Capítulo V - Interpolação Polinomial

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1 Métodos Numércos C Balsa & A Satos Capítulo V - Iterpolação Polomal Iterpolação Cosdere o segute couto de dados: x : x0 x x y : y y y 0 m m Estes podem resultar de uma sequêca de meddas expermetas, ode x pode represetar o tempo ou a temperatura e y pode represetar a dstâca ou a pressão Ou etão outras meddas proveetes dos mas dversos campos Com estes dados é possível efectuar város tpos de tratameto o setdo de obter mas formações acerca de uma possível fução subacete f ( x) y, 0,,, m Podemos querer ferr o valor dos dados etre os potos dados, ou fazer uma prevsão dos valores para além do tervalo de dados dspoíves Se os dados represetarem uma fução subacete, poderemos querer aproxmar a sua dervada ou tegral, ou avalá-la rapdamete para um dado argumeto Por todas estas razões é mportate poder represetar esta fução dscreta (dados y ) por uma outra fução, relatvamete smples, que permta a sua fácl mapulação No Capítulo 5, vmos á uma maera de o fazer, omeadamete austado uma fução aos dados através do método dos mímos quadrados Neste Capítulo vamos adoptar uma aproxmação semelhate, mas para além de mpor que a fução se auste à tedêca dos dados, vamos também mpor que a fução passe pelos potos dados Em geral, o problema de terpolação udmesoal mas smples é da segute forma: dados os segutes potos ( x, y), 0,,, m, x < x < < x, procuramos a fução f : tal que com 0 m f ( x) y, 0,,, m Desgamos f por fução terpolate Por vezes, em problemas mas complcados, são mpostas codções adcoas para determar f ( x ), tas como a clação, a mootoa, a covexdade em determados potos Neste texto vamos lmtar-os aos casos mas smples apeas Exstêca e ucdade da fução terpoladora A questão da exstêca e da ucdade de uma fução terpolate depede do úmero de parâmetros a determar essa fução e do úmero de potos dados para austar Se o úmero de parâmetros é pequeo, etão a fução terpolate ão exste; se exstr um grade úmero de parâmetros a fução ão será úca A partr de agora aalsamos estas stuações com mas detalhe Capítulo 5 Iterpolação Polomal 8

2 Métodos Numércos C Balsa & A Satos Para um determado couto de dados ( x, y), 0,,, m a fução terpolate é escolhda a partr do espaço das fuções geradas pela combação lear de uma base de fuções φ ( ),, ( ) 0 x φ x, e f ( x) α φ ( x) + αφ ( x) + + α φ ( x), 0 0 em que os parâmetros α têm de ser determados Requeredo que f terpole os potos dados ( x, y ) sgfca que f ( x ) α φ ( x ) + αφ ( x ) + + α φ ( x ) y, 0,,, m 0 0 que correspode a um sstema de equações leares com cógtas e que podemos escrever a forma matrcal como m equações φ0( x0) φ( x0) φ( x0) α 0 y0 φ0( x) φ( x) φ( x) α y φ ( x ) φ ( x ) φ ( x ) α y 0 m m m m Aα y, em que as ( m+ ) ( + ) etradas da matrz base A são dadas por a φ ( x ),,, m+,,, + (e, a é o valor da ( ) esma fução da base calculado o poto ( ) ) O segudo membro do sstema y é composto pelos m + valores dados y E os + compoetes do vector α, são as cógtas α correspodetes aos parâmetros a determar Como é sabdo da Álgebra Lear, para que este sstema teha solução e essa solução sea úca, a dmesão da base de fuções tem de ser gual ao úmero de potos dados m e a matrz A tem de ser ão sgular ( A admte versa) A base de fuções escolhda é fudametal para o cálculo da fução terpolate Pos esta defe a sesbldade dos parâmetros α a algumas perturbações os dados (codcoameto do sstema Aα y), flueca o úmero de operações para resolver o sstema e a facldade com que a fução terpolate é obtda ou mapulada Neste curso lmtar-os-emos apeas a bases de fuções costtuídas exclusvamete por polómos (terpolação polomal) 3 Iterpolação polomal A terpolação mas smples e mas comum usa polómos Vamos desgar P k como sedo o espaço vectoral de todos os polómos de grau maor ou gual a k, com k 0 Este espaço é gerado por uma base de fuções de dmesão k + Capítulo 5 Iterpolação Polomal 83

