ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

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1 Área Cetífca Matemátca Udade Curso Egehara do Ambete Ao º Semestre º Folha Nº 8: Aálse de Regressão e de Correlação Probabldades e Estatístca Ao 00/0. Pretede-se testar um strumeto que mede a cocetração de ácdo láctco o sague. Para sso foram utlzadas 0 amostras saguíeas para as quas se cohece essa cocetração e regstou-se o valor da cocetração forecdo pelo strumeto. Seja X a cocetração cohecda de ácdo láctco e Y a cocetração de ácdo láctco forecda pelo strumeto. Os dados obtdos estão regstados a tabela segute: X Y x =34 y =67.7 x =44 y =0. x y =769.6 a) Costrua o dagrama de dspersão e avale se o grau de relacoameto lear etre as varáves X e Y é forte ou fraco. Coclua se é razoável aplcar um modelo de regressão lear. b) Determe a equação de regressão estmada pelo método dos mímos quadrados. c) Preveja qual será o valor da cocetração de ácdo láctco forecdo pelo strumeto para uma amostra saguíea cuja cocetração cohecda é. Iterprete o valor ecotrado. d) Calcule o coefcete de correlação e terprete o seu valor. Qual a percetagem de varabldade os valores forecdos pelo strumeto explcada learmete por varações a verdadera cocetração de ácdo láctco? e) Iterprete o valor do coefcete de regressão estmado - b. f) Teste a hpótese ula de que a verdadera cocetração de ácdo láctco ão exerce uma fluêca sgfcatva sobre o valor forecdo pelo strumeto, a um ível de sgfcâca de % (cosdere SSE= ). g) Há evdêca para afrmar que a regressão é sgfcatva? (use o mesmo ível de sgfcâca da alíea ateror) Pága de

2 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0. Numa determada experêca pretede-se estmar o ível de octaas em gasolas que cotêm dferetes cocetrações de compoetes A e B. Seja Y o ível de octaas, X a percetagem de compoete A e X a percetagem de compoete B. Na tabela segute estão regstados os dados resultates de 6 observações. X X Y y x = 56 x = 56 (x - x ) = 0 (x - x ) = 0 a) Calcule a equação de regressão estmada pelo método dos mímos quadrados, que permta estmar o ível de octaas em gasolas com cocetrações de compoetes A e B cohecdas, tedo em cota que: (X T X) - = X T y = (X T X) - (X T y) = b) Preveja qual será o ível de octaas para uma gasola com 3% de compoete A e 5% de compoete B. c) Iterprete os valores dos coefcetes de regressão. d) Tedo em cota que a soma dos quadrados totas é gual a e que a soma dos quadrados dos resíduos em relação à equação de regressão estmada é gual a 5.8, calcule o coefcete de correlação e de determação e terprete os seus valores. e) Teste a hpótese de que β é feror a 3, a um ível de sgfcâca de 5%. f) Teste a sgfcâca global do modelo (Utlze um ível de sgfcâca de %) Pága de

3 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 3. Os dados apresetados o quadro segute represetam as vedas (Y), em mlhares de Euros, efectuadas por 0 empregados de uma dada empresa, o º de aos de experêca de cada vededor (X ) e o respectvo score o teste de telgêca (X ). Vededor Vedas (Y) (em mlhares de Euros) Aos de experêca como vededor (X ) Score o teste de telgêca (X ) (X T X) - = (X T Y)= 4 6 (X T X) - (X T y)= Pretede-se determar se o sucesso das vedas pode ser meddo em fução das duas varáves explcatvas X e X. a) Calcule a equação de regressão estmada. b) Dga qual o volume de vedas prevsto para um vededor com 4 aos de experêca e com score 3 o teste de telgêca. c) Iterprete os valores dos coefcetes de regressão. d) Teste a hpótese ula de que o coefcete de regressão assocado a X seja zero, ao ível de sgfcâca de 5%. Comete o resultado obtdo. e) Posso rejetar a hpótese ula de que o coefcete β 0 é ulo, ao ível de sgfcâca de 5%? Dga qual o meor ível de sgfcâca que me permte rejetar a hpótese ateror. f) Sabedo que a soma dos quadrados da regressão é , calcule o coefcete de correlação e de determação e terprete os seus valores. g) Teste a hpótese ula da regressão ão ser sgfcatva. Use um ível de sgfcâca de 5%. Que pode coclur? Pága 3 de

