Capítulo 2. Aproximações de Funções

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1 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo Aproações de Fuções Há bascaete dos tpos de probleas de aproações: ) ecotrar ua fução as sples, coo u polôo, para aproar ua fução dada de fora eplícta; ) ecotrar e ajustar a elhor fução a dados (ou potos) dscretos. O segudo problea será abordado o Capítulo 8, co a aplcação do étodo dos íos quadrados. Este úeras foras de aproar ua fução dada, f(), por fuções as sples ou co propredades as teressates (dferecação, tegração, etc.), tas coo: - aproação poloal: f ( ) p ( ) c - séres de potêcas: - frações cotuadas: f b ( ) f( ) f ( ) f ( ) f( ) f( )( ) ( ) ( )!! b a p( ) - fuções racoas: f( ) q( ) b j j j b a a a3 - séres de Fourer: f ( ) a a cos kb se k k k k b3( )

2 . APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES As aproações poloas serão tratadas e detalhes o próo capítulo. Portato, coeçareos pelas séres de potêcas.. Séres de potêcas Se f() é ua fução cotíua co dervadas cotíuas o tervalo [a, b], ou seja, f C [a, b] e f (+) () este e [a, b] e [a, b], etão f() = p () + R () ode p () é o polôo de Talor de grau : f( ) f ( ) f ( ) p ( ) f( ) f ( )( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( k) k!! k k! ( ) f [ ( )] R ( ) ( ) ( )! é o erro de trucaeto (ou resto) da sére co [, ]. Quado = te-se o polôo de MacLaur e para p () é a sére de Talor (ou MacLaur, = ). Eeplo: f() = cos(), =, = f ( ) se( ), f ( ) cos( ), f() =, f (), f () f (3) ( ) se( ) p( ) R( ) se( ) 6 3,,8 cos(),6 p(),4,, , 3 4 -,4 -,6 -,8 -, -, Os polôos de Talor cocetra sua precsão próa ao poto. Poré, ua boa aproação deve ser relatvaete precsa ao logo de todo o tervalo [a, b].

3 . SÉRIES DE POTÊNCIAS 3 Eeplo: f() = e, = f (k) () = e k, f f f f ( ) () () () () 3 p( )! 3!! ( ) e e R ( ), que é ua boa aproação para <. ( )! Se pode-se aplcar ua oralzação do argueto (udaça de varável): [a, b] a, [, ]. b a Por eeplo, se [, ], 3 e p( )! 3!! f ( ) e f( ) e ( e ) Eercícos: ) Ipleetar o algorto abao para aproar f() = e e polôo de Talor co crtéro de covergêca para deterar o grau do polôo: e! T S Equato, faça Faça + / + T T S S + T equato T / S > Para j =,,...,, faça S S S No fal do algorto S coté o valor aproado de e e o úero de teros ecessáros (grau de p ()).

4 4. APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES Eeplo uérco do eercíco : = -,5 e = -4 Etapas do algorto passo-a-passo PASSO ,5 -,5 -,65 -,65 -,65 -,65 -,65 -,65 -,65 -,65 -,65 -, T -,65,953 -,47,636 -,79,8 -, -, -, S,375,573,596,53598,5359,5357,5356,865,88 T/S,666667,3447,7683,86,48,5,,, O desepeho de u algorto para aproação de fuções por polôos de Talor depede da escolha aproprada do doío da varável depedete e do bo uso de propredades da fução f(). No eeplo a segur são apresetados dos algortos dferetes para aproar a fução f() = cos() e polôo de Talor, sedo o prero de elhor desepeho. a) Ipleetar o algorto abao para aproar f() = cos() e polôo de Talor co crtéro de covergêca para deterar o grau do polôo, sabedo-se que: () cos cos : é ua fução par; () cos k cos () cos cos se ; : perodcdade da fução cosseo; cos cos. (v) Prera Etapa: Redução do arco a u arco etre e Ass procede-se: k sedo k t Se etão faça Co esses procedetos, assegura-se que:.,5 Eeplo uérco:,5 ;,5,5; k t t ; 6,68,6637. Novo escalaeto de : para assegurar u arco postvo co valor eor do que o utáro, coscos dvde-se por 4, sto é: e o fal calcula-se:. 4 cos4cos j!! j j Côputo recursvo da sére: cos. Adotado a otação,! j j, ass: j T T e S T S

