EQUAÇÃO ESCALAR DE LEIS DE CONSERVAÇÃO

Transcrição

1 EQUAÇÃO ESCALAR DE LEIS DE CONSERVAÇÃO Miquéias Gomes dos Satos 1 ; Douglas Azevedo Castro 2 1 Aluo do Curso de Egeharia de Bioprocessos e Biotecologia; Campus de Gurupi; miqueias@uft.edu.br PIVIC/UFT 2 Orietador do Curso de Química Ambietal; Campus de Gurupi; dacastro@uft.edu.br RESUMO Equações escalares de leis de coservação são equações difereciais parciais ou ordiárias que atededo as leis de coservação represetam feômeos reais, como é o caso dos muitos problemas de Diâmica dos Fluidos Computacioal. Atualmete, as experimetações uméricas costituem a melhor abordagem para solução desses modelos matemáticos, e detre os métodos uméricos mais usados, o Método dos Volumes Fiitos (MFV) é um método de discretização quase sempre de fácil implemetação, levado a resultados satisfatórios e covergetes. A equação de Advecção-Difusão, que represeta a covecção de uma propriedade física observada um meio fluido (gás ou líquido), foi o problema escolhido para ser discretizado por esse método. Na discretização desse modelo, esquemas de iterpolação de difereças cetrais para os termos difusivos e o esquema upwid para os termos advectivos, foram utilizados. O sistema tridiagoal obtido da discretização matemática das equações goverates foi resolvido pelo algoritmo de THOMAS, implemetado computacioalmete em C++. Simulações foram realizadas visado observar o comportameto das soluções, pricipalmete, quato aos valores do úmero adimesioal de Péclet (Pe). Palavras-chave: Discretização; Péclet; Advecção-Difusão; MVF. INTRODUÇÃO Adjacete aos métodos experimetais, que cosistem uma reprodução em escala laboratorial do feômeo que se quer estudar, há outros métodos que visam obter solução para os diversos problemas recorretes a egeharia. Cohecidos como métodos teóricos, subdivididos em métodos aalíticos e uméricos, atuam sobre modelos matemáticos (equações difereciais parciais ou ordiárias que atedem as leis de coservação), e são bem mais usuais que os experimetais, pois obtêm resultados de forma mais prática e meos oerosa. Etre os dois métodos teóricos, o método aalítico apreseta maiores restrições, atededo poucos casos de forma viável, embora, para os quais adquira solução exata. [1] Os métodos uméricos, Págia 1

2 por sua vez, apresetam grades vatages em relação aos demais, devido aos avaços cietíficos e computacioais que os aprimoraram ao logo dos aos, e por possibilitarem a evolução temporal do processo de cálculo", ou seja, permitir simulação, bem como, "o emprego de problemas ão-lieares, geometrias complicadas e codições de cotoros variáveis. [2] Um método umérico que teve seu uso ampliado os últimos aos é o método dos Volumes Fiitos (MVF). Esse método de discretização é amplamete usado a resolução de problemas de Diâmica dos Fluidos Computacioal, pricipalmete, por ter base puramete física, o que facilita a comparação dos resultados uméricos com a solução aalítica, caso essa exista, e por levar a equações discretizadas estáveis e covergetes. Pode, aida, ser aplicado a problemas parcial ou totalmete a parâmetros distribuídos (problemas que admitem que as propriedades variem com as coordeadas espaciais), ou seja, problemas que evolvem codições de cotoro, o que ão sigifica que o MVF ão ateda a determiados problemas de valor iicial. [4] O foco deste trabalho, portato, residirá a abordagem umérica, mediate o método dos Volumes Fiitos, para solução de problemas com a seguite equação parabólica de leis de coservação: φ t + f(φ) x = vφ xx + S φ. (1) Ode, o lado esquerdo da equação (1), o primeiro termo é o termo trasiete ou de acúmulo e o segudo é o termo de trasporte por covecção. Já o lado direito da equação, o primeiro termo é o de trasporte difusivo e o último é o termo fote ou de geração. METODOLOGIA Um modelo cosiste a represetação de um feômeo real, geralmete através de uma equação diferecial parcial, jutamete com codição iicial e/ou de cotoro. A fução do método umérico é, etão, obter equações aproximadas que descrevam e prevejam com a maior acurácia possível o comportameto do problema. Sujeitado (1) às codições f φ = uφ e S(φ) = 0, com u > 0, obtemos a equação de Adveccão-Difusão (2) que represeta a covecção de uma propriedade física observada um meio fluido (gás ou líquido) [2]. Neste trabalho, cosideramos etão o seguite problema φ t + uφ x = vφ xx, (2) φ 1, t = 1, se t > 0, φ 1,t = 0, se t > 0; (3) Págia 2