4 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 4. A tabela segute dca as dades (X) e os gastos dáros em ceteas de escudos (Y) de 0 pessoas. Idade (X) Gastos dáros (Y) a) Costrua o dagrama de dspersão e avale se o grau de relacoameto lear etre as varáves X e Y é forte ou fraco. Coclua se é razoável aplcar um modelo de regressão lear. b) Determe a equação de regressão estmada pelo método dos mímos quadrados. c) Avale o gasto dáro de uma pessoa com 4 aos. Iterprete o valor ecotrado. d) Calcule o coefcete de correlação e de determação e terprete os seus valores. e) Iterprete o valor do coefcete de regressão estmado - b. f) Teste a hpótese de que o declve populacoal excede o valor 0.3, a um ível de sgfcâca de 5%. g) Teste a hpótese ula do coefcete de regressão assocado à varável X ser ulo, a um ível de sgfcâca de 0.%. Que pode dzer acerca da sgfcâca da regressão? Pága 4 de

5 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 5. Pretede-se ecotrar um modelo lear a partr do qual seja possível prever o gasto de gasola de um automóvel baseado o seu peso e a temperatura ambete. Seja Y as mlhas percorrdas com um galão de gasola (mlha=609 metros; galão=4.545 ltros), X o peso do automóvel (em toeladas) e X a temperatura ambete (em ªF). Os dados obtdos estão regstados a tabela que se segue. Nº do automóvel Mlhas percorrdas por Peso do automóvel em Temperatura cada galão de gasola (Y) toeladas (X ) ambete em ºF (X ) y 70 x 6.75 x = 55 (x - x ) = 0.58 (x - x ) = 39.5 a) Idque a matrz sgfcatva do modelo (X) e o vector das observações da varável depedete (y). b) Escreva a forma matrcal o sstema de equações resultate da aplcação do modelo às 0 observações. c) Sabedo que: (X T X) = X T y = Calcule a equação de regressão estmada pelo método dos mímos quadrados. (X T X) (X T y)= d) Estme o gasto de um carro que pese.5 toeladas um da em que a temperatura é de 70ºF. e) Iterprete os valores dos coefcetes de regressão b e b. f) Sabedo que a soma dos quadrados da regressão em relação à equação de regressão estmada é gual a e que a soma dos quadrados totas é 0.46, calcule o coefcete de correlação e de determação e terprete os seus valores. g) Avergúe se a varável temperatura ambete exerce uma fluêca sgfcatva sobre a quatdade de mlhas percorrdas por cada galão de gasola. (Use um ível de sgfcâca de 0.%) h) Teste a hpótese ula de que ehuma das varáves explcatvas cotrbu para a explcação da varação em toro da méda da varável depedete. (Use um ível de sgfcâca de %) Pága 5 de

6 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 6. Uma determada empresa possu para a produção de um certo bem dos tpos de máquas alteratvas (A e B). O drector de produção da empresa pretede cohecer se exstem vatages, em termos de custo margal, a utlzação de uma ou de outra máqua. Com esse objectvo decdu estudar o segute modelo de regressão: Y = β 0 + β x + E, ode Y e X represetam respectvamete o custo de produção (em udades moetáras) e a quatdade produzda do bem o da (em ceteas). Após esaos, obtveram-se os segutes resultados para a máqua A: ( X T X ) 0.5 = X T Y =. 3 Para a máqua B o modelo de regressão lear que melhor se ajustou fo: y$ = x. a) Com base os resultados apresetados, dque o modelo de regressão estmado para a máqua A. b) Dga qual o sgfcado do valor.55 o modelo de regressão estmado para a máqua B. c) Para o modelo estmado para a máqua A, aalse da forma que julgar mas coveete se a varável quatdade de bem produzdo um da é estatstcamete sgfcatva (utlze um ível de sgfcâca de 5% e supoha que a soma dos quadrados dos resíduos é 0.69). d) Admta que o drector de produção prevê produzr este mês 00 udades por da para fazer face às ecomedas. Sabedo que a qualdade de produção é dêtca as duas máquas, qual das máquas recomedara? Justfque coveetemete a sua resposta e terprete os valores em que se basear para dar a resposta. e) Supoha agora que para utlzar a máqua B é ecessáro dspor de mas um trabalhador a lha de fabrco e que o custo/da de cada trabalhador é de 0 udades moetáras. Em que medda é que este ovo dado podera fluecar a resposta que deu a alíea ateror? f) Com auxílo da represetação gráfca das rectas de regressão, dque para que íves de produção sera preferível utlzar a máqua A. Pága 6 de