5 . SÉRIES DE POTÊNCIAS 5 T T e S S T para,, 3, co T S! Caracterzação da covergêca da sére: devdo à alterâca de sal dos teros da sére, assegura-se u erro de trucaeto (e ódulo) feror ao prero tero ão cosderado, sto é, o erro de trucaeto da sére até o tero de orde é: T. E cosequêca, desejado-se u erro de trucaeto (e ódulo) feror a põe-se que: T Eeplo uérco: calcular cos,5 co erro feror a,6637, valor de oralzado: =, T 4, S, , , , valor de etre e :, Ass, obteve-se covergêca co apeas quatro teros da sére e o valor, represeta o cosseo do arco dvddo por quatro, ass: coscos, , cos4cos, , Resuo do algorto: cte ctet cte Se > Etão cte 6 T S k Equato T >, faça + k k + T T k( k) S S + T S S S S S S cos( ) ( ) ( )!

6 6. APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES No fal do algorto S coté o valor aproado de cos() e o úero de teros ecessáros (grau de p ()). b) Ipleetar o algorto abao para aproar f() = cos() e polôo de Talor co crtéro de covergêca para deterar o grau do polôo, sabedo-se que: k k k cos cos cos cos e cos() =,, k =,,... sal() T S Equato, faça t( ) + ( / ) Faça + T T () S S + T equato T > Se > faça P S S old = S S S Para j =, 3,...,, faça S ew P S S old S old = S S = S ew cos( ) ( ) ( )! No fal do algorto S coté o valor aproado de cos() e o úero de teros ecessáros (grau de p ()). Nota: estes algortos pode ser utlzados para calcular se(), pos se( ) cos.

7 . FRAÇÕES CONTINUADAS 7 Eeplo uérco do eercíco : = -,5 e = -4 co estes valores te-se: - Etapas do algorto passo-a-passo PASSO ,5-6,68,78875,78875,78875,78875,78875,78875,78875,78875,78875,78875, T -,3944,59 -,7,,,,,,, S,6563,6355,6387,6388 -,4 -,886 -,968 -,685,5783,9978 j P,6388,6388,6388,6388,6388,6388 S old,6388 -,4 -,886 -,968 -,685,5783 S ew -,886 -,968 -,685,5783,9978. Frações cotuadas Coo alteratva à aproação por sére de Talor, podeos utlzar a epasão da fução f() e frações cotuadas (ou cotíuas). De ua fora geral esta fora de epasão pode ser suarzada pela epressão: f b b b a a a3 a4 3( ) b b e:, 785, 739,785 3,65 3, 739,65 ode as foras das fuções a () e b (), =,,,...,, pode ser ecotradas e Mauas de Mateátca para dferetes f(). A epasão e frações cotuadas aca pode ser represetada a fora recursva (as aproprada para pleetação coputacoal) segute: () b () Para =,,...,,,, faça a () b 4

8 8. APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES Eeplos: ) f() = e a) a = (-) + para =,, 3,..., ; b = ; b = para ípar e b = para par, ass: e Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = :, 5 4, , 4,4839 8,5 3, ,,9357 6,3773,3335 f() = 7,38958 b) a = ; a + = 44 para =,,..., e b = ; b = /; b = para =, 3,..., ass: e Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = :, 5,3 9,396 4,575 8,399 3,89 7,58, ,6957,3335 f() = 7,38956

9 . FRAÇÕES CONTINUADAS 9 ) f() = l() a) a = ; a = [t (/) ( )] para =, 3,..., e b = ; b = para =,,...,, ass: l Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = :, 5 6,7949 9,5 4 4, , , ,7374, ,3443,44695 f() =,69347 b) a = z; a = -( ) z para =, 3,..., e b = ; b = ( ) para =,,..., ode z, ass: z l z 4 z 3 9 z 5 6 z 7 5 z 9 36 z 49 z 3 64 z 5 7 Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = : 9, 5 8, , , , , ,6638,9846 6,683,96797 f() =,69347

