Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LEMat, LETI, LMAC, MEAmb, MEAer, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEQ

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LEMat, LETI, LMAC, MEAmb, MEAer, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEQ Justifique coveietemete todas as respostas! o semestre 015/016 09/06/016 09:00 o teste A 10 valores 1. Tem-se assumido que o impacto hidrodiâmico, X, do casco de um avio sobre uma oda em determiada região do globo possui distribuição expoecial de parâmetro λ descohecido, com valores medidos em uidades apropriadas. Tedo por base uma amostra aleatória (X 1, X,..., X 10 ) de X : (a) Determie a estimativa de máxima verosimilhaça do parâmetro λ para uma realização (3.0) (x 1, x,..., x 10 ) da amostra aleatória tal que 10 i1 x i V.a. de iteresse X impacto hidrodiâmico do casco de um avio sobre uma oda Distribuição X expoecial(λ) F.d.p. de X λe λ x, x > 0 f X (x) 0, c.c. Parâmetro descohecido λ, λ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção da estimativa de MV de λ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(λ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X i1 ( ) λe λ x i i1 λ e λ i1 x i, λ > 0 Passo Fução de log-verosimilhaça ll(λ x) l(λ) λ x i i1 f X (x i ) Passo 3 Maximização A estimativa de MV de λ é doravate represetada por ˆλ e atete-se que ˆλ ar g max λ L(λ x) ar g max λ ll(λ x). Neste caso em particular: ˆλ : d ll(λ x) dλ 0 λ ˆλ i1 (poto de estacioaridade) d ll(λ x) dλ λ ˆλ < 0 (poto de máximo) ˆλ i1 x i 0 ṋ λ < 0 ˆλ i1 x i Proposição verdadeira já que i1 x i > 0. Págia 1 de 8

2 Passo 4 Estimativa de MV de λ ˆλ 10 i1 x i (b) Tedo em vista a estimação do valor esperado de X, compare a eficiêcia do estimador X (1.5) relativamete ao estimador T X 1+X 10. Parâmetro descohecido µ E(X ) Estimador de µ E(X ) X Erro quadrático médio de X EQM µ ( X ) V ( X ) + bi as µ ( X ) ] V ( X ) + E( X ) µ ] X i i.i.d. X Outro estimador de µ E(X ) T X 1+X 10 Erro quadrático médio de T EQM µ (T ) V (T ) + bi as µ (T ) ] + E(X ) E(X )] ode 1/λ e 10.] V (T ) + E(T ) µ ] ( ) ( X1 + X 10 X1 + X 10 V + E ] E(X ) + E(X ) 4 X i i.i.d. X ) ] E(X ) Eficiêcia do estimador X relativamete ao estimador T X 1+X 10 e µ ( X,T ) 10 5 EQM µ (T ) EQM µ ( X ) 10 Cometário Tedo em cota que e µ ( X,T ) 5 > 1 (i.e., EQM µ (T ) > EQM µ ( X )) pode afirmar-se que X é um estimador mais eficiete que T X 1+X 10 o que respeita à estimação de µ E(X ).. Para estudar o cosumo de combustível em automóveis do modelo 1 (resp. ), cosiderou-se a variável aleatória X 1 (resp. X ) deotado a quilometragem efetuada por litro (km/litro) de combustível por um automóvel do modelo 1 (resp. ) escolhido ao acaso. Tedo selecioado ao acaso 8 automóveis do modelo 1 e 9 automóveis do modelo e registado as respetivas quilometrages efetuadas por litro de combustível, observaram-se os seguites resultados: 8 i1 x 1i 194.7, 8 i1 x 1i , 9 i1 x i 80.9, 9 i1 x i Págia de 8

3 Assumido que as quilometrages efetuadas por litro de combustível em automóveis dos modelos 1 e possuem distribuição ormal com igual variâcia: (a) Obteha um itervalo de cofiaça a 90% para a variâcia da kilometragem efetuada por litro de (.5) combustível em automóveis do modelo. V.a. de iteresse X kilometragem efetuada por litro de combustível em automóveis do modelo Situação X ormal(µ,σ ) µ descohecido σ DESCONHECIDO Obteção do IC para σ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para σ Z ( 1)S σ χ ( 1) uma vez que é suposto determiar um IC para a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido. Passo Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que 9 e (1 α) 100% 90%, far-se-á uso dos quatis P(a α Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/. a α F 1 χ ( 1) b α F 1 χ ( 1) Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α ] P a α ( 1)S b α 1 α σ P 1 b α σ P ( 1)S 1 a α ] 1 α ( 1)S b α σ ( 1)S a α ] 1 α (α/) F 1 t abel a/calc. (0.05).733 χ (8) (1 α/) F 1 t abel a/calc. (0.95) χ (8) Passo 4 Cocretização Atededo ao par de quatis acima e ao facto de ] s 1 x i 1 ( x ) i (80.9/9) ] (1) IC (1 α) 100% (σ ) ( 1) s, F 1 (α/) F 1 χ ( 1) χ ( 1) segue-se: ] (9 1) 3.406(1) IC 90% (σ ) (9 1) 3.406(1), , ]. (b) Teste ao ível de sigificâcia de 10% a hipótese de igualdade dos valores esperados das (3.0) Págia 3 de 8

