Modelos de regressão linear: abordagem clássica

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1 Modelos de regressão lear: abordagem clássca Prof. Marcelo Rubes Depto. Estatístca

2 Aálse de Regressão Objetvo: Determar uma fução matemátca que descreva a relação etre uma varável cotíua (varável eplcada ou depedete) e uma ou mas varáves eplcatvas ou depedetes. f(,,..., K ) + ε deota a varável depedete.,,..., K deotam as varáves depedetes. f(,,..., K ) descreve a varação sstemátca (determístca) ε represeta a varação ão sstemátca (erro aleatóro) Modelos de regressão (fução f) podem ser leares ou ão leares.

3 Eemplo O gerete de vedas de uma empresa varejsta está teressado em obter uma equação que stetze a relação estete etre o vestmeto em propagada e o volume de vedas da empresa com o objetvo de realzar projeções do volume de vedas. Amostra de tamao obtda o departameto de vedas (mlões de R$) Volume de vedas (Y) Dagrama de dspersão represetação gráfca que permte vsualzar a relação/assocação etre duas varáves Um cremeto o vestmeto em propagada produz um aumeto as vedas A relação etre as varáves ão é precsa (estocástca) Ivestmeto em propagada (X)

4 Eemplo A boa aderêca da uvem de potos ao redor de um reta magára dca que a relação etre as duas varáves pode ser apromada por uma relação lear. 6 Volume de vedas (Y) Ivestmeto em propagada (X) A essêca da relação etre o vestmeto em propagada e o volume de vedas pode ser epressa por uma reta. A detfcação desta reta pode ser efetuada por meo de um modelo de regressão lear smples.

5 Eemplo 6 Volume de vedas (Y) Ivestmeto em propagada (X) Para um vestmeto de R$ 5 mlões em propagada espera-se um volume de vedas da ordem de R$ 37 mlões (valor ajustado)

6 Eemplo Neste caso o ível de vedas () é eplcado pelo vestmeto em propagada (), etão, f(): ível de vedas varável depedete vestmeto em propagada varável depedete A relação estocástca etre as duas varáves pode ser modelada da segute forma: + + ε Ode: e são coefcetes descoecdos da reta que relacoa as varáves e (estmados a partr dos dados da amostra). ε é um termo aleatóro (erro) que represeta a mprecsão a relação etre e.

7 Modelos de regressão lear Modelo de regressão lear smples: uma varável depedete eplcada por uma varável depedete. + + ε Modelo de regressão lear múltpla: Uma varável depedete eplcada por pelo meos duas varáves depedetes. +, K K, + ε (K ) Objetvo: Idetfcar uma fução f() que permta eplcar uma varável depedete () em fução das varáves eplcatvas (), ou seja, como vara de acordo com mudaças em.

8 Sgfcado do erro ε O erro ε represeta: Todos os outros fatores que afetam a varável depedete Y, mas que ão estão cotempladas as varáves eplcatvas X. Erros de medção. Forma fucoal adequada, por eemplo, + ou + +? Ierete varabldade o comportameto dos agetes ecoômcos.

9 Modelo de Regressão Lear Smples Equação de regressão populacoal: + + ε (apeas uma varável depedete) Os coefcetes e ão são coecdos e devem ser estmados a partr de uma amostra aleatóra de tamao da população: Amostra aleatóra (, ),, Em cada udade amostrada tem-se que + + ε Compoete determístca, Varável aleatóra ão-observável

10 Modelo de Regressão Lear Smples Hpóteses assumdas pelo modelo H) A relação etre as varáves é lear + + ε,: H) Méda ula: E(ε ) para todo, H3) Varâca costate: V(ε ) σ para todo, H4) Erros ão correlacoados: Cov(ε,ε k ) para todo k H5) Dstrbução Normal: ε ~ N(,σ ) para todo, ε são depedetes e detcamete dstrbuídos N(,σ ) H6) A varável eplcatva X é fa,.e., ão é estocástca

11 Modelo de Regressão Lear Smples + + ε ( ) E ( + + ) E ε ( ) + + E ( ) E ε Como o valor esperado do erro é zero E(ε), o valor esperado de codcoado ao valor de é gual a: ( ) + E Por pótese a varável depedete ão é aleatóra, assm tem-se: V ( ) σ Como o erro tem dstrbução Normal com méda e varâca σ ( + ) ~ N σ,

