PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS

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1 ROBBILIDD - CONCITOS BÁSICOS xpermento leatóro é um expermento no qual: todos os possíves resultados são conhecdos; resulta num valor desconhecdo, dentre todos os resultados possíves; pode ser repetdo em condções dêntcas. 2 spaço mostral é o conjunto de todos os resultados possíves para um expermento aleatóro. É denotado por. ode ser: - Dscreto Fnto: formado por um conjunto fnto de pontos; Infnto: conjunto nfnto e enumerável de pontos; - Contínuo formado por um conjunto Não numerável de pontos. 3 Um vento é um subconjunto de, assocado a um expermento. É denotado por letras maúsculas:, B,,... 4 Um vento Complementar: denotado por c é o complementar de em relação a, ou seja, c =. 5 Dos eventos e B são mutuamente exclusvos, ou dsjuntos, se B =. xemplos: Um dado equlbrado é lançado e seu número observado. O espaço amostral é: = {, 2, 3, 4, 5, 6 }. Sejam = O número observado é menor ou gual a 4, então, = {, 2, 3, 4 } B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 } C = O número observado é ímpar, C = {, 3, 5 }

2 ntão, temos B = { 2, 4 } e C = {, 3 } B C = B e C são dsjuntos B c = C, pos B C = 6 vento elementar Seja o espaço amostral = {, 2,..., N }, em que, =, 2,..., N, são resultados elementares. Um evento é dto elementar se é formado por um resultado elementar, ou seja: = { }, =, 2,..., N. obs: note que o evento elementar é dado por um subconjunto untáro. No lançamento de um dado equlbrado: = { }, 2 = { 2 }, 3 = { 3 }, 4 = { 4 }, 5 = { 5 }, 6 = { 6 } são eventos elementares. ssm sendo, temos que: = Ou seja: 6 Ω. xemplos: a xpermento: numa lnha de produção, conta-se o número de peças com defeto, por lote; = { 0,, 2,..., N }, N = tamanho do lote ventos: = todas as peças são boas = { 0 } 2 = no máxmo cnco peças com defeto 2 = {, 2, 3, 4, 5 }

3 b xpermento: Numa ndústra são contados os tens produzdos até a ocorrênca de um tem defetuoso; B = {, 2, 3, 4,... }, ou anda B = N*, N* = N { 0 } ventos: B = o tem defetuoso ocorre até a 0ª peça produzda B = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } B 2 = são produzdas no mínmo 200 peças antes do tem defetuoso B 2 = { X N* X > 200 } c xpermento: Uma lâmpada é fabrcada e, num ensao, é anotado o tempo semanas até que ela se queme; C = { t R t 0 } ventos: C = a lâmpada quema antes de completar 720 horas 4 sem. C = { t < 4 } C 2 = a lâmpada dura pelo menos ano 52 semanas C 2 = { t R t 52 } 7 Medda de robabldade: Seja um evento assocado a um espaço amostral, então a probabldade de ocorrênca de é dada por medda medda de de Ω s meddas de e de são bem defndas e estando assocadas às suas dmensões.

4 7. robabldade em spaços Fntos: seja um evento assocado a um espaço amostral fnto, então número de pontos, em Ω, favoráves número total de pontos em Ω a card, card Ω card. = função cardnaldade = número de elementos do conjunto. é a probabldade de ocorrênca do evento e deve satsfazer: a 0 ; b Ω ; c Se e B são dsjuntos, então, B B. 7.2 robabldade como frequênca relatva: sejam o evento assocado a um expermento. Suponha que seja repetdo n vezes e seja n o número de ocorrêncas de. frequênca relatva de é dada por: Se n for grande, então ocorrênca de, ou seja, n f, 0 f. n lm n f. f se aproxma da probabldade de 7.3 Resultados gualmente prováves: se num espaço amostral fnto os eventos elementares têm todos a mesma probabldade, então dzemos que são gualmente prováves. Seja p, =, 2,..., N, a probabldade de ocorrênca do -ésmo evento elementar, então:

5 p p2 pn, N cardω N obs: nesse caso dzemos que o espaço amostral é unforme. 7.3 ropredades de robabldade Se é o espaço vazo, então = 0 e, consequentemente, = ; Se c é o evento complementar de, então Se e B são eventos quasquer, então B B B v Se e B são eventos tas que B, então B ; B B ; B B B B. 8 Métodos de Contagem ermutação: quando temos de permutar n elementos em n posções dferentes n, n n! n! n n n 2, n! é o fatoral de n rranjo: quando, de um total de n elementos, devemos tomar k destes elementos e permutá-los c n! n k n n n 2 n k. n k!,