7 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 7. Num estudo para determar de que modo a habldade para executar uma determada tarefa complexa é fluecada pela quatdade de treo, foram usados 5 dvíduos aos quas fo dado um treo que varava de 3 a horas. Depos do treo foram regstados os tempos que cada um deles gastou a executar a tarefa. Represetado por X a duração do treo (em horas) e por Y o tempo gasto a execução da tarefa (em mutos), os resultados obtdos resumem-se segudamete: x = 7. y = x 8. SSE= = = 5 = y = = x y = SST=60. a) Determe a equação de regressão estmada pelo método dos mímos quadrados. b) Os dados suportam a hpótese de pesqusa de que o aumeto da duração do treo reduz o tempo de execução da tarefa? (use α=0.0) c) Calcule o coefcete de correlação e terprete o valor ecotrado. d) O que pode dzer relatvamete ao tempo de execução da tarefa de um dvíduo que teha sdo sujeto a 35 horas de treo? Pága 7 de

8 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 8. Para 0 casas de habtação que se ecotravam à veda uma determada cdade do Norte da Amérca, foram regstados dados relatvos a: X : área total (em ceteas de pés quadrados ft ) X : valor da casa atrbuído por avalação de um perto (em mlhares de dólares) Y: preço de veda (em mlhares de dólares) Para relacoar o preço de veda com a área total da casa e com o valor atrbuído a esta por avalação de um perto resolveu-se cosderar o segute modelo de regressão: Y =β 0 +β x +β x +E Os dados recolhdos permtram determar: ( X T X ) = T T ( X X ) ( X y) = SSE= SST=37.87 a) Dga, recorredo a um dcador adequado, se é razoável aplcar o modelo de regressão lear para relacoar Y com X e X. b) Qual a percetagem de varação o preço de veda que ão se cosegue explcar learmete através da área total e do valor atrbuído à casa? c) Um especalsta em compra e veda de móves afrma que o valor da casa atrbuído por avalação de um perto ão fluêca sgfcatvamete o preço de veda da casa. Comete esta afrmação. (Use um ível de sgfcâca de 5%) d) O mesmo especalsta quer prever o preço de uma casa com área total 5.3 ft e avalada em 37.3 mlhares de dólares. Que valor lhe dcara e qual o seu sgfcado? e) Uma casa com as mesmas característcas da alíea ateror (área total=5.3 ft e avalada em 37.3 mlhares de dólares) fo vedda por 55 mlhares de dólares. È este preço dferete do que sugeru a alíea ateror? Se sm dga a que se deve essa dfereça (a sua explcação refra-se a E do modelo cosderado). Pága 8 de

9 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 9. Numa empresa pretede-se relacoar o volume de vedas (em quatdade) com o preço de um determado produto e com o preço do mesmo produto pratcado pelo cocorrete mas mportate da empresa. O modelo apreseta-se a forma Y = β 0 + β X + β X + E em que: Y: vedas da empresa X : preços pratcados pela empresa (em euros) X : preços pratcados pelo cocorrete (em euros) Apresetam-se a segur os dados obtdos de 0 observações Y X,5,,5,7 0,6 0,9,3,5,,8 X 0,5 0,8 3,5 4,9 3,9,8,7 0,4 9,5 8, Y X 0,5,6,8,5 0,4,3,8 0,9,9,7 X 9,8 0,5,5,6,4,7,4 0,8 0,7,4 T T ( X X ) ( X y) = SSR = SSE = = s c =. 57 s ˆ β a) Utlzado o método dos mímos quadrados determe a equação de regressão estmada e terprete-a. b) Determe a percetagem da varação total das vedas que pode ser atrbuída à varação dos preços pratcados pela empresa e pelo cocorrete. c) Teste se a relação etre as vedas e o preço da empresa é estatstcamete sgfcatva. (Use um ível de sgfcâca de 5%) d) Teste a sgfcâca global do modelo. (Use um ível de sgfcâca de 5%) Pága 9 de

