CAPÍTULO 4 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade

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1 CAPÍTULO 4 - Varáves aleatóras e dstrbuções de probabldade Conceto de varável aleatóra Uma função cujo valor é um número real determnado por cada elemento em um espaço amostral é chamado uma varável aleatóra (v.a.) Isso equvale a descrever os resultados de um expermento aleatóro por meo de números ao nvés de palavras, o que é uma grande vantagem pos possblta melhor tratamento matemátco, nclusve através de parâmetros que veremos a segur. obs.:utlzaremos letras maúsculas (X, Y, Z, etc.) para representar a v.a. e a correspondente letra mnúscula (x, y, z, etc.) para um dos seus valores. obs.: cada possível valor x de X representa um evento que é um subconjunto do espaço amostral. exemplo: Duas peças são retradas sucessvamente, sem reposção, de uma caxa que contém quatro peças boas (B) e 3 defetuosas (D). Para esse expermento teríamos o segunte espaço amostral S = {BB, BD, DB, DD}. Se consderarmos a v.a. Y = número de peças boas retradas teríamos: S* = {0, 1, }. Fazendo uma correspondênca entre S e S* teríamos: Evento Smples Y = y BB BD 1 DB 1 DD 0 outro exemplo: Consdere o lançamento de duas moedas e seja X = n o de caras obtdas, c= cara e k=coroa S = {cc, ck, kc, kk} X = {0, 1, }. Se um espaço amostral contém um numero fnto de pontos como no exemplo anteror, ou uma sequênca nfnta enumerável de pontos amostras, ele é chamado espaço amostral dscreto. A v.a. defnda sobre esse espaço é chamada varável aleatóra dscreta (v.a.d.). Por outro lado, se um espaço amostral contém pontos amostras que formam uma contnudade como todas as possíves alturas de pessoas, pesos de anmas, tempos de 47

2 vda de um componente mecânco ou eletrônco, temperaturas, etc. então ele é chamado espaço amostral contínuo. A varável defnda sobre esse espaço é chamada varável aleatóta contínua (v.a.c.). obs.: na maor parte dos problemas prátcos as v.a.c. representam dados meddos e as v.a.d. representam dados contados, tas como o número de defetuosos em uma amostra de n peças ou o número de acdentes na estrada Vçosa Belo Horzonte no ano de exemplo: - n o de acdentes ocorrdos em uma semana; - n o de defetos por peça produzda por um fabrcante; - n o de vtóras obtdas por um atleta; - n o de flhos do sexo masculno por casal. obs.: No caso das v.a.c. somente terão nteresse as probabldades de que a v.a. assuma valores em dados ntervalos. As probabldades de nteresse poderão ser determnadas com o conhecmento da dstrbução de probabldade da v.a. Dstrbução de probabldade De acordo com o tpo de varável aleatóra, ou seja se v.a.d. ou v.a.c., teremos: a) X é uma v.a.d. Nesse caso precsamos saber os valores da v.a.d. X e de sua função de probabldade. Chama-se função de probabldade (f.p.) da varável aleatóra dscreta X, a função P (X = x ) = P(x ) = p que a cada valor de X (ou seja, a cada x ) assoca sua probabldade de ocorrênca. obs.: essa função mutas vezes está reduzda a um valor numérco e, em outros casos, pode ser representada por uma fórmula. A função P( x ) será uma função de probabldade se satsfzer às seguntes condções: ) P( x ) 0, para todo x ) P( x ) = 1 À coleção de pares [x, P(x )], = 1,,..., n, denomnaremos dstrbução de probabldade da v.a.d. X, que pode ser representada por meo de tabelas e gráfcos. exemplo: Seja E: lançamento de um dado vcado de tal forma que a probabldade é proporconal ao valor obtdo no lançamento. consdere: S = {1,, 3, 4, 5, 6} Vamos supor que estamos nteressado na avalação da varável aleatóra X, onde X = {n o de pontos obtdos num lançamento}, ou X = {resultado num lançamento} 48

