Elementos de Estatística e Probabilidades II

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1 Elementos de Estatístca e Probabldades II Varáves e Vetores Aleatóros dscretos Inês Das 203 O prncpal objetvo da deste documento é fornecer conhecmentos báscos de varáves aleatóras dscretas e pares aleatóros dscretos, um dos capítulos leconados na dscplna de Elementos de Estatístca e Probabldades II do curso de Educação Básca.

2 Elementos de Estatístca e Probabldades II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Defnção Dado um espaço amostra, chama-se varável aleatóra, v.a (undmensonal) e costuma representar-se por X a uma função que a cada acontecmento ω do espaço amostra, faz corresponder x = X (ω), ou seja, X: Ω R ω x = X (ω) É usual utlzar letras maúsculas tas como X, Y, Z, M, N,..., para representar varáves aleatóras. A cada um dos valores de uma varável aleatóra X podemos fazer corresponder uma probabldade P[X = x], defnda como sendo a probabldade do acontecmento que tem como magem x por meo da aplcação X. Exemplo : Consderemos a experênca aleatóra que consste no lançamento de uma moeda equlbrada três vezes consecutvas. Sendo F = "sar cara" e C = "sar coroa" o conjunto de todos os resultados possíves é dado por Ω = {(F,F,F), (F,F,C), (F,C,F), (C,F,F), (F,C,C), (C,F,C), (C,C,F), (C,C,C)} Neste espaço amostra, podemos defnr uma varável aleatóra X = número de vezes que sau caras. Esta varável pode tomar valores 0,, 2 ou 3. Podemos calcular a probabldade da v.a. tomar cada um destes valores. Por exemplo, probabldade de sar uma vez cara é dada por, P[X = ] = P[(F,C,C) ou (C,F,C) ou (C,C,F)] = 8 3. As varáves aleatóras podem ser dscretas, se assumem um conjunto fnto ou nfnto numerável de valores, ou contínuas, se são susceptíves de tomar qualquer valor real pertencente a um ntervalo dado. Para uma dada experênca aleatóra podemos estar nteressados no estudo de uma únca característca - varável aleatóra undmensonal - ou no estudo de um conjunto de k característcas - varável aleatóra multdmensonal ou vector aleatóro. Educação Básca 2

3 Elementos de Estatístca e Probabldades II Uma varável aleatóra dz-se bdmensonal se for uma função que a cada elemento de Ω faz corresponder um elemento de R 2. Generalzando, é uma varável n-dmensonal se o conjunto de chegada for Rⁿ. VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL Varáves aleatóras dscretas: Função de probabldade de uma varável dscreta X: Se X é uma v.a. dscreta, que assume valores dstntos x, x 2,, x n,..., então a função de probabldade (f.p.) de X é defnda como f x p x P[ X 0 x] se x x se x x, =, 2,, n, e deve satsfazer as seguntes condções:. 0 f(x), xr; 2. Se n fnto, n f x. Caso n nfnto, f x terá de ser uma sére convergente de soma. Ao conjunto de pares ordenados (x, f(x )), =,2,...,n,..., desgna-se por dstrbução de probabldades da varável aleatóra. Exemplo 2. Consderando a v.a. do exemplo anteror, X = número de vezes que sau cara em três lançamentos de uma moeda, P[X = 0] = P[(C C C)]= 8 3 P[X = ] = P[(F C C) U (C F C) U (C C F)] = 8 3 P[X = 2] = P[(F F C) U (F C F) U (C F F)]= 8 P[X = 3] = P[(F F F)]= 8 Grafcamente, x f(x) /8 3/8 3/8 /8 Educação Básca 3