12 Modelo de Regressão Lear Smples Reta de regressão ( ) + E

13 Modelo de Regressão Lear Smples

14 Estmador de mímos quadrados Modelo de Regressão Lear Smples + + ε ε - - ( ) [ ] + ε f ( ) [ ] + f M, Soma dos quadrados dos erros As estmatvas de e devem mmzar a soma sos quadrados dos desvos No poto de mímo as dervadas parcas são ulas Sstema de equações ormas A solução deste sstema forece os estmadores de e ( ) + ε f ( ) + ε f

15 Estmador de mímos quadrados Modelo de Regressão Lear Smples Solução do sstema de equações ormas ( )( ) ( ) Sstema de equações ormas Estmadores de mímos quadrados + +

16 Modelo de Regressão Lear Smples Estmador de mímos quadrados ( ) Equação de regressão estmada E + Valor estmado da varável depedete dado que é gual a + Resíduo da -ésma observação é gual a dfereça etre o valor observado e o valor estmado da varável ( ε ε + )

17 ( ) σ σ σ σ Se as póteses H até H6 forem satsfetas, os estmadores de mímos quadrados são estmadores leares ão tedecosos de varâca míma (Teorema de Gauss Markov) ( ) E ( ) E ( ), ~ σ N ( ), ~ σ N ( ) ε σ Modelo de regressão lear smples Estmador da varâca do erro

18 Modelo de regressão lear smples Decomposção do erro: (valor observado) * - ^ - ^ (valor estmado) ^ - ^ b + b

19 Modelo de regressão lear smples Decomposção da soma de quadrados total ( ) ( ) + ( ) SQT SQE + SQR SQT Soma dos Quadrados Total SQE Soma dos Quadrados dos Erros SQR Soma dos Quadrados da Regressão

20 Modelo de regressão lear smples Coefcete de determação R SQR SQT ( ŷ ) ( ) SQE SQT R Se R estver prómo de, a varável eplca a maor parte das varações de. Neste caso, a varável é uma boa predtora da varável. Se R estver prómo de, a varável eplca muto pouco das varaçães de. Neste caso, a varável ão é uma boa predtora da varável.

21 Modelo de regressão lear smples Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Aálse da varâca (ANOVA) F SQR SQE ( ) Causas de Varação Graus de Lberdade Soma dos Quadrados Quadrados Médos Regressão SQR ( ) Erros - SQE ( ) Total - SQT ( ) QMRSQR/ QMESQE/(-) R SQR SQT σ Estmador da varâca do erro

22 Modelo de regressão lear smples Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Teste F Testa o efeto cojuto das varáves eplcatvas sobre a varável depedete, No caso do modelo lear smples testa o efeto de X sobre Y H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H F SQR SQE ~ F, F > F tabelado rejeta H F < F tabelado aceta H

23 H : H : t ~ t σ Modelo de regressão lear smples Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Teste t Testa a sgfcâca do coefcete de regressão lear assocado com uma determada varável eplcatva. Testa o efeto dvdual de X e do termo costate Sob H t > t tabelado rejeta H t < t tabelado aceta H

24 t t α α σ σ + Modelo de regressão lear smples Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Itervalo de cofaça (-α)%

25 Prevsor ( ) E + Erro de prevsão ( ) ( ) ( ) ( ) E E e + ( ) ( ) ( ) + e V σ Itervalo de prevsão ( ) ( ) ( ) ( ) + c c V e t E V e t E, Modelo de regressão lear smples Prevsão do valor esperado

26 Dado T+ prever T+ Prevsor + Erro de prevsão ( ) ( ) e ε + + ( ) ( ) ( ) + + e V σ Itervalo de prevsão ( ) ( ) + c c V e t V e t, Modelo de regressão lear smples Prevsão de uma observação

27 Eemplo modelo de regressão lear smples O gerete de uma empresa varejsta está teressado em obter uma equação que stetze a relação etre o vestmeto em propagada (X) e o volume de vedas (Y) da empresa, com a faldade de projetar o ível de vedas em fução do vestmeto o programa de marketg da empresa. Hstórco (dados auas) Dagrama de dspersão Relação lear etre as varáves N observações