3 Métodos Numércos C Balsa & A Satos 3 Base moómca (caóca) Para terpolar + potos dados (ou tabelados), escolhemos k de forma a que a dmesão do espaço vectoral cocda com o úmero de dados A base mas atural para P, o espaço vectoral dos polómos de grau meor ou gual a, é composta pelos + prmeros moómos φ ( x) x, 0,,,, para a qual um dado polómo p P tem a forma p ( x) α + α x+ + α x 0 Na base moómca, o vector α dos coefcetes do polómo terpolador dos potos ( x, y ), 0,,,, é obtdo através da resolução do segute sstema lear x 0 0 x0 x α 0 y0 α x x y x Aα α y x y x x α Uma matrz com a forma da matrz A, cuas coluas são potêcas sucessvas de uma determada varável x, é chamada matrz de Vadermode Faclmete se prova que a matrz de Vadermode é ão sgular desde que os valores de x seam todos dsttos e, cosequetemete, que o polómo terpolador exste Exemplo Base moómca Para lustrar o polómo terpolador com base moómca, vamos determar o polómo de grau dos que terpola os segutes três potos (, 7),(0, ), (,0) Exste um úco polómo p( x) α0 + αx+ αx de grau que terpola três potos ( x0, y0),( x, y),( x, y ) Com a base moómca os coefcetes do polómo terpolador são dados pela resolução do segute sstema lear x0 x 0 α0 y0 Aα x x α y y x x α y Para o presete couto de dados o sstema é 4 α α α 0 Resolvedo este sstema pelo método de elmação de Gauss obtemos a solução α [ 5 4] T, sedo o polómo terpolador dado por ( ) x p x x Capítulo 5 Iterpolação Polomal 84

4 Métodos Numércos C Balsa & A Satos Embora a teora dga que a matrz de Vadermode sea ão sgular, a prátca à medda que o aumeta as coluas desta matrz toram-se cada vez mas learmete depedetes e cosequetemete a matrz A cada vez mas sgular Pelo que para problemas de grade dmesão, a resolução deste sstema se tora cada vez mas mal codcoado (propaga mas faclmete os erros troduzdos como por exemplo os erros de arredodameto) e cosequetemete é mas dfícl de resolver, exgdo mas operações (como por exemplo pvotages o método de Gauss ou terações se for utlzado um método teratvo) 3 Base de Lagrage Para um dado couto de potos ( x, y ), 0,,,, as fuções da base de Lagrage para P são guas a ( x x ) k 0, k k ( x), 0,,, ( x x ) k 0, k Esta defção dca que ( x) é um polómo de grau e que ( ) { se x para, 0,,, 0 se dcado que para esta base a matrz dos coefcetes do sstema lear Aα y é a matrz detdade ( A I ) e cosequetemete α y Assm, se utlzarmos a base de Lagrage para terpolar os potos ( x, y ), o polómo terpolador será dado por k p ( x) y ( x) + y ( x) + + y ( x) 0 0 Exemplo Base de Lagrage Para lustrar o polómo terpolador de Lagrage, vamos determar o polómo de grau dos que terpola os mesmos três potos do Exemplo A forma do polómo de Lagrage de grau dos que terpola três potos ( x0, y0),( x, y),( x, y ) é ( x x)( x x) ( x x0)( x x) ( x x0)( x x) p( x) y0 + y + y ( x0 x)( x0 x) ( x x0)( x x) ( x x0)( x x) Para os dados do Exemplo, esta formula resulta em ( x 0)( x ) ( x ( ))( x ) ( x ( ))( x 0) p( x) 7 + ( ) + 0 ( 0)( ) (0 ( ))(0 ) ( ( ))( 0) xx ( ) ( x+ )( x ) Depededo do uso que lhe é destado, o valor do polómo terpolador pode ser calculado para qualquer argumeto x, ou etão pode ser smplfcado para o mesmo resultado obtdo o Exemplo usado a base moómca (tal como esperado pos o polómo terpolador é úco) Capítulo 5 Iterpolação Polomal 85

