REGRESSÃO LOGÍSTICA. Seja Y uma variável aleatória dummy definida como:

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1 REGRESSÃO LOGÍSTCA. ntrodução Defnmos varáves categórcas como aquelas varáves que podem ser mensurados usando apenas um número lmtado de valores ou categoras. Esta defnção dstngue varáves categórcas de varáves contínuas, as quas, em prncípo, podem assumr um número nfnto de valores. Mutas varáves de nteresse para centstas socas são claramente categórcas, entre as quas podemos destacar raça, gênero, estado cvl, emprego, nascmento, e morte. Esse método é utlzado para estudar varáves dummys que são aquelas que são compostas apenas por duas opções de eventos, como sm ou não. Por exemplo: Seja Y uma varável aleatóra dummy defnda como: se a pessoa obteve crédto Y 0 se a pessoa não obteve crédto Como se trata de uma seqüênca de eventos com dstrbução de Bernoull, a soma do número de sucessos ou fracassos neste expermento terá dstrbução Bnomal de parâmetros n (número de observações) e p (probabldade de sucesso). A função de dstrbução de probabldade da Bnomal é dada por; P(y Onde cada Y tem dstrbução de Bernoull, cuja função de dstrbução de probabldade é dada por; y -y P(y p) p (- p) onde: y dentfca o evento ocorrdo p é a probabldade de sucesso para a ocorrênca do evento n y n,p) p (- p) y A transformação logístca pode ser nterpretada como sendo o logartmo da razão de probabldades, sucesso versus fracasso, onde a regressão logístca nos dará uma déa do rsco de uma pessoa obter crédto dado o efeto de algumas varáves explcatvas que serão ntroduzdas mas à frente. A função de lgação deste modelo lnear generalzado é dada pela segunte equação: -y η p log - p K k 0 β k x k onde a probabldade p é dada por:

2 p exp k + exp K 0 β kx k β k x k K k 0 2. Exemplo Os modelos utlzados aqu como exemplo têm como objetvo dentfcar as varáves relaconadas com as característcas de nteresse (varável resposta). Ao realzar o ajuste do modelo, deseja-se encontrar, e dentfcar, quas são os fatores mportantes que melhor descrevem o comportamento/varação das característcas de nteresse. O modelo lnear generalzado aqu utlzado é defndo por uma dstrbução de probabldade para a varável resposta, um conjunto de varáves ndependentes (fatores explcatvos) que compõem o prevsor lnear do modelo, e uma função de lgação entre a méda da varável resposta e o referdo prevsor lnear. Mobldade Ocupaconal e a utlzação de Regressões logístcas. Questona se a tendênca dos afro-brasleros é prosperar reduzndo as dspardades racas ou regredr, amplando-as. Nas próxmas seções pretendemos averguar a mobldade ocupaconal, por raça, avalando as chances de ndvíduos com as mesmas característcas (sexo, educação, dade, etc.) exceto a sua cor, em um horzonte de cnco anos. A tabela a segur representa a transção das categoras de ocupação dos ndvíduos entre 99 e 996. Defnção das varáves de nteresse: OCUPA2: Tabela 3. - Mobldade ocupaconal entre 99 e 996 Categora de Categora de ocupação em 996 ocupação em 99 Ocupado Desempregado Total Ocupado Desempregado Fonte: Ocupa2 se o entrevstado declarou estar desempregado em 99 e ocupado em 996; Ocupa20 se o entrevstado declarou estar desempregado em 99 e desempregado em 996

