Programação Não Linear. Programação Não-Linear 1

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1 Proramação Não Lnear Proramação Não-Lnear

2 Os modelos empreados em Proramação Lnear são, como o própro nome dz, lneares (tanto a unção-obetvo quanto as restrções). Este ato é, sem dúvda, a maor das restrções mpostas sobre um modelo de Proramação. Em rande parte das aplcações, modelos lneares reletem apenas apromações dos modelos reas. Fenômenos íscos ou econômcos são eralmente melhor representados por modelos não-lneares. A maora das não-lneardades enlobadas em um modelo de proramação está dentro de prncpas cateoras: )Relações observadas emprcamente, tas como varações não-proporconas em custos, resultados de processos e característcas de qualdade. )Relações deduzdas estruturalmente, que enlobam enômenos íscos, deduzdos matematcamente e reras admnstratvas. Em eral, os modelos empreados em Proramação Não-Lnear são do tpo: Ma (ou Mn) sueto com a b (,,..., n ) (). e (). unções não lneares para,,..., m Proramação Não-Lnear

3 Os métodos para resolução de problemas de Proramação Não-Lnear podem ser dvddos em rupos: ) Modelos sem restrções e ) Modelos com restrções O prncpal conceto envolvdo em Proramação Não-Lnear é o de taa de varação dervadas e radentes. O rande problema que dculta a obtenção da solução ótma nos problemas de Proramação Não-Lnear são os mínmos e mámos (etremos) locas da unçãoobetvo. () a b c Proramação Não-Lnear 3

4 Métodos de Otmzação Sem Restrções Método de Mnmzação de unções muto smples Consste nos seuntes passos: ) chutar 3 pontos (a,b,c). () )Escolher um ponto entre a e b ou entre b e c. supondo que escolhemos entre b e c: 3)Se (b) < () 3 novos pontos são (a,b,). 4)Senão 3 novos pontos são (b,,c). 5)Repetr processo até precsão deseada. (b) (c) (a) a b c Problema deste Método: Etremamente dependente da ncalzação determnístcos). (problema comum aos Métodos Função precsa ser avalada em mutos pontos alto custo computaconal. Inormação da dervada da unção permte alcançar o etremo com menor número de avalações da unção melhor ecênca computaconal. Proramação Não-Lnear 4

5 Método do Gradente (ou Método de Cauchy ou Método do Passo Mas Descendente (Steepest Descent Method)). Dervada ornece a normação da taa de varação da unção (-D). Para o caso n-d, o vetor radente ornece a dreção da maor taa de varação da unção.vetor Gradente Método consste em: Procurar o mámo (ou mínmo) na dreção de maor taa de crescmento (decrescmento) da Função Obetvo a partr de uma solução (ponto) ncal (). mamzação,,,..., 3 n ( ) t. ( ) mnmzação ( ) t. ( ) t é o tamanho do passo é o número da teração,,..., n Proramação Não-Lnear 5

6 Eemplo De uma lona olha de metal de 3 cm de larura deve-se azer uma calha dobrando as bordas perpendcularmente à olha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacdade máma? 3 cm 3 - Quanto deve medr para que a calha tenha capacdade máma? 3 - Proramação Não-Lnear 6

7 A capacdade de escoamento de áua da calha é, ormalmente, a vazão! ( A, v) A. v Q Q(A,v) é a vazão (cm 3 /s); A é a área da seção (cm ); e v é a velocdade do luído (cm/s). Supondo v constante, a vazão torna-se dretamente proporconal à área da seção! Portanto, mamzando A mplca em mamzar Q(A,v). Área da seção área máma ().(3 ) Proramação Não-Lnear 7

8 Área da seção 7.5cm 7.5cm Por nspeção do ráco anteror verca-se que a unção alcança o mámo (ótmo) em () Solução do problema da calha pelo Método do Gradente.(3 ) 3 () 3 4 ( ) t( 3 4 ) resíduo ()-() Processo teratvo cessa quando resíduo é menor que precsão deseada crtéro de parada. Para t.. o teração () -3 () -3.(3-4(-3)). resíduo4. o teração (). ()..(3-4(.)) 3.7 resíduo.5 3 o teração () 3.7 (3) 3.7.(3-4(3.7)) 5.3 resíduo.5 9 o teração (8) (9) (3 4(7.498)) resíduo.7 Proramação Não-Lnear 8

