Programação Linear 1

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1 Programação Lnear 1

2 Programação Lnear Mutos dos problemas algortmcos são problemas de otmzação: encontrar o menor camnho, o maor fluxo a árvore geradora de menor custo Programação lnear rovê um framework que permte resolver uma sére de problemas de otmzação em que as restrções e o crtéro a ser otmzado são funções lneares L.P. Jose Rolm 2

3 Programação Lnear Abordagem Defna as varáves cujos valores serão determnados. Escreva a função objetvo, uma expressão lnear envolvendo as varáves que deve ser mnmzada ou maxmzada Escreva um conjunto de restrções lneares Utlze um resolvedor de LP para determnar o valor das varáves L.P. Jose Rolm 3

4 Problema com duas varáves Devemos fabrcar caderas e mesas. Cada cadera necessta de 5 tábuas de madera e cada mesa 20. Ao todo temos 400 tábuas Cada cadera precsa de 10 horas de trabalho e cada mesa 15 horas. Temos 450 horas de trabalho dsponíves. Queremos maxmzar o lucro. O lucro por cadera é 45 e por mesa é 80 L.P. Jose Rolm 4

5 Problema com duas varáves x 1: número de caderas, x 2 : número de mesas: maxmzar 45x x 2 5x x (1) 10x x (2) x 1 0 (3) x 2 0 (4) L.P. Jose Rolm 5

6 Problema com duas Varáves 40 Mesas x 2 (1) Melhor solução: 24 caderas e 14 mesas Lucro = = 2200 dollars (24, 14) Caderas, x 1 (2) Crescente Decrescente L.P. Jose Rolm 6

7 Modfcando o lucro Lucro por cadera = 64 maxmzar 64x x 2 5x x (1) 10x x (2) x 1 0 (3) x 2 0 (4) L.P. Jose Rolm 7

8 Soluton: $64 Proft/Char 40 Mesas, x 2 (1) (24, 14) Melhor solução: 45 caderas, 0 mesas Lucro = = 2880 dollars Caderas, x 1 decrescente L.P. Jose Rolm 8 (2) crescente

9 Planejamento da Produção Como mnmzar o custo da produção de tapetes? Demandas para os próxmos meses: d(1),d(2),,d(12) 30 empregados, cada um faz 20 tapetes por mês Saláro de cada empregado: R$2000,00 por mês Como podemos ldar com as varações de demanda? Hora extra: pagamos 80% a mas e podemos alocar no máxmo 30% de horas extra por funconáro Contratar e demtr: custos R$320,0 e R$400,00 Amazenar excedente: custo de R$8,00 por tapete por mês L.P. Jose Rolm 9

10 Planejamento da Produção Varáves w(): trabalhadores para o mês x() número de tapetes produzdos em o() : número de tapetes produzdos devdo a horas extras no mês h(),f(): número de empregados contratados e demtdos no níco do mês s(): número de tapetes armazenados no fnal do mês L.P. Jose Rolm 10

11 Planejamento da Produção Restrções x(),w(),o(),h(),f(),s()>=0 x()=20w()+o() w()=w(-1)+h()-f() (trabalhadores no níco de ) s()=s(-1)+x()-d() (excedente no níco de ) o()<=6w() (Produção devdo a horas extras é lmtada) L.P. Jose Rolm 11

12 Planejamento da Produção Função Objetvo Mnmzar 2000 w 320 h 400 f 8s 180o L.P. Jose Rolm 12

13 Planejamento da Produção Função Objetvo Mnmzar w 320h 400 f 8s 180o Nesse caso a solução fraconára pode ser arredondada sem comprometer muto a função objetvo. Programação Lnear X Programação Lnear Intera É possível mostrar que sob certas condções a sol. Ótma de um programa lnear é ntera. L.P. Jose Rolm 13

14 Classfcação de um LP quanto a Possu solução ótma solução ótma max 2y(1)+3y(2) y(1)>=2, y(2)> =4 3y(1)+2y(2)<=20 Ilmtado max 2y(1)+3y(2) y(1)>=2, y(2)<=4 L.P. Jose Rolm 14

15 Classfcação de um LP quanto a solução ótma Invável max 2y(1)+3y(2) y(1)>=2 y(2)> =4 3y(1)+2y(2)<=7 L.P. Jose Rolm 15

16 Varações dos LP s 1. Transformando maxmzação em mnmzação Basta multplcar coefcentes da função objetvo por Transformando desgualdades em gualdades n 1 a x b n 1 s a 0 x s b L.P. Jose Rolm 16

17 L.P. Jose Rolm 17 Varações dos LP s 3. Transformando gualdades em desgualdades 4. Trabalhando com varáves postvas. Uma varável rrestrta x pode ser substtuída por x - x, com x,x >=0 n n n b x a b x a b x a 1 1 1

18 Varações dos LP s Forma Padrão (standard) Varáves não-negatvas Restrções são equações Função objetvo é uma mnmzação Exemplo da págna 198 L.P. Jose Rolm 18

19 Dualdade Qual é o valor da solução ótma de max x1+6x2 x1<=200 (I) x2<=300 (II) x1+x2<=400 (III) x1,x2>=0 Como podemos mostrar que o ótmo é (x1,x2)=(100,300)? L.P. Jose Rolm 19

20 Dualdade Qual é o valor da solução ótma de max x1+6x2 x1<=200 (I) x2<=300 (II) x1+x2<=400 (III) x1,x2>=0 Multplcando rest (II) por 6 e somando com rest(i) conclumos que o máxmo é menor ou gual a 2000 L.P. Jose Rolm 20

21 Dualdade Qual é o valor da solução ótma de max x1+6x2 x1<=200 (I) x2<=300 (II) x1+x2<=400 (III) x1,x2>=0 Multplcando rest (II) por 5 e somando com rest(iii) conclumos que o máxmo é menor ou gual a Achamos um certfcado! L.P. Jose Rolm 21

22 Dualdade Qual é o valor da solução ótma de max x1+6x2 x1<=200 (I) x2<=300 (II) x1+x2<=400 (III) x1,x2>=0 É possível generalzar essa déa? L.P. Jose Rolm 22

23 Dualdade Qual é o valor da solução ótma de max x1+6x2 x1<=200 (I); x2<=300 (II); x1+x2<=400 (III) x1,x2>=0 Sejam y1,y2,y3 multplcadores postvos para as restrções tal que y1+y3>=1 e y2+y3>=6. Temos então 200y1+300y2+400y3 é maor ou gual a solução ótma do LP. L.P. Jose Rolm 23

24 Dualdade Qual é o valor da solução ótma de mn 200y1+300y2+400y3 y1+y3>=1 y2+y3>=6. y1,y2,y3>=0 L.P. Jose Rolm 24

25 Dualdade Prmal P Max cx Ax<=b x>=0 Dual D Mn yb ya>=c y>=0 Teorema da Dualdade: () Se P tem solução ótma x* então D tem solução ótma y* com cx*=y*b () Se P é nvável, D é lmtado () Se P é lmtado então D é nvável L.P. Jose Rolm 25

26 Fluxo em Redes x Dualdade Mostrar Fluxo em Redes x Dualdade L.P. Jose Rolm 26

27 Resolvendo LP s Smplex Consdera o problema Mn cx Ax<=b x>=0 Camnha pelos vértces do poledro defndo pelas restrções do problema. A partr de um vértce busca um vértce vznho que melhora a função objetvo O algortmo para quando não exstr um vértce vznho que melhore a solução L.P. Jose Rolm 27

28 Resolvendo LP s Vértce corrente Vértce vznho Vértce vznho EXEMPLO P 217 L.P. 28

29 Resolvendo LP s Vértce no R n Selecone um subconjunto A de n restrções lnearmente ndpendentes e resolva o sstema Seja v o únco ponto que satsfaz com gualdade o conjunto de restrções. Se v é vável então v é um vértce do poledro. Dzemos que v é defndo pelo conjunto de restrções A. Vértces vznhos Os vértces u e v são vznhos se são vértces defndos por conjuntos de restrções que tem n-1 restrções em comum L.P. Jose Rolm 29

30 Resolvendo um LP: Solução Incal Solução Incal Podemos encontrar uma solução ncal para o problema P resolvendo um LP P aonde conhecemos uma solução ncal L.P. Jose Rolm 30

31 Resolvendo LP s : Solução Incal Ince com um problema na forma padrão mn cx Ax=b x>=0 Force os valores de b a serem não negatvos multplcando por -1 algumas gualdades, se necessáro Cre m varaves z(1),...,z(m)>=0, uma para cada restrção. Adcone z() ao lado dreto da -ésma restrção L.P. Jose Rolm 31

32 Resolvendo LP s : Solução Incal Resolva o problema P mn z(1)+z(2)+...+z(m) Ax+Iz=b x,z>=0 z()=b(), para =1,...,m, e x=0 é uma solução vável para P Se a solução ótma para P tem valor objetvo >0 então P é nvável. Senão, seja (x,z ), com z =0, uma solução ótma para P. Então x é uma solução vável para P. L.P. Jose Rolm 32

33 Resolvendo LP s Problemas lmtados Ao explorar a vznhança de um vértce o Smplex pode perceber que remover uma equação e adconar outra pode levar a um sstema ndetermnado, com nfntas soluções. Nesse caso o Smplex ndca que o problema é lmtado L.P. Jose Rolm 33

34 Resolvendo LP s Soluções degeneradas Pode aconetecer de mas de um conjunto de n restrções defnr um vértce v. Tas vértces são chamados de soluções degeneradas É necessáro um cudado especal para ldar com eles. L.P. Jose Rolm 34

35 Resolvendo LP s Efcênca do Smplex Por caso exponencal. Exstem n formas de escolher n restrções muto rápdo na prátca, entradas exponencas são muto raras. Resolvedores comercas (CPLEX, XPRESS) m L.P. Jose Rolm 35

36 Resolvendo LP s Elpsóde Método polnomal com nteresse apenas teórco já que o polnomo tem grau muto alto Pontos Interores Método polnomal com desempenho compettvo com o Smplex L.P. Jose Rolm 36

37 A sngle varable problem Consder varable x Problem: fnd the maxmum value of x subject to constrant, 0 x 15. Soluton: x = 15. L.P. Jose Rolm 37

38 Sngle Varable Problem (Cont.) Consder more complex constrants: Maxmze x, subject to followng constrants x 0 (1) 5x 75 (2) 6x 30 (3) x 10 (4) x (1) (2) (3) (4) All constrants satsfed Soluton, x = 5 L.P. Jose Rolm 38