... Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferencial.

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1 DERIVADAS INTRODUÇÃO O Cálculo Diferecial e Itegral, criado por Leibiz e Newto o século XVII, torou-se logo de iício um istrumeto precioso e imprescidível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e a Física Na verdade, é idispesável para ivestigação ão-elemetar tato as ciêcias aturais como humaas O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista os parece abstrato e fora da realidade, está iteramete relacioado com o raciocíio usado pelas pessoas em geral a resolução de problemas cotidiaos Muitos feômeos físicos evolvem gradezas que variam, etre eles podemos citar: - A velocidade de uma partícula; - O úmero de bactérias em uma cultura; - O fluo de uma correte elétrica; - A voltagem de um sial elétrico, etre outros A derivada é uma ferrameta matemática utilizada para aalisar e estudar as taas segudo as quais variam estas gradezas Observamos a atureza iúmeras taas de variações Algumas delas são: - A potêcia: a taa de variação do trabalho em relação ao tempo; - A taa de variação do raio de uma artéria em relação à cocetração de álcool a correte saguíea; - A taa da variação da cocetração de um reagete em relação ao tempo (usado por químicos taa de reação) - A taa de variação do custo de proção de um determiado proto em relação à quatidade ou em relação ao tempo, etre outros Veremos este curso que todas estas taas de variação podem ser aalisadas e iterpretadas como icliações de retas tagetes Sempre que solucioarmos um problema de reta tagete estaremos solucioado uma grade variedade de problemas evolvedo taas de variações como as citadas acima Teto dos Professores: Devail Atoio Fracisco e Elaie Cristia Ferruzzi Newto e Leibiz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferecial O desevolvimeto do cálculo diferecial se deu a partir de dois problemas cocretos: Como ecotrar a reta tagete a uma curva em um poto dessa curva? Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, um dado istate, cohecedo a sua equação horária? Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima

2 RAZÃO INCREMENTAL Sejam e dois valores bem próimos de uma variável e y f( ) e y f( ) os valores da fução y f() correspodetes a e respectivamete Chamamos de acréscimo da variável à difereça e acréscimo da fução y à difereça y y y ou y f( ) f () ode f( ) e f( ) são chamados respectivamete de valor iicial e valor acrescido da fução y Eemplo: Sejam y,, e,3 Para,,3 temos y temos y,44,69 Assim y y - y,,5 Chamamos de Razão Icremetal RI ou Razão dos Acréscimos ao quociete: RI y y y valor acrescido da fução - valor iicial da fução valor acrescido da variável - valor iicial da variável Assim, para o osso eemplo, temos: y,69,44,5 RI,5,3,, Utilizado a disposição seguite podemos escrever RI de uma forma geral Etão: Valor iicial Valor acrescido Variável X + Fução f() f ( + ) RI f ( + ) f () ( + ) ou RI f( + ) - f() 3 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Defiição: Seja y f() defiida e cotíua um itervalo I Chama-se derivada da fução f() à fução f '() a qual: supodo eistir o limite f ' () f ( + ) f () lim Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima

3 Usaremos também as seguites otações para idicar a derivada da fução y: y ',, df, D y, D f Nota: Para os símbolos ateriores faz-se as seguites leituras: f': f liha e y': y liha /: derivada da fução y em relação a variável idepedete df/: derivada da fução f em relação a variável idepedete D y: derivada da fução y em relação a variável idepedete D f: derivada da fução f em relação a variável idepedete Eistem fórmulas para o cálculo das derivadas das fuções as quais serão mostradas o decorrer desta disciplia mas, por equato, vamos calcular a derivada de uma fução simples, usado a defiição Isto servirá como um ótimo eercício itrotório, que auiliará o etedimeto pleo da defiição ateriormete dada Eemplo: ) Calcule a derivada da fução y Temos este caso: y f() f( + ) ( + ) + + ( ) Portato, f '( ) y ' lim f ( + ) f ( ) y y + + ( ) - + ( ) ' lim lim lim ( + ) lim lim ( + ) Observe que colocamos a epressão acima, em evidêcia e, simplificamos o resultado obtido Portato a derivada da fução y é igual a y ' Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 3

4 ) Se f () f '()??? y f() f( + ) + f ( + ) f () f '() lim + lim lim lim Se f() f '() 3) Se f () k, k R f'()??? como: f() k; f ( + ) k, temos: f ( + ) f () f '() lim k k lim lim Se f() k f '() Ou seja, a derivada de uma costate é zero 4) Mostre que: se f ( ) f '( ) f ( + ) f ( ) ( + ) * f '( ) lim lim a * Fazedo u +, temos: u e u, logo: u f '( ) lim u u lim u u + u + + u + u u parcelas Nota: Futuramete, provaremos que está última fórmula é válida para todo R 4 PROPRIEDADES DAS DERIVADAS ) Se f() e g() são fuções tedo derivadas f ' () e g ' () respectivamete, etão Eemplo: h() + [ f () ± g()] ' f '() ± g '() Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 4

