Teoremas de Otimização com Restrições de Desigualdade

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1 Teoremas de Otmzação com Restrções de Desgualdade MAXIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÃO DE DESIGUALDADE Consdere o segunte problema (P) de maxmzação condconada: Maxmze Fx onde x x,x,...,x R gx b As condções de Prmera Ordem (ou as condções necessáras) são estabelecdas no teorema a segur. Teorema : Sejam F(x) e g(x) funções contínuas e dferencáves, onde. Suponha que x x, x x x,x,...,x R problema P acma. g x b, então Suponha também que se em g x x, para todo =,,...,. é uma solução do x a restrção é efetva

2 Então para a função lagrange real, tal que, junto com o x x, x L x, F x g x b, exste um número, satsfazem as seguntes condções: (a) (b) (c) (d) L x, x L x, g x b para todo =,,..., L x,. gx b o caso das condções de Segunda Ordem, quando o problema de maxmzação envolve uma restrção de desgualdade, é necessáro consderar o segunte aspecto. Se na solução x a restrção for efetva gx b, então o problema podera ter sdo resolvdo maxmzando-se F(x) sujeto à restrção de gualdade g(x) = b. Portanto, nesse caso vale o Teorema já vsto que especfca as condções de segunda ordem desse tpo de problema. Por outro lado, se na solução x a restrção não for efetva gx b, então o problema podera ter sdo resolvdo maxmzando-se F(x), sem nenhum tpo de restrção sobre os valores das varáves de controle x. Então, as condções de segunda ordem desse caso são exatamente as mesmas do problema de maxmzação não condconada de F(x).

3 Resumndo-se, pode-se estabelecer as seguntes Condções de Segunda Ordem para o problema P acma: Suponha que x x, x e atendem as condções de prmera ordem especfcadas no Teorema acma. Para os mesmos consdere as seguntes duas úncas alternatvas: L x,. A Restrção é Efetva: gx b a Matrz Hessana Orlada calculada no ponto x, segunte forma: H, H3, H4 Máxmo Local Estrto do problema P. ou g x g g x x g L L H x x x x g L L x xx x b. esse Caso, se também, é tal que os seus k-ésmos menores prncpas alternam de valor da, etc, então x x, x é um ponto de. A Restrção não é Efetva: L x, também a Matrz Hessana calculada no ponto x g x b ou g x b. esse caso, se F x F x F x x x x x nx Fx Fx Fx H D F x xx x x nx Fx Fx Fx xx n x x n x n for Defnda egatva, então x x, x problema P. é um ponto de Máxmo Local Estrto do 3

4 Exemplo: Maxmze Fx, y x.y x y Defnndo-se a função Lagrange condções: () () (3) (4) (5) L x, y, x y x L x, y, y x y L x, y, L x, y, x.y x y, temos as seguntes x y L x,. x y Para resolver esse sstema, podemos consderar ncalmente que a solução trval x ; y ; satsfaz essas 5 condções. Suponha agora que y x x y x e y. Então de () e () temos que: ou que y x e que Então de (5) temos que y x ou que x, y e x Mas de (4) temos que é necessáro que. Portanto, necessaramente, ou seja, necessaramente x = y Temos então aos seguntes 3 pontos canddatos a solução do problema: P,, ; P,, ; P3,, ; 4

5 Para avalar as condções de ª ordem, temos as seguntes dervadas: Lxx ; ; Lxy Lyx ; g x Lyy x ; gy y Fxx ; Fyy ; Fxy Fyx Como no ponto P a restrção não é efetva, devemos analsar F H F xx xy F F xy yy ou H,,, que é ndefndo. Como nos demas 4 pontos a restrção é efetva, devemos analsar gx g y x y H gx Lxx Lxy x gy Lxy L yy y E como = e M =, basta apenas examnar o snal de H : H P 8 é defnda negatva H P3 8 é defnda negatva Conclusão: P,, e P3,, são soluções do problema. 5

