CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Transcrição

1 CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO CURSO: Física DISCIPLINA: Iformática para o Esio de Física CONTEUDISTA: Carlos Eduardo Aguiar AULA 2 TÍTULO: Movimeto de Projéteis META DA AULA Estudar o movimeto de projéteis com métodos uméricos programados em liguagem Logo. OBJETIVOS Esperamos que, após o estudo do coteúdo desta aula, você seja capaz de: Resolver umericamete equações de movimeto pelo método de Euler; Criar programas Logo que resolvam problemas de Mecâica, utilizado o método de Euler; Aalisar a precisão de soluções uméricas de equações de movimeto.

2 Itrodução Movimeto de Projéteis O problema básico da diâmica é determiar como se move uma partícula que está sob a ação de uma força. Para forças simples, o problema tem solução exata, e o movimeto pode ser descrito a partir de expressões matemáticas evolvedo fuções cohecidas (poliômios, seos, expoeciais ). Na maioria dos casos, etretato, ão é possível ecotrar tais soluções. Se queremos estudar quatitativamete o movimeto gerado por uma força complicada, devemos usar métodos uméricos. Estes métodos podem ser úteis mesmo quado soluções exatas existem, pois obtê-las aaliticamete costuma ser uma tarefa difícil acima das possibilidades de um aluo da escola média, por exemplo. Por outro lado, é relativamete fácil esiar métodos uméricos de solução de equações de movimeto mesmo a aluos com pouca experiêcia matemática. Com isto, eles passam a ser capazes de discutir problemas físicos iteressates, que ates pareciam ser muito complicados. Tomemos como exemplo o movimeto uidimesioal (sobre o eixo x ) de uma partícula. A força F(x,v,t) que age sobre a partícula pode depeder, a pricípio, da sua posição x e velocidade v, assim como do tempo t. A equação de movimeto é dada pela seguda lei de Newto F ( x, v, t) = ma ode m é a massa e a a aceleração da partícula. Resolver esta equação sigifica ecotrar como a posição e a velocidade depedem do tempo, ou seja, determiar as fuções x(t) e v(t). Por exemplo, o caso de uma força costate F, temos v( t) = v 0 x( t) = x 0 F + t m F + v0t + t 2m ode x 0 e v 0 são a posição e velocidade o istate t = 0. Como já mecioamos, para forças mais complicadas, a solução da equação de movimeto fica mais difícil, se ão impossível, e métodos uméricos toram-se úteis. O cálculo umérico de uma trajetória cosiste em obter a posição e velocidade da partícula em um cojuto de istates t 0, t, t 2 t N, geralmete separados por um itervalo de duração fixa h: 2 2

3 t = t + h, 0 = 0,,K Chamado x, v e a aos valores da posição, velocidade e aceleração o istate t, temos: v a x v + + O que está escrito essas equações é, basicamete, que a velocidade e aceleração o istate t são aproximadamete iguais à velocidade e aceleração médias o itervalo [t, t + ]. É claro que a aproximação só será razoável se h for pequeo, e ficará tato melhor quato meor for h. Rearrajado estas expressões, podemos escrevê-las como ode, pela seguda lei de Newto, a x v + + x h v h = x + vh = v + a h = F( x, v, t ) / O procedimeto umérico para calcular o movimeto da partícula cosiste em iterar essas equações a partir das codições iiciais. Dados x 0 e v 0 em t 0, obtemos x e v em t, e daí x 2 e v 2 em t 2, e assim por diate. Se o movimeto é em duas ou três dimesões, o método cotiua o mesmo devemos apeas escrever as equações a forma vetorial: r r r x+ = x + vh r r r v = v + a h + m com r r r r a = F( x, v, t ) / m Este é o método de Euler para resolver equações de movimeto (ou qualquer equação diferecial). Embora ele ão seja muito preciso, a sua simplicidade o tora muito atraete para fis didáticos. Mais à frete veremos como se pode melhorá-lo. Vamos usar o método de Euler para obter a trajetória de um projétil sujeito à ação da gravidade e da resistêcia do ar. Supodo que essa resistêcia, também chamada força de arrasto, seja proporcioal à velocidade do corpo em relação ao ar (o que em sempre é realista), a força total é dada por 3

4 r r r F = mg bv ode g é a aceleração da gravidade, e a costate b determia a itesidade do arrasto. O programa Logo listado a seguir mostra como se pode calcular a trajetória do projétil e traçála a tela do computador. apreda projetil :v :teta atribua "g 9.8 ;aceleração da gravidade atribua "m ;massa atribua "b.0 ;costate de arrasto atribua "h 0.0 ;itervalo de tempo atribua "s 0 ;escala (pixel / uid. compr.) atribua "x -20 ;codições iiciais atribua "y 0 atribua "vx :v * cos :teta atribua "vy :v * se :teta atribua "t 0 desapareçatat ;apaga a tartaruga ;deseha a liha do solo useada mudexy uselápis mudexy ;coloca a tartaruga a posição iicial mudexy (:x*:s) (:y*:s) ;calcula e deseha a trajetória façaequato [passo] [:y>0] fim apreda passo força ;calcula a força atribua "ax :fx/:m ;calcula a aceleração atribua "ay :fy/:m atribua "x :x + :vx*:h ;passo pelo método de Euler atribua "y :y + :vy*:h atribua "vx :vx + :ax*:h atribua "vy :vy + :ay*:h atribua "t :t + :h mudexy (:x*:s) (:y*:s) ;move a tartaruga fim apreda força atribua "fx -:b*:vx atribua "fy -:b*:vy :m*:g fim 4

