AULA Os 4 espaços fundamentais Complemento ortogonal.

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1 Note bem: a letura destes apotametos ão dspesa de modo algum a letura ateta da bblografa prcpal da cadera Chama-se a ateção para a mportâca do trabalho pessoal a realzar pelo aluo resoledo os problemas apresetados a bblografa, sem cosulta préa das soluções propostas, aálse comparata etre as suas resposta e a respostas propostas, e posteror eposção juto do docete de todas as dúdas assocadas. AULA ÓPICOS Complemeto ortogoal. Espaços fudametas de uma matrz. Espaços fudametas de uma matrz, característca e uldade. Ortogoalzação de Gram-Schmdt.. Os 4 espaços fudametas... Complemeto ortogoal. Seja W um subespaço de R. Dzemos que um ector u R é ortogoal ao subespaço W se for ortogoal a todos os ectores de W. O cojuto de todos os ectores ortogoas a W é desgado por complemeto ortogoal do subespaço W, e escreemos em-se:. W W é um subespaço de. W W {}.. dm( W) + dm( W ). 4. ( W ) W. { u R : u, W } W R. Eemplos Fgura.. Os ectores u [ ], [ ] u do eemplo. geram um subespaço W de R correspodete a um plao que passa a orgem. O ector u [ ], ortogoal a u e a u está cotdo o complemeto ortogoal do subespaço W, uma recta r que passa a orgem e é perpedcular ao plao que cotém u e u, r W. odos os ectores com a drecção de r (os múltplos escalares de u ) são ortogoas a todos os ectores cotdos o plao. Do mesmo modo, todos os ectores cotdos o plao são ortogoas ao cojuto dos ectores cotdos a recta, costtudo o seu complemeto ortogoal W r. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

2 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S. Os ectores u [ 5 5], [ ] u [ 4 5] geram um subespaço U de 5 u, e R e, sedo learmete depedetes, costtuem uma base desse subespaço, logo, dm( U ). O ectores w [ ] e [ 4 ] w geram um 5 subespaço W de R e, sedo learmete depedetes, costtuem uma base desse subespaço, pelo que dm( W ). Os ectores u, u e u (assm como qualquer ector de U, que pode ser escrto como uma combação lear destes ectores) são ortogoas aos ectores w e w. Podemos erfcar a relação de ortogoaldade calculado o produto tero etre eles U W [ u u u] [ w w ] u U W u w w u [ ] u w u w u w u w u w u w u w u w u w u w u w uw >> u[ - 5 5]'; >> u[- - ]'; >> u[ - 4-5]'; >> w[- - ]'; >> w[ ]'; >> U[u u u]; >> W[w w]; >> U'*W as Do mesmo modo, os ectores w e w (assm como qualquer ector de W, que pode ser escrto como uma combação lear destes ectores) são ortogoas aos ectores u, u e u. O subespaço W é o complemeto ortogoal do subespaço U, W U, tal como o subespaço U é o complemeto ortogoal do subespaço W, U W, sedo dm( U) + dm( W ) 5. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

3 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S.. Espaços fudametas de uma matrz. Uma matrz A, m, tem 4 espaços fudametas:. Desga-se por espaço colua de A, ou magem de A, col(a ) ou Im(A ), o subespaço de R m gerado pelas coluas de A, sto é, o cojuto de todas as combações leares das coluas de A.. Desga-se por espaço lha de A, l(a ), o subespaço de R gerado pelas lhas de A, ou seja, o cojuto de todas as combações leares das lhas de A, sedo l( A ) col( A ) e col( A ) l( A ).. Desga-se por espaço ulo (à dreta), ou úcleo, de A, Ker(A ), o subespaço de R gerado por todos os ectores tas que A, sto é, correspodete às soluções do sstema homogéeo A. m 4. Desga-se por espaço ulo à esquerda, Ker( A ), o subespaço de R gerado por todos os ectores tas que A, ou seja, correspodete às soluções do sstema homogéeo A ( A, ou seja, o úcleo da matrz trasposta). Podemos determar uma base do espaço lha de uma matrz A reduzdo a matrz à forma escaloada. As operações elemetares sobre as lhas de uma matrz ão alteram a depedêca/depedêca lear das suas lhas, ou seja, duas matrzes equaletes por lhas têm o mesmo espaço lha. Eemplo. Seja A a matrz Escaloado a matrz >> A[ ; ;- ]; >> ELrref(A) EL A, temos A ~ Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S, correspodetes à a e a lha da forma escaloada, formam uma base do espaço lha de A que tem, por sso, dmesão, dm(l( A )). Os ectores u [ ] e u [ ] Podemos agora caracterzar o espaço lha da matrz A ~ { } L L( u, u ) (,, ) R : + As operações elemetares sobre as lhas de uma matrz alteram o espaço colua, ou seja, duas matrzes equaletes por lhas ão têm o mesmo espaço colua. No etato, dado que col( A ) l( A ), podemos determar o espaço colua de uma matrz determado o espaço lha da sua matrz trasposta Eemplos 4. Seja A a matrz do eemplo ateror. Escaloado a sua matrz trasposta >> ECrref(A') EC -, temos A ~ Os ectores u [ ] e u [ ] A forma escaloada de dm(col( A )). 4, correspodetes à a e a lha da, formam uma base do espaço colua de A, dode, Podemos agora caracterzar o espaço colua da matrz A ~ + { } C L( u, u ) (,, ) R : + 4 Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

