Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Justifique coveietemete todas as respostas o semestre 017/018 04/07/018 15:00 o Teste C 10 valores 1. Admita que os tempos (em cetea de hora) etre avarias cosecutivas de um sistema são variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas à variável aleatória X com fução de desidade de probabilidade dada por { λ x e λ x, x > 0 f X (x) 0, caso cotrário, ode λ é um parâmetro descohecido positivo. (a) Deduza o estimador de máxima verosimilhaça de λ com base em (X 1,..., X ), uma amostra (3.0) aleatória de dimesão de X. V.a. de iteresse X tempo (em ceteas de hora) etre avarias cosecutivas de um sistema F.d.p. de X { λ x e λ x, x > 0 f (x) 0, caso cotrário, Parâmetro descohecido λ, λ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X. Obteção do estimador de MV de λ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(λ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X i1 f X (x i ) i1 i1 [ λ x i e λ x i ( ) λ x i e λ i1 x i, λ > 0 i1 Passo Fução de log-verosimilhaça ll(λ x) l(λ) + l(x i ) λ i1 x i i1 Passo 3 Maximização A estimativa de MV de λ é doravate represetada por ˆλ e d ll(λ x) dλ 0 (poto de estacioaridade) ˆλ : λ ˆλ d ll(λ x) λ < 0 (poto de máximo) dλ ˆλ ˆλ i1 x i 0 ˆλ < 0 Págia 1 de 7

2 ˆλ : ˆλ i1 x i ( i1 x i ) < 0 (proposição verdadeira já que i1 x i > 0). Passo 4 Estimador de MV de λ E MV (λ) i1 X i [ X. (b) A cocretização de uma amostra aleatória de dimesão 0 de X coduziu a 0 i1 x i (1.5) Obteha a estimativa de máxima verosimilhaça do valor esperado do tempo etre avarias cosecutivas do sistema, E(X ) λ. Estimativa de MV de λ ˆλ i1 x i [ / x Outro parâmetro descohecido h(λ) λ Estimativa de MV de h(λ) Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, coclui-se que a estimativa de MV de h(λ) é dada por h(λ) h( ˆλ) ˆλ [ h(λ) h( ˆλ) ˆλ x 03.8/ / x. Uma empresa de costrução civil produz provetes de betão. A tesão de compressão máxima a que estas provetes resistem (em mpa) é descrita pela variável aleatória X, possuido distribuição ormal com valor esperado (µ) e variâcia (σ ) descohecidos. Ates de executar uma laje, a empresa avalia a tesão de compressão máxima de 1 provetes de betão, tedo obtido Com base estes valores: 1 i1 x i e 1 i1 x i (a) Costrua um itervalo de cofiaça a 95% para σ. (.5) V.a. de iteresse X tesão de compressão máxima Situação X ormal(µ,σ ) µ descohecido σ DESCONHECIDO Obteção de IC para σ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para σ ( 1)S Z χ ( 1) σ [uma vez que é suposto determiar um IC para a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido. Págia de 7

3 Passo Obteção dos quatis de probabilidade Dado que 1 e (1 α) 100% 95%, usaremos os quatis { P(aα Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/. a α F 1 (α/) F 1 t abel a/calc. (0.05) χ ( 1) χ (11) b α F 1 (1 α/) F 1 (0.975) χ ( 1) χ (11) Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α P [a α ( 1)S b σ α 1 α P P [ 1 b α [ ( 1)S b α σ 1 ( 1)S a α 1 α Passo 4 Cocretização Tedo em cota que IC (1 α) 100% (σ ) σ ( 1)S a α 1 α ( 1) s (1 α/), ( 1) s, F 1 (α/) F 1 χ ( 1) o par de quatis acima e o facto de [ s 1 x i 1 ( x) i1 1 { [5.741(6) } 1 1 temos: χ ( 1) t abel a/calc IC 95% (σ ) [ (1 1) (1 1) , [ , (b) Cofrote as hipóteses H 0 : σ 1.5 e H 1 : σ < 1.5. Decida com base o valor-p. (3.0) Hipóteses H 0 : σ σ H 1 : σ < σ 0 Estatística de teste ( 1)S T H0 χ ( 1) σ 0 [pois pretedemos efectuar teste sobre a variâcia de pop. ormal, com valor esperado desc. Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste uilateral iferior (H 1 : σ < σ 0 ), a região de rejeição de H 0 é do tipo W (0,c). Decisão (com base o valor-p) O valor observado da estatística de teste é dado por ( 1)s (1 1) t σ 0 Págia 3 de 7