10 . APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES 3) f() = tg() a = ; a = - para =, 3,..., e b = ; b = ( ) para =,,...,, ass: tg para k 7 Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = : 9, 5 8, , , , ,3883 7,793,8849 6, ,9535 f() = -,854 4) f() = arctg() a = ; a = ( ) para =, 3,..., e b = ; b = ( ) para =,,...,, ass: arctg Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = : 9, 5 4, ,563 4,3645 8, ,6833 7,7435 4, ,63465,86649 f() =,7

11 .3 RAZÃO DE POLINÔMIOS 5) f() = erf ( ) e dt t (fução erro) e a = ; a = ( )/ para =, 3,..., e b = ; b = para =,,...,, ass: e / erf / 3/ 5/ 3 7/ 4 Na Tabela abao ostra-se o procedeto recursvo resultate para = :, 5, ,5 4,77 8,9476 3, ,9, ,94439,986 f() =, Razão de polôos A desvatage de usar polôos para a aproação é sua tedêca à osclação. Este coportaeto pode ser reduzdo co o uso de fuções racoas, que são razões de polôos: Eeplo: 3 e! 3! p r ( ) q ( ) ( ) 3 /! 3 e e 3! para = : e / 3 e! 3 3! 84 6 para = : e, outra aproação (Padé): e j a b j j

12 . APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES Técca da aproação de Padé: Utlza a codção f (k) () = r (k) (), k =,,,..., N, ou seja, f() r() deve ter u zero de ultplcdade N + e =, ode N = +. Fazedo f ( ) c, teos: a c c c b b b a a a j q ( ) b j j (...) (...) (...) f( ) r( ) c e para teros u zero de ultplcdade N + e =, os coefcetes de k do uerador deve se aular: k c b a, para k =,,,..., N k k ode b + = b + =... = b N = e a + = a + =... = a N = e para oralzação: b =. Eeplos: ) f() = e, = = N = f( )! 3! 4! cb a a c c b c b a b a c b c b c b a b b a b 6 3 c b c b c b b b b cb c3bc4b 6 4 Resolvedo as duas últas equações: b e b, e co estes valores as preras equações te-se: a e a, ou seja: 6 f( ) 6

13 .3 RAZÃO DE POLINÔMIOS 3 A tabela abao ostra a aproação de f() = e para dferetes valores de =. 3 4 Fução Aproada Máo do ódulo do erro o tervalo +,8 4, -3,8-5, -7 ) f() = cos(), udaça de varável: u = ( é o grau dos polôos e fução de u) 3 4 Fução f() aproada 5 4,456349,7 4 4,4365 8, ,47596,7388, ,944,44 3, ,47786,384,587 3,4843,38,45, , Máo do ódulo do erro o tervalo +,84-3 3,6-7,3 -, -6 3) f() = l(), udaça de varável: u = ( é o grau dos polôos e fução de u) A aproação de Padé fo feta e l(u+)/u 3 4 Fução f() aproada Máo do ódulo do erro o tervalo + + 6,85-3,9-4 5,3-6,5-7

14 4. APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES.4 Séres de Fourer Ates de apresetar a epasão de ua fução e sére de Fourer é ecessáro cohecer o coceto de ortogoaldade de fuções. Ortogoaldade: fuções,,, 3,... defdas e u tervalo [a, b] são ortogoas e [a, b] co respeto a ua fução peso w() > se: b (, ) w ( ) ( ) ( d ) a b a (, ) w( ) ( ) d ode é a ora de (). Ua dada fução f(), defda e u tervalo [a, b], pode ser represetada e teros de u cojuto ortogoal por ua sére covergete: f ( ) a( ) chaada de sére geeralzada de Fourer, ode a são as costates de Fourer. Multplcado f() por w() () e tegrado e [a, b]: b b a a ( f, ) w( ) f( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d e aplcado a codção de ortogoaldade: ( f, ) a a ( f, ), =,,,... O cojuto de fuções: {, se, cos, se, cos, se 3, cos 3,...} é ortogoal e [-, ] co respeto a fução peso w() =, ou seja: se( d ), se( ) cos(3 ) d,... d, se ( ) d e cos ( d ) E a sére: f ( ) a a cos( ) b se( ) a f( ) d, é chaada de sére de Fourer, ode a f( )cos( ) d e b f( )se( ) d, =,, 3,... A sére trucada e teros é chaada de polôo de trgooétrco, S (). Eeplos: ) f() =, - < <, = 3