5 Métodos Numércos C Balsa & A Satos Comparado com o polómo terpolador a base moómca, o polómo de Lagrage é melhor codcoado pos as fuções da base correm meos o rsco de se torarem learmete depedetes à medda que aumeta Cotudo o cálculo do valor do polómo de Lagrage para um dado argumeto x exge mas operações comparado com a sua represetação a base moómca 33 Base de Newto Para um dado couto de potos ( x, y), 0,,,, as fuções da base de Newto para são guas a P π ( x) ( x xk), 0,,,, k 0 em que cosderamos o valor do produto gual a quado os lmtes do produtóro o torem vazo Na base de Newto, um polómo tem a forma p x α α x x α x x x x α x x x x x x ( ) + 0 ( 0) + ( 0)( ) + + ( 0)( ) ( ) Através desta defção, verfcamos que π ( x) 0 se <, pelo que a matrz base A, em que a π ( x ),,,,,, é tragular feror (etradas ulas acma da dagoal prcpal) Cosequetemete, a solução α do sstema Aα y, que determa os coefcetes da base de fuções que tegram a fução terpolate, pode ser calculada por substtução drecta Este aspecto faz com que o polómo terpolador de Newto sea calculado um relatvamete pequeo úmero de operação (proporcoal a ) Exemplo 3 Base de Newto Para lustrar o polómo terpolador de Newto, vamos determar o polómo de grau dos que terpola os mesmos três potos do Exemplo Com a base de Newto, obtemos o segute sstema lear tragular feror 0 0 α 0 y0 x x0 0 α y x x0 ( x x0)( x x) α y Para os dados do Exemplo, este sstema é gual a 0 0 α α, 3 3 α 0 cua solução, obtda por substtução drecta, é α [ 7 3 4] T O polómo terpolador é etão dado por p ( x ) 7 + 3( x + ) 4( x + ) x, que pode ser reduzdo ao mesmo polómo á obtdo por qualquer um dos métodos aterores Capítulo 5 Iterpolação Polomal 86

6 Métodos Numércos C Balsa & A Satos Uma va alteratva para obter os coefcetes α do polómo terpolador de Newto cosste em calcular as dfereças dvddas Estas quatdades são usualmete represetadas por f [ ] e são defdas recursvamete pela formula [ ] [,,, ] [,,, ] f x x x f x x x k 0 k 0,,, k, xk x f x x x em que a recorrêca começa com f [ x ] y, k 0,,, Segue-se que o k k coefcete da esma fução da base de Newto será dado por α f x0, x,, x Exemplo 4 Dfereças dvddas Ilustrar as dfereças dvddas utlzado esta va para determar o polómo terpolador de Newto de grau dos que terpola os mesmos três potos dos exemplos aterores [ ] [ ] [ ] f [ x] f [ x0] ( 7) f [ x0, x] 3, x x0 0 ( ) f [ x] f [ x] 0 ( ) f [ x, x], x x 0 f [ x, x] f [ x0, x] 3 [, x, x ] 4 f x f x y 7, f x y, f x y 0, 0 O polómo de Newto é gual a 0 0 x x 0 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p( x) f x0 π0( x) + f x0, x π( x) + f x0, x, x π( x) f x 0 + f x 0, x ( x x 0) + f x 0, x, x ( x x 0)( x x ) 7 + 3( x+ ) 4( x+ ) x 4 Problemas propostos a Dados os segutes três potos (,), (0,0), (,), determe o polómo terpolador de grau dos: ) Utlzado a base moómca ) Utlzado a base de Lagrage 3) Utlzado a base de Newto 4) Estme os valores de f ( 0, 5 ) e f ( 0,5) Mostre que as três represetações orgam o mesmo polómo Capítulo 5 Iterpolação Polomal 87

7 Métodos Numércos C Balsa & A Satos b Cosdere os segutes dados x 3 4 y ) Determe o polómo terpolador utlzado a base moómca ) Determe o polómo terpolador de Lagrage 3) Determe o polómo terpolador de Newto f 3,5 4) Estme o valor de ( ) x x c Sea f ( x) 3xe e Aproxme f (, 03) usado o polómo terpolador de Lagrage de grau meor ou gual a dos, cosderado x0, x, 05, x, 07 d Cosderado os segutes dados x 0,, 3,0 4,6 50,5 y 0,7537 0, ,599 0, , queremos terpolar o valor da fução para x 7,5 Costrua a tabela das dfereças dvddas e aproxme o valor de f (7,5), usado o polómo terpolador de Newto e Cosderado os segutes dados x 0,0 0, 0, 4 0,6 0,8 y, 00000, 40, 498,8, 554 ) Costrua a tabela das dfereças dvddas ) Com base a tabela calculada, aproxme f (0,05) e f (0,65), usado o polómo terpolador de Newto das dfereças dvddas coveetes f Cosderado os segutes dados x y 3 ) Costrua a tabela das dfereças dvddas ) Com base a tabela calculada, aproxme f (,5) e f (5), usado o polómo terpolador de Newto das dfereças dvddas coveetes 5 Bblgrafa A exposção efectuada este Capítulo é essecalmete baseada o Capítulo 7 do lvro: Mchael T Heath Scetfc Computg a Itroductory Survey McGraw- Hll, New York, 00 ( Capítulo 5 Iterpolação Polomal 88