Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI)

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1 Faculdades Adamatieses Itegradas (FAI) BAZÃO, Vaderléa Rodrigues; MEIRA, Suetôio de Almeida; NOGUEIRA, José Roberto. Aálise de Fourier para o estudo aalítico da equação da oda. Omia Exatas, v.3,., p.13-18, 010.

2 ANÁISE DE FOURIER PARA O ESTUDO ANAÍTICO DA EQUAÇÃO DA ONDA FOURIER ANAYSIS FOR THE ANAYTIC STUDY OF THE WAVE EQUATION Vaderléa Rodrigues Bazão Mestrada em Matemática Aplicada e Computacioal - PosMAC - FCT UNESP - Presidete Prudete. Suetôio de Almeida Meira José Roberto Nogueira Professores Doutor do Departameto de Matemática, Estatística e Computação FCT - UNESP - Presidete Prudete. RESUMO O presete trabalho tem como objetivo estudar uma possível solução aalítica para a Equação da Oda, ode abordamos o problema da corda vibrate, esta equação é escrita como uma Equação Diferecial Parcial (EDP) u u de seguda ordem: c. A partir das hipóteses feitas sobre as codições iiciais e de froteira do x t problema, podemos aplicar o Método de Fourier para obter uma Equação Diferecial Ordiária de seguda ordem, e assim chegar a uma série de seos e cosseos, que é cosiderada uma possível solução para o problema. Além, de aalisarmos que hipóteses são ecessárias para que esse resultado seja matematicamete válido. Palavras Chaves: Equações Difereciais; Equação da Oda; Séries de Fourier. ABSTRACT The preset wor iteds to study a aalytical solutio possible for the wave equatio, where we approach the problem of vibratig strig, this equatio is writte as a partial differetial equatio of secod order: u u c. Based o the hypotheses made about the iitial coditios ad boudary of the problem, we x t ca apply the Fourier method to obtai a ordiary differetial equatio of secod order, ad thus arrive at a series of sies ad cosies, which is cosidered a possible solutio to the problem. I additio, we review the hypotheses that are eeded for this result is mathematically valid. Key-words: Differetial Equatios, Wave Equatio, Fourier Series. INTRODUÇÃO Uma oda surge quado um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a perturbação pode se deslocar ou se propagar de uma região para outra do sistema. As odas são relevates em todos os ramos da ciêcia físicas e biológicas; temos como exemplos de feômeos odulatórios: a oscilação de cordas, o som, a luz, as odas do mar, a trasmissão de rádio e de televisão e os terremotos. As Odas Mecâicas são as mais familiares, elas são ecotradas praticamete o tempo todo, como as odas a água, as odas sooras e as odas sísmicas; todas possuem certas características cetrais, pois são goveradas pelas leis de Newto e podem existir apeas detro de um meio material, como a água, o ar e as rochas. A maioria dos problemas físicos é modelado matematicamete por equações, ou sistemas de equações, que evolvam derivadas parciais da fução icógita. Isto ocorre por etidades físicas, que a maioria das vezes 14 Rev. OMNIA EXATAS, v.3,., 13-18, Julho/Dezembro de 010

3 Aálise de fourier para o estudo... são fuções de mais de uma variável, como o caso da propagação de uma oda que pode variar poto a poto, o meio e depeder do tempo. As taxas de variação destas etidades são represetadas por suas derivadas parciais. Faz-se ecessário, portato, a apresetação de soluções para estas equações. Em algus casos é possível resolvê-las obtedo as chamadas soluções aalíticas e o Método de Fourier é uma poderosa ferrameta para se determiar essa solução. MATERIA E MÉTODOS A série de Fourier foi desevolvida em 18 por Jea Baptiste Joseph Fourier, que acreditava ser possível através da soma de fuções seo e cosseo, represetar os mais diferetes tipos de fuções. Apesar de ter sido elaborada como subsídio matemático para o estudo do problema sobre a codução do calor, a aplicação desta série de seos e cosseos, estedeu-se a todos os ramos da Física, Egeharia e Matemática, sedo comum ecotrarmos o uso desta série os mais diversos artigos, ão só a área de exatas, mas também as de humaas e biológicas. Mostrado ser uma rica ferrameta para o desevolvimeto cietífico da sociedade, frisado que o trabalho desevolvido por esse taletoso cietista fracês, realizado há mais de dois séculos é extremamete útil e importate até os dias atuais, sedo icalculável o impacto que a obra de Fourier casou a sociedade cietífica. Para a realização desse trabalho cosideramos como cohecimetos prévios os coceitos sobre a covergêcia de séries de fuções e em especial a respeito da Série de Fourier, presetes em Figueiredo (1977) e Figueiredo (1996). Deixamos como observação, que todo esse estudo já foi realizado em um projeto de iiciação cietifica, fiaciado pela Fudação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP). RESUTADOS E DISCUSSÕES Para a formulação matemática do problema da Equação da Oda, cosideramos o caso das odas mecâicas, em particular a oscilação de cordas. Seja uma corda de comprimeto situada sobre o eixo dos x, com a origem o poto de abscissa 0 e extremidade. Procuramos ecotrar a elogação u x, t ao oscilar a corda, supodo-se os extremos fixos, cohecedo-se a posição iicial f(x) da corda e a velocidade g(x) o istate t 0. Assim o problema cosiste em ecotrar uma fução real u x, t defiida para 0 x e t 0 tal u u que: c, ode c é a velocidade de propagação dessa oscilação; e que satisfaça as codições x t iiciais x u x, 0 f x e x 0 g x t u 0, t u, t,, sedo f e g fuções cohecidas; e que também satisfaça as codições de froteira 0 ; assim temos defiido um problema de valores iicial e de froteira (PVIF). Uma solução para este PVIF, pode ser determiada pelo Método de Fourier, que cosiste em, primeiramete usar separação de variáveis e procurar soluções u x, t do problema a forma: u x, t X x T t, sedo X uma fução só de x e T uma fução só de t. Substituido a equação da oda temos: XT '' c X'' T 0. Agora, os potos ode T e X ão se aulam, obtemos do lado esquerdo uma fução apeas de t, equato o lado direito é uma fução de x. ogo tato o lado direito quato o lado esquerdo, que são iguais e devem T '' t X' ' x idepeder de x e t. Isso quer dizer: ; ode λ é um parâmetro idepedete de x e t. c T t X x Das codições de froteira (extremos da corda), resulta: u 0, t X 0 T t 0 e u, t X T t 0. Cocluímos, etão que X 0 X 0, logo podemos formular os seguites problemas, para ecotrar as fuções X e T: Rev. OMNIA EXATAS, v.3,., 13-18, Julho/Dezembro de

4 Aálise de fourier para o estudo... Primeira EDO: '' x X x 0 X ; para 0 X 0 Seguda EDO: T '' t c T t 0 X. Assim temos duas EDOs de seguda ordem, as quais podemos determiar as soluções, e cosequetemete resolver osso PVIF. Mas para isso, devemos cosiderar quais são as situações em que as soluções dessas equações difereciais ordiárias são válidas, otado que as hipóteses sobre as codições iiciais e de froteira do osso PVIF são essêcias para se determiar uma solução para o problema. Para resolver a primeira EDO, impomos codições sobre, pois se 0 temos que X 0 o que ão iteressa, pois esse caso teríamos que u 0. Agora se 0 a equação tem a forma: X '' X 0 ; cujas raízes do poliômio característico X 0, são i, e a solução geral tem a forma: X x c se x c cos x 1. Das codições de cotoro segue que: c 0 devemos ter se 0, isto é, X e X c1 se, como queremos 0 0, sedo um úmero iteiro. c, ogo, o problema possui solução ão ula para apeas uma coleção eumerável de valores de λ, a cada correspode uma solução X x, defiida por: X x x se ; e estas são chamadas fuções próprias ou auto-fuções. Agora resolvemos o problema: T'' t c T t 0, coforme vimos a primeira EDO, é sempre positivo. Temos o poliômio característico T c 0, cujas raízes são ic. ogo a solução tem a forma: T t a cos c t b sec t, sedo a e b costates. c c Portato as fuções u x, t a cos t b se t se x ; para =1,,...; devem satisfazer ossa equação com as codições iiciais e as codições de cotoro. Dado o caráter liear da equação diferecial e das codições iiciais e de cotoro. Temos que toda soma da c c forma: S x, t a cos t b se t se x, também é solução. 1 A questão pricipal é se mediate certas restrições sobre os dados iiciais f e g a sucessão S x, t coverge uiformemete para uma fução u x, t, em 0 x, t 0 que é solução do osso problema. Seja c c u x, t lim S x, t a cos t bse t se x. E supoha, que além de existir este limite 1 u x, t ele realmete seja solução do problema, para ser solução de ossa equação é suficiete que a série que defie u x, t seja duas vezes derivável. Assim deve satisfazer as codições iiciais: 1 f x ase x e 1 c g x b se x (1.1) 1 ogo um cadidato para a solução do problema seria: 16 Rev. OMNIA EXATAS, v.3,., 13-18, Julho/Dezembro de 010