28 Eemplo modelo de regressão lear smples Modelo de regressão lear + + ε Estmação dos coefcetes por mímos quadrados X Y X Y X X Y X 37,9, ,5,383,9796 Equação de projeção Y,38 +, 979X

29 Eemplo modelo de regressão lear smples Costrução da ANOVA resíduos Y,38 +, 979X Códgo R: Soma dos quadrados dos resíduos SQE > regressao <- lm(y~x,datadados_veda_propagada) Soma dos quadrados eplcados pela regressão SQR Soma dos quadrados totas SQT

30 Eemplo modelo de regressão lear smples Costrução da ANOVA ANOVA Fote de varação Regressão Resíduo Total Soma dos quadrados (A) SQR 949,8 SQE 3,8 SQT 6,9 Graus de lberdade (B) Quadrado médo (CA/B) 949,8 949,8 / 38,984, ,98-9 F Coefcete de determação R varável eplcatva SQR R, 75 SQT 6.9 coefcetes estmados α e Por sso - > aova(regressao) Códgo R: O quadrado médo do resíduo é uma estmatva da varâca do erro σ

31 Eemplo modelo de regressão lear smples Estmatvas dos erros padrão de e σ σ X σ σ ( X X ) 3,366 5,6 38,9778 6,5 89 6,5 Erro padrão 3,366 σ 38, ,5 N X N X σ,39 σ σ,39,978 Erro padrão

32 Eemplo modelo de regressão lear smples Iferêca o modelo Testes de póteses Teste F: Testa o efeto cojuto das varáves eplcatvas sobre a varável depedete, No caso do modelo lear smples testa o efeto de X sobre Y H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H F SQR SQE F 4.35 ~ F, Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (F tabelado ) de uma F com grau de lberdade o umerador e 8 graus de lberdade o deomador é 5,377. No R: > qf(.95,,8) [] F > F tabelado rejeta H Dstrbução F

33 Eemplo modelo de regressão lear smples Iferêca o modelo Testes de póteses Teste t: Testa a sgfcâca do coefcete de regressão lear assocado com uma determada varável eplcatva. H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H t t ~ t σ.38 3,366,495 Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (t tabelado ) de uma t com 8 graus de lberdade o umerador é,3. No R: > qt(.975,8) [].364 t < t tabelado ão rejeta H Dstrbução t

34 Eemplo modelo de regressão lear smples Iferêca o modelo Testes de póteses Teste t: Testa a sgfcâca do coefcete de regressão lear assocado com uma determada varável eplcatva. H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H t t ~ t σ.979,39 4,9354 Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (t tabelado ) de uma t com 8 graus de lberdade o umerador é,3. No R: > qt(.975,8) [].364 t > t tabelado rejeta H Dstrbução t

35 Eemplo modelo de regressão lear smples Iferêca o modelo ~ t σ ~ t σ Itervalos de cofaça com 95% de cofaça P,3 P,3,3 σ,3 σ,95,95 Dstrbução t 95%,38,3,3,8766 5,6 4,953,979,3,3,598,978,43

36 Eemplo modelo de regressão lear smples o R > (dados_veda_propagada <- data.frame(cbd("x"c(3,,35,4,38,8,,5,35,4),"y"c(4,34,5,49,47,,,7,4,48)))) X Y > regressao <- lm(y~x,datadados_veda_propagada) > summar(regressao) Call: lm(formula Y ~ X, data Gujarat_C3) Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept) X ** --- Sgf. codes: '***'. '**'. '*'.5 '.'. ' ' Resdual stadard error: 6.43 o 8 degrees of freedom Multple R-squared:.757, Adjusted R-squared:.78 F-statstc: 4.35 o ad 8 DF, p-value:.43

