Capítulo 8. Método de Rayleigh-Ritz

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1 Grupo : Gustavo de Souza Routma; Luís Ferado Hachch de Souza; Ale Pascoal Palombo Capítulo 8. Método de Raylegh-Rtz 8.. Itrodução Nos problemas de apromação por dfereças ftas, para apromar a solução para um problema de valor lmte (borda), ós trocamos a operação cotíua de dferecação por operações de dscretzação de dfereças ftas. O método Ralegh-Rtz ataca o problema de uma forma dferete. O problema de valor lmte é prmeramete reformulado para um problema de escolha. Etre todo o cojuto de fuções dferecáves que satsfazem as codções de lmte, escolhe-se as fuções que mmzam uma certa tegral. Etão, o cojuto de fuções váves fca reduzdo, para resultar em uma solução para o problema de mmzação e, cosequetemete, uma solução para o problema de valor lmte. 8.. Motvação Um mportate problema lear com valor lmte de dos potos a aálse beam-stress é dada pela equação dferecal (.3) com as codções lmtes d + = d p ( ) dy q( ) y f ( ) para 0 d (.33) y ( 0) = y( ) = 0., 70

2 Esta equação dferecal descreve o desvo y( ) em um rao de etesão com uma secção de cruzameto represetada por q( ). Este desvo é devdo às tesões p( ) e f ( ). Na dscussão segute assumremos p egmos que lá esta uma costate δ > 0 tal como C [ 0, ] e q, f C[ 0, ].Mas adate, p( ) δ > 0 para 0 e que q( ) 0 para 0. Essas suposções são sufcetes para garatr que o problema com o valor lmte (.3) e (.33) teha uma solução úca. Como o caso de mutos problemas com valor lmte que descrevem um feômeo físco, a solução para equação rao satsfaz uma propredade varate. O prcípo varate para a equação rao é fudametal para o desevolvmeto do método Raylegh-Rtz e caracterza a solução para a equação de rao como a fução que mmza uma certa tegral em todas as fuções em C 0 [ 0, ], o cojuto destas fuções u em C [ 0, ] com a propredade que u( 0) = u( ) = 0. O teorema segute dá a caracterzação. A prova deste teorema, por equato ão dfícl, é etesa; pode ser ecotrada em Schultz[77] Método Teorema.5 Seja p C [ 0, ], q, f C[ 0, ], e 7

3 (.34) p( ) δ > A fução y (.35). 0, q( ) 0 para 0 C 0 [ 0, ] é a úca solução para a equação dferecal d + = d p ( ) dy q( ) y f ( ), 0 d se e somete se y for a úca fução em C 0 [ 0, ] que mmza a tegral, (.36) I[ u] = { p( )[ u ( )] + q( )[ u( )] f ( ) u( ) d 0. No procedmeto Raylegh-Rtz a tegral I ão é mmzada em todas as fuções em C 0 [ 0, ], mas em um cojuto meor de fuções cosstdo de combações leares de certas fuções de base φ, φ,..., φ. As fuções de base { φ ser learmete depedete e satsfazerem φ ( 0) = φ ( ) = 0 para cada =,,...,. = devem Uma apromação φ = ( ) = c φ ( ) para a solução y( ) da Eq.(.35) é obtda pelas costates costates descobertas c, c,..., para mmzar I[ c φ ]. = Da Eq.(.36), c 7

4 (.37) I[ φ] = I[ c φ ] = =, { p( )[ cφ ( )] + q( )[ c ( )] φ = 0 = e, a ordem para um mímo ocorrer é ecessáro, cosderado I uma fução de c, c,...,, ter c (.38) I = 0 para cada j =,,...,. c j Dferecado (.37) dá I c j =,, p( ) cφ ( ) φ j ( ) + q( ) cφ ( ) φ j ( ) f ( ) φ j ( ) d = = 0 e substtudo a Eq.(.38) produz (.39),, 0 = { p( ) φ ( ) φ j ( ) + q( ) φ ( ) φ j ( ) dc f ( ) φ j ( ) d = 0 0 para cada j =,,...,. A prmera escolha das fuções de base que dscutremos evolve polômos leares de tervalos coveetes. O prmero passo é formar uma partção em [ 0, ] escolhedo potos 0,,..., + com 73

5 0 = < <... < < =. 0 + Permtdo h = + para cada = 0,,...,, defmos as fuções de base φ ( ), φ ( ),..., φ ( ) por (.40) φ para cada 0, ( ) h ( ) = ( + ) h 0, =,,...,. 0 +,, +,, A partr do mometo que as fuções φ são tervalos leares coveetes, as dervadas φ,, equato ão cotíuos são costates o subtervalo aberto (, ) + para cada j = 0,,...,. Etão temos 0, h, ( ) = h 0, (.4) φ para cada =,,...,. 0 < < < < + < <,, + < <,, 74

6 , Porque φ e φ são ão ulo somete em (, ) reduz para um o sstema lear trdagoal: (.4) Ac = b. As etradas ão ulas em são dadas por +, o sstema lear (.39) a = { p( )[, ( )] + q( )[, φ φ ( )] d 0 = + p( ) d + p( ) d + h h + + ( ) q( ) d + ( + ) q( ) d h h para cada =,,..., ;,, a = { p( ) φ ( ) φ ( ) + q( ) φ ( ) φ ( ) d, = + p( ) d + ( + )( ) q( ) d h h para cada =,,..., ;e,, a = { p( ) φ ( ) φ ( ) + q( ) φ ( ) φ ( ) d, 0 = p( ) d + ( )( ) q( ) d h h 75

7 para cada =,...,. As etradas em b são dadas por b = f ( ) φ ( ) d 0 + = ( ) f ( ) d + ( + h h ) f ( ) d para cada =,,...,. As etradas em c são os coefcetes descohecdos c, c,..., da qual a apromação Raylegh-Rtz φ dada por c φ ( ) = c φ ( ) = é costruída. O algortmo segute estabelece o sstema lear trdagoal e corpora o Algortmo Trdagoal 6.7 para resolver o sstema. Nos passos 3, 4 e 5 as tegrações devem ser eecutadas, etão uma fórmula quadratura deve ser cluída. É recomeda que a quadratura seja realzada terpolado p, q e f com os tervalos polomas coveetes φ,..., φ, a meos que estes valores possam ser avalados faclmete. Para a resolução de tegras fo utlzado o método de Smpso Algorítmo Para apromar a solução ao problema de valor lmte d + = d p ( ) dy q( ) y f ( ) para 0, y( 0) = y( ) = 0 d 76

8 com a fução lear φ ( ) = c φ ( ): = Etrada:, = 0 < <... < < =. 0 + Saída: coefcetes c,... c. Passo : Para Passo : Para = 0,..., estabeleça h = + = 0,..., defa o tervalo coveete base lear φ por φ 0, ( ) h ( ) = ( + ) h 0, 0 +,, +,, Passo 3: Para cada =,,..., - computar Q Q Q, = + ( )( ) q( ) d + h 3, = ( ) q( ) d h, = + ( ) q( ) d + h 77

9 Q Q Q 4 5, = p( ) d h, = ( ) f ( ) d h +, = ( + ) f ( ) d h 6 Passo 4: Para cada =,,..., - estabeleça Passo 5: Estabeleça Passo 6: Estabeleça α = Q 4, + Q 4, + + Q, + Q 3, β = Q, Q 4, + b = Q + Q 5, 6, α = Q 4, + Q 4, + + Q, + Q 3, b = Q + Q a = α 5, 6, ζ β = α Passo 7: Para =,..., - estabeleça α β ζ a = 78

10 ζ = β a = α β ζ Passo 8: Estabeleça a Passo 9: Estabeleça z = b a Passo 0: Para =,..., estabeleça z = β ( b z ) a Passo : estabeleça c = z Saída(c ) Passo : Para = -,..., estabeleça ζ c = z c + Saída(c ) Passo 3: Pare 8.5. Fluograma 79