10 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 Soluções da fcha.º 8.b) ŷ = x; c) ŷ = µ ˆ Y / x= =.387: estmatva para o valor médo de ácdo láctco meddo pelo strumeto quado a cocetração cohecda é ; d) r =0.9747: cerca de 97.4% da varação observada os valores da cocetração de ácdo láctco apresetados pelo strumeto, são explcados learmete pela varação da verdadera cocetração de ácdo láctco o sague; r= : dca a exstêca de uma relação lear forte e postva etre as duas varáves em estudo; e) Em méda, um acréscmo de uma udade a verdadera cocetração de ácdo láctco o sague, aumeta o valor da cocetração forecdo pelo strumeto uma quatdade que pode ser estmada em.7689 udades; f) O valor observado da estatístca do teste (T Obs ) é 6.064, R.C.=]-,-.878] [.878, + [. Rejeta-se H 0 ; g) Sm, pelo resultado obtdo a alíea f)..a) ŷ = x +.685x ; b) ŷ = µ ˆ Y / x = 3, x = 5 =03.465; d) r=0.945 e r =0.8934; e)t Obs =.00, R.C.=]-, -.77]. Não se rejeta H 0 ; f) F Obs = , R.C.=[6.70, + [. Rejeta-se H 0. 3.a) ŷ = x x ; b) ŷ = µ ˆ Y / x = 4, x = 3 = d) T Obs =.86, R.C.=]-, -.365] [.365, + [. Rejeta-se H 0 Pága 0 de

11 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 e) T Obs =-0.8, R.C.=]-, -.365] [.365, + [. Não se rejeta H 0. α=p(t 7 0.8) e como as tabelas da t-studet dspoíves ão são sufcetes para calcular este α, α apeas podemos coclur que ; f) r=0.903 e r = ; g) F Obs =9.37, R.C.=[4.74, + [. Rejeta-se H 0. 4.b) ŷ = x; c) ŷ = µ ˆ Y / x= 4 =9.6; d) r= e r =0.9375; e) T Obs =.407, R.C.=[.86, + [. Rejeta-se H 0. g) T Obs =0.955, R.C.=]-,-5.04] [5.04,+ [.Rejeta-se H 0. A regressão é sgfcatva. 5.a) X= y= b) y=xβ+ε, ode X e y são dados a alíea a), c) ŷ = x x ; β β = β β 0 e ε = ε M. ε 0 d) ŷ = µ ˆ Y / x =.5, x = 70 =7.467; f) r= e r = ; g) T Obs =-6.55, R.C.=]-, ] [5.408, + [. Rejeta-se H 0 ; h) F obs =57.348, R.C.=[9.55, + [. Rejeta-se H 0. Pága de

12 Udade Probabldades e Estatístca Ao º Semestre º Ao 00/0 6.a) ŷ =.5+.8x; b) Em méda, um acréscmo de uma cetea a quatdade do bem produzdo pela máqua A, rá levar a um aumeto o custo de produção, que pode ser estmado em.55 udades moetáras; c) T Obs =8, R.C.=]-, -.8] [.8, + [. Rejeta-se H 0 : β =0, logo há evdêca de que a quatdade de bem produzdo um da exerce uma fluêca sgfcatva sobre o custo de produção. d) É preferível a máqua B (5.885<6.75); e) É preferível a máqua A (6.75<5.885); f) Para íves de produção ferores a 7 udades. 7.a) ŷ = x; b) T Obs =-4.489, R.C.=]-, -.65]. Rejeta-se H 0 ; c) r=-0.779; d) Não é sesato utlzar a equação de regressão obtda para predzer o tempo de execução da tarefa para as 35 horas de treo, uma vez que 35 está fora do âmbto dos dados. 8.a) r=0.9345: dca uma assocação lear forte etre Y e as varáves X e X, logo é razoável aplcar o modelo de regressão lear para relacoar a varável Y com as varáves X e X ; b) Cerca de 6.56%; c) (usado α=0.05) T Obs =0.584, R.C.=]-, -.] [., + [. Não se rejeta H 0 : β =0, e, como dsse o perto, X ão fluêca sgfcatvamete Y; d) :estmatva para o preço médo de uma casa com área total 5.3 ft e avalada em 37.3 mlhares de dólares. 9.a) ŷ = x x b) 95% c) ET Obs =-4.5, R.C.=]-, -.] [., + [. Rejeta-se H 0 : β =0 d) F obs =6.044, R.C.=[3.59, + [. Rejeta-se H 0. Pága de