Capítulo 3. Interpolação Polinomial

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1 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo 3 Iterpolação Polomal Teorema de Weerstrass: se f( é uma fução cotíua em um tervalo fechado [a, b], etão para cada >, este um polômo de grau ( tal que: f( p ( < [a, b] Embora seja um teorema motvador para usar polômos, o valor de ( geralmete ão é cohecdo, prcpalmete quado f( ão é dada eplctamete. Outro motvo para usar polômos a apromação de fuções é que suas dervadas e tegras são fáces de determar e também são polômos. Como o polômo de Taylor, descrto o capítulo ateror, cocetra a sua precsão próma ao poto, ele ão é adequado para a maora das aplcações prátcas ode, geralmete, se deseja uma boa apromação em todo o tervalo de defção da fução f(. Cotudo, o polômo de Taylor é de grade utldade a aálse umérca para estmatvas de erros de téccas umércas. Portato, este capítulo são abordados polômos que utlzam dados em város potos do tervalo, chamados de polômos terpoladores. Dados + pares de valores {, f( }, =,,,...,, este um e somete um polômo p ( de grau o qual f( = p (, =,,,...,. Portato, embora estam váras fórmulas de terpolação polomal, se elas utlzarem as mesmas formações os potos odas {,,,..., }, etão os polômos obtdos serão os mesmos. Naturalmete, se f( for um polômo de grau, etão a apromação também será eata. Epressado o polômo terpolador a forma: p( c os coefcetes c são soluções do sstema abao de + equações algébrcas leares:

2 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL cujo determate da matrz dos coefcetes: c c c c f( c cc c f( c c c c f( V é chamado de determate de Vadermode, sedo ão-ulo se j j. O problema desta técca de determação dos coefcetes é a sua tedêca de propagar os erros de arredodameto à medda que os potos odas se apromam us dos outros, pos o determate de Vadermode tede a zero estas stuações, gerado um sstema de equações mal codcoado. Eercíco: mplemetar o códgo abao o MATLAB ou SCILAB para terpolar a fução y seh( f( seh( que é a solução aalítca do problema de reação com dfusão em um partícula catalítca esférca sotérmca com reação de prmera ordem ( é o rao admesoal e y é a cocetração admesoal. Utlzar como potos odas, potos gualmete espaçados etre, e,9, com espaçameto uforme de, para o caso (a e de,4 para o caso (b. Após obter o polômo, terpolar a fução os valores de a em tervalos de,. Note que etre e, e etre,9 e os valores serão etrapolados. Comparar os dos casos. d=.; % para o caso (a d=.4; % para o caso (b =[.:d:.9]'; % potos odas ph=5; y=sh(ph*./(*sh(ph; % valor da fução os potos odas =legth(; % úmero de potos c=[:.:]'; % potos para terpolação m=legth(c; yc(=ph/sh(ph; yc(:m=sh(ph*c(:m./(c(:m*sh(ph; % formação da matrz de Vadermode Um=oes(,; % vetor de tamaho com todos elemetos guas a M=Um; for =:- M=[M.^]; ed C=v(M*y; % coefcetes polomas (versão sem pvotameto % C=M\y; % coefcetes polomas (versão com pvotameto parcal

3 3. TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 3 p=c'*(um*c'.^([:-]'*oes(,m; % valores terpolados % % forma alteratva calcular os valores terpolados % %for =:m % p(=c(; % for j=-:-: % p(=p(*c(+c(j; % ed %ed codm=cod(m % úmero de codcoameto da matrz dos coefcetes plot(c,yc,'b:',c,p,'r',,y,'o'; leged('eato','polômo','potos'; O resultado do eercíco acma é mostrado a fgura abao, ode se observa o caso (b o efeto dos erros de arredodameto devdo à versão matrcal sem pvotameto do sstema de Vadermode que este caso é mal codcoado. Este problema ão ocorrera se fosse realzada a versão matrcal com pvotameto (parcal ou total..9.8 eato polômo potos.9.8 eato polômo potos Caso (a Caso (b Outro aspecto sobre a formulação p ( c é a sua forma efcete de cálculo de terpolação. A forma alteratva (ahada: p ( c ( c ( c ( c c requer um úmero bem meor de operações de multplcação ( cotra (+/ e pode ser mplemetada coforme o algortmo: p c Para =,,...,,,, faça p p + c