3 . Tabela Análse unvarada : OCUPA2 Frequênca das varáves explcatvas segundo a condção de ocupação do entrevstado Total Observações utlzadas Total de "0" Total de "" Sndcalzado Não Sm Grupos etáros Entre 5 e 29 anos 7 76 Entre 30 e 44 anos Entre 45 e 59 anos anos ou mas 3 25 Regão Metropoltana Ro de Janero São Paulo Porto Alegre 23 7 Belo Horzonte Recfe Salvador Fonte: PME/BGE Para seleconar o modelo utlzou-se a PROC GENMOD do SAS (maores detalhes em Os modelos fnas foram seleconados passo a passo, após agrupamento de níves dos fatores com base na estatístca de Wald, nclundo-se em cada passo as nterações que produzam maor decréscmo da Devance, consderando o teste da razão. Seleção do modelo para varável OCUPA2. Os modelos fnas foram seleconados passo a passo, após agrupamento de níves dos fatores com base na estatístca de Wald, nclundo-se em cada passo as nterações que produzam maor decréscmo da Devance, consderando o teste da razão. Nenhum das nterações foram sgnfcatvas.

4 Tabela Teste da Razão de Verossmlhança para o modelo fnal Tpo Códgo Devance G.L. Qu-quadrado P-valor NTERCEPT Sndcalzado ou assocado SNDA Regão Metropoltana REG Grupos etáros FXAGE nterpretação das estmatvas Vantagens e Razão de vantagens - OCUPA2 Consderando as estmatvas apresentadas na tabela 4.8, verfca-se que uma pessoa da Regão Metropoltana do Ro de Janero apresenta uma vantagem de 2.3 de sar do desemprego do que uma pessoa em São Paulo. A vantagem em favor da ocorrênca do evento (estar desempregado em 99 e ocupado em 996) para os entrevstados que declaram não ser sndcalzado ou assocado a algum órgão de classe é 85% menor do que declarou ser sndcalzada. Para as pessoas entre 30 e 44 anos a vantagem em favor da ocorrênca do evento é 0% maor do que os outros grupos. Estmatvas dos Parâmetros para o modelo fnal Parâmetro Códgos Descrção G.L. Estmatva Erro Padrão Qu-quadrado P-valor Vantagem ntercepto Sndcalzado ou assocado NSND Sndcalzado ou assocado SND Não é sndcalzado Regão Metropoltana BA Salvador PE Recfe RS Porto Alegre MG Belo Horzonte RJ Ro de Janero SP São Paulo Grupos etáros D_5_29 Grupo etáro - 5 a 29 anos D_30_44 Grupo etáro - 30 a 44 anos D_45_59 Grupo etáro - 45 a 59 anos D_60_MA Grupo etáro - 60 anos ou mas

5 Mcrosoft Equaton 3.0 Mcrosoft Equaton 3.0 log F F j log f f j, ( 6 ) 3. Modelo Logt Multnomal Mutos estudos de relevânca socal são mensurados através de varáves qualtatvas não ordenadas. Por exemplo, socólogos e economstas estão nteressados na composção da força de trabalho (empregados, desempregados); centstas polítcos em aflações partdáras (dreta, esquerda); geógrafos e demógrafos nas regões de resdênca (Nordeste, Norte, Sul, etc.). É um dos mutos métodos utlzado para analsar varáves de resposta categórca não ordenada (nomnal) nas pesqusas de cêncas socas. Podemos ctar algumas razões para esta populardade: tal modelo é uma generalzação do modelo logt bnomal; é equvalente para o modelo log-lnear com dados agrupados e; estão dsponíves no mercado de város softwares estatístcos para o ajuste destes modelos. Quando dzemos que uma varável é não ordenada, dzemos que cada categora é únca em comparação com outras categoras. Para o resultado da varável (y) com J categoras (j,..., J), vejamos a dferença da j-ésma (j>) categora com a prmera ou a categora base, dervando a base logt para a j- ésma categora. B j P( y j) p j log log, 2,..., () ( ) j J P y p Onde p j e p denotam as probabldades da j-ésma e prmera categora. A escolha do uso da prmera categora como base fo arbtrára. Alguma outra categora podera ser usada como base. Na transformação da estrutura, nós podemos retornar a base do logt especfcado na Eq. () como função lnear de x. Contanto, é necessáro especfcar a categora de contraste (sto é j) como também a categora base ( neste caso) quando modelamos resultados qualtatvos não ordenados. Exste J- bases não redundantes para resultados de varáves com J categoras. Agora consderamos o caso de termos apenas uma varável ndependente x com um número lmtado de categoras (x,...). Este caso é equvalente a tabela de contgênca, cada valor de x (x), a base é: P( y j / x ) p log log ( / ) P y x p Fj log f log j j, (3) B j (2) F f Consderando neste contexto temos especfcado um modelo saturado, a estmação da Eq (2) pode ser obtda como: Esta seção basea-se no lvro Statstcal Methods for Categorcal Data Analyss Danel A Powers, Yu Xe capítulo 7.

