Eletromagnetismo. Distribuição de grandezas físicas: conceitos gerais

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1 Eletromagnetsmo Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras

2 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 1 Introdução Pode-se caracterzar um problema típco do eletromagnetsmo como o de determnar os campos (elétrcos, magnétcos e os potencas) uma vez conhecdas as dstrbuções de cargas, correntes e, eventualmente, as dstrbuções de dpolos (elétrco e magnétco). Assm, o problema de caracterzar uma dstrbução de grandezas físcas no espaço e no tempo é de grande mportânca no eletromagnetsmo. Na realdade, sso é mportante num bom número de áreas da Físca e de outras áreas do conhecmento. As grandezas físcas podem ser dvddas, para efeto de análse da sua dstrbução no espaço, em duas categoras: grandezas dscretas e grandezas contínuas. A temperatura (T) de um corpo é uma grandeza contínua. A carga elétrca é uma grandeza dscreta. Outro aspecto relevante a ser enfatzado é podermos falar de dstrbução de grandezas escalares bem como da dstrbução de grandezas vetoras. Dstrbução dscreta de grandezas escalares No caso de uma dstrbução dscreta, estamos falando de um pequeno número de objetos que exbem tal grandeza físca. Em geral, assummos que tal objeto é puntforme. Ao admtrmos que N objetos são puntformes, consderamos que eles ocupam posções caracterzadas pelos vetores de posção r, r,..., 1 2 r N ( 1 ) Se nessas posções se encontram objetos dotados de grandezas físcas escalares (como massa e carga elétrca, ndcadas pela letra F ), em cada posção essas grandezas físcas assumem valores ndcados assm: F 1, F 2,...,F N ( 2 )

3 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 2 Se nessas posções temos cargas elétrcas [veja Fgura 00], escrevemos: Q 1, Q 2,...,Q N ( 3 ) A carga total da dstrbução dscreta é dada por: Q = Q 1 + Q Q N ( 4 ) Estamos falando, portanto, de uma dstrbução dscreta de grandezas. Por exemplo, se em tas posções temos cargas elétrcas, a dstrbução pode ser lustrada de acordo com a Fgura 00. Como sabemos, as grandezas físcas podem ter uma natureza vetoral. Esse é o caso de momentos de dpolo elétrco ou magnétco. Por exemplo, se nas posções ndcadas temos dpolos magnétcos, em cada posção os momentos de dpolos são ndcados por: Fgura 1 µ, µ,..., µ 1 2 N ( 5 ) O momento de dpolo magnétco total é dado pela soma: N µ= µ = 1 O fato é que, no eletromagnetsmo, o efeto da dstrbução de cargas ou de grandezas vetoras como momentos de dpolo é descrto por meo dos campos escalares e vetoras que essas grandezas geram. ( 6 ) Fgura 2 Dstrbução contínua de grandezas escalares Quando o número de objetos portadores de uma determnada grandeza físca for muto grande, prefermos tratar a dstrbução como se fora uma dstrbução contínua. Nesse caso, a função de dstrbução nos dá o quanto de uma determnada grandeza físca está contdo num elemento de volume nfntesmal. Assm, a função de dstrbução é uma função que estabelece a densdade da grandeza físca. Na realdade, podemos falar de três tpos de densdades: volumétrca, superfcal e lnear.

4 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 3 Dstrbução volumétrca No caso de uma dstrbução volumétrca, a função de dstrbução dá o quanto de uma grandeza físca está contdo numa determnada undade de volume. Representamos uma densdade volumétrca pela letra ρ. ρ F ( r ) representa uma dstrbução volumétrca da grandeza F. Por exemplo, a densdade de energa dstrbuída no espaço será representada por: ρ E ( r ) representa a dstrbução volumétrca de energa. Fgura 3 Observe que, de acordo com a expressão acma, a densdade pode varar de ponto a ponto no espaço. Por sso, ndcamos que a dstrbução depende do ponto cuja posção é ndcada pelo vetor r. Para efeto prátco, recorremos a um processo de dscretzação, sto é, ao ldarmos com uma dstrbução contínua, subdvdmos o espaço em pequenos volumes (veja Fgura 00). Seja um desses volumes o volume de número, desgnado por δv. Tal volume ocupa a posção assocada ao vetor de posção r. Nesse ponto, podemos tomar, se o volume for muto pequeno, a densdade como aproxmadamente constante e assm escrevemos: ρ ( r ) = ρ F ( 7 ) Assm, a quantdade da grandeza físca contda naquele pequeno volume será dada por: δf = ρδv ( 8 )