3 Assm os possíves valores que a varável aleatóra X pode assumr são: X = {1,, 3, 4, 5, 6}, com as respectvas probabldades: p + p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1 1p = 1 p = 1/1 Para o nosso exemplo temos que a dstrbução de probabldades da v.a. X será: ) Gráfco 0,3 6/1 0,5 5/1 4/1 0, P(x) 0,15 3/1 /1 0,1 0,05 1/ x ) Tabela x P(x ) 1/1 /1 3/1 4/1 5/1 6/1 Observe que as duas condções apresentadas acma são satfetas. As tabelas e gráfcos são utlzados para mostrar como a probabldade total atrbuída a um espaço amostral é dstrbuída pelos dversos resultados daquele espaço. Nesse exemplo, a função de probabldade podera também ser representada como: x, para x Px = 1,, 3456,,, ( ) = 1 0, para outros valores de x Problema proposto: Uma urna contém 4 bolas azus e 6 brancas. Duas bolas são retradas sucessvamente I) com reposção e II) sem reposção. Determnar, em cada caso, a dstrbução de probabldade e a função de probabldade do n o de bolas brancas retradas. b) X é uma v.a.c. No caso de v.a.c. somente terão nteresse as probabldades de que a v.a. assuma valores em dados ntervalos. Tas probabldades poderão ser determnadas com o conhecmento da função densdade de probabldade da v.a.. Chama-se função densdade de probabldade (f.d.p.) da varável aleatóra dscreta X, a função f(x) que atenda às seguntes condções: 49

4 ) f(x) 0, para a < x < b ) b f (x)dx = 1, a onde a e b podem ser, respectvamente, e. A f.d.p. assm defnda determna a dstrbução de probabldades da v.a.c. X. Sua representação é dada em forma gráfca. obs.: d 1) Para c < d, P(c < X < d) = f(x) dx c ) Para um valor fxo de X, por exemplo, X = x 0, temos que P (X = x o ) = f (x)dx = 0 ; sendo assm, as probabldades abaxo são todas guas, se X for uma v.a.c.: P( c X d) = P( c X < d) = P( c < X d) = P( c < X < d) 3) A função densdade de probabldade f(x), não representa probabldade. Somente quando a função for ntegrada entre dos lmtes, ela produzrá uma probabldade, que será a área sob a curva da função entre os valores consderados. exemplo: Uma v.a.c. X possu a segunte função: k, para0 x< 1 = k( x), para 1 x < 0, para outros valores de x Pede-se: a) A constante k para que f(x) seja uma f.d.p. b) Gráfco da f(x) c )P( X 1); d)p(x = 1); e)p( X < ); f )P(X > ) Respostas: a) 3; c)1 3; d) 0; e) 71; f) 0. x0 x0 Problemas propostos: 1. Seja uma v.a.c. X defnda pela segunte f.d.p.: 0, para x < 0 = kx, para 0 x 0, para x > a) Determnar o valor de k b) Traçar o gráfco da f.d.p. c) Calcular P(X 1). 50

5 Respostas: a)1 ; c) 1 4. Uma v.a.c. X tem a segunte f.d.p. 0, para x < 0 kx, para 0 x < 5 = k( 10 x), para 5 x 10 0, para x > 10 a) Determnar o valor de k b) Traçar o gráfco da f.d.p. c) Calcular P(X 3) Respostas: a)1 5; b) Consdere a segunte função de X 3x k e para x > 0 f (x) = 0 c. c. a) Encontre o valor de k para que f(x) seja uma função densdade de probabldade; b) Encontre P(0,5 X 1); c) Faça o gráfco da f(x). Respostas: a) k = 3; b) 0,173 Exstem mutos problemas nos quas é de nteresse conhecer a probabldade que a v.a. X assumsse valores menores que um partcular valor x. Nesse caso precsamos defnr a função de dstrbução acumulada de X. Função de dstrbução acumulada Dada a varável aleatóra X, chamaremos de função de dstrbução acumulada ou, smplesmente, função de dstrbução F(x) a função F(x) = P(X x). Observe que o domíno de F é todo o conjunto real. obs.: a) 0 F(x) 1 para todo x. b) Se x 1 x, então F(x 1 ) F(x ), sto é, F(x) é não-decrescente. a) F(x) para X v.a.d. Para X uma v.a.d. temos que: F(x) = P(X x) = P(t) t x Exemplo: Seja X uma v.a.d. com a segunte dstrbução de probabldade x total P( x ) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1,00 51

6 Pede-se: a) Traçar o gráfco da dstrbução de probabldade de X. b) Obter a função de dstrbução acumulada e traçar seu gráfco. b) F(x) para X v.a.c. Para X uma v.a.c. temos que: x F(x) = P(X x) = P( < X x) = f (t)dt Temos anda que, Pc ( < X d) = Fd ( ) Fc ( ) = f( xdx ). df( x) Vê-se também que = em todos os pontos de contnudade de f(x), dx sto é, a dervada da função de dstrbução é a função densdade de probabldade. d c Exemplos: 1. Seja X uma v.a.c. com a segunte f.d.p.: 1 x, para0 x = 0, caso contraro. Pede-se: a) Traçar o gráfco da f.d.p. b) Obter F(x) e traçar seu gráfco c) Calcular P( X 1) 3 d) Calcular P 1 X e) Qual o valor de X abaxo do qual exstem 50% dos dados? Respostas: c)1 4; d) 516; e). Seja X uma v.a.c. com função dada por: ax, se 0 x < 1 a, se1 x< = ax + 3a, se x 3 0, se x < 0 ou x > 3 Pede-se: a) Determne a constante a para que f(x) seja uma f.d.p. b) Traçar o gráfco da f.d.p. c) Obter F(x) e traçar seu gráfco 3 d) P 0 < X< 5

7 e) Se X 1, X e X 3 forem três observações ndependentes de X, qual será a probabldade de, exatamente um desses três números ser maor do que 1? f) Qual valor de X abaxo do qual exstem 50% dos dados? Resposta: a)1 ; d) 1; e) 9 64 ; f) 1,5. Dstrbuções empírcas Geralmente quando temos um expermento envolvendo uma v.a.c. a verdadera função densdade (f(x)) nos é desconhecda. Para que adotemos uma f(x) razoável uma boa análse sobre todas as nformações dsponíves se faz necessára. Essa análse pode ser feta com o uso de dstrbuções de frequêncas relatvas, em forma de tabelas ou gráfcos, conforme descrto no captulo. Dstrbuções assm obtdas permtem supor acerca da verdadera dstrbução de probabldades assocada àquela varável aleatóra. Supondose então uma determnada dstrbução de probabldades à v.a. em questão, outras análses mas avançadas podem ser realzadas (como os testes de hpóteses para se testar tas suposções). Exemplos desse tpo serão ctados oportunamente. Dstrbuções de probabldades conjuntas Vmos, anterormente o caso de dstrbuções de probabldades para o caso de uma únca varável aleatóra. Há casos, contudo, nos quas estamos nteressados no estudo de duas ou mas varáves aleatóras smultaneamente. Por exemplo, alguém podera estar nteressado na dureza (D) e na tensão de ruptura (T) de uma lga de cobre fornecendo assm o resultdo (b,t). Se X e Y são duas v.a., a dstrbução de probabldade para a sua ocorrênca smultânea pode ser representada por f(x,y) para o caso em que (X,Y) é uma v.a. bdmensonal contínua, e p(x,y) para o caso em que (X,Y) é uma v.a. bdmensonal dscreta. Defnção Sejam E um expermento e S um espaço amostral assocado a E. Sejam X = X(s) e Y =Y(s), duas funções, cada uma assocando um número real a cada resultado s S. Denomnaremos (X,Y) uma varável aleatóra bdmensonal. Em determnadas stuações, X e Y não estão necessaramente lgadas a um mesmo expermento, mas exste uma razão bastante defnda para consderar X e Y conjuntamente. Para o nosso estudo vamos consderar que X e Y são ambas dscretas ou contínuas. Do mesmo modo que no caso undmensonal (X,Y) deve ter assocada, a cada valor que pode assumr, uma probabldade de sua ocorrênca. Assm precsamos defnr a dstrbução de probabldade da v.a. bdmensonal (X,Y). 53

8 Dstrbução conjunta de duas varáves aleatóras, dstrbuções margnas e condconas a) (X, Y) é v.a.d. bdmensonal (X,Y) será uma v.a.d. bdmensonal se os valores possíves de X e Y forem fntos ou nfntos enumeráves. Isto é, se os valores possíves de (X,Y) podem ser representados por ( x, y ) = 1,,..., r e j= 1,,..., s. j a.1) Função de probabldade conjunta de X e Y Chama-se de função de probabldade conjunta da v.a.d.bdmensonal (X, Y) a função: P(X=x ; Y=y j ) = P(x ; y j ) = p j que a cada valor de (x ; y j ) assoca sua probabldade de ocorrênca. Para que P(x ; y j ) seja uma função de probabldade conjunta é necessáro que satsfaça às seguntes condções: Dstrbução de probabldade conjunta a)p(x, y j ) 0, para todo par (x, y j ) b) P(x y j, j ) = 1 É o conjunto {(x ; y j ), P(x ; y j )} para = 1,,..., r e j = 1,,..., s a.) Dstrbuções margnas Dada uma dstrbução conjunta de duas varáves aleatóras X e Y, podemos determnar a dstrbução de X sem consderar Y e a de Y sem consderar X. São as chamadas dstrbuções margnas. A dstrbução margnal é consttuda pelos valores da varável aleatóra e suas respectvas probabldades margnas, que serão apresentadas na forma gráfca ou tabular conforme vsto para v.a. undmensonas. A probabldade margnal para cada valor é obtda da segunte forma: s para X: P( X = x ) = P( x ) = P( x, y ) j j= 1 para Y: P( Y = y ) = P( y ) = P( x, y ) j j j = 1 r a.3) Dstrbuções condconas Seja x um valor de X, tal que P( X = x) = P( x) > 0 A probabldade P( X = x, Y = yj) PY ( = y j / X= x) = P( X = x ) 54

