2 Análise de Campos Modais em Guias de Onda Arbitrários

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1 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros Neste capítulo serão analsados os campos modas em guas de onda de seção arbtrára. A seção transversal do gua é apromada por um polígono conveo descrto por um conjunto fnto de pares coordenados (vértces do polígono). O método varaconal de Raylegh-Rtz com funções de base polnomas é aplcado na determnação dos números de onda de corte do gua. A geometra da apromação polgonal do gua a ser consderado e o sstema de coordenadas utlzado são mostrados na fgura.. y C Fgura. eção transversal da apromação polgonal do gua. Assume-se que as paredes do gua são perfetamente condutoras e que a regão é lmtada pela curva convea C. Consdera-se que o meo nteror ao gua de onda é o vácuo, caracterzado pela permssvdade ε 0 e pela permeabldade µ 0. A dependênca temporal, neste capítulo e no restante do trabalho, é da forma e jωt. Uma breve dscussão sobre o método de Raylegh-Rtz será apresentada a segur.

2 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 8.. O Método de Raylegh-Rtz O método de Raylegh-Rtz [] é uma técnca utlzada na determnação de um conjunto fnto de autofunções e autovalores apromados de uma dada equação dferencal e suas condções de contorno. Consdere-se a equação: Lu + λ u = 0 (.) sujeta a dadas condções de contorno, onde L é um operador lnear, com domíno e magem especfcados, u são as autofunções e λ os autovalores a serem determnados. Para operadores auto-adjuntos e postvo-defndos [], o ponto estaconáro do funconal F ( u) = < Lu,u > + λ < u, u > (.) é uma solução da equação (.). O produto nterno de duas funções sobre um dado domíno é defndo por: < a,b > = a b d (.3) Para o caso partcular do presente trabalho, conforme será mostrado no tem., a equação dferencal a ser resolvda é: u + λ u = 0 (.4) sujeta a condções de contorno homogêneas. é o Laplacano b-dmensonal no plano transversal. A equação (.), então, assume a forma:

3 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 9 F + ( u) = [ u λu ] u d (.5) Da prmera dentdade de Green [], tem-se: u [ u u + u u] d = u dl (.6) n C onde u n é a dervada parcal na dreção normal ao contorno C. endo em vsta que as condções de contorno são homogêneas, a ntegração de lnha se anula, e a equação (.6) pode ser reescrta como: u d = u u u d (.7) Combnando-se (.5) e (.7), tem-se fnalmente: F + λ d (.8) ( u) = [ u u u ] Uma solução apromada para as autofunções u e os autovalores λ é obtda epandndo-se u em um somatóro de funções de base: N u = = c f (.9) onde f são as funções de base e c os coefcentes da epansão a serem determnados. ubsttundo-se (.9) em (.8), resulta: F N = f f j + λ f f j (.0) ( u) = c

4 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 0 A função u deve mnmzar o funconal F ( u), conseqüentemente: ( u) = 0 F (.) c j para j =,,..., N. Efetuando-se em (.0) as dervações ndcadas em (.), obtém-se o segunte sstema de equações algébrcas lneares: [ A][ C] λ [ B][ C] = (.) onde os elementos das matrzes quadradas [A] e [B] são dados por: aj = f f j d (.3a) b j = f f d (.3b) j e o vetor C contém os coefcentes c. O sstema ndcado em (.) consttu um problema de autovalores generalzado. Uma vez determnados os autovalores e os autovetores do sstema (.), obtém-se os valores de λ e c... Determnação dos Campos Modas pelo Método de Raylegh-Rtz Nesta seção, descreve-se o procedmento para determnação dos campos modas em guas de seção transversal arbtrára, aplcando o método defndo na seção anteror. Consdere-se um gua de onda de seção transversal arbtrára conforme mostrado na fgura.. As soluções geras para os campos no nteror do gua podem ser construídas a partr das soluções da equação homogênea de Helmholtz [3]:

5 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros ψ + ψ = 0 (.4) 0 onde, (, y) f ( z) ψ= ψ é uma função de onda escalar e 0 = ω µ 0ε 0, sendo ω a freqüênca angular em rad/s. As condções de contorno aplcadas ao problema são as seguntes: ψ n (, y) C = 0 (Neumann, modos E) (.5a) (, y) = 0 ψ (Drchlet, modos M) (.5b) C onde C é o contorno da seção transversal do gua e n sgnfca a dervada em relação à normal do contorno C. A equação (.4) pode ser parcalmente separada, resultando no segunte par de equações: ψ + ψ = 0 (.6a) d f dz ( z) c + f z ( ) = 0 β (.6b) onde β é a constante de propagação e c o número de onda de corte de um dado modo de propagação. As constantes de separação c e β estão relaconadas por: β = 0 c (.7) As soluções da equação (.6b) são da forma: f ( ± ) jβz ( z) Ae = (.8) correspondendo a ondas que se propagam na dreção ( m ) z. As soluções da equação (.6a) são obtdas aplcando o método de Raylegh-Rtz, defndo na seção anteror.

6 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros Para os modos E, a condção de contorno dada por (.5a) é uma condção natural e, portanto, satsfeta pela aplcação dreta das funções de base. Neste capítulo, serão utlzadas funções de base polnomas: m n f = y (.9) Observa-se que as funções de base dependem dos pares m e n, ou seja, o índce corresponde ao par ordenado (m,n). As soluções (, y) ψ são então epressas por: Nma Nma m m n ψ (, y) = c f = cmn y (.0) m= m n= n mn mn onde N ma é o grau mámo dos polnômos utlzados na epansão e c mn são os coefcentes da epansão a serem determnados. Para guas smétrcos, em relação a um ou ambos eos coordenados, as soluções (, y) ψ serão classfcadas em modos pares e ímpares em relação a cada eo coordenado. O crtéro utlzado para classfcar um modo de par (ímpar) em relação a um dado eo coordenado, é o de que a componente y do campo elétrco modal correspondente seja uma função par (ímpar) em relação a esse eo. Para os modos E, polnômos de grau par (ímpar) em (y) geram modos pares (ímpares) em (y). Os valores mínmos dos índces m e n, m mn e n mm, são defndos de acordo com a pardade dos modos. Assm, para modos pares em (y), m = 0 ( n = 0), efetuando-se o somatóro sobre m (n) par. Analogamente, para modos mn ímpares em (y), m = ( n = ), e o somatóro é efetuado para valores mn mn ímpares do índce. N ma deve ser sufcente grande para assegurar a convergênca dos resultados. Para os modos M, a condção de contorno ndcada em (.5b) não é satsfeta pela aplcação dreta das funções polnomas. Para tanto, as funções de mn

7 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 3 base devem ser multplcadas por uma função, g (, y), que seja nula nas paredes condutoras do gua, mas que não se anule em pontos no nteror do gua. Em [9] é descrta uma técnca para obtenção de tas funções. No presente trabalho nos restrngremos a aplcações em que (, y) g pode ser epressa por um polnômo do o grau, como guas de onda trangulares, por eemplo. O cálculo numérco dos elementos das matrzes [A] e [B] é realzado nos tens.. e.., respectvamente.... Determnação dos Elementos a j Os elementos a j são determnados efetuando-se a ntegração ndcada em (.3a). O contorno do gua, como ctado anterormente, é apromado por um polígono conveo com N seg lados. O lado do polígono é epresso pelo segmento de reta: y (.) = a + b, + onde a = y + + y e b = y a ;, +, y e y + estão ndcados na fgura.. y y + lado y + Fgura. Determnação dos coefcentes angular e lnear da reta. Para os modos E, as funções de base são defndas em (.9), sendo o vetor gradente dessas funções dado por:

8 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 4 r f = m a (.) m n r m n y a + n y y onde a r e a r y são os vetores untáros nas dreções e y, respectvamente. ubsttundo-se (.) em (.3a), resulta: a j = N a + b seg + = 0 m m m + m n + n m + m n + n y + nn y ddy (.3) Os índces e j representam os pares ordenados (m,n ) e (m,n ), respectvamente. Integrando-se a equação (.3) em relação a y, obtém-se a segunte epressão para os elementos a j : a j = N seg = mm n + n + + n nn + n + + m + m m + m [ a + b ] [ a + b ] n + n + n + n d + d (.4) As ntegras ndcadas em (.4) são resolvdas numercamente. Para os modos M, nos casos aqu consderados, as funções de base são multplcadas por polnômos do o grau que se anulam nas paredes do gua.... Determnação dos elementos b j Os elementos b j são determnados efetuando-se a ntegração ndcada em (.3b). Para os modos E, as funções de base são defndas em (.9). ubsttundo-se (.9) em (.3b), obtém-se a segunte epressão para os elementos b j :

9 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 5 b j = N a + b seg + = 0 m + m n + n y ddy (.5) Integrando-se a equação (.5) em relação a y, resulta: b j = N seg = n + n + + m + m [ a + b ] n + n + d (.6) A ntegral ndcada em (.6) é resolvda numercamente. Uma vez determnados os elementos a j e b j, os números de onda de corte c podem ser calculados resolvendo-se, computaconalmente, o sstema de autovalores generalzado ndcado em (.). A subrotna utlzada na solução do sstema (.) fo a DGVCRG do IML..3. Resultados Numércos A formulação descrta anterormente para a determnação dos campos modas em guas de seção arbtrara, fo mplementada computaconalmente em lnguagem FORRAN. Foram estudadas três confgurações para a seção transversal: crcular, elíptca e trangular. As estruturas crcular e elíptca apresentam smetra em ambos eos coordenados e a estrutura trangular apenas em relação ao eo dos. O contorno das seções crcular e elíptca fo apromado por uma sére de segmentos lneares, cujo crtéro de apromação é manter a área da seção transversal gual àquela do gua sem apromação. Foram consderados 30 segmentos na representação do contorno dos guas. Para os eemplos aqu consderados, o grau mámo dos polnômos utlzados como funções de base, N ma, fo 0.

10 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 6 Na tabela. são apresentados os números de onda de corte dos 0 prmeros modos E em um gua de onda crcular de mm de rao. Os resultados, quando comparados com os valores eatos, apontam um erro mámo de 0,45%. A convergênca dos resultados, em função do grau mámo dos polnômos funções de base, N ma, em um gua de onda crcular de mm de rao, é mostrada na tabela.. Nessa tabela estão ndcados os valores dos números de onda de corte do modo E e o erro do cálculo numérco. Para grau mámo dos polnômos maor que 0, verfcou-se o aparecmento de modos espúros, nclusve com autovalores negatvos. Isto resulta de mprecsões nas ntegrações numércas de polnômos de graus elevados, lmtando o número de modos computados. Para N ma = 0, o número total de modos computados, nclundo modos pares ou ímpares em cada dreção, é 0. A tabela.3 apresenta as freqüêncas de corte dos prmeros modos E em um gua de onda elíptco com eos de 0,0 cm e 6,64 cm. Os resultados obtdos foram comparados com [], apontando dscrepâncas menores que 0,5%. Como últma aplcação, consderou-se um gua de onda trangular eqülátero de mm de lado. Os números de onda de corte dos prmeros modos E e M estão na tabela.4 e.5, respectvamente. Os resultados obtdos foram comparados com os valores eatos, dados em [4], tendo apresentado erro menor que 0,% para os modos E e 0,03% para os modos M.

11 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 7 Modo Valor Eato Valor Calculado Erro (%) de c de c (,),8484, ,45 (,) 3, , ,0 (0,) 3, ,8376 0,00 (3,) 4,089 4, ,76 (4,) 5, ,3389 0,9 (,) 5, ,345 0,37 (5,) 6,4566 6,499 0,05 (,) 6, ,775 0,090 (0,) 7, ,0640 0,009 (6,) 7,5066 7,5049 0,06 abela. Valores de números de onda de corte, modos E, para um gua de onda crcular de mm de rao. Grau Mámo dos Polnômos c do Modo E Erro (%) 4, ,8 6, ,44 8, ,44 0, ,45, ,45 4, ,45 6, ,45 8, ,45 0, ,45 abela. Valores de números de onda de corte do modo E, em função do grau mámo dos polnômos, para um gua de onda crcular de mm de rao.

12 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 8 Freqüênca de Corte (GHz) Modo De acordo com [] Método Proposto Par E 0, ,89305 Ímpar E,99789,9855 Par E,603495,60980 Ímpar E,84098, Par E 3,8784,9835 Ímpar E 3,475,4883 Par E 0,499336, Par E 4,9494,96344 Ímpar E 4 3,0076 3,0893 Par E 3,067 3, Par E 5 3,593 3,6036 abela.3 Valores de freqüêncas de corte, para modos E, em um gua de onda elíptco com eos de 0,0 cm e 6,64 cm. Valores de c Modo De acordo com [4] Método Proposto Erro (%) E 0 4, , ,000 E 0 7, ,5597 0,000 E, E 0 8, , ,000 E,083539, ,000 E 03,566370, ,00 E 3, E 0 4, , ,00 E 5,0898 5,060 0,0 E, E 04 6,7556 6, ,09 abela.4 Valores de números de onda de corte, para modos E, em um gua de onda trangular eqülátero com lado de mm.

13 Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros 9 Valores de c Modo De acordo com [4] Método Proposto Erro (%) M 0 7, ,5597 0,000 M,,083539, ,000 M 3, M 0 4, , ,000 M 5,0898 5,0900 0,000 M 4 8,5853 8, ,00 M 3 9, , ,003 M 30,76559, ,07 M 5, M 4, M 3,64994,693 0,09 abela.5 Valores de números de onda de corte, para modos M, em um gua de onda trangular eqülátero com lado de mm.