Leis de conservação em forma integral

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1 Les de conservação em forma ntegral J. L. Balño Departamento de Engenhara Mecânca Escola Poltécnca - Unversdade de São Paulo Apostla de aula Rev. 10/08/2017 Les de conservação em forma ntegral 1 / 26

2 Sumáro 1 Regra de Lebnz 2 Conservação da massa 3 Conservação do momento lnear 4 Conservação do momento angular Les de conservação em forma ntegral 2 / 26

3 Regra de Lebnz 1-D Cálculo da dervada de uma ntegral que é função do parâmetro t, quando os lmtes de ntegração são funções arbtráras do parâmetro. Para 1-D, se F = x 2 (t) df x 1 (t) f (x, t) dx, como calcular? df = x2 (t) x 1 (t) +f (x 2, t) dx 2 [ f (x, t)] dx t f (x 1, t) dx 1 df = x2 (t) x 1 (t) V c1 = dx 1 ĭ, V c2 = dx 2 ĭ n 1 = ĭ, n 2 = ĭ t [f (x, t)] dx + f 2 V c2 n 2 + f 1 V c1 n 1 Les de conservação em forma ntegral 3 / 26

4 Regra de Lebnz 3-D Podemos ntroduzr a dervação dentro da ntegral, mas devemos acrescentar o fluxo de f (x, t) V c na frontera do recnto. Generalzando a 3-D: F (t) = f (r, t) dv V(t) df = [f (r, t)] dv V(t) t + f (r c, t) (V c n) da Notar que F é uma quantdade extensva, enquanto f (r, t) é uma quantdade ntensva (por undade de volume) expressa em forma de campo. A varação do volume, caracterzada por V c, é arbtrára. Les de conservação em forma ntegral 4 / 26 A(t)

5 Teorema de transporte de Reynolds (TTR) O volume V e a forma em que vara no tempo defnem o volume de controle () e a superfíce de controle (CS). Consderemos um sstema de partículas, que chamaremos sstema. Vamos fazer as seguntes suposções adconas: O sstema concde com o volume de controle no tempo t. A velocdade na frontera é gual à velocdade das partículas na frontera, sto é V c V (r c, t). Nestas condções partculares, a expressão anteror representa a varação no tempo da magntude extensva F acompanhando o sstema de partículas, ou dervada materal (ou substancal) DF Dt, e é conhecda como teorema de transporte de Reynolds (TTR): DF Dt = [f (r, t)] dv + f (r c, t) (V n) da t CS Les de conservação em forma ntegral 5 / 26

6 TTR, volume de controle deformável O TTR permte calcular a dervada temporal lagrangeana de uma quantdade extensva F (acompanhando as partículas) por meo de operações realzadas no campos f e V. Elmnando a ntegral de volume, podemos chegar a uma expressão equvalente para um volume de controle deformável com velocdade V c : DF Dt = d f (r, t) dv + f (r c, t) (V r n) da CS onde V r = V V c é a velocdade das partículas na frontera relatva à velocdade de varação da frontera. Notar que, embora o resultado é o mesmo, as nstruções para as operações em cada um dos termos é dferente. Les de conservação em forma ntegral 6 / 26

7 Conservação da massa Massa de uma partícula: δm = ρ dv. Massa M de um sstema de partículas: M (t) = ρ dv Le de conservação da massa: a dervada materal da massa de um sstema de partículas é zero. DM = 0 Dt Por nspeção, resulta F M e f ρ. Assm, resultam: ρ t dv + ρ (V n) da = 0 CS d ρ dv + ρ (V r n) da = 0 ( deformável) CS V Les de conservação em forma ntegral 7 / 26

8 Vazões mássca e volumétrca Vazão mássca ṁ (volumétrca Q): quantdade de massa (volume) que atravessa a superfíce A por undade de tempo. δv = V cos θ da = V n da = V n da Q = ṁ = A A (V n) da ρ (V n) da Para escoamento ncompressível: ṁ = ρ Q Les de conservação em forma ntegral 8 / 26