4 4 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Este algortmo está mplemetado de forma cometada o códgo acma. As fórmulas de terpolação mas comumete usadas e que ão fazem uso do determate de Vadermode são a fórmula terpoladora das dfereças dvddas de Newto e os polômos terpoladores de Lagrage. 3. Tabela de dfereças de Newto Partdo do coceto de dervada: df f ( f( f( lm d f( f( a apromação f [, ] para é chamada de prmera dfereça dvdda ou dfereça dvdda de ordem com relação a e. Aplcado o teorema do valor médo dferecal: f ( b f( a f ( para f( C [a, b] e algum [a, b], etão: b a f[, ] f( para algum [, ], ou seja, f[, ] está relacoada com a dervada prmera de f(. Cosderado o problema da terpolação lear passado pelos potos {, f( } e {, f( }, temos: f ( p ( a f( como f ( p ( a a ( f ( p ( f( f( a ( a f( f( e f[, ], ou seja, p( f( f[, ] (. Usado a defção de erro (ou resíduo da apromação: f ( p ( R ( e sabedo que R ( deve se aular em e : R ( g( ( ( f( f( ou ada R( f( f( f[, ] ( ( f[, ] ( f[, ] f[, ] R ( f[, ] f[, ] ( ( ( f[, ] f[, ] ode f [,, ].

5 3. TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 5 Defdo a fução: Q( t f( t p ( t ( t ( t g( ela se aula pelo meos em t =, t = e t =, logo Q ( t deve se aular pelo meos duas vezes o tervalo [, ] e Q ( t deve se aular pelo meos uma vez em um poto t = [, ]: Q( f( p(! g( como p( (polômo de grau temos: f ( g (! Agora, se mas um poto {, f( } for cluído o cojuto de potos odas: f ( p ( a a ( a ( ( fca evdete pelo eposto acma que a = f[,, ] podedo também ser tomado como uma boa apromação para R ( se f ( for uma fução suave (que ão muda bruscamete para dferetes valores de. Isto mostra que as fórmulas das dfereças dvddas de Newto podem ser usadas para determar o grau aproprado do polômo terpolador em fução da qualdade desejada da apromação. f [, ] f[, ] Retomado a epressão: f[,, ] f[,, ] f( f( f( f( ( f( f( ( f( f( ( ( ( ( f( ( f( ( f( f[,, ] ( ( ( ou ada ( f( ( f( ( f( ( f( f[,, ] ( ( ( ( f( f( ( f( f( f[,, ] ( ( ( f( f( f( f( f[, ] f[, ] f[,, ] ou seja, f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ], a ordem dos argumetos das fórmulas das dfereças dvddas é dferete. Das epressões acma, podemos observar também que: f[,, ] f( f( f( ( ( ( ( ( (

6 6 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Geeralzado para potos odas, com a clusão da dfereça dvdda de ordem zero: f[ ] f( temos para a dfereça dvdda de ordem k: f [ k, k,,, ] f[ k, k,,, ] f[,,,,, ] k k, k =,, 3,..., k e ( k f ( f[, k,,,, ], [, ]. k! O erro da terpolação por um polômo de grau é: ou R ( f[,,,,,, ] ( ( f ( R( (, [, ] (! sedo que a seguda forma é útl somete quado a fução f( for dada eplctamete. Eemplo: obter o polômo terpolador de grau 3 usado as fórmulas das dfereças dvddas de Newto para os dados abao: y p ( f[ ] f[, ]( f[,, ]( ( f[,,, ]( ( ( 3 3 p 3 3 ( 5 6 ( ( ( ( 3( ( 7 5

7 3. TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 7 A tabela das dfereças dvddas de Newto é costruída da segute maera: y f[ ] f[, ] f[ ] f[,, ] f[ ] - f[ - ] f[, -, - ] f[, - ] f[ ] f[ 3,,, ] f[, -, -, -3 ] f[, -,...,, ] Para um qualquer etre e, a terpolação polomal de grau é obtda através das epressões: f f f, f f f,, mas:,, f f f,, f, f, f,,, mas:,,,, f f f,,, f,, f,, f,,, f,,,,,,,,,, f f,,,,,,,,,, f f f e, falmete: f,,,,,,,,,,,,, f f,,,,,,,,,,,,, f f f ode o últmo termo: f [,,,,, ] ( é o erro da terpolação, que pode ser estmado com o uso de um poto adcoal { +, f( + } prómo a. Eemplos:

8 8 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL a A tabela abao cotém os valores da vscosdade (em cetpose de uma solução cotedo 6% de sacarose a váras temperaturas. Costrua a Tabela de Dfereças destes dados. T ( o C (cetpose 3 3,9-5,7 56,7,755 -,69 -, ,,499 -,7 4,3 b Refaça a Tabela de Dfereças adotado l( o lugar de : T ( o C l( 3 4,7353 -, ,37774,93 -,5 -,4 3 3,56655,6 -, ,5877 Algortmo: Iterpolação polomal de Newto Dados + potos {, y }, deseja-se terpolar a fução em = * Para =,,,...,, faça A, y Para =,,...,, faça Para j =,,,...,, faça A j, A A j, - j, - j j p y * A, Para =,,...,, faça p ( * - p y * y * + p A, y - - A, A, A, A,- A,- A, A, A, A, A,- A,- A, A, A, A,- 3 3 A 3, A 3, A 3, - A -, A -, A -, - A -, A -, A,

9 3. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE 9 Ao fal do algortmo y * cotém o valor terpolado de f( em = *. 3. Iterpolação de Lagrage Na dervação das fórmulas das dfereças dvddas fo adotada a forma polomal: p ( a a ( a ( ( a ( para a determação dos coefcetes a, =,,,...,. No caso da terpolação de Lagrage, a forma polomal adotada é a segute: p ( b ( ( ( b ( ( ( b ( ( ( ( ( b ( ( ( cujos coefcetes b, =,,,..., são determados dretamete pelas codções p ( = f(, =,,,...,, resultado em: f( b ( ( ( ( (, =,,,...,. Defdo os terpoladores de Lagrage: que são polômos de grau, temos: j (, =,,,..., j j j p ( ( f(. Pela defção de (, podemos observar que:, j ( j, j, j ou seja,,,,..., -, +,..., são as raízes de (. Se f( = k, etão k k ( para k =,,,...,, pos a apromação é eata se f( for um polômo de grau. Desta relação resulta para k = : (. Defdo o polômo odal, que tem como raízes =, =,,,...,, logo de grau + :

10 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL P ( a ( ( ( ( a ( j j e chamado de q( ( j o umerador de (, =,,,...,, resulta que: j j q ( P ( ( e a q( q (. P ( Aplcado o lmte para a seguda epressão: lm P (, temos: a q( P ( e P ( ( ( P (, =,,,...,. Sabedo que f( = p ( + R ( e que R ( deve se aular em, =,,,...,, etão R ( = P + ( G(, que procededo de maera aáloga à seção ateror, a fução: Qt ( f( t p( t P ( t G ( deve se aular em t =, =,,,..., e em t =, ou seja, em o mímo + vezes detro do tervalo [, ]. Portato, Q (+ (t deve se aular em pelo meos um poto este tervalo, t = : Q ( f ( p ( P ( G( ( ( ( ( como ( p ( (polômo de grau e P ( a (!, temos: ( f G ( a ( (! ( e ( f ( R( ( com [, ]. (! Eemplo: obter o polômo terpolador de Lagrage de grau para os segutes dados: y = f( ( ( ( ( 3 43 ( ( ( ( ( 3 3 ( ( ( ( 3 3 ( ( ( ((3 ( ( ( ( ( ( ( (3(3 6