9 é denomnada probabldade condconal de Y = y j, dado que X=x. Assm, para x fxado, os pares [ yj, P( Y= yj/ X= x)] defnem a dstrbução condconal de Y, dado que X = x. Analogamente para o X: P( X = x / Y = y ) = j P( X = x, Y = y ) PY ( = y) j j b) (X, Y) é v.a.c. bdmensonal A varável (X, Y) será uma v.a.c.bdmensonal se (X, Y) puder assumr todos os valores em algum conjunto não enumerável. b.1) Função densdade de probabldade conjunta Seja (X, Y) uma v.a.c.bdmensonal. Dzemos que f(x, y) é uma função densdade de probabldade conjunta de X e Y, se satsfzer às seguntes condções: a) f ( x, y) 0, para todo ( x, y) b) f ( x, y) dxdy = 1 f(x,y) = 0 para (x,y) aos ntervalos de x e y. Temos anda que: d b P( a X b, c Y d) = f( x, y) dxdy b.) dstrbuções margnas As f.d.p. margnas de X e Y são dadas por: g( x) = f( x, y) dy e h( y) = f( x, y) dx respectvamente. Temos anda que: b c a P( a X b) = g( x) dx e P( c Y d) = h( y) dy a b.3) Dstrbuções condconas Sejam X e Y v.a.c. com f.d.p. conjunta f(x, y) e f.d.p. margnas dadas por g(x) e h(y). A f.d.p. condconal de X, dado que Y = y é defnda por: f x y f( x/ y) = (, ) hy hy ( ), ( ) > 0 Analogamente, a f.d.p. condconal de Y, dado que X = x é defnda por: d c 55

10 f( x, y) f( y/ x) =, gx ( ) > 0 gx ( ) As f.d.p. condconas acma, satsfazem a todas as condções mpostas para uma f.d.p. undmensonal. Deste modo para y fxado, teremos: a)f (x / y) b) y) 1 f (x / y)dx = dx = f (x, 0 h(y) h(y) f (x, y)dx = h(y) h(y) = 1 Varáves aleatóras ndependentes a) (X, Y) é uma v.a.d.bdmensonal. Defnção 1 - Seja (X, Y) v.a.d.bdmensonal. Dzemos que X e Y são ndependentes se, e somente se, para todo par de valores ( x, y j ) de X e Y, tem-se: P( X = x, Y = y j) = P( X = x). P( Y = y j) Basta que esta condção não se verfque para um par ( x, y j ) para que X e Y não sejam ndependentes. Neste caso dremos que X e Y são dependentes. Defnção - Seja (X, Y) uma v.a.d.bdmensonal. Neste caso X e Y serão ndependentes se, e somente se, P( X = x / Y = y ) = P( X = x ), para todo e j. j ou equvalente se, e somente se: P( Y = y / X = x ) = P( Y = y ), para todo e j. j j b) (X, Y) é uma v.a.c.bdmensonal. Defnção 1 - Seja (X, Y) v.a.c.bdmensonal. Dremos que X e Y são ndependentes se, e somente se: f(x, y) = g(x).h(y), para todo x e todo y Defnção - Seja (X, Y) uma v.a.c.bdmensonal. Neste caso X e Y serão ndependentes se, e somente se: f(x/y) = g(x). Nesse caso, é evdente que f(y/x) = h(y). OBS.: Todas as defnções concernentes a duas v.a. podem ser generalzadas para o caso de n v.a. Exemplos: 1. Dada a dstrbução de probabldade conjunta de (X, Y) na Tabela abaxo 56