4 quilometrages efetuadas por litro de combustível em automóveis dos modelos 1 e. V.a. de iteresse X i quilometrages efetuadas por litro de combustível em automóveis do modelo i, i 1, Situação X 1 Normal(µ 1,σ 1 ) X Normal(µ 1,σ ) (µ 1 µ ) DESCONHECIDO σ 1 e σ descohecidos, o etato, assume-se que são IGUAIS: σ 1 σ σ ou Hipóteses H 0 : µ 1 µ µ 0 0 H 1 : µ 1 µ µ 0 Nível de sigificâcia α 0 10% Estatística de teste T ( X 1 X ) µ 0 ( ) t ( 1 1)S1 +( 1)S H0 (1+ ) dado que se pretede efectuar um teste sobre a difereça de valores esperados de duas populações ormais idepedetes, com variâcias descohecidas mas que se assume serem iguais. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H 1 : µ 1 µ µ 0 ), logo a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., c : P(T W H 0 ) α 0 ] 1 F (c) t(1+ ) α 0 Decisão Atededo a que c F 1 t (1 + ) (1 α 0/) c F 1 t (15) (0.95) c t abel a/calc x i1 x 1i s1 1 ( 1 ) 1 1 i1 x 1i 1 ( x 1 ) ] 1 ( ) x 1 i1 x i (1) a 3.406(1), s o valor observado da estatística de teste é igual a ( x 1 x ) µ 0 t ( ) ( 1 1) s1 +( 1) s ( (1)) 0 ( ) (8 1) (9 1) 3.406(1) Como t W (, 1.753) (1.753,+ ), devemos rejeitar H 0 ao.s. α 0 10% ou a qualquer.s. superior a α 0 10%]. Págia 4 de 8

5 Grupo II 10 valores 1. Numa dada eleição para a Presidêcia da República cocorrem 3 cadidatos: A, B e C. Supoha que dos (4.0) 000 eleitores iquiridos uma sodagem aleatória: 1000 são apoiates do cadidato A, 600 preferem o cadidato B e 400 preferem o cadidato C. Vários aalistas sustetam que, etre os eleitores, a base de apoio do cadidato A é dupla da base de apoio do cadidato B e tripla da base de apoio do cadidato C. Averigúe, aplicado um teste apropriado, se a opiião dos aalistas é cosistete com os resultados da sodagem. Decida com base o valor-p. V.a. de iteresse e f.p. X cadidato apoiado pelo leitor iquirido P(X i ), i A,B,C p i 0, caso cotrário Hipóteses H 0 : p i p 0 i (i A,B,C ) ode p 0 A p0 B 3p0 C p 0 A + p0 A + p0 A 3 1 H 1 : p i p 0, para algum i i (6+3+) p0 A 6 1 p 0 A 6 11 p 0 B 3 11 p 0 C 11 Estatística de teste T ia,b,c (O i E i ) a H0 χ (k β 1) E, i ode: k No. de classes 3 (cadidadtos) O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 dado que a distribuição cojecturada em H 0 completamete especificada, i.e., H 0 é uma hipótese simples.] está Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Ao efectuarmos um teste de ajustameto do qui-quadrado a região de rejeição de H 0 é um itervalo à direita W (c, + ). Cálculo das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 As frequêcias absolutas esperadas sob H 0 são dadas por E i p 0 i E A ( ) (90) E B (45) E C (63). (i A,B,C ) e iguais a Importa otar que ão é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e E i 1 para todo o i.] Decisão (com base o valor-p) No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Págia 5 de 8

