PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO. Capítulo 8

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1 MATEMÁTICA,.ª CLASSE Actvdades de vestgação PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Pág. Não, porque a descoberta do tesouro ão depede do poto ode se ca a marcha. Localação: da palmera: P = a + b do sâdalo: S = c + d do poto de partda: A = x + y A prmera estaca, E, deve ser colocada o poto de coordeadas: X P x P x a b y b ax A seguda estaca, E, deve ser colocada o poto de coordeadas: X S x S x c d y d c x O poto médo etre as estacas tem de coordeadas: E E a b c d b a c d Tal como se pode verfcar, as coordeadas do poto médo etre as estacas ão depede das coordeadas de A, mas somete da palmera e do sâdalo.. Capítulo 8 Pág. 8. a) ( ) + ( ) = e) = + = b) ( + ) ( ) = + + = = + c) ( + ) = + = d) + Pág = (a + b) + (c + d) = a + b + c + d = (a + c) + (b + d). a). a) + = ( + ) + ( + ) = + + = + Observação: As mages geométrcas de e são smétrcas relatvamete ao exo real. b) b) = ( + ) ( + ) = + + = + Observação: As mages geométrcas de e são smétrcas relatvamete à orgem do referecal.

2 MATEMÁTICA,.ª CLASSE Pág. 70. a) ( + ) = + = + ( ) = = + b) ( ) = = ( ) = + = + 0 c) = d) =. (a + b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd = ac + ad + bc bd = (ac bd) + (ad + bc). ( ) ( + ) = () = 9 = + 9 =. ( ) ( + ) = = + =. ( + ) ( + ) = ( ) ( + ) = = =. ( + ) = + 9 = 9 =.. ( + ) = ( + ) ( + ) = + = ( + ) ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) = = +. (a + b ) = a + ab + (b) = a + ab + b. = a + ab b = (a b ) + ab Pág = a bc d a b ac ad bc bd c d c d c d c d ac ad bc bd ac bd bc ad c d c d c d 7. 9 = ( ) 9 = = Cálculo auxlar = = ( ) 9 + ( ) 9 ( ) = + = = Pág. 7

3 MATEMÁTICA,.ª CLASSE Pág Cosderemos que a + b é uma ra quadrada de +. Etão: a b a ab b 0. Mostrar que Pág. 7 Pretede-se mostrar que o cojugado da soma de dos complexos é gual à soma dos cojugados das parcelas. Sejam = a + b e = c + d a a b a ab b, a 0 a.º membro = a b c d a c b d b a a a Resolvedo a equação (), vem que: a a a a.º membro = a c b d a b c d a b c d a a Substtudo a = y, vem: 0 9 y y 0 y a c b d =.º membro Logo, c.q.m. y y y y é mpossível, uma ve que y = a e a y a a a. 0 Pág Se a = etão b =. Se a = etão b =. Logo, as raíes quadradas de + são e = = ( ) = = + = ( ) = + = 9. R (0, 90) 9. R (0, 90)

4 MATEMÁTICA,.ª CLASSE = + módulo:. = 8 tg arg é argumeto de arg.º Q módulo: argumeto: arg., a magem geométrca de,.º Q módulo: tg arg arg.º Q é argumeto de. módulo:.7 0 argumeto: arg módulo: argumeto: arg módulo: tg arg 7 arg 7.º Q é argumeto de 7. Pág. 77. Pág. 78 módulo: Logo, arg 0 e, argumeto: arg 0 daí que = cs 0.

5 MATEMÁTICA,.ª CLASSE. A magem geométrca de,.º Q tg arg arg.º Q é argumeto de. cs cos s daí que cs.. arg e daí que cs.. A magem geométrca de,.º Q tg arg arg.º Q é argumeto de daí que cs.. b) cs b) cos s cos s cos s cos( ) s( ) cs Seja cs etão cs Dode cs cs Logo, cs cs0 cos0 s 0 0. Pág arg e, daí que cs. cos s Pág. 79 c) Seja cs Temos que:, etão cs.º membro =.º membro = e cs cs cs cs cs cs cs0 cs cs =.º membro

6 MATEMÁTICA,.ª CLASSE De outro modo: Seja: a b,etão: a b e.º membro = a b.º membro = a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b =.º membro a b a b. a) cs cs b) cs cs0 cs cs c) cs cs cs cs0 cs cs 0 cs. Há uma fdade de soluções. Por exemplo: cs cs cs 0 cs cs cs 0. a) cs cs Cálculo auxlar Seja, etão: 8cs 8cs0 8 pela propredade assocatva da multplcação pela alíea a). a) Assm: tg arg arg.º Q é um argumeto de Dode: b) b) cs e cs cs cs cs cs 9 8 cs = 8 cs 9, sedo cs 9 cs 9 9 cs 9 cs cs 80 7 cs cs 80 cs = cs cs Cálculo auxlar Seja, etão: tg arg Pág. 8 arg( ).º Q 7 é um argumeto de 7 cs

7 MATEMÁTICA,.ª CLASSE c) 00 cs 00 cs cs Seja cs cs a) cos Se cs cs etão cs, sedo:.º membro = cs cs - cos s cos s cos s cos s cos =.º membro b) cos.º membro = cs cs cs cs cos s cos s cos s cos s cos =.º membro c) cos.º membro = cs cs cs cs s cos s cos s cos s cos cos =.º membro d) s.º membro = cs cs cs cs cos s cos s cos s cos s s s =.º membro cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs Cálculo auxlar Seja, etão: Pág. 8 7