3 φ x, 0 = 1, se x < 0 ; 0, se x > 0. (4) Detre as cosiderações feitas para a resolução desse problema mediate a técica do método dos Volumes Fiitos, tem-se que o domíio de discretização será cosiderado uidimesioal e a malha obtida pela discretização geométrica do domíio de cálculo será uiforme com faces e ós cetrados (Figura 1), Figura 1: Discretização Uidimesioal do Domíio de Cálculo. Na Figura 1, os potos (x i,t ) são defiidos por x i = i. X, com i =..., -1, 0,1, 2, 3...; e t =. t, = 1, 2,3... E como a malha é uiforme com ós e faces cetradas, δx i 1 2 = δx i+ 1 2 = X. com Para se obter as equações discretizadas as equações difereciais que compõem o modelo foram itegradas o espaço e o tempo sobre cada volume de cotrole (ou célula) Q i. As itegrais de φ e de suas derivadas foram aproximadas umericamete pela estimativa de um valor médio aplicado-se o coceito de média em célula (mais iformações em [3]). As aproximações das derivadas da propriedade φ as faces, F i 1 2 e F i+ 1, da célula Q i, foram feitas aproximado o valor da derivada de 2 φ as faces pelo valor da média das células vizihas (trata-se das fuções de iterpolação para os termos difusivos, esquema CDS-2 de 2ª ordem, que podem ser ecotradas em [2]). Os valores de φ as faces, por sua vez, foram iterpolados pelo esquema upwid cuja formulação pode ser coferida em [1]. Os resultados das simulações obtidos este trabalho foram comparados a respectiva solução aalítica do problema apresetado, que foi obtida em Roussel et al. em [5]. RESULTADOS E DISCUSSÃO Para cada propriedade φ armazeada o cetro de cada um dos volumes de cotrole é obtida uma equação algébrica do tipo: Págia 3

4 A i φ +1 i = A i 1 φ +1 i 1 + A i+1 φ +1 i+1 + b, (5) o que leva ao fial da discretização a um sistema tridiagoal que a forma matricial correspode a Aφ = B. Implemetamos a solução umérica desse sistema em C ++, a plataforma Liux, utilizado o algoritmo de THOMAS (TDMA). Vemos a seguir, figuras com diversas soluções para o problema tratado. As Figuras 3,4, 5,6 mostram a solução em t = 0.5 e a Figura 2 em t = 0. Págia 4

5 Na Figura 2 vemos a codição iicial (4). Com essa solução preeche-se a matriz A dos coeficietes e o vetor B dos termos idepedetes para obter φ que é a solução o tempo seguite (t + t). De forma recursiva, podemos ecotrar a solução em qualquer t = k. t com k = 1,2,3,... Na Figura 3, com Pe = 1000 e =1000, vemos que a frete é icliada, o que caracteriza trasporte de materiais com maior eficiêcia que os casos apresetados a Figura 4 (Pe = 100 e = 1000), com uma frete mais suave. Uma aálise das Figuras 5 (Pe = 1000, = 100) e 6 (Pe = 100 e = 100), em comparação, respectivamete com as Figuras 3 e 4, mostra que um meor refiameto a malha também suaviza a solução, podedo levar a má iterpretações do resultado em termo do parâmetro de viscosidade. LITERATURA CITADA [1] GERMER, E. M. Verificação de Fuções de Iterpolação em Advecção-Difusão 1D com Volumes Fiitos. Tese de mestrado em Egeharia Mecâica pela UFPR. Curitiba - PR. p , [2] GIACOMINI, F. F. Verificação da Forma de Aplicar Codições de Cotoro em Problemas Uidimesioais com o Método dos Volumes Fiitos.Tese de mestrado em Egeharia Mecâica pela UFPR. p.24-61, [3] JUNIOR, A.F. S. Métododos Volumes Fiitos para Equação de Covecção e Difusão em uma Dimesão Espacial. Tese de mestrado em Modelagem Computacioal em Ciêcia e Tecologia UFF.Volta Redoda. p. 50, [4] PINTO, J. C.; LAGE, P.L. C. Métodos Numéricos em Problemas de Egeharia Química. O Método dos Volumes Fiitos. E-papers, Rio de Jaeiro. p , [5] ROUSSEL, O.; SCHNEIDER, K.; TSIGULIN, A.;BOCKHORN, H. A coservative fully adaptive multiresolutio algorithm for parabolic pdes. Joural of Computatioal Physics 188 (February 2003), AGRADECIMENTOS O presete trabalho foi realizado com o apoio da UFT e do professor Dr. Douglas Azevedo Castro. Págia 5