4 Elementos de Estatístca e Probabldades II 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,5 0,0 0,05 0, F(x) 0,25 0,375 0,375 0,25 Função de dstrbução de uma varável aleatóra dscreta X: Defne-se função de dstrbução (f.d.) de uma varável aleatóra X como F(x)=P[X x]. Esta função tem domíno R, conjunto de chegada [0,] e verfca as seguntes propredades:. 0 F(x), x R; 2. F(x ) F(x 2 ), x, x 2 : x < x 2 (é uma função monótona não decrescente); 3. lm 0 e lm x F x x F x 4. P[x < X x 2 ] = F(x 2 ) - F(x ), x, x 2 : x < x 2. ; Exemplo 3. Retomando novamente o exemplo do lançamento de uma moeda três vezes consecutvas, em que consderaámos a v.a. número de caras obtdo. A função dstrbução da varável X é dada por F(0) = P[X 0] = F() = P[X ] = F(2) = P[X 2] = x0 f x ; 8 x x2 f x x 7 8 F(3) = P[X 3] = x3 f f x 4 8 F x x 0 x 2 0 x 2 x 3 x 3 A representação gráfca da função dstrbução de uma varável aleatóra é "em escada" Educação Básca 4

5 Elementos de Estatístca e Probabldades II VECTORES ALEATÓRIOS Por vezes, numa mesma experênca, pretendemos observar smultaneamente mas do que um fenómeno aleatóro. O respectvo modelo probablístco envolve então o estudo em conjunto de mas do que uma varável aleatóra. Exemplo 4. Consdere o lançamento de dos dados equlbrados. Seja X o maor nº de pntas das faces vradas para cma e Y a soma das pntas das faces vradas para cma. (X,Y) é um par aleatóro. Exemplo 5. É selecconado aleatoramente um aluno de uma escola prmára. Seja U a altura do aluno (em cm), V o seu peso (em Kg) e W a sua dade (em meses). (U,V,W) é um vector aleatóro. Defnção 2 Seja (X) = (X,, X n ) um vector aleatóro. Dá-se o nome de função de dstrbução de (X) e representa-se por F (X) (x,, x n ) = F (X,, Xn) (x,, x n ) = P[X x,, X n x n ], (x,, x n ) R n. Vamos estudar apenas o caso de um vector aleatóro com duas varáves (X,Y).A generalzação a mas varáves é medata. PAR ALEATÓRIO A um vector aleatóro de dmensão 2 chamamos um par aleatóro ou varável aleatóra bdmensonal. Educação Básca 5

6 Elementos de Estatístca e Probabldades II Par aleatóro dscreto: Um par aleatóro dz-se dscreto quando ambas as componentes são v.a. s dscretas. Assm (X,Y) é um par aleatóro dscreto quando os domínos de exstênca das v.a. s X e Y são conjuntos fntos ou nfntos numeráves. função de probabldade conjunta: A função de probabldade conjunta do par aleatóro (X,Y) é uma função f(x,y) que assoca a cada elemento de R² uma probabldade, f(x,y) = p j = P[X = x,y = y]. Verfca as seguntes propredades:. 0 f(x,y), (x,y) R²; 2. j f(x.,y j ) Exemplo 6. Uma moeda equlbrada tem o algarsmo desenhado numa das faces e o algarsmo 2 desenhado na outra face. A moeda é lançada ao ar duas vezes. Seja a v.a. X soma dos dos números observados nos lançamentos e a v.a. Y dferença dos mesmos números (o prmero menos o segundo). = {(,), (,2), (2,), (2,2)} (X,Y) = (2,0) (3,-) (3,) (4,0) Assm temos : P[X = 2,Y = 0] = ¼; P[X = 3,Y = -] = ¼; P[X = 3,Y = ] = ¼; P[X = 4,Y = 0] = ¼. A função de probabldade conjunta, por vezes é representada através de um quadro. Para o exemplo 7 a função de probabldade conjunta de (X,Y) vem: X \ Y /4 0 3 /4 0 /4 4 0 /4 0 Educação Básca 6