5 ) Seja f() uma fução tedo derivada f '() e K R, etão: [ k f ( )] ' k f '() Eemplo: h() 5 3) Sejam f() e g() fuções tedo derivadas f ' () e g ' () respectivamete, etão: [f() g()]' f ' () g() + f() g ' () Eemplo: h() 4) Sejam f() e g() fuções tedo derivadas f ' () e g ' () respectivamete, etão: f ( ) g( ) ' f '( ) g( ) f ( ) g'( ) [ g( )] Eemplo: h() / Em resumo: Sejam u f(), v g() e k R, etão: ) (u ± v) ' u ' ± v ' ) ( k u)' k u' 3) ( u v)' u' v + u v' ' u u' v u v' 4), desde que : v v v 5 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Se f() se f ' () cos Se f() cos f ' () - se Se f() tg f ' () sec Se f() cotg f ' () - cossec Se f() sec f ' () sec tg Se f() cossec f ' () - cossec cotg Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 5

6 Demostrações: ) f ( ) se f '( )?? f(+ ) se ( + ) se cos ( ) + se ( ) cos ( utilizou-ser da fórmula de se( a + b) seacos b + sebcos a ) f ( + ) f ( ) f '( ) lim se( )cos + secos( ) se( ) f '( ) lim ( cos ) ( ) cos secos( ) f '( ) lim se( ) lim + lim como : se f '( ) lim e lim etão: f '( ) cos Se f() se f '() cos ) f ( ) cos f '( )?? f(+ ) cos ( + ) cos cos ( ) - se se f ( + ) f ( ) f '( ) lim cos( )cos se( ) se cos( ) lim lim cos lim ( ) cos se( ) se lim como : ( cos ) se f '( ) lim e lim etão: f '( ) se Se f() cos f '() se Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 6

7 3) f ( ) tg f '( )?? ' se u u' v u v' Como tg, temos, pela propriedade, v cos desde que : : v v [ se f '( ) ]' cos se [cos ] [cos ]' f '( ) cos cos se ( se ) cos cos + se f '( ) sec cos cos Se f() tg f '() sec Agora, prove as demais derivadas trigoométricas: 6 DERIVADAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Se f() a (a > e a ) f ' () a l a Se f() log a (a > e a e > ) f ' () l a Se f() e f ' () e Se f() l f ' () Eemplos: ) Calcule as derivadas das seguites fuções: a) f ( ) e b) e f ( ) + Teorema: Provar que y tem derivada y ' para qualquer real Sedo y etão, aplicado logaritmo eperiao (logaritmo de base e,788 ) em ambos os membros da equação, temos: l y l l y l Derivado os dois membros desta equação, supodo y fução de, temos: y ' y y ' y - Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 7

8 mas, y logo, y ' e, portato, y ' (cqd) para qualquer valor de 7 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO p A derivada de uma fução f um poto p de seu domíio é defiida e represetada por f '(p), ode: desde que eista o limite f '(p) f () f (p) lim p p Nota: A derivada de f, em p, é o coeficiete agular da reta tagete ao gráfico de f o poto de abscissa p Eemplos: ) Cosideremos a fução f() e calculemos a sua derivada a abscissa p 3 f '(3) lim 3 f ( ) f (3) 3 3 lim 3 3 lim ( + 3) 6 3 Portato, f '(3) 6 Nota: Poderíamos ter primeiramete ecotrado f ' () (eemplo aterior) e depois, por substituição, f ' (3) Eercícios ) Seja f(), calcule: a) f ' () Resposta: b) f ' (-3) Resposta: - 6 3) Seja f(), calcule f ' () Resposta: Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 8

9 4) Cosidere f f ' a ( ) e calcule ( ) f '( a) lim a f ( ) f ( a) a lim a a a lim + a + + a + a a a parcelas Importate 5) Mostre que f ( ) ão é derivável em p etão: f ( ) f (), se >, se < f ( ) f () lim lim + f ( ) f () e lim lim Portato, lim f ( ) f () ão eiste, pois os limites laterais são diferetes Assim, f ão é difereciável em Como f '() ão eiste, o gráfico de f ( ) ão admite reta tagete em (, f ()) 8 DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS REGRA DA CADEIA Cosideremos as fuções y f(u) e u g(), tedo derivadas e respectivamete Se u é ão ulo, etão podemos escrever o quociete ode: y e u são fuções de Logo, se, temos: u y y u u y da seguite maeira: Assim, y y u lim lim u y u lim lim u Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 9