6 MIIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÃO DE DESIGUALDADE Consdere agora o problema de mnmzação condconada: Mnmze Fx onde x x,x,...,x R gx b Com uma smples adaptação desse problema, podemos resolve-lo como um problema de maxmzação condconada: Maxmze G(x) = - Fx onde x x,x,...,x R gx b Portanto, um problema típco de mnmzação com restrção de desgualdade necessta ser formulado como o segunte problema (P): Mnmze Fx onde x x,x,...,x R gx b Defnndo da mesma forma a função Lagrange seguntes condções de ª ordem: (a) (b) (c) (d) L x, x L x, g x b L x, F x g x b, tem-se agora as para todo =,,..., L x,. gx b o caso das condções de ª ordem, para os pontos x onde a restrção não é efetva, necesstamos que a Matrz Hessana da função F(x) seja Defnda Postva. Para os pontos x onde a restrção é efetva, necesstamos que a Matrz Hessana Orlada da função de Lagrange L x, também seja Defnda Postva. 6

7 CASO GERAL DE MAXIMIZAÇÃO COM VÁRIAS EQUAÇÕES DE RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE Consdere o segunte problema (P) de maxmzação condconada: Maxmze Fx onde x x,x,...,x R g x b g x b K g x b K As condções de Prmera Ordem (ou as condções necessáras) para a solução desse problema são estabelecdas no teorema a segur. Teorema : Sejam F(x), g (x), g (x),, g K (x) funções contínuas e dferencáves, onde. Suponha que x x, x x x,x,...,x R acma. Suponha também que no ponto e as demas K K x, restrções não são efetvas j é uma solução do problema P3 K equações de restrções são efetvas g x b j g x b. Para smplfcar a notação, suponha que são as prmeras K equações de restrções que são as efetvas e suponha que em relação a esse sub-conjunto de equações vale a Qualfcação de Restrções ão Degeneradas (QRD), ou seja, a matrz jacobana tem Posto ou Rank gual a K g x g x g x x x x g x g x g x Dg x x x x gk x g K x g K x x x x 7

8 Então, para a função lagrangeana ou L x, F x g x b g x b... K gk x bk L x, F x g x b exstem os multplcadores,,..., K x, x, x,,,..., K valem as seguntes condções: K, tal que para (a) (b) (c) (d) L x, x L x, g x b para todo =,,..., para todo =,,..., K para todo =,,..., K L x,. g x b para todo =,,..., K o caso das condções de Segunda Ordem (as condções sufcentes) para a solução do problema P3 acma, as mesmas são estabelecdas através do teorema a segur.: Teorema 3: Sejam F(x), g (x), g (x),, g K (x) funções contínuas e dferencáves, onde x x,x,...,x R. Consdere em relação a essas funções o problema de otmzação P3 acma especfcado. Defna a função Lagrangeana L x, F x g x b a) Exstem x x, x e,,..., K acma, ou seja, que: (a.) (a.) L x, x L x, K e suponha que: que satsfazem as condções do Teorema g x b para todo =,,..., para todo =,,..., K (a.3) (a.4) para todo =,,..., K L x,. g x b para todo =,,.., K 8

9 b) Que para o mesmo x x, x, K equações de restrções são efetvas (para smplfcar a notação, suponha que estas são exatamente as prmeras K equações) e as demas K K restrções não são efetvas, sendo que a Matrz Hessana Orlada (envolvendo apenas as restrções efetvas) g g x x gk g K x x H g g K L L x x x x x g g K L L x x xx x calculada no ponto x,, é tal que os valores dos seus últmos prncpas alternam em snal, sendo que o snal do últmo K K k-ésmos menores H é gual ao snal de ; Então x x, x é um ponto de Máxmo Local Estrto do problema P3. 9

10 Exemplo: Maxmzar U xx 8x sujeto a xx x e x Condções de ª Ordem da Solução: L x x 8x x x x x 3 L x x ) L x 8 x ) 3 3) 3,, 4) x x 5) x e x 6) x x x e x 7) 3 ª Possbldade: Solução Interna x e x De (7), devemos ter que e. Portanto, de () e (), temos 3 que x e x 8 ou que x 6 x e. Por outro lado, de (6) temos que x x ou x x Mas esses dos resultados mplcam que x 6 x ou que x 5. Mas sso vola a condção (5). ª Possbldade: Solução de Canto: x e x De (7) temos que e de () que x ou que. Isso, junto com () e (3) mplcam que Mas sso vola (5). x 8 ou que 3 x 8.

11 3ª Possbldade: Solução de Canto: x e x De (7) temos que mplca que e de () que 3 8. Isso, junto com (6) x ou x. Fnalmente, de (), tem-se que.8 ou 6. Portanto, a cesta (, ) é canddata a ser a de equlíbro do consumdor. OBS.: essa cesta, a U x P U x 8 8 P TMS x U X Fm