Sistemas de equações lineares

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1 Sstemas - ALGA - / Sstemas de equações lneares Uma equação lnear nas ncógntas ou varáves x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b onde a ; a ; :::; a n ; b são constantes reas Uma solução de uma equação lnear a x + a x + ::: + a n x n (s ; s ; :::; s n ) de números reas tal que a s + a s + ::: + a n s n = b = b é uma sequênca Um sstema de equações lneares nas ncógntas x ; x ; :::; x n é um conjunto nto de equações lneares nas ncógntas x ; x ; :::; x n Uma solução de um sstema de equações lneares a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b a m x + a m x + ::: + a mn x n = b m é uma sequênca (s ; s ; :::; s n ) de números reas que é solução de cada uma das equações lneares, ou seja tal que a s + a s + ::: + a n s n = b a s + a s + ::: + a n s n = b a m s + a m s + ::: + a mn s n = b m Dos sstemas de equações lneares são equvalentes se têm o mesmo conjunto de soluções Um sstema de equações lneares pode-se class car em: - sstema mpossível - não tem qualquer solução - sstema possível e determnado - tem uma únca solução - sstema possível e ndetermnado - tem mas do que uma solução Cama-se solução geral ou conjunto solução de um sstema de equações lneares ao conjunto de todas as suas soluções e tem-se, para um sstema de equações em R: - Se o sstema é mpossível - o conjunto solução é vazo - Se o sstema é possível e determnado - o conjunto solução tem um elemento - Se o sstema é possível e ndetermnado - o conjunto solução é n nto

2 Sstemas - ALGA - / Forma matrcal de um sstema de equações lneares Um sstema de equações lneares a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b a m x + a m x + ::: + a mn x n = b m pode ser representado na forma a a a n a a a n x x = b b a m a m {z a mn } A x n {z } X b m {z } B A matrz A denomna-se a matrz dos coe centes ou matrz smples, a matrz X denomna-se matrz das ncógntas e a matrz B denomna-se matrz do termos ndependentes a a a n a A matrz a a n a m a m a mn abreva por [AjB] : b b b m denomna-se matrz amplada do sstema, que se Se (s ; : : : ; s n ) é solução de um sstema com a forma matrcal AX = B, então S = [s ; : : : ; s n ] > satsfaz AS = B: As seguntes operações, quando efectuadas sobre um sstema de equações lneares, transformam-no num sstema equvalente, ou seja, não alteram o seu conjunto solução: (Op) Trocar a ordem de duas equações; (Op) Multplcar ambos os lados da equação por uma constante não nula; (Op) Adconar a uma equação, outra multplcada por uma constante Importante: Efectuar cada uma destas operações sobre um sstema de equações lneares é equvalente a efectuar a correspondente operação elementar sobre as lnas da matrz amplada do sstema

3 Sstemas - ALGA - / Resolução de um sstema Método de elmnação de Gauss-Jordan: Utlzando o método de elmnação de Gauss descrto para matrzes cega-se, a partr da matrz amplada do sstema, a uma matrz em forma condensada A solução geral do sstema obtem-se medatamente, como se pode ver de seguda: Seja AX = B um sstema (possível) de m equações lneares a n ncógntas Suponamos que a segunte matrz condensada c c c n c c n c n fo obtda, através de operações elementares, da matrz amplada [AjB] Então o sstema AX = B é equvalente ao sstema: x + c x + x + c x + x + + c n x n = d ou seja é equvalente ao sstema: d d d x + c x + x + + c n x n = d x + + c n x n = d x + x + x + x + x + + x n = x + x + x + x + x + + x n = x = c x c x c n x n + d x = c x c n x n + d x = c n x n + d Este últmo sstema fornece a solução geral do sstema ncal Observe-se que no prmero membro das equações guram as varáves dependentes, que correspondem aos pvots na matrz condensada e no segundo membro as varáves lvres ou ndependentes Método de elmnação de Gauss: Utlzando também o método de elmnação de Gauss cega se, a partr da matrz amplada do sstema, a uma matrz em forma de escada O sstema correspondente a essa matrz resolve-se então por substtução, até obter a solução geral