11 Iíco Para = 0 até Yes h = + - No Para = até Yes Defção do tervalo coveete base lear No Para cada =,...,- Yes Q, Q, Q 3, Q 4, Q 5, Q 6, No Para cada =,...,- Yes A = Q 4, +Q 4,+ +Q, +Q 3, B = Q, - Q 4,+ b = Q 5, + Q 6, No a = Q 4, + Q 4,+ + Q, + Q 3, b = Q 5, + Q 6, a = A C = B / A Para cada =...,- Yes a = A - B - *C - C = B / A No a = A - B - *C - 80

12 z = b / a Para cada Yes z =..., = (b - B - *z - ) / a No c = z Dsplay (c ) Para cada Dsplay Yes c = -,..., = z - C *c + (c ) No Pare 8.6. Implemetação #clude <strg.h> #clude <stdo.h> #clude <coo.h> #clude <trgo.h> #clude <math.h> #clude <graphcs.h> #clude <stdlb.h> #defe 9 double sqr(double); 8

13 double fuc(double ); double smpso(); double ter; double tsmp; double q,f; double tpofucaos; char tpofucao[5],teste[0]; vod Plota_Tabela(vod); vod Passo(vod); vod Passo(vod); vod Passo3(vod); vod Passo4(vod); vod Passo5(vod); vod fm (vod); vod grafco(vod); typedef float vetor[+]; vetor h,f,alfa,beta,gama,b,a,z,c; float []={.0,.,.,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9; double X,IOLD,IOLD,INEW,INEW,INEW3,INEW4,INEW5,INEW6; t ; vod ma(vod) { 8

14 clrscr(); Passo(); Passo(); Passo3(); Passo4(); Passo5(); f (tpofucaos==) { a[]=alfa[]; gama[]=beta[]/alfa[]; for (=; <=-; ++) { a[]=alfa[]-(beta[-]*gama[-]); gama[]=beta[]/a[]; a[]=alfa[]-(beta[-]*gama[-]); z[]=b[]/a[]; for (=; <=-; ++) z[]=(b[]-(beta[-]*z[-]))/a[]; c[]=z[]; prtf("%f",c[]); for (=-; >=; ++) { c[]=z[]-(gama[]*c[+]); prtf("%f",c[]); getch(); 83

15 Plota_Tabela(); double smpso() { t m=50; double result; double valor; q=(sqr(3.4597)); f=*q*(s(3.4597*x)); t ; tsmp=0; f ((strcmp(tpofucao,"iold")==0) (strcmp(tpofucao,"iold")==0)) { ter=([]-[0])/m; valor=[0]; else f (strcmp(tpofucao,"inew5")==0) { ter=([]-[-])/m; valor=[-]; else f (strcmp(tpofucao,"inew5")==0) { ter=([]-[-])/m; valor=[-]; 84

16 else f ((strcmp(tpofucao,"inew")==0) (strcmp(tpofucao,"inew3")==0) (strcmp(tpofucao,"inew6")==0)) { ter=([+]-[])/m; valor=[]; else { ter=([+]-[])/m; valor=[]; for (=0; <m; ++) { tsmp=(ter/6) * (fuc(valor) + 4*fuc((*valor +ter)/) + fuc(valor+ter)) + tsmp; valor=valor+ter; retur(tsmp); double fuc(double X) { double y; f (strcmp(tpofucao, "IOLD")==0) y=; 85

17 f (strcmp(tpofucao, "IOLD")==0) y=(sqr(x-[0]))*q; f (strcmp(tpofucao, "INEW")==0) y=; f (strcmp(tpofucao, "INEW")==0) y=; f (strcmp(tpofucao, "INEW")==0) y=(sqr(x-[]))*q; f (strcmp(tpofucao, "INEW3")==0) y=(sqr([+]-x))*q; f (strcmp(tpofucao, "INEW3")==0) y=(sqr([+]-x))*q; f (strcmp(tpofucao, "INEW4")==0) y=([+]-x)*(x-[])*q; f (strcmp(tpofucao, "INEW5")==0) y=(x-[-])*f; 86

