Métodos numéricos para o cálculo de sistemas de equações não lineares
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- Washington Carrilho Desconhecida
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1 Métodos numércos para o cálculo de sstemas de equações não lneares Introdução Um sstema de equações não lneares é um sstema consttuído por combnação de unções alébrcas e unções transcendentes tas como a unção eponencal a unção loartmo as unções tronométrcas etc. Devdo à não lneardade dos sstemas de equações não lneares eles não podem ser reduzdos à orma matrcal A b de modo que nem o cálculo dreto pelo método de elmnação aussana nem por nversão de matrzes pode ser aplcado. Outra dculdade vem da dversdade de unções transcendentes que mpede a elaboração de alortmo que possa ser aplcado a um sstema de equações não lneares enérco. Um sstema de três equações não lneares contendo três ncóntas z pode ser escrto na orma padrão como: h ( z ( z ( z ( A Tabela apresenta eemplos de sstemas de equações não lneares epressos na orma padrão na coluna dreta de acordo com a equação (. Tabela. Eemplos de sstemas de equações não lneares e Sstema Forma padrão ln ( ln 5 h ( ( ( e ( 5 Sncado ráco da solução do sstema de equações não lneares A solução de um sstema de equações não lneares é o lócus no qual as curvas representadas pelas equações não lneares se nterceptam. A F. apresenta o ráco contendo as curvas das equações não lneares ( que possu duas raízes no ntervalo [-; ].
2 raz raz F.. Gráco mostrando o locus da solução do sstema de equações não lneares. Método de Gauss-Sedel A solução do sstema de equações não lneares pelo método de Gauss-Sedel é eto da mesma orma que na solução de um sstema de equações lneares. Consdere um sstema com duas equações não lneares: ( ( ( Podemos escrever o sstema de equações ( na orma: * ( * ( ( As equações ( são as unções para o cálculo teratvo pelo método de Gauss-Sedel: * * ( ( Para escolhemos arbtraramente os valores ncas e. Crtéro de converênca para o método de Gauss-Sedel:... (5 O crtéro de converênca do método de Gauss-Sedel é satseto quando o desvo absoluto nas varáves e or neror ao o erro especcado ε: (6
3 Eemplo Cálculo da solução do sstema de equações não lneares ( pelo método de Gauss-Sedel: ( Solução Escrevemos o sstema de equações solando as varáves e respectvamente na prmera e na seunda equação de (: ± (7 O snal ± na prmera equação é utlzado respectvamente para o cálculo das raízes postva e neatva em (. Vamos consderar o snal neatvo na prmera equação em (7 para o cálculo da raz neatva pelo método de Gauss-Sedel: (8 Vamos escolher o valor ncal por nspeção do ráco mostrado na F.. A Tabela apresenta os resultados do cálculo para cnco terações mostrando que o cálculo é dverente pos tanto os valores das varáves como os desvos δ e δ são crescentes. Tabela. Resultados do cálculo do sstema de equações não lneares pelo método de Gauss-Sedel δ δ Para que o cálculo pelo método de Gauss-Sedel seja converente vamos permutar a ordem das equações no sstema (: (9 A partr do sstema permutado (9 escrevemos as equações para o cálculo teratvo da raz neatva de : 5 ( 5 ( (
4 Os resultados do cálculo converente estão apresentados na Tabela. Com ses terações a solução do sstema de equações não lneares ( é dado por -68 e 6 com desvo neror a -. Tabela. Resultados do cálculo do sstema de equações não lneares pelo método de Gauss-Sedel δ δ F.. Gráco mostrando a sequênca dos valores calculados pelo método de Gauss-Sedel converente. Rotero Matlab % Solucao do sstema não lnear: metodo de Gauss-Sedel -; ; % Valor ncal d ; d ; ; erro e-; % Denção dos desvos ncas whle d > erro & d > erro dsp([' ' numstr( ' ' numstr( ' ' numstr(]; n -sqrt(.5*( ; n sqrt(.5*(n.^ ; d abs(n - ; d abs(n - ; n; n; ; end Método de Newton-Raphson Devdo ao ato que o método de Gauss-Sedel nem sempre convere utlza-se o método Newton-Raphson que é baseado na dervada das unções e se estr uma raz do sstema próma ao valor ncal o método rá converr para a solução.
5 5 O método de Newton-Raphson que o desenvolvdo para o cálculo de raízes de equações não lneares também pode ser aplcado para o cálculo teratvo da solução de sstemas de equações não lneares. Vamos desenvolver o método para um sstema de duas equações não lneares: ( ( ( Epandndo as unções ( e ( em séres de Talor em torno de ( vem: nas quas: ( ( ( ( ( ( K ( ( ( ( ( ( K ( e ( ( ( e ( ( ( ( Truncando as séres de Talor até os termos de ª ordem Escrevendo na orma matrcal: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A solução do sstema de equações lneares ( pode ser utlzado na solução do sstema de equações não lneares empreando o seunte esquema teratvo: ( A solução é obtda quando o crtéro de converênca or satseto: ( Eemplo Cálculo da solução do sstema de equações não lneares ( pelo método de Newton- Raphson: (
6 6 Solução Prmeramente temos que escrever o sstema de equações ( na orma padrão: ( ( (5 Para calcular os ncrementos e vamos calcular as epressões das dervadas parcas de prmera ordem: ( ( ( ( (6 Substtundo (5 e (6 na equação ( resulta o sstema de equações lneares: (7 A solução de (7 ornece os valores dos ncrementos e que serão usados em: ( Cálculo numérco passo-a-passo Incando o cálculo de (7 com os valores ncas: - e obtém-se: 8 A solução deste sstema ornece: 667 e. Substtundo em (: Substtundo os valores obtdos acma -667 e 6667 na equação (7 obtém-se: A solução deste sstema ornece: 96 e 6. Substtundo em (:
7 7 Novamente tomando-se os valores calculados acma -7 e 66 na equação (7 obtém-se: A solução deste sstema ornece: e. Substtundo em (: Na próma teração ( calculada a partr dos valores -68 e 6 obtemos os seuntes resultados: Como a solução deste sstema ornece os valores:. e 6. que são os valores dos desvos do método de Newton-Raphson o cálculo das raízes do sstema de equações não lneares ( converu para: -68 e 6. Os resultados do cálculo passo-a-passo estão resumdos na Tabela. Tabela. Resultados do cálculo do sstema de equações pelo método de Newton-Raphson 8 δ δ Observa-se deste eemplo que o método de Newton-Raphson convere rapdamente para a solução derentemente do método de Gauss-Sedel cuja converênca e rapdez dependerão do sstema de equações não lneares. 8 Rotero Matlab % Sstema de equações não lneares: metodo de Newton-Raphson -; ; d ; d ; ; erro e-; whle abs(d > erro & abs(d > erro dsp([': ' numstr( ' : ' numstr( ' : ' numstr(... ' d: ' numstr(d ' d: ' numstr(d]; A [-* *; * -]; b [.^ - *.^ ; -*.^ ]; delta A\b; d delta(; d delta(; n d; n d; n; n; ; end
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