07, com um ível de cofiaça de 0,92? Sabe-se que ε = 0,07 é o erro amostral e z é tal que P( z Z z) = 0,92 e Z~N(0,1). Assim, z é tal que A(z) = 0,96 z = 1,75. Portato, o tamaho da amostra é calculado por: = ( z 2 ε ) p(1 p) = ( 1,75 2 0,07 ) 0,25 = 156,25 O tamaho da amostra deve ser de 157 mães. (b) (0,75) Registros da Secretaria de Saúde mostram que essa proporção p é superior a 70%. Com essa iformação seria possível cosiderar em (a) uma amostra de tamaho meor? Se sim, de quato? Se ão, por quê? Sabe-se que p > 0,7; etão o valor máximo de p(1 p) = 0,7(1 0,7) = 0,21. Logo, reduzimos o valor da amostra para = ( z 2 ε ) p(1 p) = ( 1,75 2 0,07 ) 0,21 = 131,25 Com isso, = 132, coseguido uma dimiuição de =25 mães a serem amostradas. (c) (1,0) Por uma questão de limitação de tempo, cosiderou-se uma amostra de 60 mães, cujos períodos de amametação (em dias) estão apresetados a seguir. Para as mães que aida estavam amametado o fial do acompahameto foi atribuído o tempo de 90 dias Dê uma estimativa potual para p e, com base ela, costrua um itervalo de 92% de cofiaça para p. Qual é o erro amostral de sua estimativa? Seja X: o. De mães com período de amametação de pelo meos 90 dias. Etão temos que p = X = 43 = 0,72 é uma estimativa potual para p. 60 O itervalo de cofiaça para p, com cofiaça γ = 0,92(z = 1,75) é calculado por: p (1 p ) p (1 p ) IC(p, 92%) = [p z ; p + z ] = [0,72 1,75 0, ; 0,72 + 1,75 0, ] = = [0,72 0,1014; 0,72 + 0,1014] = [0,618; 0,821]; sedo o erro amostral da estimativa dado por ε = z p (1 p ) = 0,1014. Págia 1 de 6

2 Exercício 2 Em uma amostra aleatória de 80 de bebês ascidos pré-termo, a idade gestacioal média ao ascer foi x = 29,8 semaas e desvio padrão s = 3,6 semaas. (a) (1,0) Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a idade gestacioal média de bebês ascidos prétermo. Seja X: idade gestacioal de bebês ascidos pré-termo. Iteresse é estimar : idade média gestacioal de bebes ascidos pré-termo Como ão sabemos se X tem distribuição ormal, mas o tamaho da amostra é grade, usado o TCL, o IC para é calculado por: [x z s s ; x + z ] Temos x = 29,8; como γ = 0,95 etão z = 1,96; = 80, e s = 3,6. Assim, substituido os valores, temos: [29,8 1,96 3,6 3,6 ; 29,8 + 1,96 ] = [29,8 0,7888; 29,8 + 0,7888] = [29,01; 30,59]; sedo o erro amostral ε = z s = 0,7888. (b) (0,5) Qual é o comprimeto desse itervalo? O comprimeto do itervalo esta dado pela difereça etre o limite Superior e limite Iferior, logo o comprimeto é 1,58 semaas. (c) (1,0) Que tamaho de amostra seria ecessário para que o itervalo de cofiaça de 95% teha comprimeto de 2 semaas? Como ão cohecemos o valor do desvio padrão populacioal, admitimos que o desvio padrão amostral s esteja próximo do valor, de tal forma que o erro amostral cosiderado seja ε = z s Como Amplitude = 2 = Amplitude/2 = 1. Etão, = ( z e )2 s 2 = ( 1,96 1 )2 3,6 2 = 49,79 50 Logo o tamaho de amostra ecessário para que o itervalo de cofiaça de 95% teha comprimeto de 2 semaas é = 50 bebês. Exercício 3 Um professor deseja estimar a proporção p de aluos que coseguiram eteder de forma satisfatória o coteúdo miistrado de sua matéria, utilizado um ovo método de esio. Ele quer que essa proporção seja estimada com um erro de 0,04 e um ível de cofiaça de 0,92. (a) (1,0) Qual é o tamaho de amostra ecessário para ateder às exigêcias do professor? Págia 2 de 6