9 O ráco da esquerda mostra o camnho de busca (traetóra) da solução ótma realzada pelo alortmo para t. e o da dreta para t.4. 5 Função Obetvo e Processo de Busca do Mámo 5 Função Obetvo e Processo de Busca do Mámo solução ótma Solução ótma 5 Função Obetvo 5 Função Obetvo área Camnho de Busca área -5-5 Camnho de Busca - solução ncal solução solução traetóra é unção do tamanho do passo Deve estr um tamanho de passo ótmo?! A solução ótma será alcançada mas rapdamente quanto menos a Função Obetvo or avalada! Para sso, vamos azer, sem perda de eneraldade, alumas alterações no Método do Gradente substtundo () por Z(t), ou sea, uma epressão que é unção do tamanho do passo t e () por smplesmente. O Método então ca: Z (t) t. () t. () Proramação Não-Lnear 9

10 Substtundo Z(t) em (), temos: () t ( Z(t) ) Iualando a dervada de (t) (em relação a t) a zero ('(t)) e então resolvendo para t, encontra-se uma unção que descreve os valores ótmos de t para cada solução. No eemplo, Z(t) ca: Z(t) t(3 4) Substtundo Z(t) em, ca: (t) (t) 3 9 9t 4t t t 36t 48t 8t 64 t 3 t Resolvendo para t: o teração () -3 t R 7.5 t para 7.5 área 5 5 Função Obetvo Função Obetvo e Processo de Busca do Mámo Solução ótma Camnho de Busca () -3.5(3-4(-3)) solução Proramação Não-Lnear

11 Outro eemplo (caso -D) 3 Mn 6 unção obetvo representada por curvas de nível vetores radentes Proramação Não-Lnear

12 A próma ura mostra o "camnho de busca" no plano dada a solução ncal em (-,). unção obetvo representada por curvas de nível vetores radentes Proramação Não-Lnear

13 O tamanho do passo ótmo t é calculado como: ( ) ( ) () () t. 6 () tamanho passo teração Fazendo z () t ( ) e ( t ) z( t ) Resolvendo para t () t ( z( t )) ( t ) 3( 6t ) () t ( t) ( ) 6( 6t) ( 6) t resíduo ( ( ) ) ( ( ) ) Proramação Não-Lnear 3

14 Uma outra manera de encontrar etremos de uma unção não-lnear é smplesmente ualar as dervadas parcas a zero e resolver o sstema de equações não-lneares. Eemplo 8 Mn (, ) O sstema não-lnear ca: 8 8 Resolvendo este sstema, na reão,, tem-se: e. Para conrmar que temos um ponto de mínmo, podemos substtuí-lo, nas dervadas parcas de o ordem: ,, 8 que por sua vez, são postvos, conrmando portanto, que o ponto é de mínmo. Proramação Não-Lnear 4

15 Resumo e e seundo > < Mn. e e Stran yy yy m bm e (,,..., ) Eemplo m Ma sueto ou b b e Ma n > Mínmo < Mámo > > y y não lneares Mínmo Mámo satsaça local local local local equações (, ) a { (, ) crcunerênca (r ) n as Um rande problema desta abordaem está em resolver sstemas de equações nãolneares, os quas eralmente, são resolvdos através de métodos numércos. Otmzação com Restrções e Função-Obetvo Não-Lnear Proramação Não-Lnear 5

16 Função Laranana h m (, ) [ b ] onde: Método dos Multplcadores de Larane (,,..., m ) são os multplcadores de Larane. Nota-se que para valores váves de : assm: (, ) h b, Portanto, se (, ) (, ) é um etremo local ou lobal para a unção sem restrção h(, ), então é um etremo para o problema ornal. Assm, h(, ) é analsado normalmente como um modelo sem restrções. Com sso, n m dervadas devem ser ualadas a zero. h h m b,,,...,n,,,...,m Este sstema deverá ornecer os etremos locas (ou lobas). No entanto, para problemas reas, tas sstemas tornam-se pratcamente mpossíves de solucona-los. Proramação Não-Lnear 6

17 Proramação Não-Lnear 7 () () h 3 h h então,, h,, Eemplo () 3 ou (),, e,, 3 Se ± Estes pontos são mámo e mínmo locas. Neste caso, estes pontos são mámo e mínmo lobas. Como estamos querendo mamzar, a solução ótma é (, )(,). (,)..

