Como primeiro exemplo de uma relação de recorrência, consideremos a seguinte situação:

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1 Relações de Recorrêcas - Notas de aula de CAP Prof. José Carlos Becceer. Ao 6. Ua Relação de Recorrêca ou Equação de Recorrêca defe ua fução por eo de ua epressão que clu ua ou as stâcas (eores) dela esa. Tabé podeos dzer que Equação de Recorrêca é toda equação que epressa o - éso tero de ua seqüêca e fução de seus atecessores. E coputação o estudo de relações de recorrêcas se ostra útl para aalsar o desepeho de u códgo coputacoal ode recursvdade é utlzada. Recorrêca e recursvdade são dos cocetos dsttos, poré relacoados etre s. Relações de recorrêca são epressas através de procedetos recursvos. Para u estudo sobre algortos recursvos, vde [Core ] ou [Lagsa 96]. Coo prero eeplo de ua relação de recorrêca, cosdereos a segute stuação: U processo cra eóra dacaete. Icalete, aloca 64 MB (M ). A cada teração ege as 5% de eóra. Quata eóra terá alocado após k terações? Podeos escrever: M M (,5).M,5.M M M (,5).M,5.M (,5).(,5).M,5.M (,5) (,5).M Se M k é o total de eóra após a k-ésa teração, M k pode ser escrto coo ua progressão geoétrca: M k (,5) k.m, Esse tpo de epressão é dta ser ua solução eplcta ou fechada, pos epressa M k e fução de k e M apeas (ão cosdera os teros de M até M k- ). Outros eeplos de relações de recorrêca são: a) a fução fatoral:! (-)!.,!!, b) a seqüêca de Fboacc: Fb() Fb(-) Fb(-), Fb() Fb(), c) qualquer tpo de fução coo, por eeplo, T() T(-), T(), A segur, dareos dos eeplos de resolução de relações de recorrêcas. E abos os eeplos, N. Eeplo:

2 T() T(-) k k costate e > T() A déa básca de a técca apresetada a segur, é epadr a relação de recorrêca até que possa ser percebdo o seu coportaeto o caso geral. Chaaos essa técca de Epasão Telescópca. Ivestgueos o desevolveto dessas epressões do eeplo : T() T(-) k T(-) T(-) k T() T() k T() Aalseos as epressões aca. Etre T() e T() há (-) teros. O que acotece se soaros todos os teros? Verfqueos u pequeo eeplo quado 4. T(4) T() k T() T() k T() T() k T() Vaos reescrever T(4) fazedo todas as possíves substtuções: T(4) T() k (T() k) k ((T() k) k) k ( k) k) k k Etão, podeos coclur que T() (-) k. Eeplo: T() T(-) - > T() Aplqueos o eso procedeto de aálse feto o Eeplo. T() T(-) - T(-) T(-) - T() T() T() T() T()

3 Logo, T() (-) (-) T ( ) ( ) Para eeplfcar coo ua relação de recorrêca advé através da aálse de u procedeto recursvo, cosdereos o segute pseudo-códgo: Subrota Rec( parâetro ) f Stop else Atve Processo X Rec(/) A perguta que pode ser feta é: quatas vezes o processo X será atvado? Seja T() o úero de atvações do processo X. Ua fora de respoder a questão aca é através da relação de recorrêca: T() T(/) T(), sto é, para X ão será as atvado. Aalsado a relação de recorrêca aca, veos que: T() T(/) T(/) T(//) T(/4) T(/ ) T(/ ) T(/ /) T(/8) T(/ ) k? A perguta básca é: quado / k será eor ou gual a? Isto é, qual o valor de A questão básca é: qual o valor de k? Recordeos que: log a b represeta quatas vezes b pode ser dvddo por a. Façaos: T(6) T(8) T(8) T(4) T(4) T() T() T()

4 T() Logo, T(6) T(8) T(4) T() T() 4 T(8) T(4) T() T() Logo, percebeos que: T() log () Cosdereos outro eeplo: T() T(/), T() T() T(/) T(/) / T(//) ou T(/) / T(/ ) T(//) // T(///) ou T(/ ) / T(/ ) T().(/) (/ ).(/ ) T(/ ) A questão básca é: qual o valor de? Coo estaos fazedo ua aálse para u valor arbtráro de, ão teos perda de geeraldade se adtros que é últplo de. Respodedo a perguta aca, o valor de é tal que /. Logo, log. Etão: ) ( T T ) ( 4