3 Como ão temos iformação a respeito de p, etão cosideramos p = 0,5; assim p(1 p) = 0,25; logo o tamaho da amostra é determiado por = ( z 2 ε ) p(1 p) = ( z 2 ε ) 0,25 Temos que ε = 0,04 é o erro amostral e z é tal que P( z Z z) = 0,92 e com Z~N(0,1). O que implica z=1,75. Portato, = ( 1,75 2 0,04 ) 0,25 = 478,51 O tamaho da amostra deve ser de 479 aluos. (b) (0,75) Que tamaho deveria ter a amostra supodo que p está etre 0,2 e 0,6? E supodo que p é meor que 0,2? Note que, se 0,2 p 0,6 o máximo valor de p(1 p) é 0,5 0,5 = 0,25 e este caso ão há redução em alteração o tamaho de. Logo = 479 aluos. Se p < 0,2; etão o máximo valor de p(1 p) é 0,2 0,8 = 0,16 e = ( 1,75 0,04 )2 0,16 = 306, aluos, produzido uma redução de =172 aluos. (c) (0,75) Tomada uma amostra de 120 estudates, 50 apresetaram bom desempeho em uma prova aplicada após dois meses de utilização do ovo método. Com base esses dados, determie um itervalo de cofiaça com coeficiete de cofiaça de 0,95 para p. Seja X: o. de estudates que apresetaram bom desempeho a prova aplicada após dois meses de utilização do ovo método. Etão temos que p = X = 50 = 0,417, γ = 0,95 z = 1,96; logo: IC(p, 95%) = [p z p (1 p ) ; p + z p (1 p ) 0,0882] = [0,3288; 0,5052], 120 ] = [0,417 1,96 0, ; 0, ,96 0,243] = [0,417 0,0882; 0, sedo o erro amostral dado por ε = z p (1 p ) = 0,0882. Exercício 4 Utilize o programa R, com istruções a seguir, para gerar 80 réplicas de uma distribuição biomial, com parâmetros = 90 e p = 0,75 (probabilidade de sucesso). Para cada réplica estima-se a probabilidade de sucesso e costrói-se o itervalo de cofiaça (Lim_if, Lim_sup), com = 0,90. O programa também forece o úmero de itervalos, detre os 100 gerados, que cotem o verdadeiro valor de p. Imprima os itervalos gerados. (a) (1,0) Assiale os itervalos que ão cotêm o verdadeiro valor de p. Quatos são eles? Cheque com o úmero forecido pelo programa. > cbid(p_sucesso,lim_if, Lim_sup) p_sucesso Lim_if Lim_sup [1,] [2,] [3,] [4,] Págia 3 de 6

4 [5,] [6,] * [7,] [8,] [9,] [10,] [11,] [12,] [13,] [14,] [15,] [16,] [17,] [18,] [19,] [20,] [21,] [22,] [23,] [24,] [25,] [26,] * [27,] [28,] [29,] [30,] [31,] [32,] [33,] [34,] * [35,] [36,] * [37,] [38,] * [39,] [40,] [41,] [42,] [43,] [44,] [45,] * [46,] [47,] [48,] [49,] [50,] [51,] [52,] [53,] [54,] * Págia 4 de 6

5 [55,] [56,] [57,] [58,] [59,] [60,] * [61,] [62,] [63,] [64,] * [65,] [66,] * [67,] [68,] [69,] [70,] [71,] [72,] * [73,] [74,] [75,] * [76,] [77,] [78,] * [79,] * [80,] MAE116 Noções de Estatística > aux1<- ifelse(lim_if< 0.75,1,0) > aux2<-ifelse(lim_sup< 0.75,1,0) > idicadora <-ifelse(aux1==aux2,1,0) > sum(idicadora) [1] 14 As replicas 6,26,34,36,38,45,54,60,64,66,72,75,78,79 ão cotem o verdadeiro valor de p, 14 itervalos. Cofere com o programa. (b) (0,75) Calcule a proporção de itervalos que cotêm o verdadeiro valor de p, detre os 80 gerados. Comete o resultado obtido. São 66 itervalos que cotem o verdadeiro valor de p, detre os 80 gerados. Etão a proporção de itervalos que cotem o verdadeiro valor de p é 66/80=0,825. O procedimeto para gerar itervalos com cofiaça de 90% produziu 82,5% de itervalos que cotiham o verdadeiro valor de p, aproximadamete igual ao ível de cofiaça. Págia 5 de 6

6 (c) (0,75) Repita o estudo de simulação para ites (b) e (c), cosiderado 1000 réplicas da distribuição biomial. Não é ecessário imprimir os 1000 IC gerados. Nota: faça a adaptação do programa, substituido o valor 80 por Das 1000 replicas geradas 100 ão cotiham o verdadeiro valor de p,quer dizer, 900 tiham o verdadeiro valor de p. A proporção de itervalos que cotiham o verdadeiro valor de p é de 0,90, este caso, igual ao valor esperado para itervalo de 90% de cofiaça. Observações: 1. Istruções começado por # são cometários; 2. As istruções de comados devem ser digitadas a tela Script Widow e, para serem executadas, clique em <Submit> (lado direito acima da tela Output Widow ); 3. Os resultados dos comados executados aparecerão a tela Output Widow. Programa o Rcdmr # para gerar 80 réplicas da biomial = 90, p = 0.75 _replicas<-80 replicas<- rbiom(_replicas,90,0.75) # para estimar a probabilidade de sucesso p_sucesso<- replicas/90 # para costruir Itervalo de 90% Cofiaça para cada réplica erro<-1.64*sqrt(p_sucesso*(1-p_sucesso)/90) Lim_if<-p_sucesso - erro Lim_sup<- p_sucesso+erro #para visualisar os resultados cbid(p_sucesso,lim_if, Lim_sup) # para cotar quatos IC ão cotem o verdadeiro valor 0,75 aux1<- ifelse(lim_if< 0.75,1,0) aux2<-ifelse(lim_sup< 0.75,1,0) idicadora <-ifelse(aux1==aux2,1,0) sum(idicadora) Págia 6 de 6