4 Dado que a região de rejeição deste teste é um itervalo à esquerda, temos: valor p P(T < t H 0 ) F χ ( 1) (t) F χ (1 1) ( ) calc Cosequetemete, é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α %, omeadamete ao.u.s. de 1%; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > %, por exemplo aos.u.s. de 5% e 10%. [Decisão (com base em itervalo para o valor-p) Recorredo às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado podemos adiatar um itervalo para o valor-p: F 1 (0.01) χ (11) < < F 1 (0.05) χ (11) 0.01 < valor p F χ ( ) < (11) Cosequetemete: ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 1%, omeadamete ao.u.s. de 1%; devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 5%, por exemplo aos.u.s. de 5% e 10%. Grupo II 10 valores 1. Seja X a variável aleatória que descreve a tesão de rotura (em mpa) de uma resia feólica. Uma egeheira de materiais defede a hipótese H 0 de que X possui fução de distribuição dada por F (x) { 1 e ( ) x, 75 x > 0 0, caso cotrário. Um esaio de flexão, evolvedo 100 corpos de prova selecioados casualmete, coduziu à seguite tabela de frequêcias: Classe 0, 40 40, 60 60, 80 80, + [ Frequêcia absoluta observada Frequêcia absoluta esperada sob H E 3 E 4 (a) Obteha os valores de E 3 e E 4 (aproximado-os às cetésimas). (1.0) V.a. de iteresse X tesão de rotura (em mpa) de uma resia feólica F.d. cojecturada { 1 e F (x) ( ) x, 75 x > 0 0, caso cotrário. Frequêcias absolutas esperadas Atededo à dimesão da amostra 100 e à f.d. cojecturada, segue-se, para i 1,...,4: E 3 [F (80) F (60) 100 {[1 e ( ; 3 E 4 E i i1 ) 100 ( ) [1 e ( ) 60 } 75 Págia 4 de 7

5 (b) Teste H 0, ao ível de sigificâcia de 10%. (3.0) Hipóteses H 0 : X com f.d. F X (x) F (x), x R H 1 : X com f.d. F X (x) F (x), para algum x R Nível de sigificâcia α 0 10% Estatística de Teste k (O i E i ) T E i a H0 χ (k β 1), ode: i1 k No. de classes 4 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 [dado que em H 0 se cojectura uma f.d. específica. Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 De acordo com (a), os valores das freq. absolutas esperadas sob H 0 são: E , E.51, E e E [Não é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i 1 para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 0 ) teriam que ser recalculados... (k β 1) Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Trata-se de um teste de ajustameto, logo a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é o itervalo à direita W (c,+ ), ode Decisão c F 1 (1 α χ 0 ) F 1 χ (k β 1) (4 0 1) (1 0.1) F 1 (0.9) χ (3) t abel a/calc Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste i o i E i (o i E i ) E i (1 4.76) 1 0, , , , + [ k i1 o i k i1 E i t k (o i E i ) i1 E i Como t W (6.51,+ ), devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 10%. [ou a qualquer outro.s. superior a 10%.. Medições efetuadas em 1 idivíduos coduziram aos seguites resultados referetes ao ível de colesterol Y (em mg/100ml) e à idade x (em aos) de um idivíduo: 1 i1 x i 619, 1 i1 x i 34059, 1 i1 y i 436, 1 i1 y i , 1 i1 x i y i 1350, ode [ mi i1,...,1 x i, max i1,...,1 x i [33, 76. (a) Cosidere o modelo de regressão liear simples de Y em x e determie a estimativa de míimos (.0) quadrados do valor esperado do ível de colesterol para um idivíduo com 50 aos. Págia 5 de 7

6 Estimativa de MQ de E(Y x) β 0 + β 1 x com x 50 Uma vez que 1 i1 x i 619 i1 x i (3) x 1 i1 x i i1 x i ( x) [51.58(3)) 18.91(6) i1 y i 436 ȳ 1 i1 y i i1 y i i1 y i (ȳ) i1 x i y i 1350 i1 x i y i x ȳ (3) , as estimativas de MQ de β 1, β 0 e β 0 + β 1 x são, para este modelo de RLS, iguais a: ˆβ 1 i1 x i y i xȳ i1 x i ( x) (6) ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x (3) ˆβ 0 + ˆβ 1 x (b) Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder coveietes, teste a hipótese (3.0) H 0 : β 1 0, ao ível de sigificâcia de 1%. Hipóteses de trabalho [Y i β 0 + β 1 x i + ɛ i, i 1,,...,, com i.i.d. ɛ i Normal(0,σ ), i 1,..., Hipóteses H 0 : β 1 β 1,0 0 H 1 : β 1 0 Nível de sigificâcia α 0 1% Estatística de teste T ˆβ 1 β 1,0 ˆσ i1 x x i H0 t ( ) Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H 1 : β 1 0), pelo que a região de rejeição de H 0 é uma reuião de itervalos do tipo W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., Págia 6 de 7

7 c F 1 t ( ) (1 α 0 /) F 1 t (1 ) (1 0.01/) F 1 t (10) (0.995) tabel a/calc Decisão Tedo em cota os valores [( obtidos ) em (a), bem como o de ˆσ 1 y i ȳ ( ( ) ) ˆβ1 x i x i1 i1 1 ( (6) ) , o valor observado da estatística de teste é igual a t ˆβ 1 β 1,0 ˆσ i1 x x i (6) Como t W (, 3.169) (3.169,+ ) devemos rejeitar H 0 ao.s. de 1% [bem como a qualquer.s. superior a 1%. Com efeito, podemos cocluir que devemos rejeitar a hipótese de o valor esperado da variável aleatória Y ão ser fução liear da variável explicativa x. (c) Determie e iterprete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado. (1.0) Cálculo do coeficiete de determiação ( r i1 x i y i x ȳ ) ( i1 x i x) ( i1 y i ȳ ) (6) Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 50.7% da variação total da variável resposta Y é explicada pela variável x, através do modelo de regressão liear simples ajustado, dode possamos afirmar que a recta estimada parece ajustar-se razoavelmete ao cojuto de dados. Págia 7 de 7