4 Sstemas - ALGA - / Grau de ndetermnação de um sstema Consdere-se um sstema AX = B; com A do tpo m n (m equações e n ncógntas) O número de varáves lvres na solução geral do sstema cama-se grau de ndetermnação do sstema Um sstema possível e determnado tem grau de ndetermnação Como o número de varáves lvres é gual ao número de ncógntas menos o número de pvots da matrz em forma de escada obtda a partr da matrz amplada do sstema e o número de pvots é exactamente a característca da matrz, podemos conclur que o grau de ndetermnação é n car [AjB] : Pode-se conclur anda que um sstema possível é determnado se car [AjB] = n: Solução geral de um sstema ndetermnado Seja AX = B (A mn ) um sstema possível e ndetermnado, tal que car [AjB] = r A solução geral do sstema pode-se apresentar na forma matrcal S = S +x C +x C +: : :+x n r C n r ; em que S ; C ; : : : C; n r são matrzes coluna de tpo n e x ; x ; x n r correspondem às varáves lvres da solução Fazendo todas as possíves concretzações para as varáves x ; x ; x n r obtêm-se todas as possíves soluções do sstema Em partcular S é solução (basta fazer x = x = x n r = ): Sstemas omogéneos Um sstema de equações lneares AX = B dz-se omogéneo se B = : Qualquer sstema de equações omogéneo é possível dado admtr sempre a solução nula, que se cama solução trval Caso o sstema seja ndetermnado as outras soluções dzem-se não trvas A qualquer sstema de equações AX = B corresponde um sstema omogéneo, o sstema AX = ; que se cama sstema omogéneo assocado ao sstema AX = B Se S = S + x C + x C + : : : + x n r C n r é a solução geral do sstema AX = B então S = x C + x C + : : : + x n r C n r é a solução geral do sstema omogéneo assocado Dscussão e class cação de um sstema Consdere-se o sstema AX = B de m equações a n ncógntas Utlzando o método de elmnação de Gauss-Jordan, através da análse da matrz condensada obtda a partr da matrz amplada [AjB] pode-se conclur que: mpossível se e só se cara = car [AjB] possível e determnado se e só se cara = car [AjB] e cara = n O sstema é: possível e ndetermnado se e só se cara = car [AjB] e cara < n (o grau de ndetermnação é n cara) Nota: Para class car um sstema basta, portanto, determnar a característca de [AjB] ; para o que não é necessáro condensar a matrz, sendo su cente obter uma forma de escada da matrz ncal

5 Sstemas - ALGA - / Cálculo da nversa de uma matrz pelo método de Gauss-Jordan Seja A uma matrz nvertível Pretende-se encontrar uma matrz de ordem n tal que AB = I n : Seja B = B B B B n uma matrz com colunas B ; B ; B ; ; B n Tem-se: AB = I n, A B B B B n = I n,, AB AB AB AB n = In,, AB = ; AB = ; AB = ; ; AB n = A determnação da nversa da matrz A pode então fazer-se pela resolução de n sstemas de equações lneares, todos com a mesma matrz smples Como a nversa de uma matrz é únca, cada um dos sstemas anterores é possível e determnado, pelo que car (A) = n e a forma condensada da matrz A é In: Usando o método de Gauss-Jordan é possível resolver os n sstemas em smultâneo, condensando a matrz aumentada: A Quando se cega, no lado esquerdo à forma condensada de A, que é I n, do lado dreto temos em cada coluna a solução do sstema correspondente, ou seja, temos a matrz A : Resumndo: Para calcular a nversa de uma matrz A : [AjI n ]! {z!!} In ja Método de elmnação de Gauss-Jordan Pode-se anda conclur o segunte resultado que fornece um modo de determnar quas são as matrzes nvertíves: Teorema Uma matrz quadrada A; de ordem n; é nvertível se e só se cara = n: