MECÂNICA CLÁSSICA. AULA N o 7. Teorema de Liouville Fluxo no Espaço de Fases Sistemas Caóticos Lagrangeano com Potencial Vetor

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1 1 MECÂNICA CLÁSSICA AULA N o 7 Teorema de Louvlle Fluo no Espaço de Fases Sstemas Caótcos Lagrangeano com Potencal Vetor Voltando mas uma ve ao assunto das les admssíves na Físca, acrescentamos que, nos gráfcos representatvos deste tpo de le, para sstemas dscretos, não pode haver convergênca nem dvergênca de setas em qualquer ponto do espaço de fases, a fm de que a le seja admssível (conservação da nformação). DIVERGÊNCIA (Fonte) CONVERGÊNCIA (Sorvedouro) O fluo no espaço de fases é ncompressível, no entanto é deformável, no sentdo de que, se consderarmos um conjunto de pontos em um determnado volume do espaço de fase, o movmento deste conjunto ao longo do tempo poderá alterar a forma do volume ncal, mas não o volume ncal em s mesmo. p VOLUME = CONSTANTE q OBS: O que pode mudar é a dstânca entre os pontos, mas não o volume Esta propredade sgnfca que o espaço de fases mantém a conectvdade durante o movmento do sstema. Vamos estudar o fluo de um sstema no espaço de fases, segundo o formalsmo Hamltonano. O fluo como um todo é determnado por uma únca função de todos os qs ' e ps. ' Conhecendose esta função, é possível se determnar o fluo no espaço de fases, de modo que, dada uma confguração ncal, pode-se prever qual a confguração futura e passada do sstema ( fluo ncompressível conservação da nformação! ). p p H q ; q H p q Vamos verfcar o que sgnfca um fluo ncompressível, começando por um caso undmensonal. Neste caso, somente um deslocamento unforme de todos os pontos preservara a densdade lnear dos pontos. Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

2 Podemos ver esta questão de dos modos: 1) Acompanhando o movmento de um determnado volume fo ao longo do fluo. ) Fando-nos em determnado volume do espaço de fases e observando o fluo de pontos através deste volume num determnado ntervalo de tempo. Neste segundo caso, observaríamos pontos entrando e sando do volume fado. No caso de fluos ncompressíves, sto sgnfca der que o número de pontos que entram neste volume, num determnado ntervalo de tempo, é gual ao número de pontos que saem dele. 1 B A C A condção para que sso aconteça, neste caso undmensonal, uma ve que a raão de varação do número de pontos dentro do volume de controle é proporconal (a menos do fator de densdade) à dferença V1 V, é que V 0. Passando para o caso bdmensonal: A Taa de aumento de pontos no nteror do volume, em relação ao fluo na dreção : C V V (a menos do fator densdade). V V VA V "taa de aumento" C Taa de aumento de pontos no volume, em relação ao fluo na dreção : VA V B V V VA V "taa de aumento" B Então a taa de aumento total de pontos no nteror volume de controle será dada (a menos do fator densdade) por: dn V V dt (N Número de pontos no volume) Para o fluo ncompressível: dn V V 0 0. V 0 (Dvergente de V) dt DIVERGÊNCIA DE V No caso do Espaço de Fases, as coordenadas são dadas pelos q's e p 's. Assm devemos dentfcar os eos com cada q e p. Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

3 3 Podemos chamar, em analoga com o eemplo vsto, H p Vp (Velocdade de p ) q H q Vq (Velocdade de q ) p q e p de: Então a dvergênca do fluo será dada por: (suprmndo os símbolos de somatóra): Vq V p H H H H 0 q p q p p q q p p q Como a ordem de dervação não mporta, a dvergênca para cada par q, p se cancela. Vemos então que a dvergênca do fluo no Espaço de Fases, segundo as equações de Hamlton, é nula. Portanto o fluo é ncompressível! Este é o fato mas mportante na Mecânca Hamltonana. Vejamos novamente o caso físco mas smples, observando o movmento de uma partícula movendose em apenas uma dmensão. L p (massa =1) Se representarmos o mesmo sstema por uma nova varável : p 1 L ; p ; p p Vemos então que, se estcarmos o eo, nós encolhemos o eo p p. Torna-se claro que a área fca preservada, o que sgnfca a preservação do volume em duas dmensões. OBS: No caso da Mecânca Quântca, como veremos em outro curso, a mínma área defnível no espaço de fases é dada pela constante de Plank:. A afrmação de que o fluo no espaço de fases é ncompressível corresponde ao chamado Teorema de Lovlle. A respeto do comportamento do fluo, podemos ver agora o sgnfcado de CAOS. Assm como os sstemas não caótcos, os sstemas caótcos mantêm a ncompressbldade do fluo (conservação do volume), o que de fato é caótco é a dspersão do volume. Não temos precsão para dstngur pontos, mas apenas pequenas esferas. Portanto não mporta quão precsa e pequena seja a defnção da esfera, o sstema caótco acabará por levar pontos stuados na mesma esfera a posções stuadas fora daquela esfera orgnal e da esfera um do outro. Em sstemas caótcos, o ntervalo de tempo pelo qual uma regão do espaço de fases permanece numa área partcular é uma função da área em s. A probabldade de encontrar uma partícula numa regão do espaço de fases depende somente da área da regão. Como um conceto útl na Mecânca Estatístca, a probabldade de uma partícula estar em uma ou outra área é proporconal à raão entre as duas áreas. Em Mecânca Quântca, o caos está assocado ao Prncípo da Incertea. Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

