Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Taxas Equivalentes Rendas

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1 Análse de Projectos ESAPL / IPVC Taxas Equvalentes Rendas

2 Taxas Equvalentes Duas taxas e, referentes a períodos dferentes, dzem-se equvalentes se, aplcadas a um mesmo captal, produzrem durante o mesmo prazo de tempo, o mesmo valor acumulado.

3 Taxas Equvalentes em regme de juro smples 0 1 Seja uma taxa de período untáro. 0 1/m 2/m (m-1)/m 1 Fraccone-se este período untáro em m partes guas, por forma a que cada novo período fque gual a 1/m do período de. Seja a taxa de juro para o novo período. m é o número de vezes que o período da taxa está contdo no período da taxa. Podemos então dzer que: Período de m Período de De acordo com a defnção, dzemos então que e são equvalentes se, durante o ntervalo [0,1] produzrem o mesmo valor acumulado.

4 Taxas Equvalentes em regme de juro smples Se o captal ncal for untáro, ou seja, C 0 1, sabemos que: 1 + é o valor acumulado para C 0 1 no fnal do período de ; 1 + m é o valor acumulado para C 0 1 no fnal de m períodos de. Como pretendemos que esses valores sejam guas: (1 + ) (1 + m ) m ou /m Esta últma expressão dá-nos a expressão para a equvalênca de taxas em regme de juro smples.

5 Taxas Equvalentes em regme de juro composto Partndo exactamente dos mesmos pressupostos anterores, teremos para o caso do regme de juro composto: 1 + é o valor acumulado para C 0 1 no fnal do período de ; (1 + ) m é o valor acumulado para C 0 1 no fnal de m períodos de. Como pretendemos que esses valores sejam guas: (1 + ) (1 + ) m Elevando ambos os membros a /m obtemos m ou (1 + ) 1/m (1 + ) (1 + ) 1/m -1 Esta últma expressão dá-nos a expressão para a equvalênca de taxas em regme de juro composto.

6 Rendas Denomna-se por Renda um conjunto de captas que se vencem em momentos equdstantes. Chama-se de Termo da Renda a cada um desses captas. E chama-se de Período da Renda ao ntervalo de tempo que decorre entre os vencmentos de dos termos consecutvos.

7 Rendas condção necessára e condção sufcente Não é condção necessára para que se fale de uma renda que os captas vencdos em cada momento sejam guas. É condção sufcente para que se fale de uma renda que o ntervalo de tempo que decorre entre o vencmento de dos termos consecutvos (o período da renda) seja uma constante. Falamos assm de anudades, semestraldades, trmestraldades, mensaldades, etc..

8 Classfcação das Rendas Quanto ao número de termos: Renda Temporára a que tem nº lmtado de termos Renda Perpétua a que tem nº lmtado de termos Quanto à dependênca de factores aleatóros: Renda Certa a dsponbldade dos termos é absoluta Renda Incerta o vencmento dos termos está condconado por qualquer facto aleatóro

9 Classfcação das Rendas Quanto ao momento a que são referdos os seus Valores Actuas: Renda Imedata o Valor Actual é referdo ao momento que concde com o níco do 1º período. Renda Dferda o Valor Actual é referdo a um momento anteror ao níco do 1º período. Quanto à relação entre Período e Taxa: Renda Intera o período da renda e o período da taxa são concdentes. Renda Fracconada os períodos da renda e da taxa não são concdentes.

10 Classfcação dos Termos das Rendas Quanto ao seu vencmento: Termos Normas aqueles que se vencem no fm do período a que dzem respeto. Termos Antecpados aqueles que se vencem no níco do período a que dzem respeto. Quanto ao seu valor: Termos Constantes aqueles que apresentam todos o mesmo valor. Termos Varáves aqueles que apresentam valores desguas.

11 Valor Actual de uma Renda Imedata t-1 t t+1... t+(n-1) t+n 1º Período Últmo Período Seja a renda uma renda certa, temporára, medata e ntera, com n termos normas e untáros: O Valor Actual (em t ) de cada um dos seus termos será: (1+) -1 ; (1+) -2 ; (1+) -3 ;... ; (1+) -(n-1) ; (1+) -n ; ou seja, uma progressão geométrca de razão (1+) -1. Calcular o Valor Actual da renda não custa então mas do que calcular o somatóro daquela progressão.