15 .4 SÉRIES DE FOURIER 5 a d d d d cos( ) cos( ) [( ) ], =,, 3,... a d d b se( ) d (fução ípar), =,, 3, f ( ) cos( ) cos(3 ) s3( ) 9 4, 3,5 3, f() S() S() = S() S3(),5,,5,,5, a a f( ) d f( ): fução par Nota: ) f( ) d a f( ): fução ípar ) f() g() = fução par se f e g são do eso tpo f() g() = fução ípar se f e g são de tpos dferetes. ) se f( ) se f( ), = 5 a f( ) d d d, f() é fução ípar a f( )cos( ) d, =,, 3,...

16 6. APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES b f( )se( d ) se( d ) [ ( ) ], =,, 3,... 4 f ( ) se( ) se(3 ) se(5 ) s5 ( ) f() S() S3() S5() Lsta de eercícos. Propoha u algorto coputacoal que copute autoatcaete, co ua precsão preestabelecda, o logarto eperao de segudo a sére de potêcas: k 3 4 k l k k 3 4 Observações: ) para < < a sére é covergete; k k ) para > utlze o procedeto recursvo: z z para k =,,...,, co z e é escolhdo tal que z. Ecotrado o valor de utlzado as propredades: z ode e l l. Propoha u algorto coputacoal que copute autoatcaete, co ua precsão preestabelecda, o logarto eperao de segudo a sére de potêcas:

17 .4 SÉRIES DE FOURIER 7 k l k k Note que e vsta de para todo real e postvo, tal sére será sepre covergete ão sedo ecessáro re-escalar a varável. 3. Propoha u algorto coputacoal que copute autoatcaete, co ua precsão preestabelecda, a potêca q de ( úero real e postvo e q úero real qualquer) segudo a sére de potêcas: q qq qq q 3 qq q q3 4 q! 3! 4! esta sére é covergete para. Para re-escalar a varável sugere-se o segute procedeto: quado > utlze o q artfíco e adote q, faça etão a epasão de covergêca, verta esta ova sére. q e depos, após a 4. Calcule os coefcetes a, a, a, b e b da aproação de Padé da fução cos() de 4 a a a acordo co cos( ), sabedo que a epasão e sére de MacLaur 4 b b k ( ) de cos() é epressa por cos( ) k ( k)! erro absoluto desta aproação. k ; (b) Para [-, ], avale o áo 5. Calcule os coefcetes a, a, a, b e b da aproação de Padé da fução se() de 3 5 a a a acordo co se( ), sabedo que a epasão e sére de 4 b b MacLaur de se() é epressa por se( ) áo erro absoluto desta aproação. k k ( ) (k )! k. Para [-, ], avale o 6. Calcule os coefcetes a, a, a, b e b da aproação de Padé da fução l() de 3 a( ) a( ) a( ) acordo co l( ), sabedo que a epasão e b( ) b ( ) k k ( ) ( ) sére de Talor de l() é epressa por l( ) ( ). Para k kk ( ) [/, ], avale o áo erro absoluto desta aproação.

18 8. APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES 7. Calcule os coefcetes a, a, a, a 3, b, b e b 3 da aproação de Padé da fução e de acordo co b b b 3 a a a a e MacLaur de e é epressa por e erro absoluto desta aproação. k ( ) k! k, sabedo que a epasão e sére de k. Para [-, ], avale o áo