18 No eemplo anteror, os etremos locas são também lobas. Porém, este ato o observado apenas por nspeção dos resultados. Uma manera mas eleante de vercar sto consste em analsar a questão de convedade de uma unção, uma vez que esta propredade pode arantr a estênca de mínmos ou mámos lobas. Funções Conveas e Côncavas Undmensonas Uma unção de uma únca varável () é uma unção convea se, para cada par de valores de, por eemplo, e com < tem-se: [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) < < Se pode ser recolocado por <, é uma unção estrtamente convea. Se pode ser recolocado por por, é uma unção côncova. Se pode ser recolocado por por >, é uma unção estrtamente côncova. A nterpretação eométrca destas propredades é a seunte: se para cada par de pontos sobre o ráco de (), um semento de reta conectando estes pontos estver nteramente acma ou sobre o ráco de (), () é dta convea. Proramação Não-Lnear 8

19 Convea Concâva Convea e Côncava Estrtamente Convea Estrtamente Concâva Não Convea e Não Côncava Proramação Não-Lnear 9

20 O racocíno é análoo para unções côncavas. De manera mas ormal, o teste de convedade (ou concavdade) pode ser realzado através da dervada seunda.() é: -Convea se e somente se -Estrtamente convea se e somente se -Côncava se e somente se d -Estrtamente côncava se e somente se d d d d d d d Esta propredade pode ser eneralzada para o caso de varáves. A seunte tabela resume as condções. > > Proramação Não-Lnear

21 As propredades acma ornam da análse da matrz Hessana. De modo ormal, uma unção com n varáves é dta convea se a sua respectva matrz Hessana é Sem- Denda Postva. Com sso, o conceto de convedade pode ser eneralzado para n dmensões. Apenas como recordação, a matrz Hessana de uma unção de n varáves é: [][] H (,,..., ) n,,,..., n Uma matrz é Sem-Denda Postva se qualquer uma das seuntes propredades é satseta. ) t H )todo 3)todas 4)todo submatrzes pvô é autovalor vetor de H é prncpas possuem H com det er mn antes autovetores Proramação Não-Lnear

22 Condções para Otmzação com Restrções de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Se (), (), (),..., m () são derencáves, então: (,,..., n ) pode ser uma solução ótma para um problema de Proramação Não-Lnear somente se este m números,,..., m tas que todas as condções KKT são satsetas: m. em e,,..., n m ( ) b [ b ],,..., n,,...,n para,,..., n Nas condções e 4 estem o produto de quantdades, portanto, no mínmo umas dessas quantdades deve ser zero para satsazer a ualdade. Proramação Não-Lnear

23 Proramação Não-Lnear 3 Assm, as condções 3 e 4 podem ser combnadas para uma orma equvalente: Da mesma manera, pode-se combnar as condções e : Os multplcadores de Larane correspondem para varáves duas. As condções KKT não arantem solução ótma anda, az-se necessáro vercar as condções de convedade-concavdade. Se () é côncava e (), (),..., m () são conveas (Proramação Não-Lnear Convea) e condções KKT satsetas, (,,..., n ) é ótma. se b se b 3,4. se se,. m m

24 Proramação Não-Lnear 4 3 a sueto ln Ma Eemplo ótma é KKT atenda que solução qualquer. pos : côn cov a, ln. pos : convea, m < condção condção KKT [ ] [ ] condção6, condção5 3 b condção4 3 b condção3

25 Re solução ) 3) 4) 5) 6) 7) ) 3 nenhuma condção 5, condção 3 condção condção (,3) é ótma 3, <, ( 3 ( ) ) condção 3, volada condção 4 ( por : ) satsazen do Outros tpos de problemas de Proramação Não-Lnear: -Proramação Separável -Proramação Quadrátca -Proramação Geométrca -Proramação Fraconal -Proramação Não-Convea condções KKT Proramação Não-Lnear 5