12 Valor Actual de uma Renda Imedata O somatóro de uma progressão geométrca é dado pela expressão: a r r n ( ) Em que a é o prmero termo da progressão, r éa razão e n o número de termos. Então teremos: V.A. ( ) n 1 ) ) 1 ) 1 ( ) ( ) ( n ) ) 1 Multplcando ambos os termos da fracção por (1+) obtemos: V.A. 1 ( ) ( ) ( ) ) 1 ) ) ) n n Esta é a expressão que nos dá o valor actual de uma renda com as característcas anterormente ndcadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor de Desconto de uma Renda.

13 Valor Acumulado de uma Renda Imedata t-1 t t+1... t+(n-1) t+n 1º Período Últmo Período Seja de novo uma renda certa, temporára, medata e ntera, com n termos normas e untáros: O Valor Acumulado ou Futuro (em t ) de cada um dos seus termos será: (1+) n-1 ; (1+) n-2 ; (1+) n-3 ;... ; (1+) n-(n-1) ; (1+) n-n ; ou seja, também uma progressão geométrca de razão (1+) -1. Calcular o Valor Acumulado desta renda não custa então mas do que calcular o somatóro daquela progressão.

14 Valor Acumulado de uma Renda Imedata Segundo exactamente o mesmo racocíno que o anteror: V.F. ( ) n n 1 ) ) 1 ) n 1 ) ) ) 1 1 Multplcando ambos os termos da fracção por (1+) obtemos: V.F. n 1 1 ) ) ) 1 ) ) ) n 1 Esta é a expressão que nos dá o valor acumulado ou futuro de uma renda com as característcas anterormente ndcadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor de Captalzação de uma Renda. Note-se anda que captalzando a expressão do Valor Actual durante n períodos, ou seja, multplcando-a por (1+) n, se obtém a expressão do Valor Acumulado. Pode-se assm afrmar que o valor actualzado de uma renda, captalzado durante n períodos, é gual ao valor acumulado da mesma renda, ao fm de n períodos.

15 Valor Actual e Acumulado de Renda Imedata com Termos Antecpados Os casos vstos anterormente referam-se a rendas com termos normas, ou seja, com termos vencdos no fm de cada período. No caso da renda possur termos antecpados, ou seja, vencdos no prncípo de cada período: O Valor Actual da Renda dfere do V.A. do caso anteror pelo facto do prmero termo não dever ser actualzado (já que se vence no níco da contagem de tempo). Isso será o mesmo que fazer uma actualzação a menos, ou seja, no fundo usar o anteror valor actual e captalzá-lo por um período multplcá-lo por (1+): n ) V.A. ) O Valor Futuro da Renda dfere do V.F. do caso anteror pelo facto de faltar captalzar o últmo termo. Isso será o mesmo que fazer mas uma captalzação de um período, ou seja, também multplcar o anteror V.F. por (1+): ) n 1 V.F. 1+ ( )

16 Valor Actual de Rendas Dferdas t-1 t t+1... t+(n-1) t+n t+n+1 V.A. se termos normas V.A. se termos antecpados Quer no caso do Valor Actual duma renda temporára, certa, ntera e dferda de t períodos com n termos normas e untáros, quer no caso do Valor Actual de uma renda temporára, certa, ntera e dferda de t+1 períodos com n termos antecpados e untáros, a expressão a utlzar será: v t ) n, com v 1 1+ ) 1

17 Valor Acumulado ou Futuro de Rendas Dferdas t-1 t t+1... t+(n-1) t+n t+n+1 Em ambos os casos, com termos normas e com termos dferdos, o Valor Acumulado é exactamente gual ao que sera no caso das Rendas Imedatas: V.F. ( + ) 1 n 1 No caso de termos normas ) V.F. se termos normas n 1 V.F. 1+ ( ) V.F. se termos antecpados No caso de termos antecpados

18 Rendas Perpétuas Se o número de termos de uma renda for lmtado a renda terá a desgnação de Perpétua, ou dr-se-á tratar-se de uma Perpetudade. O seu valor Actual será: V.A. n ) n lm 1 No caso dos termos serem normas, ou: V.A. 1 ) 1+ No caso dos termos serem antecpados. Se a renda for dferda: 1 1 V.A. 1+ t No caso de uma renda perpétua, falar de valor futuro ou acumulado não faz qualquer sentdo.

19 Factor de Reposção do Captal Corresponde ao valor de cada um dos n termos de uma renda medata de valor actual untáro, ou seja, ao montante anual necessáro para repor ao fm de n períodos um total untáro, tendo em conta os juros sobre o montante anda não reposto. O seu valor é dado pelo nverso do factor de Desconto de uma Renda: F.R.C. ( ) 1+ t