7 Elementos de Estatístca e Probabldades II Função de dstrbução conjunta: Dada uma v.a. bdmensonal (par aleatóro) (X,Y), dscreta, a função de dstrbução conjunta de (X,Y) é defnda da segunte forma: x, y PX x Y y f x y j F,,, x x y y j e satsfaz as seguntes condções: lm F x, y. 0 x lm F x, y 2. 0 y lm F x, y 3. 0 x, y lm F x, y 4. x, y, com y fxo;, com x fxo; 5. 0 F(x,y), (x,y) R²; ; ; 6. F(x,y ) F(x 2,y 2 ), x < x 2, y < y 2 Exemplo 7 (contnuação) A função de dstrbução de (X,Y) F x, y y - - y 0 y 0 - y 0 y 0 0 y 0 y y y x 3 x 2 x 3 2 x 3 3 x 4 x 4 3 x 4 x 4 Y X Funções de probabldade margnas: Apesar de no par aleatóro se proceder ao estudo em conjunto de duas varáves aleatóras, sso não mpede que se possa estudar probablstcamente cada varável componente em separado. De facto é possível obter as funções de probabldade das varáves X ey, ndvdualmente, e a que damos o nome de funções de probabldade margnas: Educação Básca 7

8 Elementos de Estatístca e Probabldades II Função de probabldade margnal de X, x PX x, Y f x y f X, y Função de probabldade margnal de Y y P X, Y y f x y f Y, x Exemplo 7 (contnuação) Podemos calcular as probabldades margnas, sto é, calcular a função de probabldade de X ey usando a função de probabldade conjunta. Assm, P[X = 2] = P[({X = 2} {Y = -}) ({X = 2} {Y = 0}) ({X = 2} {Y = })] = = P[X = 2,Y = -] + P[X = 2,Y = 0] + P[X = 2,Y = ] = ¼, P[X = 3] = P[({X = 3} {Y = -}) ({X = 3} {Y = 0}) ({X = 3} {Y = })] = = P[X = 3,Y = -] + P[X = 3,Y = 0] + P[X = 3,Y = ] = ½, P[X = 4] = P[({X = 4} {Y = -}) ({X = 4} {Y = 0}) ({X = 4} {Y = })] = = P[X = 4,Y = -] + P[X = 4,Y = 0] + P[X = 4,Y = ] = ¼, Pelo que, a função de probabldade margnal de X é, Da mesma forma obtemos, P[Y = -] = ¼, P[Y = 0] = ½ e P[Y = ] = ¼, X A função de probabldade margnal de Y será, Y O quadro da dstrbução de probabldade conjunta de (X,Y) pode agora ser completado com mas uma lnha e uma coluna para as probabldades margnas das v.a. s X e Y. Educação Básca 8

9 Elementos de Estatístca e Probabldades II X \ Y /4 0 /4 3 /4 0 /4 /2 4 0 /4 0 /4 /4 /2 /4 função de probabldade margnal de X (soma de lnha) função de probabldade margnal de Y (soma de coluna) INDEPENDÊNCIA ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Dada uma v.a. bdmensonal (X,Y), as v.a. undmensonas que a ntegram, X e Y, dzem-se ndependentes se f(x,y) = f X (x) f Y (y), (x,y). PARÂMETROS DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA E DE UM PAR ALEATÓRIO Valor esperado: Seja X uma varável aleatóra. O valor esperado, méda ou esperança matemátca de X, que denotamos por E[X] (também representado por μ X ou μ), quando exste, defne-se por E X x f x se X é uma varável aleatóra dscreta, Propredades do valor esperado: Dadas X e Y duas varáves aleatóras, e seja k uma constante real, E[k] = k ; E[kX] = k E[X]; E[X±Y] = E[X] ± E[Y]; E[XY] = E[X]. E[Y] + Cov[X,Y] Se X e Y forem ndependentes então E[XY] = E[X]. E[Y] Educação Básca 9

10 Elementos de Estatístca e Probabldades II Varânca: Seja X uma varável aleatóra. A varânca de X, que denotamos por Var[X] (também representada por 2 σ X ou smplesmente σ²), é defnda por: Var[X] = E[(X- μ X ) 2 ], ou seja, Var 2 X x - ) f x ( se X é uma v.a. dscreta, X Propredades da varânca: Dadas X e Y duas varáves aleatóras, e seja k uma constante real, Var[k] = 0; Var[kX] = k 2 Var[X]; Var[X±Y] = Var[X] +Var[Y] ± 2Cov[X,Y]; Se X e Y forem ndependentes então Var[X±Y] = Var[X] +Var[Y] Var[X] = E[X 2 ] E 2 [X] Onde, 2 2 x f x E X se X é uma varável aleatóra dscreta, Desgna-se por desvo-padrão a raíz quadrada postva da varânca: σ σ Var X. X Covarânca: A covarânca entre X ey, representa-se por Cov(X,Y)ou smplesmente σ X,Y, e defne-se como Cov[X, Y] = σ X,Y = E[(X- μ X ) (Y- μ Y )], ou seja,, ( x - )( x - ) f x, y Cov X Y j se (X,Y) é uma v.a. dscreta, X j Y j Uma outra fórmula para calcular a covarânca é onde Cov[X,Y] = E[XY] E[X] E[Y]. Educação Básca 0

11 Elementos de Estatístca e Probabldades II XY xy j f x y j j E, se (X,Y) é uma v.a. dscreta, Propredades da Covarânca: Sejam X ey duas varáves aleatóras e a, b, c e d constantes reas, X ey são varáves ndependentes Cov(X,Y) =0 (Nota: O recíproca pode não ser verdadero. O facto de Cov(X,Y) =0 não mplca a ndepndênca entre X ey, pode exstr uma lgação não lnear entre as varáves.); Cov(X,X) = Var[X]; Cov(aX+b, cy+d) = accov(x,y). A covarânca depende das undades em que se exprmem as varáves aleatóras X ey. Sendo assm, é mportante a ntrodução de um parâmetro para caracterzar a ntensdade da lgação entre X ey, mas que não dependa das undades, como é o caso do coefcente de correlação. Coefcente de correlação: O coefcente de correlação é defndo como: X,Y, σx,y X. Var Y σx σy Cov X Y Var Propredades do coefcente de correlação: Sejam X ey duas varáves aleatóras e a, b, c e d constantes reas, - < X,Y < ; Se X e Y são varáves aleatóras ndependentes, então X,Y = 0; O coefcente de correlação não se altera quando as varáves sofrem uma transformação lnear postva, ou seja, ρ ax+b,cy+d =ρ X,Y se ac > 0. Educação Básca

12 Elementos de Estatístca e Probabldades II MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Momento de ordem k relatvamente a um ponto C: μ kc = E [(X-C) k ]. Momento ordnáro de ordem k (caso em que C = 0): μ k = E [X k ]. Se X for uma v.a. dscreta, k k x f x Casos partculares de momentos ordnáros: μ 0=; μ = E [X] = μ X ; μ 2= E [X 2 ]. Momento centrado de ordem k (caso em que C=μ): μ k = E [(X - μ) k ]. Se X for uma v.a. dscreta, k k x f x Casos partculares de momentos centrados: μ 0 = ; μ = 0; μ 2 = E [(X - μ) 2 ] = Var [X]. Educação Básca 2

13 Elementos de Estatístca e Probabldades II Bblografa: Afonso, A., Nunes, C., (200) Estatístca e Probabldades - Aplcações e Soluções em SPSS. Escolar Edtora Slva, M. C. M. (993) Estatístca Aplcada à Pscologa e Cêncas Socas, Lsboa McGraw-Hll. Pestana D., Velosa S. (2002). Introdução à probabldade e estatístca. Volume. Fundação Calouste Gulbenkan. Educação Básca 3