9 com entradas e saídas Les de conservação em forma ntegral 9 / 26

10 com entradas e saídas unformes Se consderamos um volume de controle com paredes rígdas e um número fnto de entradas e saídas com propredades unformes, resulta V n = 0 nas paredes (mpermeáves), V n = V n out > 0 nas saídas e V n = V n n < 0 nas entradas. Supondo propredades unformes nas entradas e saídas, resulta: ρ t dv + (ρ V n A ) out (ρ V n A ) n = 0 ρ t dv + (ṁ ) out (ṁ ) n = 0 Para escoamento permanente ( t = 0) resulta: (ṁ ) out = (ṁ ) n Les de conservação em forma ntegral 10 / 26

11 com entradas e saídas unformes Para escoamento ncompressível (ρ = cte): (V n A ) out = (V n A ) n (Q ) out = (Q ) n Para uma entrada e uma saída, temos que: Q out = Q n = Q (t) constante na posção. Esta relação é conhecda como equação de contnudade. Les de conservação em forma ntegral 11 / 26

12 deformável com entradas e saídas unformes Consderando um deformável: d ρ dv + (ρ V rn A ) out d ρ dv + (ṁ r ) out (ρ V rn A ) n = 0 (ṁ r ) n = 0 Notar que as vazões másscas são calculadas com a velocdade relatva na frontera. Para escoamento ncompressível (ρ = cte): dv + (V rn A ) out (V rn A ) n = 0 dv + (Q r ) out (Q r ) n = 0 Les de conservação em forma ntegral 12 / 26

13 Conservação do momento lnear Momento lnear de uma partícula: δp = δm V = ρ V δv. Momento lnear P de um sstema de partículas: P (t) = ρ V dv Le de conservação do momento lnear: a dervada materal do momento lnear de um sstema de partículas é gual à soma das forças exterores. DP = F ext Dt Por nspeção, resulta F P e f ρ V. Assm, resultam: Fext = (ρ V) dv + ρ V (V n) da t CS Fext = d ρ V dv + ρ V (V r n) da ( deformável) CS Les de conservação em forma ntegral 13 / 26 V

14 com entradas e saídas unformes Para um com um número fnto de entradas e saídas unformes: Fext = t (ρ V) dv + (ṁ V ) out (ṁ V ) n Para escoamento permanente ( t = 0) resulta: Fext = (ṁ V ) out (ṁ V ) n Para escoamento permanente com uma entrada e uma saída, ṁ n = ṁ out = ṁ: Fext = ṁ (V out V n ) Para escoamento ncompressível [ (ρ = cte) resulta: V Fext = ρ t dv + (Q V ) out (Q V ) n ] Les de conservação em forma ntegral 14 / 26

15 deformável com entradas e saídas unformes Para um deformável com um número fnto de entradas e saídas unformes: Fext = d ρ V dv + (ṁ r V ) out (ṁ r V ) n Para uma entrada e uma saída, resulta: Fext = d ρ V dv + ṁ r out V out ṁ r n V n Para escoamento ncompressível (ρ = cte): [ d Fext = ρ V dv + (Q r out V out ) (Q r n V n ) ] Les de conservação em forma ntegral 15 / 26

16 Consderações partculares Equação de conservação vectoral (três equações escalares): (Fext ) x = (ρ u) dv + ρ u (V n) da t CS (Fext ) x = d ρ u dv + ρ u (V r n) da ( deformável) É necessáro calcular F ext. Para sto, exstem dferentes tpos de forças: volumétrcas, superfcas é de nterfase (não consderadas, por enquanto): Fext = F G + F T CS No caso em que a posção r e a velocdade V sejam meddo em um sstema de referênca não nercal, é necessáro acrescentar as forças não nercas. Les de conservação em forma ntegral 16 / 26

17 Forças volumétrcas Proporconas ao volume ( L 3 ). Se G é o campo de força por undade de massa, a força volumétrca F G resulta: F G = ρ G dv O exemplo típco de força volumétrca é o campo gravtaconal; neste caso G = g constante e F G é o peso do sstema de partículas: F g = g ρ dv = M g O campo gravtaconal é conservatvo, pos g = U, onde U é a energa potencal gravtaconal. Se g = g k, U = g z + cte. Les de conservação em forma ntegral 17 / 26

18 Forças superfcas Proporconas à superfíce ( L 2 ). Seja f T = δf T δa a força por undade de área (tensão) resultante de retrar o meo externo ao elemento de área δa com normal n. A relação funconal (transformação lnear) entre tensão e versor normal defne o tensor de tensões T. f T = δf T δa = T n F T = T n da SC Matrz assocada (smétrca): ( Txx ) T xy T zx {T j } = T xy T yy T yz T zx T yz T zz Les de conservação em forma ntegral 18 / 26