5 Aálise de fourier para o estudo... c c u x, t a cos t bse t se x (1.) 1 Sedo a e b coeficietes das séries para as fuções f e g, esses são deomiados coeficietes de Fourier, que devido às hipóteses sobre as codições iiciais: a 0 f x se xdx e b c 0 g x x se dx (1.3) ogo a solução formal do PVIF, é dada pela expressão (1.) e os coeficietes de Fourier por (1.3). Devemos observar que o método utilizado acima apresetou um resultado favorável, etretato apeas mecioamos que eram ecessárias determias hipóteses sobre as fuções f e g, e sobre a covergêcia uiforme da série, ão os preocupamos com o rigor da matemática a validação desse resultado. Para a verificação de que a expressão (1.3) seja realmete uma solução do PVIF, precisamos de algus resultados sobre a Covergêcia de Séries de Fuções e de um estudo mais detalhado da Série de Fourier, o que permite a aplicação do seguite teorema: Supoha que f e g sejam fuções dadas em [0, ] tais que f, f,f,g, g sejam cotíuas e f e g são seccioalmete cotíuas. Além disso, supoha que f(0)=f()=f (0)=f ()=g(0)=g()=0. Etão: (i) a e b estão bem defiidos por (1.3); (ii) ocorrem as igualdades em (1.1); (iii) A expressão (1.) defie uma fução cotíua o cojuto dos potos aderetes a R, de classe C² em R, que satisfaz à equação das odas em R, sedo R a semi-faixa x, t IR : 0 x, t 0. (Vide Figueiredo (1977)). Ou seja, se o PVIF satisfizer as hipóteses desse teorema a expressão (1.3) é uma solução para o problema. CONCUSÃO A aplicação do Método de Fourier possibilitou obter uma solução "formal" para o PVIF, logo se esse problema possuir solução poderá ser dada pela expressão (1.3), sedo ecessário impor as codições iiciais que satisfaçam o teorema acima, ode cosideramos a situação da corda vibrate com as extremidades fixas. Podemos ver a demostração desse teorema em Figueiredo (1977), sedo que esta foi a bibliografia básica para todo o desevolvimeto desse trabalho. Também foi possível perceber a aplicação da Matemática em feômeos físicos, mostrado a utilidade de certas teorias matemáticas e um dos motivos delas terem sido desevolvidas. Por fim, é iteressate observarmos que para obter uma solução escrita para essa equação diferecial é essecial que as hipóteses sobre as codições iiciais e de cotoro satisfaçam a do teorema acima. Pois, o Método de Fourier permite escrever essa solução como uma série de seos e cosseos, etretato quado as hipóteses desse teorema ão forem satisfeitas e também ão for possível escrever a solução aalítica para o problema, aida existem os métodos uméricos que podem forece aproximações para a solução. REFERÊNCIAS FIGUEIREDO, D. G. Aalise de Fourier e Equações Difereciais Parciais. Rio de Jaeiro: Projeto Euclides, FIGUEIREDO, D. G. Aálise Real 1. Rio de Jaeiro: TC Editora, HAIDAY, D. RESNIK, R. WAKER. Fudametos de Física. Rio de Jaeiro: TC, 1996 MEDEIROS,. A. & ANDRADE, N. G. Iiciação às equações difereciais parciais. Rio de Jaeiro: ivros Técicos e Cietíficos Editora S.A., Rev. OMNIA EXATAS, v.3,., 13-18, Julho/Dezembro de

6 Aálise de fourier para o estudo... YOUNG, H. D.& FREEDMAN, R. A. Física II: Termodiâmica e Odas. 10ª ed. São Paulo: Pearso Addiso Wesley, Rev. OMNIA EXATAS, v.3,., 13-18, Julho/Dezembro de 010