5 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 4 Dada uma dstrbução contínua, a quantdade total dessa grandeza será dada pela soma das contrbuções de cada volume nfntesmal. A soma será efetuada sobre todo o volume em que a dstrbução está confnada. F = ρδv = δf ( 9 ) No caso contínuo, substtuímos a expressão acma por: F = ρ ( r ) dr F 3 ( 10 ) onde o símbolo representa a soma sobre o volume da regão que contém as cargas. É o análogo do somatóro no caso dscreto da expressão 00. Dstrbução superfcal É comum encontrarmos grandezas físcas dstrbuídas ao longo de uma superfíce. Esse é o caso, por exemplo, de um bom condutor de eletrcdade. Num condutor, as cargas se dstrbuem ao longo da sua superfíce. Dstrbuções superfcas são mas comuns no caso de uma dstrbução de massa. Nesse caso, uma smples folha de papel serve de exemplo. Uma dstrbução superfcal é caracterzada pela função densdade superfcal, aqu representada pela letra σ F. σ F ( r ) representa uma dstrbução superfcal (de superfíce) da grandeza F. Fgura 4 Fgura 5

6 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 5 A densdade superfcal de cargas pode varar de ponto para ponto ao longo de uma superfíce. Por sso, ndcamos que a dstrbução superfcal depende do ponto cuja posção é caracterzada pelo vetor r. O processo de dscretzação agora consste em subdvdr a superfíce em pequenos elementos de área δs. Seja uma dessas superfíces, a -ésma superfíce, desgnada por δs.tal superfíce é suposta tão dmnuta que ocupa a posção assocada ao vetor de posção r. Nesse ponto podemos tomar, se a superfíce for muto pequena, a densdade como aproxmadamente constante e assm escrevemos: σ ( r )= σ F ( 11 ) Assm, a quantdade da grandeza físca contda naquela superfíce nfntesmal será dada por: δf = ρδs ( 12 ) Dada uma dstrbução contínua, a quantdade total dessa grandeza será dada pela soma das contrbuções de cada superfíce nfntesmal. A soma será efetuada sobre toda a superfíce na qual a dstrbução está confnada. F = ρδs = δf ( 13 ) De manera análoga à dstrbução superfcal, temos que o total da quantdade físca contda na superfíce será dado por: Dstrbução lnear F = σ ( r ) ds ( 14 ) Grandezas físcas podem se acumular ao longo de uma curva. Em geral, representamos uma curva pela letra Γ. Representamos uma densdade lnear pela letra λ. Assm, λ( r ) representa uma dstrbução lnear (de lnha).

7 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 6 Como nos casos anterores, a densdade superfcal de cargas pode varar de ponto para ponto ao longo de uma curva ou lnha. Podemos recorrer ao processo de dscretzação já menconado. Subdvdmos a curva em pequenos segmentos de comprmento δv (veja Fgura 00). Seja um desses segmentos desgnado por número. Tal segmento ocupa a posção assocada ao vetor de posção r. Assm, a quantdade da grandeza físca contda naquele segmento será dada por: Fgura 6 δq = ρδv ( 15 ) A quantdade total da grandeza f será agora dada pela soma das contrbuções de cada volume nfntesmal. Q= ρδv = δq ( 16 ) Utlzando a notação de ntegras, temos para a grandeza acma a expressão: Q = λ( r ) dl ( 17 ) Quando determnadas grandezas físcas, como a massa, estão dstrbuídas no espaço, temos nteresse em determnar os campos produzdos por essas grandezas. Esse problema será abordado num dos próxmos capítulos. A função assocada a uma dstrbução dscreta de cargas é: ρ( r ) = Qδ( r r ) ( 18 ) onde a função δ é a função de dstrbução de Drac, a qual exbe as seguntes propredades: δ( r r) ={ o se r r, ou se r = r ( 19 ) e δ( 3 r r) dr= 1 ( 20 )

8 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 7 Com a propredade acma verfcamos que a carga total da dstrbução de cargas Q será dada pela soma (ou somatóro) das cargas das partículas que compõem a dstrbução, ou seja: Q= N Q = 1 onde o símbolo Σ representa a soma sobre os índces das cargas. ( 21 ) Dstrbução contínua de grandezas vetoras Num fludo em movmento, a velocdade de cada porção dmnuta dele vara de ponto para ponto. Na atmosfera terrestre, por exemplo, ocorrem grandes deslocamentos de ar. Como todo fludo, o seu deslocamento é descrto por meo da assocação de um campo de velocdades exstente no espaço que contém o fludo. Tendo em vsta que a velocdade é uma grandeza vetoral, tal campo tem o mesmo caráter. Assm, a velocdade de deslocamento dos consttuntes num fludo é função do ponto no qual ela é observada e do tempo. Para esse campo - o campo de velocdades, escrevemos: V V rt, = ( ) ( 22 ) As lnhas de força do campo de velocdades têm uma nterpretação bastante smples. Elas ndcam, em cada ponto, a dreção e o sentdo da velocdade do fludo no ponto em apreço. A função vetoral agora descreve a dstrbução de velocdades num fludo. Campos Vetoras assocados a densdades Fgura 7: Representação gráfca de uma função vetoral. Grandezas vetoras podem, como no caso das densdades escalares, estar dstrbuídas no espaço e essa dstrbução pode depender do tempo. Assm, se uma grandeza vetoral se dstrbu no espaço de tal forma que em cada ponto seu módulo, dreção ou sentdo (ou uma combnação dos três atrbutos), é preferível falar de uma densdade vetoral da grandeza. Assm, se p é uma grandeza físca que vara ponto a ponto no espaço, subdvdmos o espaço em pequenos elementos de volume (veja Fgura 00). Seja um desses