5 Note que o procedimeto pricipal projetil tem, como parâmetros de etrada, a velocidade iicial e o âgulo de laçameto. Ele defie as costates ecessárias para o cálculo, determia as codições iiciais, deseha o chão e posicioa a tartaruga. O procedimeto passo usa o método de Euler para calcular a posição e velocidade a cada passo h e move a tartaruga para as ovas coordeadas. Ele é chamado repetidas vezes por projetil, equato a partícula estiver acima do solo (y > 0). Por sua vez, passo chama o procedimeto aceleracao, ode são calculadas as duas compoetes da aceleração da partícula. Executado a istrução projetil você pode ver o que ocorre com um projétil laçado com velocidade iicial v = 40 e âgulo θ = 30 o. O resultado está a Figura 2.. Figura 2.. Trajetória calculada com o programa projetil. Uma questão importate este programa (e outros) diz respeito ao sistema de uidades. É obviamete importate saber em que uidades devemos ler os úmeros que etram e saem do programa. O fato de termos usado g = 9.8 o programa ão quer dizer ecessariamete que estamos utilizado o sistema MKS; poderíamos estar estudado um plaeta ode a aceleração da gravidade é 9.8 cm/s 2, ou até mesmo ter ivetado um sistema de uidades específico para o problema. Outro aspecto relacioado à escolha de uidades é a escala do gráfico mostrado a tela do computador. Devemos defiir os fatores de escala, ou seja, quato mede (as uidades do programa) a distâcia etre dois potos a tela. No programa, isto é dado pela variável s, que determia quatos pixels (potos) adjacetes equivalem a uma uidade de comprimeto: x*s e y*s são as coordeadas do projétil em úmero de pixels ou uidades da tela. Mudaças em s correspodem a um zoom sobre a trajetória. 5

6 Precisão do cálculo Quado se usa um método umérico, é fudametal estar ateto para a precisão dos resultados. Como vimos, o método de Euler forece apeas uma aproximação para a posição e velocidade da partícula. Portato, ao calcular uma trajetória, devemos verificar se o resultado aproximado que obtemos é suficietemete bom para os ossos propósitos. A questão é como fazer este teste. O primeiro passo é otar que o erro o método de Euler surgiu quado aproximamos a velocidade e aceleração médias o itervalo de tempo h = t + t pela velocidade e aceleração istatâeas o istate iicial t. Esta aproximação só é razoável para itervalos de tempo pequeos, e melhora à medida que h dimiui. Etretato, ão é uma boa idéia adotar um valor de h demasiadamete pequeo o programa, pois isto o toraria muito leto, devido ao grade úmero de passos ecessários para calcular a trajetória. Existe um compromisso etre a precisão e o tempo de processameto. Um bom valor para o salto h é pequeo o suficiete para que os resultados teham uma precisão aceitável, e grade o bastate para que o programa rode em um tempo razoável. Uma forma simples e eficiete de ecotrar este h é fazermos o cálculo com um salto h que pareça razoável (por exemplo, meor que todos os tempos característicos do sistema) e, em seguida, refazermos tudo com um valor bem meor, h 2 = h /0 digamos. O segudo cálculo é mais preciso que o primeiro. Se, detro da precisão que os iteressa, as duas trajetórias forem idistiguíveis (os seus gráficos parecem idêticos a tela, por exemplo), a melhoria obtida com o uso de h 2 é irrelevate, ou seja, h é um bom valor para o salto de tempo. Por outro lado, se a difereça etre os dois cálculos for grade demais, isto sigifica que a utilização de h 2 melhorou apreciavelmete o resultado e, portato, h ão dá uma boa precisão. O valor h 2 é melhor; mas como saber se a precisão que ele cofere ao cálculo já é suficiete? Basta começar tudo de ovo com um salto h 3 = h 2 /0 e comparar com o resultado de h 2. Repetido este procedimeto, acabaremos por ecotrar um valor satisfatório para h. A Figura 2.2 mostra um exemplo: vemos que, usado h = 0.0, é possível obter com boa precisão a trajetória pretedida com projetil Figura 2.2. Cálculo da trajetória para diferetes valores de h. 6

7 Note que este valor de h ão é uiversal ele pode ão levar a bos resultados em outras situações. Por exemplo, mostre que ele ão dá uma boa precisão quado a costate de arrasto for b = 0 e a velocidade iicial for v 0 = 4 (use um fator de escala s = 000 para ver as trajetórias). Determie um bom valor para h este caso. Iformações sobre a próxima aula Na próxima aula, vamos aplicar o programa que desevolvemos a problemas de movimeto de projéteis. 7