19 Matrz assocada {T j } No elemento T j, o subscrto ndca a dreção normal ao elemento de área consderado, enquanto j ndca a dreção da tensão; assm, se = j a tensão é normal, enquanto se j a tensão é de csalhamento. Para um versor normal de cosenos dretores l, m e n (cosenos dos ângulos formados respectvamente com os exos x, y e z) resulta: ( ft x ) ( Txx T xy T zx ) ( l f T y = T xy T yy T yz m f T z T zx T yz T zz n ) = ( l Txx + m T xy + n T zx ) l T xy + m T yy + n T yz l T zx + m T yz + n T zz Les de conservação em forma ntegral 19 / 26

20 Pressão e tensão vscosa T = p I + τ onde p é a pressão, I é o tensor dentdade e τ é o tensor de tensões vscosas. A pressão depende do estado termodnâmco do fludo, enquanto o tensor vscoso depende da vscosdade e da exstenca de taxa de deformação do fludo. Como {I j } = ( ), resulta p I n = p n, sto é, a pressão age sempre na dreção contrára ao versor normal, com um módulo ndependente da dreção (prncípo de Pascal). F T = F p + F v F p = ( p) n da CS F v = τ n da CS (força de pressão) (força vscosa) Les de conservação em forma ntegral 20 / 26

21 Forças não nercas Aparecem quando a posção r e a velocdade V são meddas em um sstema de referênca não nercal, para satsfazer a equação de conservação do momento lnear; elas não satsfazem o prncípo de ação e reação. O sstema não nercal xyz rota com velocdade angular Ω e se desloca com posção R em relação ao sstema absoluto XYZ. Les de conservação em forma ntegral 21 / 26

22 Forças não nercas É necessáro acrescentar a força não nercal F NI : F NI = ρ a NI dv [ d 2 R a NI = 2 + dω ] r + 2 Ω V + Ω (Ω r) onde dentfcamos respectvamente as acelerações da orgem do sstema não nercal, angular, de Corols e centrífuga. Les de conservação em forma ntegral 22 / 26

23 Conservação do momento angular Momento angular de uma partícula ao redor da orgem de coordenadas 0: δh 0 = r (δm V) = ρ (r V) δv. Momento angular P de um sstema de partículas: H 0 (t) = ρ (r V) dv V Le de conservação do momento angular: a dervada materal do momento angular de um sstema de partículas é gual à soma dos momentos das forças exterores. DH 0 = M ext 0 Dt Por nspeção, resulta F H 0 e f ρ r V. Assm, resultam: Mext 0 = r t (ρ V) dv + ρ (r V) (V n) da CS Mext 0 = d ρ (r V) dv + ρ (r V) (V r n) da ( deformável) Les de conservação em forma ntegral 23 / 26 CS

24 com entradas e saídas unformes Para um com um número fnto de entradas e saídas unformes: Mext 0 = r (ρ V) dv t + (ṁ r V ) out (ṁ r V ) n Para escoamento permanente ( t = 0) resulta: Mext 0 = (ṁ r V ) out (ṁ r V ) n Para escoamento permanente com uma entrada e uma saída, ṁ n = ṁ out = ṁ: Mext 0 = ṁ (r out V out r n V ) Les de conservação em forma ntegral 24 / 26

25 deformável com entradas e saídas unformes Para um deformável com um número fnto de entradas e saídas unformes: Mext 0 = d ρ (r V) dv + (ṁ r r V ) out (ṁ r r V ) n Para uma entrada e uma saída: Mext 0 = d ρ (r V) dv +ṁ r out r out V out ṁ r n r n V n Les de conservação em forma ntegral 25 / 26

26 Momento das forças exterores Consderamos o momento das forças volumétrcas, de pressão, vscosas e não nercas: Mext 0 = M G 0 + M p 0 + M v 0 + M NI 0 M G 0 = M p 0 = M v 0 = CS CS M NI 0 = ρ r G dv ( p) r n da r (τ n) da ρ r a NI dv Les de conservação em forma ntegral 26 / 26