37 Eemplo modelo de regressão lear smples o R Útl a verfcação da pótese de varâca costate do erro: Algus gráfcos para dagóstcos Útl a verfcação da pótese de ormaldade do erro (valores ao redor de uma reta magára dcam que a pótese de ormaldade ão fo volada): Útl a avalação da qualdade do ajuste: > plot(dados_veda_propagada$x,regressao$resd,tpe"p",ma"gráfco dos resíduos",lab"x - Ivestmeto em propagada", lab"resíduos",lmc(-,5),bt"",col.ma"blue",apc(,5,),as"",at"",lmc(-,5),apc(-,5,5),as"",ce.as.8,pc6) > as(,atseq(,5,5),posc(,),ce.as.8) > plot(dados_veda_propagada$x, dados_veda_propagada$y,tpe"p",ma"plotagem do ajuste",lab"x - Ivestmeto em propagada", lab"y - Vedas",lmc(,45),bt"",col.ma"blue",apc(,45,),as"",at"",lmc(,55),a pc(,55,),as"",ce.as.8,pc6) > as(,atseq(,45,5),posc(,),ce.as.8,as"r") > able(regressao) > tet(4,,epresso(at(y)),adj) >tet(5,.5,paste("",as.caracter(roud(data.frame(regressao$coeff)[,],4)),"+",as.caracter(r oud(data.frame(regressao$coeff)[,],4)),"x"),adj) > tet(4,6.5,epresso(r^),adj) > tet(5.5,6,paste("",as.caracter(roud(summar(regressao)$r.squared,4))),adj) > plot(regressao)

38 A varável depedete é uma fução lear de duas ou mas varáves depedetes k k ε K Notação matrcal,..., X + ε Y Y M k k k X L M O M M L L k M ε ε ε ε M Modelo de regressão lear múltpla K varáves eplcatvas,, 3,..., k, σ são parâmetros do modelo que devem ser estmados

39 Modelo de regressão lear múltpla Hpóteses H - E(ε) H H3 E(εε )σ I, I matrz detdade V(ε) σ e COV(ε, ε j ) H4 - Os erros tem dstrbução ormal ε ~N(, σ ) H5 - A matrz X é ão aleatóra H6 - O posto de X é k+< Problemas de especfcação Escoler o tpo de fução matemátca Determar que varáves depedetes devem ser cosderadas o modelo

40 ( ) Y X X X ' ' k k k K k k k X X ' L M O M M M L L L Estmador de Mímos Quadrados (MQ) Modelo de regressão lear múltpla k Y X ' M

41 Modelo de regressão lear múltpla Estmador de Mímos Quadrados (MQ) j ~ N (, σ a ) j jj a jj elemeto da dagoal prcpal da versa de X X V ( ) ( ) X ' X σ σ ε' ε ( k + )

42 Modelo de regressão lear múltpla Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Teste t H : j H : j t j σ j ~ t ( k + ) t t tabelado rejeta H Teste F H : 3... k H : pelo meos um j F S.Q.R S.Q.E k ( k + ) F Ftabelado rejeta H

43 Modelo de regressão lear múltpla Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Aálse da varâca Causas de varação Graus de lberdade (A) Soma dos quadrados (B) Quadrados médos (CB/A) F Regressão k SQR ' X ' Y QMRSQR/k FQMR/QME Erros (k+) SQE Y' Y ' X ' Y QMESQE/[ (k+)] Total SQT Y ' Y R SQR SQT ' X ' Y Y ' Y F QMR QME SQR SQE k [ ( k + ) ] R ( R ) ( k + )

44 Modelo de regressão lear múltpla Iferêca Estatístca o Modelo de Regressão Lear Aálse da varâca cotrbuções das varáves depedetes ao modelo global fução Aova() do pacote car do R Causas de varação Graus de lberdade (A) Soma dos quadrados (B) Quadrados médos (CB/A) F SQR ( )( ) SQR F SQE QME M M M M M k SQR k ( k k )( ) k SQR k F k SQE k QME Erros (k+) SQE Y ' Y ' X ' Y QMESQE/[ (k+)] Total SQT Y ' Y Fórmula (C.3.7) do Gujarat com a otação adaptada: SQR ' X ' Y ( )( ) + L + k ( k k )( ) SQR

45 Modelo de regressão lear múltpla Prevsão Dado ' [ L ] k ŷ V ' b E + + K + ( ) estma k k ŷ V ( ŷ ) ' ( X ' X ) σ ' b + + K + + ε estma k k [ ] σ ( ŷ ) + ' ( X ' X )

46 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Uma empresa de artgos fats opera em cdades de médo porte. A empresa está aalsado a possbldade de epasão em outras cdades de médo porte e para sso deseja vestgar se a vedas (Y) em uma localdade podem ser predtas com base o úmero de pessoas com até 6 aos de dades (X ) e a reda per capta a localdade (X ). Atualmete a empresa está presete em localdades (N ), cujos dados são apresetados a tabela abao: X X Y 68,5 6,7 74,4 45, 6,8 64,4 9,3 8, 44, 47,8 6,3 54,6 46,9 7,3 8,6 66, 8, 7,5 49,5 5,9 5,8 5 7, 63, 48,9 6,6 45,4 38,4 6 37, 87,9 8,3 4,9 7,8 7, 9, 88,4 7,4 3 4,9 5,8 45,3 5,5 7,8 6, 85,7 8,4 9,7 4,3 6,5 46,4 5,7 6, ,6 8, 3,6 8,7 9, 4, 5,3 6 66,5 > (eemplo <- data.frame(cbd("x"c(68.5,45.,9.3,47.8,46.9,66.,49.5,5,48.9,38.4,87.9,7.8,88.4,4.9,5.5,85.7,4.3,5.7,89.6,8.7,5.3),"x" c(6.7,6.8,8.,6.3,7.3,8.,5.9,7.,6.6,6,8.3,7.,7.4,5.8,7.8,8.4,6.5,6.3,8.,9.,6),"y"c(74.4,64.4,44.,54. 6,8.6,7.5,5.8,63.,45.4,37.,4.9,9.,3,45.3,6.,9.7,46.4,44,3.6,4.,66.5)))) Modelo de regressão lear múltpla a ser estmado ε

47 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Modelo de regressão lear ε Estmação dos coefcetes de regressão por mímos quadrados Y 74,4 64,4 44, 54,6 8,6 7,5 5,8 63, 45,4 37, 4,9 9, 3 45,3 6, 9,7 46,4 44 3,6 4, 66,5 X 68,5 6,7 45, 6,8 9,3 8, 47,8 6,3 46,9 7,3 66, 8, 49,5 5,9 5 7, 48,9 6,6 38,4 6 87,9 8,3 7,8 7, 88,4 7,4 4,9 5,8 5,5 7,8 85,7 8,4 4,3 6,5 5,7 6,3 89,6 8, 8,7 9, 5,3 6 X T X X T Y ( ) X T X Códgo R:,.3,4 36,.3, ,94.69,9 36,.69,9 6.9,6 9,789,7 -,996,7,4 -,55 -,996 -,55, , , ,75 > regressao <- lm(y~x+x,dataeemplo) > summar(regressao) ( T ) T X X X Y 68,857,4546 9,3655

48 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Costrução da ANOVA ŷ 68,857 +, ,3655 SQR SQE SQT

49 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Costrução da ANOVA ANOVA Fote de varação Regressão Resíduo Total Soma dos quadrados (A) SQE 45,8 SQR 8,93 SQT 696, Graus de lberdade (B) Quadrado médo (CA/B) 7,64 7,64 /.66 99,35 N-38,66 N- F Coefcete de determação R varáves eplcatvas SQR 45.8 R,97 SQT 696, 3 coefcetes estmados Por sso N 3 O quadrado médo do resíduo é uma estmatva da varâca do erro σ > aova(lm(y~,dataeemplo),regressao) Códgo R:

50 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Modelo de regressão lear ε Estmatvas dos erros padrão dos coefcetes de regressão Σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Resultado a ANOVA,66 ( ) X T X 9,789,7 -,996,7,4 -,55 -,996 -,55, ,347 8,7459-4,43 Σ 8,7459,449 -,674-4,43 -,674 6,558 Varâcas a dagoal prcpal Covarâcas fora da dagoal prcpal Códgo R: > vcov(regressao) Erro padrão σ σ σ σ 36,347 6,7,449,8 σ σ 6,558 4,64

51 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Iferêca o modelo Testes de póteses Teste F: Testa o efeto cojuto das varáves eplcatvas sobre a varável depedete, No caso do modelo lear smples testa o efeto de X sobre Y H : ( ausêca do efeto ) H : ou ( preseça do efeto ) Sob H F F SQR SQE N 3 ~ 99,35 F, 3 Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (F tabelado ) de uma F com graus de lberdade o umerador e 8 graus de lberdade o deomador é 3,5546. No R: > qf(.95,,8) [] F > F tabelado rejeta H Dstrbução F

