TÓPICOS. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.

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1 Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar pelo aluo resolvedo os problemas apresetados a bibliografia, sem cosulta prévia das soluções propostas, aálise comparativa etre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição juto do docete de todas as dúvidas associadas. Método de codesação. Matriz ortogoal. Propriedades da álgebra matricial. 6. Matriz iversa. 6.. Matriz iversa. odo o úmero real ão ulo, a, possui iverso, isto é, existe um real b tal que ab ba. O iverso é úico, usado-se a otação b a. Nem todas as matrizes,, quadradas ão ulas, possuem iversa, ou seja, em sempre existe uma matriz tal que I. Uma matriz quadrada diz-se ivertível (ou regular, ou ão sigular, se existir uma matriz tal que I, em que I é a matriz idetidade de ordem. Se é ivertível, a sua iversa é úica e deota-se por. é ivertível sse car(. Uma matriz que ão tem iversa diz-se uma matriz sigular (ou ão regular, ou ão ivertível. Exemplos. Seja a matriz iversa de é, como podemos verificar: I + Prof. Isabel Matos & José maral G

2 M R I Z I N V E R S G E R I N E R 6.. Método de codesação. Se é uma matriz quadrada de ordem ivertível, car(, pelo que, efectuado operações elemetares sobre lihas, é possível trasformar a matriz [ I] a matriz [ I ]. edo em cota a resolução de sistemas de equações lieares, facilmete se coclui que. Este método de determiação da iversa de uma matriz é desigado por método de codesação. Exemplo. Seja a matriz: 4 Recorredo ao método de codesação, podemos calcular a iversa de ogo 0 0 I I Cálculo da iversa, iv(, >> [ 5; ]: Prof. Isabel Matos & José maral G

3 M R I Z I N V E R S G E R I N E R >> iv( as -5 - >> [ -; 4; -] ; >> iv( as Podemos ver o resultado a forma racioal com o comado format rat >> format rat >> iv( as 9 -/ / Para restabelecer o formato decimal usamos o comado format short Poderíamos calcular a iversa pelo método de codesação (embora ão seja ecessário dada a existêcia da fução iv >> D[ eye(] D >> Drref(D D >> DD(:,4:6 D Prof. Isabel Matos & José maral G

4 M R I Z I N V E R S G E R I N E R 6.. Matriz ortogoal. Uma matriz quadrada trasposta ou seja Exemplos. Seja a matriz: trasposta de C é Dado que diz-se ortogoal sse a sua iversa for igual à sua I C C CC 0 0 I, a matriz C é uma matriz ortogoal C C >> C[/ sqrt(/; sqrt(/ -/] C >> C*C.' as Prof. Isabel Matos & José maral G

5 M R I Z I N V E R S G E R I N E R 6.4. Propriedades da álgebra matricial dição Sempre que as expressões estejam defiidas, são demostráveis as seguites propriedades: + + (comutativa + ( + C ( + + C (associativa + 0 (elemeto eutro + ( 0 (elemeto simétrico Multiplicação por escalar α ( β ( αβ ( α + β α + β α ( + α + α Multiplicação ( C ( C (associativa I I m (elemeto eutro ( + C + C ( + C + C (distributiva α ( ( α ( α (elemeto absorvete rasposição Iversa ( ( + + ( α α ( k ( ( ( ( k ( α α, ( α 0 ( ( 0 / ( 0 0 (só se ou for ivertível C / C (só se for ivertível Prof. Isabel Matos & José maral G

6 M R I Z I N V E R S G E R I N E R Exercícios. 6.. Dada a matriz Determie a matriz iversa. 0 0 emos, pelo que I >> [0 ; - ; 0 -]; >> format rat >> iv( as 4/7 /7 5/7 5/7-6/7 /7 6/7 /7 -/ Prof. Isabel Matos & José maral G

7 M R I Z I N V E R S G E R I N E R 6.. Cosidere o sistema de equações lieares a forma matricial, x b, 0 0 x 0 Calcule a iversa da matriz simples do sistema, solução do sistema., e, com base esta, determie a Recorredo ao método de codesação temos, pelo que 0 0 I Cohecida a iversa da matriz simples do sistema, temos x b x b Ix b x b Prof. Isabel Matos & José maral G

8 M R I Z I N V E R S G E R I N E R >> [ ; - ;- 0]; >> b[0 0 ]'; >> format rat >> iv( as / -/ - / -/ 0 0 >> xiv(*b x Sedo, e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguites são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações idicadas estão defiidas.. (. C + C C( ( C C 5. + ( Verdadeira X X Falsa X X X X (. Pode demostrar-se, isso sim, que (. Não esquecer que o produto de matrizes ão é comutativo. Podedo verificar-se em particular que C + C C( +, caso as matrizes C e ( + sejam permutáveis, em geral, isto é, para quaisquer matrizes quadradas, e C, temos C + C ( + C C( apeas os casos em que ou for ivertível. emos esses casos que 0 0 I I eha-se em ateção que + ( + I ( +. +, a soma de uma matriz com um escalar, é uma operação ão defiida. Prof. Isabel Matos & José maral G

9 M R I Z I N V E R S G E R I N E R 6.4. Sedo, e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguites são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações idicadas estão defiidas. ( + C + C + + I ( + ( + ( C C Verdadeira X X Falsa X X X X 6.5. dmitido que e são matrizes de ordem, é regular, e e são permutáveis, mostre que e também são matrizes permutáveis. emos ( ( ( ( I ( I ( ( ( 6.6. dmitido que e são matrizes ortogoais de ordem, mostre que emos ( I + 0 Sedo uma matriz ortogoal, ( ( ( I + 0 I + 0 I + 0, pelo que ( ( I + 0 I + 0 ( I + I 0 Sedo uma matriz ortogoal, I, pelo que ( I + I 0 ( I + I 0 ( 0 0 Prof. Isabel Matos & José maral G