Números Complexos. Conceito, formas algébrica e trigonométrica e operações.

Transcrição

1 Números Complexos Conceto, formas algébrca e trgonométrca e operações.

2 Conceto (parte I) Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos: Qual o resultado da operação X² + = 0? X² = - X = -

3 Conceto (parte II) Por sso, fo crado um número especal, que denomnamos algebrcamente como, que elevado ao quadrado resulte em -, matematcamente: I² = - = - Esse novo conceto possbltou a resolução da equação mostrada anterormente

4 Conceto (parte III) Desse modo: X² + = 0 X = - (como = -) X =

5 Conclusão do conceto Assm, fo crado um novo conjunto numérco denomnado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números magnáros, que representamos pela letra C. Conjunto dos números complexos = C

6 Relação fundamental O conjunto dos números complexos possu, desse modo, a relação fundamental onde: I² = - Ou = -

7 Exemplos - = (-) -4 = 4(-) Aplcando a relação fundamental: Aplcando a relação fundamental: - = -4 =

8 Forma algébrca (parte I) O número complexo possu uma parte real e outra magnára. Como a parte magnára conta com a presença do, sua forma algébrca é a + b Parte real Parte magnára

9 Forma algébrca (parte II) Um número complexo que não possu parte real (a = 0) é denomnado número complexo puro. Um número complexo que não possua a parte magnára (b = 0) é denomnado número real e os números magnáros que possu ambas as partes são smplesmente chamados de números complexos.

10 Exemplos + 4 número complexo 8 - número complexo 6 número magnáro puro 4 número real - número magnáro puro ² número real

11 Conjugado de um número complexo Um número complexo z = a + b possu um conjugado que é representado por z, onde: z = a b (lê-se conjugado de z)

12 Exemplos Dados os números complexos, encontrar seus respectvos conjugados: z = 4 z = + 4 z = z = - z = + z = - z = z = z = -3 8 z =

13 Operações com números complexos na forma algébrca Como os números reas possuem forma real e magnára separadas, as operações de adção, subtração, multplcação, dvsão e potencação dferem um pouco das habtuas com números reas.

14 Adção e subtração com números complexos na forma algébrca Para somar e subtrar números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e magnára separadamente. (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) (a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d)

15 Exemplos ( + 4) + (3 + ) = ( + 3) + (4 + ) = ( + 4) ( +7) = ( - ) + (4-7) = - -3 (3 + ) (4 + ) = (3-4) + ( - ) = - + ( + 4) = + ( + 4) = + 5

16 Multplcação com números complexos na forma algébrca Para efetuar a multplcação aplca-se smplesmente a dstrbutva: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd² (a + b)(c + d) = ac + ad + bc bd (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(-d + c)

17 Exemplos ( + 3)( + ) = ² = = ( + ) = + ( - )(-3 + ) = ² =

18 Dvsão com números complexos na forma algébrca Para se dvdr números complexos, deve-se multplcar ambos os números pelo conjugado do complexo do denomnador. z z z z. z. z

19 Exemplo ) )( ( ) )( (3 3

20 Potêncas de (parte I) Nas potêncas de notam-se regulardades de quatro em quatro no expoente:

21 Potêncas de (parte II) Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potênca, dvdmos o expoente por 4 e resolvemos a potênca utlzando como expoente o resto da dvsão.

22 Exemplo = 3 = -

23 Número complexo no plano de Argand-Gauss Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscssas é a reta dos números reas e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denomnado plano de Argand-Gauss.

24 Exemplo Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 3 + y (reta magnára) 4 3 z = x (reta dos reas)

25 Módulo e argumento de um número complexo (parte I) No gráfco, o módulo de um número complexo z = a + b é o segmento de reta que va do ponto orgem O(0,0) até o ponto do P(a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o exo das abscssas em sentdo ant-horáro. = arg(z) z = a + b

26 Módulo e argumento de um número complexo (parte II) a a b =arg(z) z = a + b b sn cos b a tan b a

27 Forma trgonométrca Utlzando as relações dadas no slde anteror e aplcando-as à forma algébrca, obtemos a forma trgonométrca de um número complexo. sn cos b b a a sn cos z a b z z cos (cos sn sn )

28 Exemplo Passar para a forma trgonométrca o número complexo z = sn 3 cos ) sn (cos 3 ) arg( cos 3 sn z z z x x

29 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Multplcação Para multplcar números complexos na forma trgonométrca utlzamos a fórmula: z z cos( ) sn( )

30 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Dvsão A fórmula para efetuar a dvsão entre dos números complexos na forma trgonométrca é a segunte: z z cos sn

31 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Potencação Para efetuar a potencação entre números complexos na forma trgonométrca utlzamos esta fórmula: z n z n cos n snn

32 Operações com números complexos na forma trgonométrca Radcação De forma análoga à potencação, para efetuar a radcação com números complexos na forma trgonométrca utlzamos a formula: k k w n z cos sn n n