52 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Iferêca o modelo Testes de póteses Teste t: Testa a sgfcâca do coefcete de regressão lear assocado com uma determada varável eplcatva. H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H t t ~ t3 σ 68,857 6,7,473 Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (t tabelado ) de uma t com 8 graus de lberdade o umerador é,9. No R: > qt(.975,8) [].9 t < t tabelado ão rejeta H Dstrbução t

53 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Iferêca o modelo Testes de póteses Teste t: Testa a sgfcâca do coefcete de regressão lear assocado com uma determada varável eplcatva. H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H t t ~ t3 σ,4546,8 6,868 Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (t tabelado ) de uma t com 8 graus de lberdade o umerador é,9. No R: > qt(.975,8) [].9 t > t tabelado rejeta H Dstrbução t

54 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Iferêca o modelo Testes de póteses Teste t: Testa a sgfcâca do coefcete de regressão lear assocado com uma determada varável eplcatva. H : ( ausêca do efeto ) H : ( preseça do efeto ) Sob H t t ~ t3 σ 9,3655 4,64,345 Ao ível de sgfcâca de 5% o valor tabelado (t tabelado ) de uma t com 8 graus de lberdade o umerador é,9. No R: > qt(.975,8) [].9 t > t tabelado rejeta H Dstrbução t

55 Eemplo modelo de regressão lear múltpla Iferêca o modelo Itervalos de cofaça com 95% de cofaça ~ t3 σ && ~ t3 σ && ~ t3 σ && P,,,95 σ P,,,95 σ P,,,95 σ 68,857,, 94,948 57,339 6,7,4546,,,96,8995,8 9,3655,,,874 7,936 4,64 Dstrbução t 95%

56 Eemplo modelo de regressão lear múltpla o R > (eemplo <- data.frame(cbd("x"c(68.5,45.,9.3,47.8,46.9,66.,49.5,5,48.9,38.4,87.9,7.8,88.4,4.9,5.5,85.7,4.3,5.7,89.6,8.7,5.3),"x"c(6.7,6.8,8.,6.3,7.3,8.,5.9,7.,6.6,6,8.3,7.,7.4,5.8,7.8,8.4,6.5,6.3,8.,9.,6),"y"c(74.4,64.4,44.,54.6,8.6,7.5,5.8,63.,45.4,37.,4.9,9.,3,45.3,6.,9.7,46.4,44,3.6,4.,66.5)))) X X Y > regressao <- lm(y~x+x,dataeemplo) > summar(regressao) Call: lm(formula Y ~ X + X, data eemplo) Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept) X e-6 *** X * --- Sgf. codes: '***'. '**'. '*'.5 '.'. ' ' Resdual stadard error:. o 8 degrees of freedom Multple R-squared:.967, Adjusted R-squared:.975 F-statstc: 99. o ad 8 DF, p-value:.9e-

57 Eemplo modelo de regressão lear múltpla o R

58 Eemplo modelo de regressão lear múltpla o R Códgo R para os gráfcos: > plot(eemplo$x,regressao$resd,tpe"p",ma"gráfco dos resíduos X",lab"X - Qtd. pessoas com até 6 aos de dade", lab"resíduos",lmc(,),bt"",col.ma"blue",apc(,,),as"",at"",lmc(-3,3),apc(-3,3,6),as"",ce.as.8,pc6) > as(,atseq(,,),posc(,),ce.as.8) > plot(eemplo$x,regressao$resd,tpe"p",ma"gráfco dos resíduos X",lab"X - Reda per capta a localdade", lab"resíduos",lmc(4.8,),bt"",col.ma"blue",apc(5,,6),as"",at"",lmc(-4,4),apc(-4,4,8),as"",ce.as.8,pc6) > as(,atseq(5,,),posc(,),ce.as.8) > lbrar(rgl, pos4) > lbrar(mgcv, pos4) > scatter3d(eemplo$x, eemplo$y, eemplo$x, ft"lear", resdualstrue, bg"wte", as.scalestrue, grdtrue, ellpsodfalse, lab"x", lab"y", zlab"x") > plot(regressao)