5 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S 5. Determamos o úcleo de uma matrz procurado as soluções do sstema homogéeo A. Seja A a matrz do eemplo ateror. Escaloado a matrz completa A >> Ndrref([A [ ]']) Nd resulta + e +, ou seja u, pelo que, uma base para o úcleo da matrz é formada pelo ector [ ] u, sedo dm(ker( A )) 5 { R } K L( u ) (,, ) : 5 6. Determamos o úcleo à esquerda de uma matrz procurado as soluções do sstema homogéeo A. Para a matrz A do eemplo ateror, escaloado a matrz completa correspodete à trasposta A, temos >> Nerref([A' [ ]']) Ne - resulta e +, ou seja u, pelo que uma base para o úcleo à esquerda da matrz é costtuída pelo ector [ ] u, sedo dm(ker( A )) 6 { R } K e L( u ) (,, ) : 6 Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

6 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S.. Espaços fudametas de uma matrz, característca e uldade. O espaço das lhas de uma matrz A é o complemeto ortogoal do úcleo de A : Ker( A) (l( A)) (col( A )) O espaço das coluas de uma matrz A é o complemeto ortogoal do úcleo de A : Os espaços lha e colua da matrz A, Ker( A ) (col( A)) (l( A )) m, possuem a mesma dmesão. A característca da matrz A, car(a ), é gual à dmesão do seu espaço colua (ou do espaço lha), ou seja, é gual ao úmero mámo de coluas (ou lhas) da matrz learmete depedetes. Desga-se por uldade da matrz A, ul(a ), a dmesão do seu úcleo (gual ao úmeros de aráes lres do sstema A ). em-se car( A ) + ul( A) car( A ) + ul( A ) car( A ) car( A ) m Eemplo 7. Seja A a matrz Fgura. A Como mos o eemplo 5, os espaços lha e colua da matrz A possuem a mesma dmesão dm(l( A )) dm(col( A)) Vmos ada que o úcleo da matrz tem dmesão sedo, portato, dm(col( A)) + dm(ker( A)) car( A) + ul( A) + Os ectores u [ ] e [ ] uma base do espaço lha, e o ector [ ] u formam u 5 é uma base do úcleo de A. Podemos erfcar que o espaço lha da matrz correspode ao complemeto ortogoal, em R, do úcleo da matrz (e ce-ersa) Ker( A) (l( A )) >> u[ ]'; >> u[ ]'; Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

7 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S >> u5[- - ]'; >> [u u]'*u5 as Os ectores u [ ] e 4 [ ] uma base do espaço colua, e o ector [ ] u formam u 6 é uma base do úcleo à esquerda de A. Podemos erfcar que o espaço colua da matrz correspode ao complemeto ortogoal, em R, do úcleo à esquerda de A, ou seja do úcleo de A (e ce-ersa) Ker( A ) (col( A )) Fgura. >> u[ -]'; >> u4[ ]'; >> u6[ - ]'; >> [u u4]'*u6 as Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

8 O S 4 E S P A Ç O S F U N D A M E N A I S.4. Ortogoalzação de Gram-Schmdt. A ortogoalzação de Gram-Schmdt é um método que, a partr de uma qualquer base de um subespaço W de R, permte obter uma base ortoormada para esse subespaço. Seja { u, u,, } U uma base de um subespaço W de u k. u W L( u). u u W L( u, u) u u. u L( u, u, u ) W R e façamos: Eemplo k W L,,,,, k k. uk k uk ( u, u,, u ) Em cada teração, { } é uma base ortogoal de {, } ectores, q, obtemos uma base ortoormada, Q { q, q, } k W, sedo uma base ortogoal de W. Falmete, ormalzado cada um dos subespaço W. 8. Cosderemos os ectores learmete depedetes [ ] u [ ] que formam uma base de um subespaço W de q k, do u e R. Determemos uma base ortoormada para W segudo o método de Gram-Schmdt:. u [ ]. perp u u u u [ ] [ ] proj u Fgura.4. q e q Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A