10 ou cohecida como regra da cadeia, a otação de Leibiz Isto os leva a dizer: "A derivada da fução composta y f [g ()] é o proto das derivadas das suas compoetes" Nota: Fazedo uma etesão esta fórmula, temos a derivada da composta para fuções deriváveis Por eemplo, para y f{g [h ()]}, temos: Eemplos: dv dv ) Calcule a derivada da fução: y ( + 8) Fuções compoetes: Potêcia e Quadrática ) Calcule a derivada da fução: y ( - ) 4 Fuções compoetes: Potêcia e Quadrática y u, u + 8 u 9 ( + 8) ( + 8) 9 ( + 8) y u 4, u - 4 u ( ) ( ) 3 3) y e y e u, u 4) y se 3 y se u, u 3 cos u 3 cos cos 3 4) y e y e u, u Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima

11 e u e e 5) y l ( + 3) y l u, u + 3 u ) y l Preparemos iicialmete a fução: y l l ( ) ½ ½ l ( ) y ½ l u, u - u 7) y 3 e - Como: y f g y ' f ' g + f g ' ode: f 3 f ' 3 g e - g e u, com u -, logo g ' (-)e - y ' 3 e (-)e - 3 e e - e - (3 - ) + 8) y y u 4 +, u 4 f 'g e u ' g 3 f g', ode: f + e g - + ( ) ( + ) ( ) 3 ( ) 8( + ) ( ) 3 5 TEOREMA: Dada a fução g derivável, temos: [ e g() ] ' g ' () e g() Prova: y e u, u g() e u g ' () e g() g ' () g ' () e g() Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima

12 [ l g() ] ' g ' () g() Prova: y l u, u g() g ' () g ' () g ' () u g() g() [se (g() ] ' g ' () cos (g()) Prova: y se u, u g() cos u g ' () cos (g()) g ' () g ' () cos (g()) [cos (g()) ] ' - g ' () se (g()) Prova: y cos u, u g() - se u g ' () - se (g()) g ' () - g ' () se (g()) [ (g()) ] ' (g()) - g ' () Prova: y u, u g() u - g ' () (g()) - g ' () 9 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Quado e y se relacioam implicitamete através da equação F(, y) a derivada é obtida do seguite modo: Derivamos F(, y) em relação a tomado y como fução de d F(, y) Igualamos a zero Isolamos a igualdade aterior Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima

13 Eemplo: ) Sedo 4 3y + y, calcule Temos: F(, y) 4 3y + y d F(, y) 3 ode: y + y Igualado a zero temos: ou ou y + y y + y ( y 3) 3y 3 4 e portato: 3 3y 4 y 3 Referêcia: Teto adaptado do livro: RIGHETTO, A; FERRAUDO, A S Cálculo Diferecial e Itegral Vol I, São Paulo: IBEC Istituto Brasileiro de Edições Cietíficas Ltda, São Paulo, 98 Adaptação: Prof M Sc José Doizetti de Lima, UTFPR - Campus Pato Braco DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA Sejam f uma fução iversível e g f Assim, f ( g() ), Dom (g) Eemplos: ) f () + g () f () ) f () e g () f () l Processo prático para a determiação da fução iversa - Trocar por y e y por - Isolar y Para o eemplo teríamos: y + y + y Para o eemplo teríamos: y e e y l l e y l y l e y Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 3

14 Prova de que f ( g() ) Para o eemplo teríamos: f ( ) ( ) +,, f(g()) l Para o eemplo teríamos: f (l ) e,, f(g()) Se f e g são deriváveis, temos pela regra da cadeia que: f (g()) f ' (g () ) g ' () g '() f '( g() ) Essa fórmula é utilizada para calcular a derivada da iversa da fução f, cohecedo f Usado a otação de Leibiz para a determiação da derivada da fução iversa Cosideremos a fução y f() derivável e iversível A derivada da fução iversa f ( y) é dada por: ode: Eemplos: ) Se * y y, logo: y * y ) Se y e l y *, logo: l y e ** u y e l * ** l y e e y y l u l e l l u l y l e l u l y u y DERIVADA DO ARCO TANGENTE π π A fução y tg,, é estritamete crescete (e portato iversível) e cotíua Como sua imagem é R, a sua iversa é a fução arc tg, R Nota: O domíio da fução arc tg é R e a imagem o itervalo Eemplos: tg 45 arc tg 45 tg 6 3 arc tg 3 6 π π, Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 4