6 Assim, temos t i Freq. abs. obs. Freq. abs. esper. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste o i E i p 0 i (o i E i ) E i A (90) B (45) C (63) ia,b,c 16.(6). ia,b,c o i 000 (o i E i ) E i (90)] 1090.(90) 7.(57) (45)] 545.(45) 5.(45) (63)] 363.(63) 3.(63) ia,b,c E i 000 t ia,b,c (o i E i ) E i 16.(6) Uma vez que a região de rejeição de H 0 é para este teste um itervalo à direita temos: valor p P(T > t H 0 ) PT > 16.(6) H 0 ] 1 F χ (3 1 0) 16.(6)] calc Cosequetemete, é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α %; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 0.04%, pelo que a opiião dos aalistas ão é cosistete com os dados a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia (1%, 5% e 10%). Em alterativa, poderíamos recorrer às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado com graus de liberdade e adiatar um itervalo para o p-value: F 1 (0.9995) 15.0 χ () < t 16.(6) < F χ () 1 F χ 16.(6)] () < valor p < Logo o itervalo para o valor-p é (0,0.0005) e devemos: rejeitar H 0 a qualquer.s. α %, pelo que a opiião dos aalistas ão é cosistete com os dados a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia (1%, 5% e 10%).]. Para descrever a relação existete etre o volume de uma massa de um gás ideal clássico e a respetiva pressão, registaram-se 10 valores do logaritmo de base 10 do volume, x (com o volume medido em polegadas ao quadrado), e os correspodetes valores experimetais do logaritmo de base 10 da pressão, Y (com a pressão medida em psi). Pretededo avaliar-se a validade do modelo de regressão liear simples para descrever a relação existete etre o logaritmo da pressão do gás e o logaritmo do seu volume, efetuaram-se os seguites cálculos: 10 i1 x i 19.4, 10 i1 x i 38.06, 10 i1 y i 14.8, 10 i1 y i.76, 10 i1 x i y i 8.1 (a) Obteha as estimativas de míimos quadrados dos parâmetros da recta de regressão liear simples (.0) de Y em x e iterprete o sigificado do sial da estimativa do parâmetro β 1 do modelo. Págia 6 de 8

7 Estimativas de β 0 e β 1 Dado que 10 i1 x i 19.4 x 1 i1 x i i1 x i i1 x i ( x) i1 y i 14.8 ȳ 1 i1 y i i1 y i.76 i1 y i (ȳ) i1 x i y i 8.1 i1 x i y i x ȳ , as estimativas de β 1 e β 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: i1 ˆβ 1 x i y i xȳ i1 x i ( x) ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x 1.48 ( ) Iterpretação do sial da estimativa de β 1 ˆβ Como o sial de ˆβ 1 é egativo, espera-se que um aumeto o logaritmo de base 10 do volume do gás provoque uma DIMINUIÇÃO o valor esperado do logaritmo de base 10 da pressão. (b) Idicado as hipóteses de trabalho coveietes, obteha um itervalo de cofiaça a 95% para (4.0) o parâmetro β 1 do modelo de regressão liear simples de Y em x. O que pode cocluir sobre a sigificâcia do modelo de regressão ao ível de sigificâcia de 5%? Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0,σ ), i 1,..., β 0, β 1 e σ DESCONHECIDOS Obteção do IC para β 1 Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para β 1 ˆβ 1 β 1,0 Z t ( ) ˆσ i1 x x i Passo Obteção dos quatis de probabilidade Neste caso 10 e (1 α) 100% 95%, logo usaremos os quatis de probabilidade P(a α Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/. a α F 1 t ( ) (1 α/) F 1 t (8) (0.975) b α F 1 t ( ) (1 α/) F 1 t (8) (0.975) t abel a/calc..306 t abel a/calc Págia 7 de 8

8 Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P (a α Z b α ) 1 α ] P ˆβ 1 Ft 1 ˆσ ( ) (1 α/) i1 x i β 1 ˆβ 1 + F 1 ˆσ x t ( ) (1 α/) i1 x i 1 α. x Passo 4 Cocretização Atete-se que ( ) ˆσ 1 y i ( ( )] ) ˆβ1 x i x i1 i ( ) 0.44 ] IC (1 α) 100% (β 1 ) ˆβ 1 ± Ft 1 ˆσ ( ) (1 α/) ]. i1 x i x Logo IC 95% (β 1 ) ] ± ± ] , ]. Teste de sigificâcia do modelo de RLS Hipóteses H 0 : β 1 β 1,0 0 H 1 : β 1 β 1,0 N.s. α Decisão Ivocado a relação etre itervalos de cofiaça e testes de hipóteses, podemos adiatar que: o valor cojecturado para β 1 em H 0 é β 1,0 0 IC 95% (β 1 ) , ]; assim sedo, a hipótese H 0 : β 1 β 1,0 0 deve ser rejeitada ao ível de sigificâcia α 5% ou a qualquer.s. α 0 > 5%]. Págia 8 de 8