8 MATEMÁTICA,.ª CLASSE tg arg arg( ).º Q é um argumeto de cs tg arg arg.º Q logo cs é um argumeto de Seja tg arg é um argumeto de arg.º Q cs cs cs cs cs cs cs 8 7 cs 8 cs0 cs cs cs Cálculo auxlar Seja w, etão: w. tg arg w é um argumeto de w arg w.º Q w cs cs cs w cos s 0 Cálculo auxlar Seja, etão: tg arg arg.º Q cs Seja, etão: é um argumeto de 7. cos cs cs cs 8

9 MATEMÁTICA,.ª CLASSE 8. a) cs Pág. 8 Logo cs k cs, k 0, Se k = 0, 0 cs Se k =, cs b) cs k cs, 0,,, k 8k cs, k 0,,, Se k = 0 0 cs Se k = cs 9 Se k = cs 7 Se k = cs Cálculo auxlar Seja w, etão: w tg arg w arg w.º Q é um argumeto de w Seja tg arg arg.º Q é argumeto de c) 8. a) b) cs k cs, 0,,,, k k cs, k 0,,,, k cs, k 0,,,, 0 Se k = 0 0 cs 0 7 Se k = cs 0 Se k = cs 0 Se k = cs 0 9 Se k = cs k cs0 cs, k 0,, k cs, k0,, k = 0 0 cs0 k = cs k = cs, logo S cs 0,cs,cs 0 cs k cs, k 0,,, k cs, k 0,,, 9

10 MATEMÁTICA,.ª CLASSE k = 0 0 cs k = cs k = cs 7 k = cs, logo d) S,0, c) 7 S cs,cs,cs,cs 0 Como = cs, vem: cs k cs, 0,,,,, k 8k cs, k 0,,,,, k = 0 0 cs 7 k = cs k = cs cs 8 k = cs k = k = logo: cs 9 cs cs 8 7 S cs, cs cs, cs 8 cs, cs 8 e) Faedo cs, temos: cs cs( ) cs( ) cs( ) 0 k k k k 0 0 k k k k 0 cs 0 cs cs S 0, cs 0, cs, cs Pág = cs k k cs cs cs, k 0,,,,, Etão: 0 cs cs cs cs 7 cs 9 cs cs cs 0

11 MATEMÁTICA,.ª CLASSE 0. Sabemos que, daí que: tg arg Pág. 87 arg( ).º Q é um argumeto de cs ; Iterpretação: O produto de cs por cada úmero complexo cuja magem, o plao complexo, é um vértce do trâgulo, é o úmero complexo cuja magem é o trasformado de a rotação de cetro (0, 0) e âgulo gual a.. Seja rcs,etão o seu smétrco é: rcs Pág. 88 cs cs cs cs 0.. Calculado a soma, a forma algébrca e w, w, obtém-se o trasformado do trâgulo de vértces, e pela traslação T, assm: u ' w ' w ' w w. Logo, a resposta correcta é a (B), uma ve que: cs cs cs Resposta: (B). cs Para que seja magáro puro de coefcete postvo, temos: k, k k, k Por exemplo, Resposta: (B). 0.. cs cs cs = cs cs cs cs cs cs cs cs cs. = 0 + = ( ) + = + módulo: argumeto: arg : cs Resposta: (C).. As mages geométrcas de úmeros cojugados são smétrcas relatvamete ao exo real. Resposta: (D).. w cs w, é dobro do smétrco de w. Resposta: (C).

12 MATEMÁTICA,.ª CLASSE. w = ( + ) = = Dode w é um úmero real. Resposta: (A). 7. Sedo cs 9, cs0 etão, cs cs 9 9. Do eucado podemos retrar que: cs com. Resposta: (C). cs 9 As mages de e são smétrcas em relação ao exo real. Dode: arg arg. ( ) ( ) 9 = [( ) ] ( ) ( ) = ( ) ( + ) = ( ) = + = + Pág. 89. Iverso do cojugado de w é w, sto é,, dode: Na forma trgoométrca: w tg arg w arg.º Q w Daí que: cs w. é um argumeto de w. O polómo x x + x + é dvsível por x +, porque P ( ) = 0.. x x x x x x 0 x x 0 x x x Os eros do polómo são, + e.... cs cs cs =cs cs cs cs cs w cs w cs w cs w w 8 w

13 MATEMÁTICA,.ª CLASSE 9 7 w 9 Assm, vem: A OA OC OABC OA OA OA OA OA w Assm: cs cos s. = Portato = é também um úmero complexo cuja magem geométrca é um vértce do losago. O perímetro do losago é. Logo, dode AB =. AB OB OA 9 OB 9 OB 7 OB Portato, OB 7 Resposta:, 7 e 7 Como arg arg e AÔC, etão:, logo arg cs cos s Resposta: = + e = + 8. tem um argumeto, logo rcs. cs cs cs cs cs cs cs cs tem módulo, logo cs Etão: 0 = r cs cs cs r cs 0 cs 0 0 7cs 0 cs Sabemos que: OA cs cs a área do rectâgulo [OABC] é. 7 cos0 s0 cos s 7 0 7

14 MATEMÁTICA,.ª CLASSE 9. A magem geométrca de pertece ao. quadrate (exos ão cluídos). Logo, é da forma: rcs, com 0 r cs E como 0, etão: 0. Daí que a magem geométrca de r cs, com 0, ão pode pertecer ao. quadrate, mas pode pertecer ao.,. ou. quadrates. 0. Seja rcs, tal que, ou, uma ve que a magem geométrca de pertece à bssetr dos quadrates pares. Assm: r cs ou r cs r ou 0 r 0 cs 0 0 cs ou seja: r ou r 0 cs 0 0 cs Logo, a magem geométrca de 0 pertece ao exo 0 0 real, uma ve que arg ou arg Etão, uma equação da recta à qual pertece a magem geométrca de 0 é y = 0 ou Im() = 0.