9 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 8 volumes o -ésmo volume desgnado por dv. Tal volume ocupa a posção assocada ao vetor de posção r. Nesse ponto podemos tomar, se o volume for muto pequeno, a densdade P dessa grandeza físca vetoral, como, por exemplo, o momento de dpolo elétrco de um átomo ou molécula, como se fosse aproxmadamente constante e assm escrevemos: Pr ( )= P ( 23 ) Assm, a quantdade da grandeza momento de dpolo elétrco contda naquele pequeno volume será dada por: dp = P( r) dv = PdV ( 24 ) Geralmente, dzemos que dado o vetor de polarzação em cada ponto do espaço, ponto esse determnado pelo rao vetor de posção r, um elemento de volume nfntesmal localzado nesse ponto tem um momento de dpolo dado por: dp P r dv = ( ) ( 25 ) Fgura 8 Fgura 9 A expressão acma defne o momento de dpolo elétrco num elemento nfntesmal de volume. O momento de dpolo num volume V é dado por: p P r dv = ( ) V ( 26 ) Além do vetor de polarzação, relevante na eletrcdade dos materas, podemos ctar anda o vetor magnetzação, representado por M( r). Assm, conhecda a dstrbução de dpolos magnétcos,

10 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 9 o momento de dpolo magnétco de um volume nfntesmal dv do materal, localzado num ponto cujo rao vetor de posção é r, é dado por: dµ= M( rdv ) ( 27 ) E essa expressão defne a densdade do momento de dpolo magnétco em cada ponto do espaço. O dpolo magnétco de uma regão cujo volume é V é dado por: Densdade de corrente ( ) µ= M r dv V ( 28 ) Fgura 10 Mutas vezes o produto de uma dstrbução por outra leva a uma nova dstrbução. Esse é o caso da densdade de corrente. Defnmos a densdade de corrente (000) como o produto da dstrbução de velocdades dos transportadores da grandeza f pela densdade volumétrca dessa mesma grandeza: J( r, t) =ρ( r,) tv( rt, ) ( 29 ) A densdade de corrente é muto mportante porque ela dá a taxa pela qual uma grandeza físca flu através de uma superfíce. Mas especfcamente, o fluxo da densdade de corrente através de uma superfíce dá a taxa por undade de tempo pela qual a grandeza físca f flu através dessa superfíce, ou seja: No caso do eletromagnetsmo, o fluxo da densdade de corrente através de uma superfíce é a taxa pela qual cargas elétrcas atravessam a superfíce. dq dt φ F = J ds S = I = J ds S ( 30 ) ( 31 ) Fgura 11 Fgura 12

11 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 10 Como usar este ebook Orentações geras Caro aluno, este ebook contém recursos nteratvos. Para prevenr problemas na utlzação desses recursos, por favor acesse o arquvo utlzando o Adobe Reader (gratuto) versão 9.0 ou mas recente. Botões Indca pop-ups com mas nformações. Snalza um recurso mdátco (anmação, áudo etc.) que pode estar ncluído no ebook ou dsponível onlne. Ajuda (retorna a esta págna). Crédtos de produção deste ebook. Indca que você acessará um outro trecho do materal. Quando termnar a letura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de orgem. Bons estudos!

12 Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 11 Crédtos Este ebook fo produzdo pelo Centro de Ensno e Pesqusa Aplcada (CEPA), Insttuto de Físca da Unversdade de São Paulo (USP). Autora: Gl da Costa Marques. Revsão Técnca e Exercícos Resolvdos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatrz Borges Casaro. Revsão de Texto: Marna Keko Tokumaru. Projeto Gráfco e Edtoração Eletrônca: Danella de Romero Pecora, Leandro de Olvera e Prscla Pesce Lopes de Olvera. Ilustração: Alexandre Rocha, Alne Antunes, Benson Chn, Camla Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lda Yoshno, Mauríco Rhenlander Klen e Thago A. M. S. Anmações: Celso Roberto Lourenço e Mauríco Rhenlander Klen.