15 3 3 tg 3 arc tg Assim, cosiderado que a fução y arc tg seja derivável em R, calculemos y arc tg Temos: tg y, dode sec y ou sec y Mas sec y + tg y + e portato: y ' + DERIVADA DO ARCO SENO π π A fução y se,, é estritamete crescete (e portato iversível) e cotíua Assim, π π para cada [-, ] eiste um úico y, tal que: se y Nota: O domíio da fução arc se é o itervalo [-, ] e a imagem o itervalo π π, Eemplos: π π se arc se se arc se π π se arc se (-) Assim, cosiderado que a fução y arc se seja derivável em (-, ), calculemos π π y arc se, - < < Temos: se y Assim, cos y ou Mas cos y - se y e cos y portato: y ' ( < < ) - DIFERENCIAL: INTERPRETAÇÃO DE COMO UM QUOCIENTE É comum, pesarmos em como uma simples otação para a derivada de y f ( ) A seguir iterpretaremos como um quociete etre dois acréscimos Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 5

16 Iicialmete, vamos olhar para como um acréscimo em e, em seguida, procuraremos uma iterpretação para o acréscimo Sabemos que f ' ( ) é o coeficiete agular da reta tagete T, o poto (, f() ), e que f ' ( ) Se olharmos, etão, para como o acréscimo a ordeada da reta tagete T, correspodete ao acréscimo em, teremos f ' ( ) Assim, Observe que f ' ( ) tgα ou f ' ( ) e y f ( + ) f ( ) Ode: y f ( + ) f ( ) é o acréscimo que a fução sofre quado se passa de a + O acréscimo pode etão ser olhado como um valor aproimado para y ; evidetemete, o erro " y " que se comete a aproimação de y por será tato meor quato meor for Fiado, podemos olhar para a fução liear que a cada R, associa R, ode f ' ( ) Tal fução deomia-se diferecial de f em, ou simplesmete, diferecial de y f () Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 6

17 Eemplos: ) Seja y Relacioe y com y Assim, a diferecial de y é dada por: Por outro lado, y ( + ) y + + ( ) y + ( ) e, portato, y ( ) + y () Observe que, quato meor for, mais próimo estará de y ) Utilizado diferecial, calcular um valor aproimado para o acréscimo y que a fução sofre quado se passa de a +, Calcule o erro A diferecial de y, em, é: Em y Como,, resulta que,, é um valor aproimado para o acréscimo y (,), O erro que se comete a aproimação valor aproimado para 6 (,), com erro igual a y é igual a, Observe que +, é um Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 7

18 3) Utilizado diferecial, calcular um valor aproimado para, Avalie o erro Cosideremos a fução y Primeiramete vamos calcular para e, Temos: Em Portato,,, 5 para, Assim, +, 5 é um valor aproimado (por ecesso) de, Como, 4 é um valor aproimado por falta ( (,4) <, ) segue que,,5 com erro, em mólo, iferior a, 4) Utilizado diferecial, calcular um valor aproimado para Avalie o erro Cosideremos a fução y Primeiramete vamos calcular para e Temos:, em > Portato,, 5 para Assim, +, 5 é um valor aproimado (por ecesso) de Como, 4 é um valor aproimado por falta ( (,4) < ) segue que, 5 com erro, em mólo, iferior a, Nota: A aproimação ão é melhor, pois o valor de é grade Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 8

19 DIFERENCIAL UM RESUMO Sabemos que a defiição de derivadas é dada por: Assim, y quado Nota: Quato mais próimo f '( ) A defiição da derivada f ( ) é: ' y lim f ( + ) lim f ( ) f '( ) e y f ( + ) f ( ) estiver de zero, melhor será a aproimação de por y f '( ) lim epressão esta que pode ser escrita a forma equivalete y Ode: ε quado y f '( ) + ε Cosequetemete, sem hipóteses adicioais além da admissão da eistêcia da derivada podemos escrever o icremeto y a forma y f '( ) + ε Ode: ε quado Visto que em geral, f '( ), o proto f '( ) é uma quatidade ifiitamete pequea, da mesma ordem que quado Por outro lado, ε é sempre uma quatidade ifiitamete pequea de ordem superior em relação a, visto que ε lim lim ε pois: ε quado Assim, o crescimeto y da fução y compõe-se de dois termos, sedo que o primeiro ( f '( ) ) é chamado de parte pricipal do crescimeto, é uma fução liear de A seguda parte é o erro que se comete essa aproimação Em geral, se a fução y f () admite derivada f ( ), o proto f '( ) é chamado diferecial ' desta fução e deota-se por ou df ), ou seja: f ( ) ( ' Material adaptado da apostila do prof Msc José Doizetti Lima 9