5 Para a resolução aca, usaos a segute gualdade: Façaos as algus eercícos de recorrêcas. ) T().T(/) - > T() Verfqueos coo são T(6): T(6).T(8) 6- T(8).T(4) 8- T(4).T() 4- T().T() - T() T(6).T(8) (6-).(.T(4) 8-) (6-)..T(4).(8-) (6-)..(.T() 4-).(8-) (6-) T()..(4-).(8-) (6-) (.T() -)..(4-).(8-) (6-).T() (-)..(4-).(8-) (6-) (-) ( -).( -) ( 4 -) Seja log () e cosdereos o resultado apresetado o te a.8 do apêdce A: T ( ) ' ' ( ' '.( ) '.( ' ) ' log ) ' ' ' (. '. ) ( ) (log ) log, ' ' ' ) T() T(-) 5

6 T() T() T(-) T(-) T(-) - T() T() T() T() T() T ( ), ) T() T(-)T(-), T() T() T() T() 4 T(4) 7 T(5) T(6) T(7) Observo a seqüêca: 4 7 A seqüêca de Fboacc é: T() a, ode a é o tero () da seqüêca de Fboacc, sedo que o -ésso tero da seqüêca de Fboacc é: a ) T() Σ -.T() T() Observar que a epressão aca deve ser etedda coo: T() Σ -.T() 6

7 T().T(). T().T().T() 6 9 T(4).T() T(5).T(4) Logo, T() -, 5) T() T(-)- T() Vaos resolver através de dos odos. a) Verfcado que: T(5).5T(4)- T(4).4T()- T().T()- T().T()- T() Substtudo: T() 4 T() 9 T(4) 6 T(5) 5 Logo, T() b) Tabé poderíaos fazer a segute epasão (ão tão sples quato a solução vsta aca): T(5) (54)-5 Logo: T ( ) Usado o resultado (a.) do apêdce A: 7

8 ( ) T ( ) No artgo [Lueker 8] são apresetadas alguas téccas para a resolução de relações de recorrêcas, ua das quas, chaada de soado fatores, apresetaos a segur. Cosdereos a segute relação de recorrêca: a a -, e a. () Vaos reescrever a equação aca coo: a a -. Verfqueos algus valores para a relação aca: a a a a 4 a a 8 a - a - - a a - Soado todas essas equações, varado de a, teos: a a Utlzado o resultado: Chegaos a a a (pos a ). () U outro odo de escrever a relação de equvalêca apresetada e () é: a.a -, e a. Vaos reescrever a equação aca coo: a.a - 8

9 Verfqueos algus valores para a relação aca: a.a a.a a.a a -.a - a.a - Noteos que este caso, a soa dos teros das equações aca, ão se cacela. Mas, verfqueos o que acotece quado ultplcaos cada equação por - : -.a -(-).a - -.a -(-).a - -.a -(-).a - -.a - -(-).a a -(-).a - - Soado todas essas equações, varado de a, teos: - a a () Isolado a, teos: a a O resultado apresetado aca é gual ao apresetado e (). Caso haja dfculdade e vsualzar o resultado apresetado e (), vaos eplctar as equações quado vara de até, sto é, : : - a - : - a - - a Soado, teos: - a a - - 9

10 Bblografa: [Lueker 8] George S. Lueker, Soe Techques for Solvg Recurreces, Coputg Surveys, vol., No. 4, Dezebro, 98. [Shaffer 98] C.A.Shaffer. A Practcal Itroducto to Data Structures ad Algorth Aalyss, Upper Saddle Rver: Pretce-Hall, 998. [Zva 96] Nvo Zva, Projeto de Algortos, Edtora Poera, ª edção, 996. [Core ] Core, T. H.; Leserso, C. E; Rvest, R. L; Ste, C. Algortos, teora e prátca. Ro de Jaero: Elsever Edtora Ltda,. [Lagsa 96] Lagsa, Y; Augeste, M. J.; Teebau, A. M. Data Structures usg C ad C. Upper Saddle Rver, New Jersey, Pretce Hall Apêdce A Neste apêdce ostraos alguas das fórulas as usuas e útes durate a resolução de ua equação de recorrêca. Tas fórulas fora retradas de [Shaffer 98]. (a.) (a.) (a.) log ( ) 6 log (a.4) a para < a < a (a.5) a (a.6) a, para a > a (a.7) (a.8) log log (a.9) (a.) H ;log e < H < log e (sére Harôca)