11 X Y ,10 0,0 0,0 1 0,04 0,08 0,08 0,06 0,1 0,1 Pede-se: a) Dstrbução margnal de X e Y, dstrbução de (X + Y) e de XY; b) X ey são ndependentes? c) As dstrbuções condconas de X dado que Y = 0 e Y dado que X = 1. d) P( X 1, Y 1) e) P( X 1/ Y = 0) f) Construr a dstrbução conjunta a partr das dstrbuções margnas de X e de Y. Resposta: d) 0,30; e) 0,70. Sejam X e Y v.a.c. com f.d.p. conjunta dada por: k(x + y), x 6, 0 y 5 f (x, y) = 0, para outros valores de x e y Pede-se: a) O valor de k b) P( X 3, Y 4) c)p(y < ) d) P(X > 4) e) X e Y são v.a. ndependentes? Justfque f) f(x/ y) g) f(x/ Y = 1) Resposta: a) 1 10 ; b) ; c) 7 10 ; d) ; e) Não Problemas propostos: 1) A função de probabldade conjunta da v.a.x e Y é dada por x y 10 x y 10! p(x,y) = x! y! (10 x y)! para x = 0,1,,, 10 y = 0,1,,, 10 0 x + y 10 Calcule: a) P(X, Y ); b) P(X + Y = 4) Resposta: a) 0,00157; b) 0,06 ) Sejam X, Y e Z três v.a. ndependentes e cada uma com a função densdade t e para t 0 f (t) = 0 c.c. Ache a P(X 3, 0,5 Y,5, Z > 1) Resposta: 0,

12 Concetos e Propredades de esperança matemátca e varânca de varáves aleatóras a) Esperança matemátca (méda ou valor esperado de uma v. a.) Neste tem vamos aprender a quantfcar o parâmetro méda de uma população. A esperança matemátca de uma população é também denomnada uma medda da tendênca central. Parâmetro é uma medda utlzada para descrever uma característca de uma população e caracterza a dstrbução de probabldade de uma varável aleatóra. Sob o ponto de vsta centífco, a esperança matemátca corresponde ao que se espera que aconteça em méda. a.1) Caso em que X é uma v.a.d. Seja X uma v.a.d. com a segunte dstrbução de probabldade: x x 1 x... x n Total P(x ) Px ( 1) Px ( )... Px ( n ) 1 Defne-se a esperança matemátca de X por: µ µ 1 1 EX ( ) = = = x. Px ( ) + x. Px ( ) x. Px ( ) n x n n EX ( ) = x. Px ( ) = 1 Exemplo: Um fabrcante produz peças tas que 10% delas são defetuosas e 90% não são defetuosas. Se uma peça defetuosa for produzda, o fabrcante perde U$ 1,00, enquanto uma peça não defetuosa lhe dá um lucro de U$ 5,00. Seja a varável aleatóra X = {lucro líqudo por peça}. Calcular a méda do lucro líqudo por peça. Resposta: ΕΧ ( ) =440, a.) Caso em que X é uma v.a.c. A esperança matemátca de uma v.a.c. X é defnda por: EX ( ) = xfxdx ( ) Exemplo: Uma v.a.c. X apresenta a segunte f.d.p.: Calcular E(X) Resposta: 43 0, para x < 0 x =, para 0 x 0, para x > 58

13 a.3) Propredades da esperança matemátca As propredades a segur apesar de estarem apenas demonstradas para quando X é uma v.a.c., valem também para quando X é uma v.a.d.. P 1 ) Se X é uma v.a. com P(X = k) = 1, então E(X) = k, sendo k uma constante (ou numa lnguagem mas smples mas menos rgorosa, pode-se dzer que a méda de uma constante é a própra constante). Prova: E( X) = k dx = k dx = k E( X) = k P ) A esperança matemátca do produto de uma constante por uma varável é gual ao produto da constante pela esperança matemátca da varável, ou seja, multplcandose uma varável aleatóra por uma constante, sua méda fca multplcada por essa constante. Prova: E( kx) = kx dx = k x dx = ke( X) P 3 ) A esperança matemátca do produto de duas varáves aleatóras ndependentes é gual ao produto das esperanças matemátcas das varáves, ou seja, a méda do produto de duas varáves aleatóras ndependentes é o produto das médas. Prova: E( XY) = xyf ( x, y) dxdy Se X e Y são v.a. ndependentes, a f.d.p. conjunta pode ser fatorada no produto das f.d.p. margnas de X e Y. Assm: E( XY) = xyg( x) h( y) dxdy = xg( x) dx yh( y) dy EXY ( ) = EXEY ( ) ( ) obs: E(XY) = E(X).E(Y) não mplca que X e Y sejam varáves aleatóras ndependentes. P 4 ) A esperança matemátca da soma ou da subtração de duas v.a. quasquer é gual a soma ou a subtração das esperanças matemátcas das duas v.a., ou seja, a méda da soma ou da subtração de duas v.a. é gual a soma ou subtração das médas. Prova: E( X ± Y) = ( x ± y) f( x, y) dxdy = x f( x, y) dxdy ± y f( x, y) dxdy E( X ± Y) = x g( x) dx ± y h( y) dy = E( X) ± E( Y) 59 P 5 ) A esperança matemátca da soma ou subtração de uma v.a. com uma constante é gual a soma ou subtração da esperança matemátca com a constante, ou seja, somando-se ou subtrando-se uma constante a uma v.a., a sua méda fca somada ou subtraída da mesma constante. Prova: EX ( ± K) = ( x± Kfxdx ) ( ) = xfxdx ( ) + Kfxdx ( ) = EX ( ) ± K