4 4 Vamos estudar agora o movmento de uma partícula carregada em um campo eletromagnétco. A novdade neste caso é a estênca de uma força dependente da velocdade da partícula. Até agora, as forças que estudamos dependam da posção, e não do movmento. Outro eemplo de força dependente da velocdade é a força de atrto. Há, porém, uma dferença fundamental entre as duas forças. As forças dependentes da velocdade num campo eletromagnétco podem ser dervadas do Prncípo da Mínma Ação, possundo um Lagrangeano e um Hamltonano (conservação da energa), enquanto as forças de atrto não podem. Consderemos apenas um campo magnétco: F qv B,, V B V B V B V B V B V B V B V B V B Precsamos agora do conceto de Potencal Vetor, que é um meo smples para descrever os campos magnétcos. A defnção do Potencal Vetor é dada por: B A A "Potencal Vetor" OBS: A dvergênca do rotaconal de um campo vetoral é nula! F A A A A A A A ; A ; A F qv B qv A A A A A F q V V ma, de modo que a força rá depender da posção ( A ) e da velocdade (V ). Vamos propor uma quantdade para a Ação neste caso, a fm de verfcar depos se ela funcona de fato. Em prmero lugar, é lógco esperarmos que, para uma partícula com carga nula, a Ação sera dêntca àquela já conhecda: mv A L dt dt A este termo devemos acrescentar, no caso de uma partícula carregada, um novo termo: mv A dt q Adr Termo análogo ao trabalho realado por uma Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

5 5 Para acertar as formas da Ação : mv dr m A q A dt, ou A q A dt dt m L q A Vamos agora provar que as equações de Lagrange resultam na mesma forma da epressão para a força magnétca, dada por: F qv B d L L dt q q p m q A dp Análogo para as componentes p e m q A dt dp A L A A m q A q dt p Assummos que o campo magnétco não vara com o tempo, mas sso não sgnfca que o termo seja nulo, pos a partícula se movmenta no campo ( t ). A A A A A A m q q Então, gualando os termos e desenvolvendo a epressão: A A A A m q q m q B B q V B A Verfca-se assm que este um Lagrangeano para uma partícula em movmento num campo magnétco. Para determnar o Lagrangeano, é necessáro conhecer o Potencal Vetor do campo. Este é um eemplo de força dependente da velocdade. Neste caso, porém, a força é perpendcular à velocdade, enquanto, no caso da força de atrto, a força é paralela à velocdade. Esta é a grande dferença entre elas. A atuação da força magnétca na dreção perpendcular à velocdade, muda apenas a dreção da velocdade, e não a sua ampltude. Daí a conservação da energa neste tpo de movmento. Vamos verfcar a conservação da energa, assumndo que o Potencal Vetor não vara no tempo: p m q A ; analogamente para as componentes p e p H p p p L m H m q A q A H m Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

6 6 Obtemos assm a mesma epressão da energa cnétca para uma partícula sem carga. Este resultado se deve ao fato de que a força magnétca não reala trabalho! Para resolver o problema em termos da formalístca Hamltonana, devemos epressar o Hamltonano em termos de p e q : p q A 1 p q A H m m m H H H H A partr deste resultado e aplcando as equações de Hamlton, podemos dedur da mesma forma a equação: F qv B H 1 p q p A q A m H 1 A A A A A A q p q A q p q A q p q A m H q A A A p q A p q A p q A m H 1 1 p q A p q A m m m q B B qv B H A A A q H d A A A Mas: p m q A m q dt A A A A A A q m q A A A A m q Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford