CADERNO 1 (É permitido o uso de calculadora gráfica.)

Transcrição

1 Proposta de teste de avalação [mao 09] Nome: Ao / Turma: N.º: Data: - - Não é permtdo o uso de corretor. Deves rscar aqulo que pretedes que ão seja classfcado. A prova clu um formuláro. As cotações dos tes ecotram-se o fal do eucado da prova. CADERNO (É permtdo o uso de calculadora gráfca.). O Ru va motar um comboo costtuído por uma máqua e oto carruages umeradas de a 8. A motagem deve ser feta de modo que duas carruages cosecutvas ão podem ter ambas úmeros ímpares ou úmeros pares, tal como é eemplfcado a segur. Nestas codções, quatas são as possbldades de motagem? (A) 576 (B) 5 (C) 78 (D) 9. Cosdera, em C, cojuto dos úmeros compleos, a codção: z 0 Arg z π No plao compleo, esta codção defe uma regão. Qual é a área dessa regão, arredodada às cetésmas? (A) 0, 9 (B),6 (C),07 (D) 0,7

2 Proposta de teste de avalação [mao 09]. Cosdera, em C, cojuto dos úmeros compleos, z = + e z = z. π Para um úmero real θ, pertecete ao tervalo π,, o úmero compleo z = e θ verfca a codção z z = z z. Determa o valor de θ arredodado às cetésmas.. Um poto P desloca-se uma reta umérca, o tervalo de tempo = [ 0,0] I (meddo em segudos), de tal forma que a abcssa, o state t é dada por πt ( t ) = s + π.. Recorre às capacdades gráfcas da calculadora e determa, o tervalo de tempo cosderado, o úmero de vezes em que a dstâca do poto P à orgem é gual a,5. Na resposta deves apresetar: a equação do problema; a reprodução, um referecal, do(s) gráfco(s) da(s) fução(ões) vsualzado(s) a calculadora que te permtem detfcar o úmero de soluções da equação... Sabe-se que ( t) Acos( ωt ϕ ) = +, com A > 0, 0 Qual é a fase deste osclador harmóco? ω > e [ 0, π[ ϕ. (A) π (B) (C) π (D) π π FIM (Cadero ) Cotações Total Questões Cadero Potos

3 Proposta de teste de avalação [mao 09] CADERNO (Não é permtdo o uso de calculadora.) 5. Na fgura, está represetada, um referecal o.. Oy, a crcuferêca de cetro a orgem e rao. Sabe-se que: o poto P tem coordeadas (, 0 ) ; [ ABCD ] é um retâgulo; os âgulos POA e BOC são geometrcamete guas e π cada um deles tem ampltude θ, com θ 0,. π Seja f a fução, de domío 0, ABCD. represeta a área do retâgulo [ ] 5.. Mostra que f ( θ ) =. ta ( θ ), em que f θ 5.. Determa uma equação, a forma y = m + b; m R b R, da reta tagete ao gráfco de f o poto de abcssa π. 6. Cosdera a fução f, de domío ] π, [ +, defda por s se ] π, 0[ s f ( ) =,5 se = 0 e e se 0, + ] [ Verfca se f é cotíua em = 0.

4 Proposta de teste de avalação [mao 09] 7. Cosdera a fução f, de domío =. + R, defda por f ( ) l Na fgura, em referecal o.. Oy, estão represetadas as fuções f e f (fução dervada de f ). Sabe-se que os potos A e B têm gual abcssa. O poto A pertece ao gráfco de f e B pertece ao gráfco de f. A dstâca etre os potos A e B é dada por d ( ), em que represeta a abcssa comum aos potos A e B. Determa as coordeadas de B quado a fução d atge um mímo. 8. Na fgura, o plao compleo, estão represetados cco potos: P, Q, R, S e T. Sabe-se que: o poto P é o afo de um úmero compleo z ; w = z O afo do úmero compleo w pode ser: (A) o poto S (B) o poto Q (C) o poto T (D) o poto R Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosdera w =. Sabe-se que w é uma das raízes cúbcas de um úmero compleo z. Determa a raz cúbca de z, cujo afo, o plao compleo, pertece ao quarto quadrate. Apreseta o resultado a forma trgoométrca com argumeto pertecete ao tervalo π, π.

5 Proposta de teste de avalação [mao 09] 0. Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosdera θ ] 0,π[. z = + ( θ ) + θ cos s, com 0.. Mostra que π θ z = e. cosθ 0.. Cosdera o resultado π a) algébrca, se θ = ; π b) trgoométrca, se θ =. π θ z = e e represeta z, a forma: cosθ FIM (Cadero ) Cotações Total Questões Cadero a) 0.. b) Potos

6 Proposta de teste de avalação [mao 09] FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprmeto de um arco de crcuferêca: α r (α : ampltude, em radaos, do âgulo ao cetro; r : rao) Área de um polígoo regular: Semperímetro Apótema Área de um setor crcular: α r (α : ampltude, em radaos, do âgulo ao cetro; r : rao) Área lateral de um coe: πr g (r : rao da base; g : geratrz) Área de uma superfíce esférca: π r (r : rao) Volume de uma prâmde: Área da base Altura Volume de um coe: Área da base Altura Volume de uma esfera: πr (r : rao) PROGRESSÕES Soma dos prmeros termos de uma progressão (u): u Progressão artmétca: + u Progressão geométrca: r u r TRIGONOMETRIA s a + b = s a cos b + s b cos a cos a + b = cos a cos b s a s b s A s B s C = = a b c a = b + c bc cos A COMPLEXOS θ ( ) θ ρ cs θ = ρ cs θ ou ρ e = ρ e θ + kπ θ + kπ θ cs = cs ou e = e ρ θ ρ ρ ρ k { 0,..., } e N PROBABILIDADES µ = p + + p σ = p µ + + p µ Se X é N ( µ, σ ), etão: ( µ σ < < µ + σ ) P X, ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 955 ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( u + v )' = u' + v' u v ' = u' v + u v' u u' v u v' = v v ( u )' = u u' ( R) ( s ) ( cos ) u ' = u' cos u u ' = u' s u u' cos u ( ta u )' = u e = u' e u u = u l ( R + a u' a a a \{ } ) ( l u) u' = u u' = R + u l a ( log u) a \{ } a LIMITES NOTÁVEIS lm + = e s lm = 0 e lm = 0 l lm = 0 + e lm = + R + p ( p ) ( N) 6

7 Proposta de resolução do teste de avalação [mao 09]. Podemos ter sequêcas do tpo CADERNO Maq. I P I P I P I P!! ou Maq. P I P I P I P I!! Nas codções preteddas, o úmero de possbldades é dado por!!, ou seja, 5. Resposta: Opção (B) 5. Na fgura está represetada a regão defda pela codção π z 0 Arg( z) A área da referda regão é dada por: π π = π 0,9 Resposta: Opção (A) 0, 9. z = +, z z = = = = + e cosθ + sθ + = cosθ + sθ + ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) + cos + + s = + cos + + s ( cosθ ) ( sθ ) ( cosθ ) ( sθ ) = Daqu resulta: z = = θ + θ e cos s θ θ θ θ θ θ θ θ 9 6 cos + cos + s + s = + cos + cos s + s 8cosθ = sθ cosθ = sθ No tervalo π π, θ = arcta + π θ, 5 Resposta: θ, 5 ta θ =., tem-se θ

8 Proposta de resolução do teste de avalação [mao 09].. No tervalo I = [ 0,0] pretede-se detfcar o úmero de soluções da equação ( t ) =,5, ou seja, πt s + π =,5. Recorredo às capacdades gráfcas da calculadora, tem-se: Podemos observar que os gráfcos das fuções cosderadas se tersetam 7 vezes, o que sgfca que o poto P se ecotra a uma dstâca de,5 da orgem em 7 mometos dsttos... ( t) t πt πt π πt = s + π = s π = cos π πt π = cos + Coclu-se que a fase do osclador harmóco é π. Resposta: Opção (D) π FIM (Cadero )

9 Proposta de resolução do teste de avalação [mao 09] CADERNO AP 5.. taθ =. Daqu resulta que AP = taθ. π PB ta θ = Daqu resulta que π PB = ta θ. π cosθ sθ cos θ s θ AB = PB PA = ta θ taθ = = sθ cosθ sθ cosθ ( θ θ ) ( θ ) cos s cos = = = sθ cosθ s θ ta θ A área do retâgulo [ABCD] é dada por AD AB, ou seja,. ta θ Assm, tem-se: f ( θ ) =. ta ( θ ) 5.. f π 6 = π = ta = = 6 Poto de tagêca: π π π, f =, cos f ( θ ) = ta ( θ ) = = ta θ s θ π f = = = 6 π s 6 ( θ ) A equação da reta tagete é do tpo y = 6 + b e passa o poto de coordeadas π,. Etão, π = + b. Daqu resulta que π Assm, tem-se y = π Resposta: y = π b = +.

10 Proposta de resolução do teste de avalação [mao 09] 6. A fução f é cotíua em 0 f ( 0) =,5 = lm f ( ) = lm = lm s s = se e só se lm f ( ) lm f ( ) f ( 0) s Fazedo = y, tem-se: s y lm y = = s lm 0 y 0 ( ) s lm s lm 0 = =. e e lm f ( ) = lm = lm = lm lm = lm e e e e e Fazedo = t, tem-se: t e lm =. t 0 t Como lm f ( ) lm f ( ) f ( 0) f ( ) = l = l + l = = =, coclu-se que f é cotíua em = 0. f ( ) = ( l + l ) = d ( ) = f ( ) f ( ) = l + l + d ( ) l l = + + = = d ( ) = 0 = 0 = 0 > 0 ± + 8 = > 0 = = > 0 A dstâca é míma quado a abcssa de A e de B é. Assm, o poto B tem coordeadas, f ( ), ou seja, Resposta: B (,) 0 + d 0 +,. d d ( )

11 Proposta de resolução do teste de avalação [mao 09] z O afo do cojugado de z é o smétrco de P em relação ao eo real (.º quadrate). 8. Repara que w = = z = ( z ) O afo de O afo de ( z ) z é o smétrco em relação à orgem do afo de z (.º quadrate). é a magem do afo de z pela rotação de cetro O e ampltude π. A úca possbldade, das apresetadas, é o poto T. Resposta: Opção (C) o poto T 9. π 7 π π 5π + 6 e e π π e w = = = = = e e As outras raízes cúbcas de z são w e w, sedo: 5π π π + w = e = e w π π π 7π + = e = e = e A raz cúbca de z com argumeto pertecete a Resposta: e 7π π, π é w 7π = e. 0.. π π + e θ e θ θ cos cos + s cos e cos e cos z = = = = θ θ θ θ θ θ z = e cosθ π θ 0.. a) Se π θ =, π π 5π 5π 5π z = e = e = cos s π + cos z = = Resposta: z = 5

12 Proposta de resolução do teste de avalação [mao 09] b) Se π θ =, π π 5π 5π π 6 π 6 6 z = e = e = e e = e π cos z = e π 6 Resposta: z = e π 6 FIM (Cadero ) 6