14 P 6 ) A méda de uma v.a. centrada é zero, ou seja, a méda dos desvos dos valores da v.a. em relação a sua méda é zero. Obs: Dzemos que a v.a. está centrada quando todos os valores são expressos como desvos em relação à respectva méda, ( X µ x ). Assm: E[ X µ ] = E( X) E[ µ ] = µ µ = 0 x x x x b) Varânca É a medda que quantfca a dspersão dos valores em torno da méda. A varânca de uma v.a. X é defnda por: VX ( ) = = EX [ EX ( )] = EX [ ] σ µ b.1.) Para X v.a.d.: V( X) = ( x µ x) P( x ) b..) Para X v.a.c.: V( X) = ( x ) dx x µ x Uma fórmula mas prátca para calcular a varânca é: x pos, VX ( ) = EX ( ) [ EX ( )] VX ( ) = EX [ EX ( )], = { X XE( X) + [ E( X)] } = E( X ) E( X) E( X) + [ E( X)] = E( X ) [ E( X)] em que: - para X v.a.d.: E( X ) = x P( x ) - para X v.a.c.: E( X ) = x dx b.3.) Propredades da varânca: Valem tanto para X v.a.d. quanto para X v.a.c. P 1 ) A varânca de uma constante é gual a zero. Prova: V( k) = E[ K E( K)] = E( k k) = 0 P ) Somando-se ou subtrando-se uma constante à uma v.a., sua varânca não se altera. Prova: 60

15 VX ( ± k) = E[( X± k) EX ( ± k)] = E[( X) E( X) ± ( k k)] = EX [ EX ( )] = VX ( ) VX ( ± k) = VX ( ) P 3 ) Multplcando-se uma v.a. por uma constante, sua varânca fca multplcada pelo quadrado da constante. Prova: V( kx) = E[ kx E( kx)] = EkX [ kex ( )] = kex [ EX ( )] VkX ( ) = kvx ( ) P 4 ) A varânca da soma de duas v.a. ndependentes é gual a soma das varâncas das duas varáves. Prova: VX ( + Y) = EX [ + Y] [ EX ( + Y)] = E( X + XY + Y ) [ E( X) + E( Y)] = E( X ) + E( XY) + E( Y ) {[ E( X)] + E( X) E( Y) + [ E( Y)] } = E( X ) + E( XY) + E( Y ) [ E( X)] E( X) E( Y) [ E( Y)] Se X e Y são ndependentes; E(XY) = E(X).E(Y), assm V( X+ Y) = { E( X ) [ E( X)] } + { E( Y ) [ E( Y)] } VX ( + Y) = VX ( ) + VY ( ) Do mesmo modo: V(X - Y) = V(X) + V(Y) OBS.1:Desvo padrão da varável X é a raz quadrada postva da varânca de X. = VX ( ) σ x OBS.: Sejam X e Y duas v.a.. A covarânca entre X e Y, denotada por Cov(X,Y) é defnda por: Cov(X,Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]}, ou, de forma alternatva, Cov(X,Y) = E(X,Y) E(X)E(Y) A covarânca nos dá uma déa da relação de dependênca entre duas ou mas v.a. Proposções útes: a) Cov(X,Y) = Cov(Y,X) b) Se V(X) = 0 ou V(Y) = 0 então a Cov(X,Y) = 0 c) Cov(X,k) = Cov(k,Y) = 0 d) Cov(aX,bY) = abcov(x,y), sendo a e b constantes e) Cov(X + Z,Y) = Cov(X,Y) + Cov(Z,Y) Resultado útl: Se X e Y são duas varáves quasquer V(aX ± by) = a V(X) + b V(Y) ± abcov(x,y) 61

