Introdução à Estatística. Computacional. UFMG-ICEx-EST /02/ :43. Cap. 0 - Introdução à Estatística. Computacional 1

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1 0 ESQUEMA DO CAPÍTULO Itrodução à Estatística 0.1 VISÃO GERAL DOS MÉTODOS COMPUTACIONALMENTE INTENSIVOS EM ESTATÍSTICA 1 mete Itesivos Defiição: Do Hadbook of Computatioal Statistics: Cocepts ad Methods, (Getle et al., 2012) : Computação estatística refere-se aos métodos computacioais que são auxiliares aos métodos estatísticos, tais como aálise umérica, baco de dados, computação gráfica, egeharia de software e iterface homem/máquia; Estatística computacioal tem sigificado mais amplo, por icluir ão só os métodos de computação estatística, como também métodos estatísticos que são computacioalmete itesivos. 2 mete Itesivos Dois exemplos: As ferrametas da estatística computacioal podem ser úteis em situações de iteresse prático em que: os pressupostos para aplicação dos métodos clássicos ão se aplicam ou tais pressupostos são de difícil verificação. Exemplos (a serem detalhados a disciplia): 1 - testes de permutação; 2 - bootstrap. 3 1

2 mete Itesivos Exemplo 1: Teste de hipóteses para difereças de médias via testes de permutação (Maly, 2007); 4 mete Itesivos Teste de hipótese para difereça de médias: As situações reais difereciam a aplicação da teoria: variâcias cohecidas vs. variâcias descohecidas; grades amostras vs. pequeas amostras; dados pareados vs. dados ão pareados; As abordages são específicas para cada situação (Triola, 2005). 5 mete Itesivos Teste de hipótese para difereça de médias com variâcia cohecida: Hipótese ula: H 0 : μ 1 -μ 2 = δ 0 Fazedo δ 0 = 0, estaremos testado a igualdade das duas médias m 1 e m 2. A estatística de teste para este caso terá uma distribuição ormal padrão, N(0,1). Podemos aida afirmar que ecotrar uma difereça cosiderável etre os valores das médias m 1 e m 2 é uma evidêcia de que a hipótese alterativa, H 1, é verdadeira. 6 2

3 mete Itesivos Teste de hipótese para difereça de médias com variâcia cohecida: Estatística de teste: X1 X2 0 Z Hipóteses alterativas Critério de rejeição H 1 : m 1 -m 2 δ 0 z 0 > z a/2 ou z 0 < -z a/2 H 1 : m 1 -m 2 > δ 0 z 0 > z a H 1 : m 1 -m 2 < δ 0 z 0 < -z a 7 mete Itesivos Teste de hipótese para difereça de médias com via testes de permutação (Maly, 2007): cosiste em simples permutações dos dados origiais; comparamos etão o valor da estatística observada os dados origiais, com as estatísticas obtidas destas amostras permutadas; se estas saídas produzem estatísticas com valores semelhates à estatística observada, esta terá sido um mero acaso e os dados são proveietes da mesma população. 8 mete Itesivos Algoritmo do teste de permutação algoritmo leia amostra 1 e amostra 2 crie amostra 3, justapodo amostras (simulação da hipótese ula) repetir permute amostra 3 e redistribua etre amostra 4 e amostra 5 calcule a difereça etre as médias da amostra 4 e amostra 5 acumule a difereça atualize o valor-p por comparação com a difereça observada até úmero de replicações ser alcaçado escreva resultados fim algoritmo 9 3

4 mete Itesivos Resultados experimetais para dados reais: Serão utilizados dados reais apresetados em Satos (1998); Através de 18 amostras retiradas de camadas superficiais dos solos de dois locais diferetes (Cetral Soil Saliity Research Istitute), foram coletados dados sobre seus devidos valores de ph; O processo utilizado foi a retirada de 9 amostras de cada uma das duas regiões pesquisadas; O objetivo é tetar provar se realmete as amostras podem ser classificadas em dois grupos distitos ou ão. 10 mete Itesivos Resultados experimetais para dados reais (cot.): Localidade A: 8,53 8,52 8,01 7,99 7,93 7,89 7,85 7,82 7,80 Localidade B: 7,85 7,73 7,58 7,40 7,35 7,30 7,27 7,27 7,23 11 mete Itesivos Chamada ao programa (em R) e saída do teste de permutação: local1<-c(8.53,8.52,8.01,7.99,7.93,7.89,7.85,7.82,7.80) local2<-c(7.85,7.73,7.58,7.40,7.35,7.30,7.27,7.27,7.23) replicas < set.seed(13579) THpermuta(local1,local2,replicas) Difereca observada= Valor-p=

5 Frequecia mete Itesivos Histograma sob H 0, gerado pelo programa, e a evidêcia da sua rejeição: Histograma sob H 0 e difereca observada Difereca etre medias (amostra1-amostra2) 13 mete Itesivos Exemplo 2: Itervalos de cofiaça (ICs) via bootstrap; 14 mete Itesivos Método clássico para costrução de ICs: ICs para a média amostral: Precisamos ecotrar C L e C U tal que: PC L g( X1, X 2..., X ; ) CU 1 - a Ecotramos etão: L X, X..., X ) X Z / ( 1 2 a / 2 U X, X..., X ) X Z / ( 1 2 a /

6 mete Itesivos Método bootstrap para costrução de ICs: 16 mete Itesivos Método bootstrap para costrução de ICs (cot.): As seguite estimativas são obtidas: * * * ˆ m1, ˆ m2,, ˆ mb Elas são colocadas em ordem: * * * ˆ m( 1) ˆ m(2) ˆ m( B) O IC de (1-a)100% é dado por: * * ˆ m( q ), ˆ m( ) 1 q2 a em que q parteiteira B e q B q mete Itesivos Método bootstrap para costrução de ICs (cot.): Resultados experimetais 18 6

7 mete Itesivos Resultados experimetais com dados reais: Medidas de porcetagem de ão eriquecimeto de 12 bastões (Motgomery & Ruger, 2018): 97,06; 97,25; 97,25; 97,19; 97,10; 97,10; 97,18; 97,05; 97,00; 97,05; 97,00; 96,95. Observação: Caso de pequeas amostras e distribuição provavelmete ão-ormal. 19 mete Itesivos Resultados experimetais com dados reais (cot.): 20 mete Itesivos Bibliografia: Getle, J. E., Härdle, W. K. & Mori, Y. (Eds.) (2012). Hadbook of Computatioal Statistics: Cocepts ad Methods. Spriger-Verlag Berli Heidelberg. Maly, B. F. J. (2007). Radomizatio, Bootstrap ad Mote Carlo Methods i Biology. 3ª ed., Chapma & Hall/CR Press, Boca Rato. Motgomery, D. C. & Ruger, G. C. (2018). Estatística Aplicada e Probabilidade para Egeheiros. 6ª ed., LTC Livros Técicos e Cietíficos Editora S.A., Rio de Jaeiro, RJ. Satos, M. A. C. (1998). Noções de Estatística. RTE- 03/1998, EST-ICEx-UFMG, Belo Horizote, MG. Triola, M. F. (2005). Itrodução à Estatística. 9ª ed., LTC Livros Técicos e Cietíficos Editora S.A., Rio de Jaeiro, RJ. 21 7