EES-49/2012 Resolução da Prova 1

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1 EES-49/ Resolução da Prova Obs: esta resolução tem explicações e passos itermediários para facilitar o etedimeto. Parte dessas explicações e os passos itermediários ão são cobrados a correção da prova. Dado o seguite modelo relacioado a velocidade do veto (V) e o âgulo do profudor (δ e ), de um aeromodelo em um túel de veto, com a diâmica de seu âgulo de arfagem (θ), válido para < θ < π/4: Vt () ( t) (75cos ( t) ( t)) e( t) 5 a) Liearize o modelo do sistema para pequeas variações em toro do poto de operação V = m/s e δ e =,6 rad. Liearizado o modelo (derivadas parciais vezes o Δ correspodete): V V ( t) (75cos ) V ( t) ( 75 se ( t) ( t)) e( t) Obtedo : cos cos, Substituido os valores do poto de operação: ( t) (6) V ( t) ( 45 ( t) ( t)) e( t) 5 5 Modelo liearizado fial: ( t),4 V ( t) 9 ( t),4 ( t) ( t) b) Obteha a fução de trasferêcia da variação do âgulo do profudor para a variação do âgulo de arfagem para pequeas variações do âgulo do profudor em toro do poto de operação, ou seja, cosidere u = Δδ e e y = Δθ e obteha G(s) = Y(s)/U(s), com a velocidade do veto matida costate. Substituido u = Δδ e e y = Δθ; e cosiderado ΔV = (queremos apeas relação etre u e y): y( t) 9 y( t),4 y( t) u( t) e Aplicado Laplace: s Y s Y s sy s U s ( ) 9 ( ),4 ( ) ( ) Y( s) Portato: U( s) s,4s 9

2 c) Calcule a ultrapassagem percetual e o tempo de acomodação para % em toro do valor fial da resposta ao degrau referete ao sistema liearizado Como,4,4 Usado as fórmulas: UP e e T s % 4,6 4,6 : Ultrapassagem percetual = 5,38% 5% e tempo de acomodação = 3,83 segudos. d) Qual seria a ultrapassagem percetual da variação do âgulo de arfagem para uma pequea variação em degrau da velocidade do veto se o âgulo do profudor fosse matido costate? O deomiador da fução de trasferêcia seria o mesmo, etão os polos também seriam os mesmos e a ultrapassagem percetual também seria a mesma: 5%. e) Usado o modelo liearizado, determie qual seria a variação em regime permaete do âgulo de arfagem caso o âgulo do profudor fosse matido costate em δ e =,6 rad e a velocidade do veto fosse alterada para, m/s. Em regime permaete as derivadas se aulam e temos Δδ e = e ΔV =,. Substituido o modelo liearizado:,4., 9 ( t) ( t),67 Alterativamete poderíamos chegar ao mesmo resultado usado a fução de trasferêcia da variação da velocidade do veto para a variação do âgulo de,,4,4 arfagem: lim ( t) lim s t s s s,4 s 9 9 Obs: variação, ão erro! (O erro seria,-,67, mas ão foi isso que foi pedido o euciado). Utilizado a Tabela de Routh e o método de Routh-Hurwitz, determie quatas raízes o poliômio a seguir possui o semiplao esquerdo, o semiplao direito e sobre o eixo imagiário. Tabela de Routh: s s s s s s sial liha + s s 5 s 5 *, s 4 s 4 */

3 - s 3 ova s 3 ova s 3 *,5 + s -4 -,5 s * s 5/3 + s 8 Poliômio Auxiliar da liha s 4 : -s 4 +3s +4. Derivado: -4s 3 +6s Liha de zeros a liha s 3 -> 4 raízes simétricas. Uma mudaça de sial ates da liha de zeros -> raiz (ão simétrica) o spd. Uma mudaça de sial depois da liha de zeros -> raiz simétrica o spd -> raiz simétrica o spe -> raízes simétricas restates sobre o eixo imagiário. A raiz restate (ão simétrica) está o spe. Coclusão: raízes o spe, raízes o spd e raízes sobre o eixo imagiário. 3 Usado o critério de Routh-Hurwitz determie o valor de α ecessário para que o sistema a seguir seja BIBO estável para < k <,5. Aplicado Laplace: y( t) ( 5) y( t) (5 5 ) y( t) (5 k) y( t) ku( t) 3 s Y s s Y s sy s k Y s ku s ( ) ( 5) ( ) (5 5 ) ( ) (5 ) ( ) ( ) Escrevedo a fução de trasferêcia: Costruido a Tabela de Routh: Y ( s) k 3 U( s) s ( 5) s (5 5) s k 5 s 3 5α-5 s α + 5 k-5α s [(α + 5)*(5α-5)-( k-5α)]/( α + 5) s k-5α Para que o sistema seja BIBO estável precisamos ter: (i) α + 5 > ; (ii): [(α + 5)*(5α-5)-( k-5α)]/( α + 5) > e (iii): k-5α >. De (i) α > -5 e podemos simplicar (ii) para : [(α + 5)*(5α-5)-( k-5α)] >, já que o deomiar é (α + 5) >.

4 De (iii): k-α > ou α < k. Para que isso acoteça para qualquer k o itervalo < k <,5 precisamos ter α. Expadido (ii): α +5α-5- k > ou α +5α-5 > k. Para que isso acoteça para qualquer k o itervalo < k <,5 precisamos ter α +5α - 5 ou (α - ) (α+5), o que acotece para α e para α -5. Jutado todas as restrições: de (i) α > -5; de (iii) α ; e de (ii) α ou α -5, cocluímos que α = faz com que o sistema seja BIBO estável para < k <,5. 4 Dado o sistema a seguir, qual devem ser os valores de k e k para que o sistema teha erro em regime permaete de,5 para uma etrada em rampa uitária? Uma possível abordagem para solucioar o problema é obter a fução de trasferêcia em malha fechada geral, obter Y(s) para uma etrada em rampa uitária R(s)=/s e em seguida calcular o limite de s(r(s)-y(s)) quado s. Igualado esse limite a,5 podemos obter os valores de k e k. Uma abordagem mais eficiete, porém, é obter a fução de trasferêcia da malha itera e fazer com que essa fução de trasferêcia seja do tipo. Assim, com a realimetação uitária egativa da malha extera teremos um erro em regime permaete ulo para uma etrada em degrau e um erro em regime permaete fiito para uma etrada em rampa. A fução de trasferêcia da malha itera é: k Gs () s k( s ) k( s ) 5 k ( s )( s ) 5k s 99s 5k s s E para que ela seja do tipo basta fazer k = e temos: ( s ) Gs () s 99s O erro em regime permaete para um etrada em rampa será etão:

5 99 lim et ( ) lim t s sk G( s) k E, portato, precisamos ter: 99/k =,5. Que implica em k = 9,9. 5 O sistema a seguir tem uma resposta ao degrau com ultrapassagem percetual de 6,3% quado k =. A fução de trasferêcia em malha fechada do sistema é: T(s) = k/s +as+6+k. Uma ultrapassagem percetual de 6,3% correspode a um ξ =,5 e com k = temos: T(s) = /s +as+6. Portato ω = 4 e a = ξω = *,5*4 = 4. Ou seja, a fução de trasferêcia é: T(s) = k/s +4s+6+k a) Qual será o istate de pico da resposta ao degrau quado k = 3? Para k = 3, T(s) = 3/s +4s+36. Portato ω = 6 e σ =, o que os leva a ω d 5,66. Substituido a fórmula do istate de pico, obtemos t p,55 segudo. b) Qual será valor em regime permaete da resposta ao degrau uitário quado k = 54? Para k = 54, T(s) = 54/s +4s+6. E o valor em regime permaete da resposta ao degrau será 54/6 =,9. Obs: valor em regime da resposta e ão erro em regime permaete. O erro será de,.