18 f (strcmp(tpofucao, "INEW5")==0) y=(x-[-])*f; f (strcmp(tpofucao, "INEW6")==0) y=([+]-x)*f; f (strcmp(tpofucao, "INEW6")==0) y=([+]-x)*f; retur (y); double sqr(double T) { T=T*T; retur(t); vod Passo(vod) { for (=0; <=; ++) h[]=[+]-[]; vod Passo(vod) { tpofucaos=0; 87

19 for (=; <=-; ++) { f ((X >= 0.0) && (X <= [-])) F[] = 0.0; else f (X <= []) F[] = (X-[-])/h[-]; else f (X <= [+]) F[]=([+]-X)/h[]; else f (<=(float *)) F[]=0.0; vod Passo3(vod) { strcpy(tpofucao,"iold"); IOLD=(sqr(/h[0]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"iold"); IOLD=(sqr(/h[0]))*smpso(); vod Passo4(vod) { f (tpofucaos==) { for (=0; <=-; ++) { strcpy(tpofucao,"inew" ); 88

20 INEW=(sqr(/h[]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew" ); INEW=(sqr(/h[]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew3" ); INEW3=(sqr(/h[]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew4" ); INEW4=(sqr(/h[]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew5" ); INEW5=(/h[-])*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew6" ); INEW6=(/h[])*smpso(); alfa[]=iold+inew+iold+inew3; beta[]=-inew+inew4; b[]=inew5+inew6; IOLD=INEW; IOLD=INEW; vod Passo5(vod) { strcpy(tpofucao,"inew" ); INEW=(sqr(/h[]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew3" ); 89

21 INEW3=(sqr(/h[]))*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew5" ); INEW5=(/h[-])*smpso(); strcpy(tpofucao,"inew6" ); INEW6=(/h[])*smpso(); alfa[]=iold+inew+iold+inew3; beta[]=inew5+inew6; result(); vod Plota_Tabela(vod) { t ; char s[0]; f (tpofucaos==) { settetstyle(0,0,0); le(460,90,460,450); le(540,90,540,450); le(60,90,60,450); for (=0;<=30;++) le(460,90+*,60,90+*); outtety(50,43,"tabela"); outtety(0,65,""); 90

22 outtety(465,77,"(to/cm)"); outtety(300,65,""); outtety(560,77,"000"); for (=0;<=9;++) { sprtf(s,"%.4f",); outtety(0,93+*,s); f (<7) sprtf(s,"%.4f",[]); else f (<4) sprtf(s,"%.3f",f[]); else f (<) sprtf(s,"%.f",f); else sprtf(s,"%.f",f[]-f); outtety(300,93+*,s); 8.7. Eemplo O eemplo segute usa o algortmo acma. Modelo: Cosderar o problema de valor lmte 9

23 Façamos h y + π y = π s( π) 0, y( 0) = y( ) = 0 = h = 0. tal que = para cada = 0,, As tegras são π Q, = 00 ( )( 0. ) π d = π Q, = 00 ( ) π d = π Q3, = 00 ( ) π d = 30 Q 4, = 00 d = Q5, = 0 ( ) π sπd = = π cos 0. π + 0[ s( 0. π) s(( ) π )] Q6, = 0 ( ) π sπd = 0. = π cos 0. π 0[ s(( ) π s( 0. π )] O sstema lear Ac = b has 9

24 a a a π, = 0 + para cada =,, π, + = 0 + para cada =,, π, = 0 + para cada =, 3, b = 40s( 0. π )[ cos 0. π ], para cada =,, A solução para o sstema lear trdagoal é c 9 = c 4 = c 8 = c 3 = c 7 = c = c 6 = c = c5 = O tervalo da apromação lear é 9 φ ( ) = cφ( ) = A atual solução para o problema do valor lmte é y ( ) = sπ 93