ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS MATRIZES NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.

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1 ESCOL DE PLICÇÃO DR. LFREDO JOSÉ LI UNITU POSTIL MTRIZES PROF. CRLINHOS NOME DO LUNO: Nº TURM: blog.portalpostvo.com.br/captcar

2 MTRIZES Uma matrz de ordem m n é qualquer conunto de m. n elementos dspostos em m lnhas e n colunas. Representação Genérca Cada elemento de uma matrz é localzado por dos índces: a. O prmero ndca a lnha, e o segundo, a coluna. matrz pode ser representada abrevadamente por uma sentença matemátca que ndca a le de formação para seus elementos. (a)mn le de formação. E.: (a) a. CLSSIFICÇÃO DS MTRIZES Em função dos valores de m e n, classfca-se a matrz (a)mn em: Matrz retangular, se m n. E.: Matrz lnha, se m. E.: [ -] Matrz coluna, se n. E.: Matrz quadrada, se m n. E.: blog.portalpostvo.com.br/captcar

3 E.: é uma matrz quadrada de ordem. Numa matrz (a)mn quadrada de ordem n, os elementos a com consttuem a dagonal prncpal. Os elementos a com n formam a dagonal secundára. E.: TIPOS DE MTRIZES Matrz Nula É a matrz onde todos os elementos são nulos. E.: Matrz Oposta Matrz oposta de uma matrz (a)mn é a matrz (b)mn tal que b -a. E.: Matrz undade ou matrz dentdade matrz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da dagonal prncpal são guas a e os demas elementos são guas a, é denomnada matrz undade ou matrz dentdade. Representa-se a matrz undade por In. Eemplo: I I Matrz tranposta ( t ) Se é uma matrz de ordem m n, denomnamos transposta de a matrz de ordem n m obtda pela troca ordenada das lnhas pelas colunas. Representase a matrz transposta de por t. Eemplo: t 8 a sua transposta é blog.portalpostvo.com.br/captcar

4 Igualdade de Matrzes Seam as matrzes e de mesma ordem. Se cada elemento de for gual ao elemento correspondente de, as matrzes e são dtas guas. [ a ] mn [ b ] mn Produto de um Número Real por uma Matrz Se é um número real, o produto desse número por uma matrz (a)mn é uma matrz (b)mn tal que b. a E.: Sendo Propredades do Produto de um Número por uma Matrz Se e são matrzes de mesma ordem e seguntes propredades: e são números reas, valem as a) b). ( ) c). (b. ) (. b). d) ( b).. b. e) (. ) T. T Operações com matrzes dção e Subtração: a adção e subtração de duas matrzes do mesmo tpo é efetuada somando-se ou subtrando-se os seus elementos correspondentes. Propredades da dção: Comutatva: ssocatva: ( C) ( ) C Elemento Neutro: Elemento Oposto: (-) Eemplo: Dadas as matrzes, e C 6, calcule: blog.portalpostvo.com.br/captcar

5 blog.portalpostvo.com.br/captcar a) 9 b) 8 6 C t Produto de Matrzes Dadas duas matrzes (a)mn e (b)mn, o produto da matrz pela matrz, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matrz for gual ao número de lnhas da matrz. Então: matrz produto ( )mn terá número de lnhas de e número de colunas de. Os elementos da matrz produto são obtdos multplcando-se cada elemento das lnhas da matrz pelo correspondente elemento das colunas da matrz e adconando os produtos obtdos. Eemplos: ) Dadas as matrzes e, calcule.:.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C ) Dada as matrzes: Calcule: a)..

6 b).. Propredades do Produto de Matrzes Sendo,, C matrzes, e a um número real, e supondo as operações abao possíves, temos que: a).(.c) (.).C (SSOCITIV) b).(c)..c (DISTRIUTIV À DIREIT) c) ().C.C.C (DISTRIUTIV À ESQUERD) d) I É IDENTIDDE e) (. ). ( ). (. ) f) (. ) T T. T Observações Importantes:.ª multplcação de matrzes não é comutatva, sto é, estem matrzes e tas que..ª Na multplcação de matrzes não vale o anulamento do produto, sto é, podemos ter. mesmo com e..ª Não vale também a smplfcação, sto é, podemos ter C, mesmo com e C. Matrz Inversa Uma matrz quadrada de ordem n dz-se nversível ou não sngular se, e somente se, estr uma matrz que ndcamos por -, denomnada nversa de, tal que: In E.: matrz é a nversa de pos I. blog.portalpostvo.com.br/captcar 6

7 blog.portalpostvo.com.br/captcar 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) che os elementos da matrz (a) de ordem, em que a Resp.: 8 8 ) Escreva os elementos da matrz (a) de ordem, defnda por ( ) se se a,, Resp.: ) Escreva os elementos da matrz (a), defnda por > se se a,, Resp.: ) Determne e y, sabendo que 6 7 y y Resp: e y - ) Determne a, b, e y, sabendo que 7 b a y b a y Resp:, y, a e b - 6) Dada as matrzes z e y 8 6 6, calcule, y e z para que t. Resp:, y 8 e z 7) Dada a matrz, obtenha a matrz X tal que t X.

8 blog.portalpostvo.com.br/captcar 8 Resp: 6 8) Sendo (a) tal que a e (b) tal que b, calcule. Resp: [ ] 9) Calcule a matrz X, sabendo que ( ) X e T,. Resp: ) Dadas as matrzes e. Resolva X Resp: 9 6 ) Efetue: a) Resp: b) [ ] Resp: [7] c) Resp: ) Dada a matrz, calcule. Resp: ) Determne a nversa da matrz. Resp: EXERCÍCIOS DE FIXÇÃO D PRENDIZGEM ) Construa as matrzes:

9 blog.portalpostvo.com.br/captcar 9 a) (a ) tal que a () resp: b) (b ) tal que b se se...,..., resp: ) Quantos elementos possu uma matrz de ordem. resp: ) Se uma matrz é do tpo m n. Qual a ordem de t? resp: n m ) Dadas as matrzes 7 e, calcule: a) (t ) resp: / / / / b) t -( t ) rep: 6 ) Determne a matrz X, tal que X, para e resp: X 6) Sendo e, determne a matrzes X e Y, tal que Y X Y X resp: X 6 / / / e Y / / / 7) Calcule os produtos:

10 blog.portalpostvo.com.br/captcar a). resp: b). resp: 9 8 8) Sendo, calcule -I. resp: ) Sendo e 7, determne a matrz X tal que.x. resp: X ) Encontre se estr a nversa da matrz: a) resp: - / / / / b) resp: ) (Unesp) Determne os valores de, y e z na gualdade a segur, envolvendo matrzes reas : resp:., y e z

11 ) (Unesp) Sea (a ) a matrz real defnda por a se e a - se >. Calcule. resp: ) (Fe) Se as matrzes (a ) e (b ) estão assm defndas: a a, se, se b, se e b, se onde,, então a matrz é: resp: d ) (Fe) Dadas as matrzes e, a matrz de de a ordem que é solução da equação matrcal, onde representa a matrz nula de ordem é: resp: a ) (Uel) Consdere as matrzes M e M representadas a segur. Conclu-se que o número real a pode ser : blog.portalpostvo.com.br/captcar

12 a) b) c) d) - e) - resp: b 6) (Uel) Seam as matrzes e, respectvamente, e p q. Se a matrz. é, então é verdade que: resp: b a) p e q b) p e q c) p e q d) p e q e) p e q 7) (Unro) Consdere as matrzes, e C na fgura adante: adção da transposta de com o produto de por C é: resp: d a) mpossível de se efetuar, pos não este o produto de por C. b) mpossível de se efetuar, pos as matrzes são todas de tpos dferentes. c) mpossível de se efetuar, pos não este a soma da transposta de com o produto de por C. d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tpo. e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tpo. 8) (Uel) Sobre as sentenças: I. O produto de matrzes. é uma matrz. II. O produto de matrzes. é uma matrz. III. O produto de matrzes. é uma matrz quadrada. é verdade que: a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas. resp: b blog.portalpostvo.com.br/captcar

13 9) (Cesgranro) Cláudo anotou suas médas bmestras de matemátca, português, cêncas e estudos socas em uma tabela com quatro lnhas e quatro colunas, formando uma matrz, como mostra a fgura. Sabe-se que as notas de todos os bmestres têm o mesmo peso, sto é, para calcular a méda anual do aluno em cada matéra basta fazer a méda artmétca de suas médas bmestras. Para gerar uma nova matrz cuos elementos representem as médas anuas de Cláudo, na mesma ordem da matrz apresentada, bastará multplcar essa matrz por: resp: e ) (Ufr) ntôno, ernardo e Cláudo saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domngo. s matrzes a segur resumem quantos chopes cada um consumu e como a despesa fo dvdda: S refere-se às despesas de sábado e D às de domngo. blog.portalpostvo.com.br/captcar

14 Cada elemento a nos dá o número de chopes que pagou para, sendo ntôno o número, ernardo o número e Cláudo o número (a representa o elemento da lnha, coluna de cada matrz). ssm, no sábado ntôno pagou chopes que ele própro bebeu, chope de ernardo e de Cláudo (prmera lnha da matrz S). a) Quem bebeu mas chope no fm de semana? resp: Cláudo b) Quantos chopes Cláudo fcou devendo para ntôno? resp: blografa: Curso de Matemátca Volume Únco utores: anchn&paccola Ed. Moderna Matemátca Fundamental - Volume Únco utores: Govann/onorno&Gvann Jr. Ed. FTD Conteto&plcações Volume Únco blog.portalpostvo.com.br/captcar