6 Combnação: quando temos de escolher k, dentre n elementos dstntos, sem consderar a ordem C n, k n n! ; note que k k! n k! n, k Cn, k. k, k 9 robabldade Condconal e Independênca: sejam e B eventos quasquer tas que 0, então a probabldade de B condconada ao evento é defnda por B B. Lê-se: probabldade de B dado. Nota: os eventos e B são ndependentes se: B B. 9. Regra Multplcatva das robabldades: da probabldade condconal podemos escrever a probabldade conjunta de e B por B B ou B B B, se e B forem ndependentes, então B B.

7 xemplos: I Consdere as nformações da qualdade de um produto pela regão de procedênca. O produto fo classfcado como tpos e B, sendo o tpo de melhor qualdade. Qualdade Regão S S CO Total Tpo Tpo B Total Se um fornecedor é sorteado ao acaso para verfcação, qual é a probabldade de que: a Seja de qualdade Tpo? b Seja procedente da regão S? 75 S c Seja de qualdade Tpo B e da regão CO? B CO d Seja da regão S ou de qualdade Tpo? S

8 e Sabendo que o fornecedor escolhdo é da regão S, qual a probabldade de que seja de qualdade do Tpo B? 42 / B S / f Se a amostra não é de regão S, qual é a probabldade de que seja de qualdade do Tpo? [ S CO] [ S CO] S CO 8 54 / [ S CO] / II Um aluno responde a um teste de múltpla escolha com quatro alternatvas, sendo uma só correta. probabldade de que saba a resposta é de 30%. Se ele não sabe a resposta, va chutar. Defnndo: = o aluno acerta a questão e S = o aluno sabe a resposta. a Qual a probabldade dele acertar a questão? = acertar sabendo ou acertar chutando = acertar sabendo +acertar chutando = S S + S c S c = = b Se ele acertou a questão, qual é a probabldade de que ele realmente saba a resposta? S 0.3 S ** sse resultado é conhecdo como teorema de Bayes.

9 0 Teorema de Bayes 0. artção: os eventos, 2,..., k, são uma partção de se: j =, j,, j =, 2,..., k; 2... k = Seja um evento ocorrendo sobre a partção de.

10 ssm, podemos escrever como sendo: ou anda: k. ntão, a probabldade de ocorrênca de é calculada por: k k k O resultado acma é conhecdo como le da probabldade total. 0.2 Teorema de Bayes: consderando a partção de e sabendo que ocorreu o evento, a probabldade de que tenha ocorrdo uma parcela específca da partção é dada por, =, 2,..., k. odemos, anda escrever o resultado acma como: k, =, 2,..., k. sse resultado se deve ao Revendo Inglês Thomas Bayes num trabalho seu publcado em 763, e recebe o seu nome em sua homenagem.

11 Os exemplos a segur são para resolver em sala III Um levantamento nas estradas mostra que 75% dos acdentes ocorrem por mprudênca do motorsta, 5% por defeto na psta ou falha na snalzação e o restante por falha mecânca no veículo. O índce de casos fatas nos acdentes é de 9%, 5% e 3%, respectvamente. a Se um acdente é regstrado, qual é a probabldade de que haja uma vítma fatal? b Se uma morte acontece num acdente, qual a probabldade de que seja por falha na psta? por mprudênca? IV O Neymar do Santos e o Ronaldo do Cornthans resolveram fazer uma dsputa de pênalts. O Neymar só acertou 30% dos últmos pênalts cobrados e o Ronaldo 88%. Cada um tem uma únca cobrança e o Marcos do almeras é o golero. Qual a probabldade de que: a mbos acertem as cobranças? b Só o Ronaldo acerte? c penas um deles acerte? IV Num processo de produção de placas eletrôncas, o índce de defetos é de %. Sabendo que as peças são produzdas ndependentemente umas das outras: a Qual é a probabldade de que a prmera placa com defeto seja exatamente a qunta a ser produzda? b xste uma norma na empresa que dz que se a prmera placa defetuosa for produzda antes e que a ª placa tenha sdo produzda, então o processo deve ser ajustado. Qual a probabldade de que o processo precse ser ajustado? c Qual a probabldade de que a prmera placa defetuosa ocorra apenas após a 20ª peça ter sdo produzda?