6 B B j j α j log β j. F F j. ( x ) ( 7 ) ( x ), x >, ( 8 ) onde f j e F j, são as freqüêncas observada e esperada na -ésma lnha e j-ésma coluna para a classfcação da tabela X x Y. Nós podemos faclmente rescrever o resultado na forma de Modelo Lnear Generalzado: Fj B log j. ( x ) (4) F onde (.) é a função ndcadora, se verdadera, 0, caso contráro. Com varável dummy codfcando e a prmera categora como referênca, Eq. (4) é usualmente escrta como: B j onde α j é a base para x, e β j é a dferença na base entre x e x, Nesse caso smples, αj e βj podem ser estmados separadamente para todo e j. Estmações smultâneas resultarão num modelo equvalente neste caso. Para outros modelos do que o modelo saturado, separar e estmar smultaneamente em geral gera resultados dferentes. Modelo Logt Multnomal padrão Vejamos agora a uma stuação mas geral com dados ndvduas e mudanças na notação dado que agora represente o -ésmo ndvíduo. Seja y uma varável com resultados poltômcos com categoras codfcadas por,..., J. Assocando com cada categora é uma probabldade de resposta, (P, P 2,...P J ) representam a chance do -ésmo respondente numa categora partcular. Como no caso de resultados bnáros, assummos a presença de um vetor que mede característcas dos repondentes, x (nclundo como o prmero elemento), como predtores das probabldades respondente. Utlzando a notação da função índce, a resposta para a probabldade depende de transformações não lneares da função lnear X β j k0 β jk x k, onde k é o número de predtores (na notação,o prmero parâmetro B 0 é o termo de ntercepto, o mesmo alfa da eq. 8). É mportante notar que, os casos para modelo bnomal logt, os parâmetros no modelo multnomal logt apresentam város resultados categórcos. O modelo multnomal logt pode ser vsto como uma extensão do modelo bnáro logt, expresso pela eq. 2 e 3, stuações em que o resultado das varáves tem múltplas categoras não ordenadas. Por exemplo, no caso de três categoras (J3), nós podemos escrever as probabldades: onde β2 e β3 denotam os efetos das covaráves especfcadas para a segunda e tercera categoras de resposta com a prmera categora usada como referenca. Note que a Pr( y / x ) P, + exp x β + exp x β Pr Pr P P P α j βj. 2 3 η, η + η + η η2, (0) η + η + η 3 η3, η + η + η ( x ), x >, (5) ( 2 ) ( 3) exp ( ) ( x β 2 ) y 2 / x P + exp( x β22 ) + exp( x β23) exp ( ) ( x β3 ) y 3/ exp( ) exp( ), x P + x β + x β

7 equação P é dervada do contraste entre a soma das três probabldades que é. sto é, P -(P 2 +P 3 ), onde y defne a base. As probabldades da equação acma podem ser expressas em termos da função exponencal dos termos lneares ηjexp(x βj): Estmação A estmação é obtda teratvamente usando máxma verossmlhança. É covenente defnr um conjunto de J varáves dummy: dj se yj e 0 caso contráro. Este resultado em um e apenas um dj para cada observação. O log da verossmlhança é: log L d n J j j log Pj (3) nterpretando os resultados de um Modelo Logt Multnomal - Vantagem e Razão de vantagem Uma mportante parte do modelo multnomal somente como elas são em respostas bnáras e modelos loglneares. Na estrutura modelo multnomal logt, a vantagem entre categoras j e é dada por smplesmente: Pj ηj exp( x β j ) j 2,... J (4) P η O log da vantagem, ou logt, está na função lnear de x : Mobldade Ocupaconal e a utlzação do Logt Multnomal O objetvo desta seção é verfcar quas são os fatores explcatvos a serem consderados para explcar a qualdade da mobldade ocupaconal. A partr dos resultados obtdos na seção 3 (Aplcação da Análse de Correspondênca) dentfcamos três grupos, resta-nos agora nvestgar a mobldade destes grupos entre 99 e 996. Quadro 6. Defnção das varáves de nteresse Grupo em 996 Grupo 2 em 996 Grupo 3 em 996 Grupo em Grupo 2 em Grupo 3 em Defnção das varáves endógenas (de transção) analsadas: GRUPO_B: GRUPO_B se (grupo 2 em 99) e (grupo em 996) GRUPO_B2 se (grupo 2 em 99) e (grupo 3 em 996)

8 GRUPO_B3 se (grupo 2 em 99) e (grupo 2 em 996) SERÁ A BASE Dstrbução das pessoas de 20 anos e mas grupos ocupaconas 6. - Dstrbução das pessoas de 20 anos e mas - grupos ocupaconas Grupos de posção Grupos de posção na ocupação em 996 na ocupação em 99 Total 2 Grupo Grupo 2 Grupo 3 Total Grupo Grupo Grupo Nota : Total dstrbução dos grupos ocupaconas em 996 Nota 2: Total 2 dstrbução dos grupos ocupaconas em 99 Tabela Análse da varânca - Teste da Razão de Máxma Verossmlhança Modelo Logt Multnomal Varável resposta: GRUPO_B Número de níves da var. resposta: 3 Frequênca das observações utlzadas: 7825 Parâmetros G.L. Qu-quadrado P-valor NTERCEPT SNDA GRAU SERV SANPGP CURPRO FX_COR SEXO CNECMA CHEFE CLOBO Fonte: PME/BGE

9 Seleção do modelo Análse das estmatvas de Máxma Verossmlhança - GRUPO_B Parâmetro s Estmatva s Erro padrão Ququadrado P-valor Vantagem Grupo_B NTERCEP T SNDA GRAU SERV SANPGP CURPRO FX_COR SEXO CNECMA CHEFE CLOBO Grupo_B 2 NTERCEP T SNDA GRAU SERV SANPGP CURPRO FX_COR SEXO CNECMA CHEFE CLOBO Fonte: PME/BGE Para seleconar o modelo utlzamos a PROC CATMOD do SAS (maores detalhes ver Os modelos fnas foram seleconados passo a passo, após agrupamento de níves dos fatores com base na estatístca de Wald, nclundo-se em cada passo as nterações que produzam maor decréscmo da Devance, consderando o teste da razão. Apresentaremos todos os modelos seleconados Em seguda as análses das estmatvas para os grupos: A, B e C. nterpretação dos resultados do GRUPO_B A partr dos resultados da tabela 6.6 encontramos, por exemplo, que a vantagem, na ocorrênca do evento de um o afro-braslero transtar do grupo dos empregados com cartera assnada e funconáros públcos em 99, para empregadores ou trabalhadores

10 autônomos em 996 é 0,4629 vezes (coluna Vantagem) ou 53% (Exp(0,4629) x 00) menor do que o grupo formado pelos brancos e amarelos. Com sso concluímos que a mobldade ocupaconal ascendente dos afro-brasleros sofre uma espéce de dscrmnação em nosso mercado de trabalho.