16 Exercícos propostos: 1. Sabendo-se que Y=3X-5 e que E(X)= e V(X)=1, calcule: a)e(y); b)v(y); c)e(x+3y); d)e(x + Y ); e)v(3x+y); Resp.: 1; 9; 5; 15; 81. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retradas smultaneamente dessa urna. Se ganharmos R$ 00,00 por bola branca retrada e perdermos R$ 100,00 por bola preta retrada, qual sera o nosso lucro esperado? Resp.: Uma moeda honesta é lançada sucessvamente até sar cara ou até serem fetos 3 lançamentos. Obtenha a dstrbução de X = número de lançamentos, e calcule sua méda e varânca. Resp.: E(X)=1,75; Moda=1; V(X)=11/16 4. Uma máquna de apostar tem dscos ndependentes. Cada dsco tem 10 fguras: 4 maçãs, 3 bananas, pêras e 1 laranja. Paga-se 80 para aconar a máquna. Se aparecerem maçãs ganha-se 40; bananas 80; pêras 140 e laranjas 180. Qual é o resultado esperado após númeras jogadas? Resp.: E(X) = Um determnado artgo é venddo em caxas a preço de 8 U.M. por caxa. Sabe-se que 0% dos artgos venddos apresentam algum defeto de fabrcação. Um comprador faz a segunte proposta: Pede para poder amostrar, ao acaso, 10 artgos por caxa e pagará por caxa 10 U.M. se nenhum dos artgos amostrados for defetuoso; 5 U.M. se um ou dos artgos forem defetuosos e 4 U.M. se três ou mas forem defetuosos. O que é melhor para o vendedor; manter o seu preço de 8 U.M. por caxa ou acetar a proposta do comprador? Mostre por quê. Consdere X = número de artgos defetuosos, com a segunte dstrbução de probabldade: (sugestão: utlze a varável Y = valor pago por caxa) x Total P( x ) 0,1074 0,684 0,3019 0,33 1,00 Resp.: O vendedor deve manter o seu preço [E(Y) 5,1] 6. (X, Y) é uma varável aleatóra bdmensonal dscreta com a segunte dstrbução conjunta: X Y -3 4 P ( x ) 1 0,1 0, 0, 0,5 3 0,3 0,1 0,1 0,5 P( y j ) 0,4 0,3 0,3 1 Pede-se calcular: a) E(X), V(X) e σ x b) E(Y), V(Y) eσ y c) E(X + Y) d) X e Y são ndependentes? Resp.: a) ; 1 e 1 b) 0,6; 9,4 e 3,04 c),6 d) não são 6

17 7. Seja X uma v.a.c. com a segunte f.d.p.:, x [ 01, ] 3 = ( x), x [, ] 3 1 0, caso contrá ro Calcule: a) A esperança matemátca de (X-1) b) O desvo padrão de X Resp.: a) 0,78 b) 0, Mostre que E{[X E(X)][Y E(Y)]}= E(X,Y) E(X)E(Y) Unversdade Federal de Vçosa - CCE / DPI INF Incação à Estatístca / Inf 16 Estatístca I Lsta de Exercícos: Cap. 4 - Varáves Aleatóras 1. Uma v.a.c. X possu f.d.p. dada por : 6( x x ), 0 x 1 = 0, para outros valores de x Calcular : a) P[ EX ( ) σ X EX ( ) + σ], σ = VX ( ), dado E( X ) = 3/ 10 b) F(x), a Função de dstrbução acumulada. Suponha que X e Y tenham a segunte dstrbução conjunta : X Y ,1 0, ,1 0, 0,3 3 0,1 0,1 0 Sabendo-se que V(X) = 1,41 e E(Y) = 0, ; pede-se: a) X e Y são v. a. ndependentes? Mostre. b) E 1 X 3Y + 8 c)v 1 X 3Y

18 3. Dada a função densdade de probabldade abaxo: 1, se 0 x 1 1 = ( x 3), se1 x 3 4 0, para outros valores de x Calcule : a) V( 1X - 8 ), dado E( X ) = 17 / 6 b) A função de dstrbução acumulada c) P( 0,5 < X < 1,5 ) 4. Uma v. a. c. X possu a segunte f. d. p. : 0, se x < 1 ou x 4/ 3 1 = ( x ), se x< , se x < / Determnar: a) F(x), a função de dstrbução acumulada P 05, x 05, b) ( ) 5.Dada a dstrbução conjunta abaxo, parcalmente ndcada: X Y P(Y) - 1/15 1/15? 7/30 0 8/30? /15? 1? 1/30? 7/30 P(X) 6/15 7/30? Pede-se: a) Verfque se X e Y são v. a. ndependentes. b) E X Y V 8 15X c) ( ) 6.Cte as propredades de: a) Esperança Matemátca. b) Varânca. 7. Concetue: a) Varável aleatóra dscreta b) Varável aleatóra contínua 64

19 8.Uma v. a. c. é dada por: kx, se x < 5 = k( 8 x), se5 x 8 0, se x assume outros valores Determnar: a) O valor da constante k para que f(x) seja uma f. d. p. 8 7 b) P X 9. Suponha que X e Y tenham a segunte dstrbução conjunta: X Y Soma 0, 0,1 0,1 0, 3 0,1 0,1 0,1 0,1 Soma Pede-se: 1 a) E X 3 ; b) V( 5X 3Y) ; c) X e Y são v. a. ndependentes? Mostre porque. 10. Sabendo-se que X e Y são varáves aleatóras ndependentes e que E(X) = 5, V(X) =, E(Y) = 8 e V(Y) = 3, calcule: a) E( X - Y + 3 ) d) V( 3Y+ ) b) E[ ( X - Y ) 1 ] c) V X Y Seja ( X, Y ) uma varável aleatóra bdmensonal dscreta, com a segunte função de probabldade: x + y j, para x = 01,, e y j = 013,,, Px (, y j) = 4 0, caso contrá ro Pede-se: a) Dar a tabela da dstrbução de probabldade conjunta. b) Dar a tabela da dstrbução margnal de X e também a de Y. EX Y+ 4 c) ( ) 1. Dada a segunte função: ( ) K x, se0 x< 1 = K, se1 x 0, caso contrá ro 65

20 Determnar: a) O valor de K para que f(x) seja uma f.d.p. b) EX ( 3 ) 3 c) P X d) P( X = 1) 14. Sejam X e Y v. a. c. com função densdade de probabldade conjunta dada por: K( x + y), se x 6 e 0 y 5 f( x, y) = 0, c. c. Pede-se: a) O valor de K para que f( x, y) seja uma f. d. p. b) P( Y ) c) P( X > 3/ 0 Y ) d) X e Y são v. a. ndependentes? mostre. 15.A varável aleatóra contínua X tem f. d. p., f(x) = 3x, 1 x 0. Se a for um número que satsfaça a 1 a 0, calcule: P X> a X< a 3 y, se 0 y e 0 x Dado f( x, y) = 16 0, caso contrá ro Determnar: a) As funções margnas de X e Y b) Se X e Y são v. a. ndependentes. 17. Seja f(x, y) = (x + y - xy), para 0 x 1 e 0 y 1 e f(x, y) = 0, para quasquer outros valores de x e de y. Pede-se: a) Mostre que f(x, y) é uma f.d.p. b) Obtenha a f.d.p. margnal de X e a de Y. 18. Suponha que as dmensões, X e Y, de uma chapa retangular de metal, possam ser consderadas varáves aleatóras contínuas ndependentes, com as seguntes f.d.p.: x 1, 1< x gx ( ) = x+ 3, < x< 3 0, para outros valores e 1, < y < h( y) = 4 0, para outros valores Pede-se: Ache a f.d.p. da área da chapa (A). RESPOSTAS 1. a) 0,9855 b) 0 se x < 0; x ( 3 x) se 0 x < 1; 1se x 1 66

21 . a) não b) 0,55 c)119,57 x 1 3. a) 879 b) 0se x < 0 ; se 0 x < 1 ; ( x 6 x + 1 ) se 1 x < 3 ; 1 se x 3 8 c) 15/3 4.a) se x < ; ( x + 3x + ) se 1 x < 0; ( x) se 0 x < 4 / 3 ; 1 se x 4 / 3 b) 3/48 5. a) não b) -373/450 c) 689/4 8. a) /87 b) 149/61 9. a) -1 b) 7,16 c) não 10. a) 0 b) 14 c) 7/3 d) c) 70/4 1. a) /5 b) 81/50 c) 0, d) 0 14.a) 1/10 b) 7/10 c) 60/7 d) não 15. 7a 3 3 ( a + 8) 16. a) 1, 0 x 4 gx ( ) = 4 0, cc.. 1 ( y), y hy ( ) = , cc. b) sm a) f ( x, y) dxdy = , 0 x 1 b) g( x) = 0, cc.. e 1, 0 y 1 h( y) = 0, cc.. x 1, para 1< x < e < y < 4 x f( x, y) =, para < x < 3 e < y < 4 0, fora destes ntervalos 67