11 3.3 ANÁLISE DE ERROS ( ( ( 5 ( ( 5 ( 4 5 p f Comparado com as dfereças dvddas de Newto, a terpolação de Lagrage tem como desvatages a sua dfculdade em obter uma estmatva do erro e a ecessdade de recostrur todos os terpoladores de Lagrage com a adção de ovos potos. Ou seja, ão é um método adequado quado o grau do polômo ão é cohecdo a pror. Além dsto, demada uma quatdade maor de cálculos quado váras terpolações precsam ser obtdas com o mesmo cojuto de potos odas. Uma maera de costrur os polômos de Lagrage de maera recursva para a clusão gradual de ovos potos até uma precsão desejada é através do uso do método de Nevlle (ão abordado aqu, mas pode ser ecotrado em Burde e Fares, 3. Algortmo: Iterpolação polomal de Lagrage Dados + potos {, y }, deseja-se terpolar a fução em = * Para =,,,...,, faça p Para j =,,,...,, faça Se j: p y * Para =,,,...,, faça y * y * + p y * j j p Ao fal do algortmo y * cotém o valor terpolado de f( em = *. 3.3 Aálse de erros Ao apromarmos uma fução f( pelo polômo de Taylor de grau, vmos que o erro de trucameto da apromação é dado por: ( f [ ( ] R ( ( (!, com [, ]. Cotudo, como o valor de ( f [ ( ] ão pode, geralmete, ser calculado por ão cohecermos a fução (, podemos apeas estabelecer um lmte superor para o erro da ( apromação, tomado o valor mámo de f ( o tervalo [a, b]. No caso da terpolação polomal, vmos que o erro da apromação é dado por: ( f [ ( ] R( ( com [, ] (!

12 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL e os mesmos cometáros acma se aplcam, com o agravate que este caso, geralmete, a ( fução f( ão é cohecda para podermos ecotrar o valor mámo de f (. Neste caso podemos recorrer ao uso da tabela de dfereças dvddas de Newto para ecotrarmos uma estmatva para o erro usado a relação: ( f [ ( ] (! e um valor adcoal de f( em um ovo poto +. f [,,,,,, ] de: Naturalmete, se f( for cohecda, etão R ( também pode ser obtda dretamete R ( = f( p ( Neste caso, uma formação útl é o erro médo quadrátco (MSE, Mea Square Error da apromação o tervalo [a, b]: MSE R ( d b a b a ou ormalzado para o tervalo [, ]: a y d = (b a dy, resulta em: b a MSE R ( y dy que pode ser usado para determar a melhor apromação para f( detre váras alteratvas. Eemplo: costrur os gráfcos das apromações de f( usado terpolações 5 polomas de ª, 3ª e ª graus com potos gualmete espaçados o tervalo [-, ], os gráfcos dos erros da terpolação e calcular o MSE.

13 3.3 ANÁLISE DE ERROS 3 Iterpolação Comparação da Fução Real com a Iterpolada Iterpolação Polomal de Y k Segudo Grau com Z k.5 Potos Igualmete Espaçados.38 Iterpolação Polomal de Y k Tercero Grau com Potos Igualmete Espaçados Z k.38.5 Iterpolação.846 Polomal de Y k Décmo Grau com Z k Potos Igualmete.55 Espaçados Iterpolação Polomal de Décmo Grau como Potos as Raízes do o Polômo de Chebyshev Y k Z k z k z k Erro da Iterpolação R ( d.5,7,595 z k z k,337 3,3-3 Neste eemplo foram usados potos gualmete espaçados para costrur os polômos terpoladores. Porém, é possível determar os potos odas que geram um polômo terpolador com o meor resíduo possível etre polômos de mesmo grau. Para determar estes potos odas ótmos, partmos da epressão do erro: ( ( f [ ( ] f [ ( ] (! (! R ( ( P ( ode P + ( é o polômo odal com a + =. Reescrevedo P + ( a forma: P ( c os + coefcetes c podem ser determados de maera a mmzar o MSE: sedo c arg m MSE( c c, c,..., c ( f [ ( ; c] MSE( c R(; c d c d (! Aplcado o teorema do valor médo da tegral:

14 4 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ( f [ ( c] MSE( c c d (! Como o mímo do MSE(c ocorre quado cmse, temos: ( ( ( c c c k k MSE( c f [ ( ] df ( ( f [ ( ] P ( d ck [(!] d c (! P ( d, k =,,..., Se cosderarmos depedete de c [váldo quado f (+ ( for costate], etão, k P ( d, k =,,,..., O que permte coclur que P + ( é um polômo ortogoal o tervalo [, ] em relação à fução peso w( =. O polômo que satsfaz essa codção de ortogoaldade é o (, polômo de Jacob, P (, com = e =. Portato, uma boa apromação para os (, potos odas que mmzam o MSE são as raízes do polômo de Jacob P (. Se o tervalo utlzado fosse [-, ], etão teríamos o polômo de Legedre. 3.4 Crtéro de mmzação do erro mámo Até o mometo utlzamos as codções: f( = p (, =,,,..., para determarmos os coefcetes de p (. Outro crtéro que pode ser utlzado é a mmzação do erro absoluto mámo da apromação os potos dados: m ma f ( p ( c, c,, c ou para o caso de f( ser cohecda: m ma f ( p ( c, c,, c ab Este crtéro é cohecdo como prcípo mma de Chebyshev e o polômo obtdo é chamado de polômo ótmo ou mma. Normalzado z [a, b] para o tervalo [-, ]: z b a b a é possível observar que os moômos,,,..., de p ( c possuem magtude máma em = e míma em =, ão havedo uma dstrbução uforme dos erros. Logo, se for possível ecotrar um polômo que dstrbua os erros de forma mas uforme, a mmzação do erro mámo resultará a melhor apromação possível. Os polômos que apresetam esta propredade são os polômos de Chebyshev:

15 3.4 CRITÉRIO DE MINIMIZAÇÃO DO ERRO MÁXIMO 5 T ( = T ( = T ( = T 3 ( = T 4 ( = T 5 ( = T 6 ( = T 7 ( = T 8 ( = T 9 ( = Fórmula de Recorrêca: T ( T ( T ( para,, com T ( e T( Gráfco dos 5 prmeros polômos de Chebyshev T, T,.5 T, T 3, T 4, peso Os polômos de Chebyshev são ortogoas em [-, ] com respeto a fução w (, ou seja:, m (, T( Tm( d T m T m (,

16 6 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Estes polômos orgaram das fuções trgoométrcas cos(, cos(, cos(3,..., cos( que dstrbuem seus mámos e mímos de maera uforme o tervalo [, ]. Ao aplcar a mudaça de varável: = cos( [-, ] e a propredade: cos( = cos( cos[( ] cos[( ], resulta os polômos de Chebyshev. Pela codção de ortogoaldade, os coefcetes da apromação: f ( at( podem ser determados por: a f d e ( a k f ( T k ( d, k =,,...,. Como d d, etão a f(cos d e ak f(cos cos( k d, k =,,...,. As raízes de T ( são reas (característca de um polômo ortogoal, ocorrem o tervalo [-, ] e são dadas por: (k rk cos, k =,,...,. Usado as + raízes de T + ( como potos odas da terpolação de Lagrage, a apromação da fução também pode ser realzada por: f ( p ( ( f(, com = r +. Represetado os moômos k por: k k at (, é possível costrur a tabela: Potêcas de em fução dos polômos de Chebyshev: = T ( = T ( = [T (+T (]/ 3 = [T 3 (+3T (]/4 4 = [T 4 (+4T (+3T (]/8 5 = [T 5 (+5T 3 (+T (]/6 6 = [T 6 (+6T 4 (+5T (+T (]/3 7 = [T 7 (+7T 5 (+T 3 (+35T (]/64 8 = [T 8 (+8T 6 (+8T 4 (+56T (+35T (]/8 9 = [T 9 (+9T 7 (+36T 5 (+84T 3 (+6T (]/56

17 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 7 que tem utldade a telescopagem de séres. Normalzado os polômos de Chebyshev de tal forma que o coefcete de maor grau seja gual, obtém-se os polômos de Chebyshev môcos: T ( T ( Que possu a propredade de um polômo mma: ma T ( ma P( P( [,] [,] E se ma P ( ma T (, etão P ( T (. [,] [,] 3.5 Telescopagem de séres A telescopagem de séres de potêcas ou ecooma de Chebyshev cosste em epressar os moômos da sére em termos dos polômos de Chebyshev, coletar os coefcetes de cada polômo T ( e trucar a sére os moômos de Chebyshev de alta ordem sabedo que seu coefcete represeta o erro mámo da apromação, pos T (. A sére trucada pode etão ser re-epressa em termos dos moômos de. Este procedmeto é equvalete a fazer sucessvas reduções de grau do polômo até a precsão desejada usado o polômo Chebyshev môco: a p ( p( at(, com p( p ( at( ode a é o coefcete de de p (. Eemplo: reduzr o grau do segute polômo que aproma a fução f( = e : 3 4 p4( e [-, ] 6 4 Matedo um erro mámo feror a,5. (5 5 f ( e O erro da apromação por p 4 ( é: R4 ( R4(,3 5! 5! Reduzdo o grau da apromação para p 3 (: 3 Caso Sem telescopagem: p3(, temos: 6 (4 4 f ( e R3 ( R3(,3, que está acma de,5. 4! 4! Caso Com telescopagem:

18 8 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL T( T( T3( 3 T( T4( 4 T( 3 T( p4( T( Que após coletar os termos comus de T (, resulta em: T3( T4( p4( T( T( T( Trucado o termo de grau 3: T ( p T T T ( ( ( (, o erro etre as duas apromações é: T4 ( p4( p3(,5 9 9 Portato, o erro mámo ao apromar f( por p 3 ( é:,3 +,5 =,8 <,5. Reescrevedo o polômo em termos das potêcas de : p3( ( com R (, Ou de maera smlar: p3( p4( a4t4(, sto é: p3( , pos a 4 = /4, que após rearrajo dos termos resulta em: p3( Reduzdo mas um grau a apromação: p( p3( a3t3(, temos: p(, levado a: p( , com p3 p T ( ( (, Portato, o erro mámo ao apromar f( por p ( é:,8 +,4 =,7 >,5.

19 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 9

20 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

21 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES

22 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

23 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Nas fguras a segur são comparados os valores dos polômos odas com potos gualmete espaçados com os polômos odas costruídos a T partr do polômo de Chebyshev ormalzados [ t para ]. Note que: t para.

24 4

25 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Lsta de eercícos. Busque uma epressão de segudo grau e outra de tercero grau que melhor apromam a fução 4 o tervalo 8. Aalse e dscuta seus resultados cofrotado-os grafcamete.. Aprome a fução e o tervalo: + por um polômo de meor grau em, em que se assegura que o módulo do erro seja meor do que Houge & Watso sugerem a epressão empírca abao para o cálculo do calor específco molar do gás trogêo: 3 6 p ode: C p : cal/gmol/k e C,, T, T T: Kelv. Na faa de 3 a K, o erro mámo do calor específco calculado por esta epressão é de, %. a determe a apromação lear de C P que mmza o mámo do erro adcoal a faa de a K; b Calcule o erro percetual mámo da apromação proposta em a. 4. A varação do coefcete de epasão térmca do alumío a faa de a o C é dada por: 4 6 o 9 com : k T, T, T T C. a aprome k(t por uma costate, a mesma faa de a o C, de modo que o valor do erro mámo seja mímo; b Calcule o valor médo de k(t k k( T dt e sua méda artmétca (a mesma faa de temperatura e compare e dscuta todos estes valores sugerdo que valor é o mas adequado! 5. Nas Tabelas abao, apresetam-se os valores da codutvdade térmca do CO e da vscosdade do etleo glcol líqudo a váras temperaturas: T ( o F k (BTU/hr/ft/ o F T ( o F (lb/ft/hr 3,85 4,,33 5 8, 39,8 3,5 57,8 5,6 5,57 Determe, em cada caso, o polômo terpolador de meor grau possível que assegure um erro relatvo feror a, % a faa tabelada de T.

26 6 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Observação: a depedêca polomal de com T é mas adequadamete epressa por l(. 6. A tabela abao mostra a depedêca da pressão parcal do vapor de amôa com a temperatura a dferetes cocetrações: Cocetração percetual molal da amôa Temperatura ( o F 6,6,4 3,5 5,55 8,65 3, 8,5,43 5,85 9,6 3,86,6,95 4,5 9,34 4,,3 3,6 4,89 9,98,49 3,54 45,73 64,78 8 7,5,65 44, 6,68 88,7,68 7,9 4,47 8,9 3,8 56,4,4 5 9,83 66,67 4,8 69,48 9,6 35,6 por terpolação lear as duas varáves depedetes [temperatura e cocetração] calcule as pressões parcas da amôa os segutes casos: T [ o C] 6,5 6,5 6,5 6, 37,5 37,5 Cocetração Molal [%] 8,8 6,7 5,, 7,6 35,